112 年 國立中央大學光電科學與工程學系碩士班《光學》

本題為光學基礎概念的填充題，涵蓋反射定律、折射定律、費馬原理以及透鏡成像的幾何光學知識。

A. 基本假說
(a) 反射定律：根據反射定律，光線入射到介面時，入射線、反射線及法線位於同一平面上。入射角（入射線與法線的夾角）等於反射角（反射線與法線的夾角）。
【答案】(1) 入射角等於反射角 ($\theta_i = \theta_r$)

(b) 折射定律：史耐爾定律（Snell's Law）描述光線從一種介質進入另一種介質時的折射行為。定律指出，入射線、折射線及法線位於同一平面上，且入射介質的折射率與入射角的正弦乘積，等於折射介質的折射率與折射角的正弦乘積。
【答案】(2) $n \sin\theta = n' \sin\theta'$

B. Fermat 定理
費馬原理（Fermat's Principle）指出，光線從一點傳播到另一個點時，所經過的路徑是光程最短的路徑。光程（Optical Path Length, OPL）定義為介質折射率與幾何光程的乘積。
【答案】(3) 光程最短的路徑

C. 鏡片成像物像關係
此題要求填寫凸透鏡和凹透鏡成像的各種情況下的物距 ($s_0$)、像距 ($s_i$)、像的性質（實像/虛像、倒立/正立）、以及相對尺寸（放大/縮小/相同）。這些關係可以透過透鏡成像公式 $\frac{1}{s_o} + \frac{1}{s_i} = \frac{1}{f}$ 和橫向放大率 $m = \frac{s_i}{s_o}$ 來推導。

凸透鏡成像分析：

• 當物體位於 $s_0 < -2f$ （物距大於兩倍焦距）時，成像在 $f$ 和 $2f$ 之間，為倒立縮小的實像。

本題考驗對人類眼睛結構的認知，需要根據圖示標示，填寫出各部位的名稱。

D. 眼睛結構
根據眼睛結構圖，標示的各部位名稱如下：

• (11) 標示的是眼睛中控制瞳孔大小的虹膜（Iris）。

本題考查縱向放大率與橫向放大率之間的關係。

E. 橫向放大率與從像放大率關係
對於一個光學系統，如果物體是沿著光軸方向延伸的，那麼它的縱向放大率 $M_L$ 和橫向放大率 $M_T$ 之間存在一個確定的關係。
橫向放大率 $M_T$ 定義為像高與物高的比值，即 $M_T = \frac{h_i}{h_o} = \frac{s_i}{s_o}$。
縱向放大率 $M_L$ 定義為像長與物長的比值。當物體沿光軸方向的長度 $\Delta s_o$ 非常小時，像沿光軸方向的長度 $\Delta s_i$ 與物長的比值近似為 $M_L \approx \frac{\Delta s_i}{\Delta s_o}$。

本題考查 CIE 標準光譜效應函數，主要關於人眼在不同光照條件下的視覺敏感度曲線，以及其峰值波長。

F. CIE 標準光譜效應函數
圖中顯示了兩條曲線：$V(\lambda)$ 代表明視覺（日間視覺）的光譜響應函數，而 $V'(\lambda)$ 代表暗視覺（夜間視覺）的光譜響應函數。

• 明視覺曲線 $V(\lambda)$ 的峰值出現在大約 555 nm 處。

本題考查薄透鏡和多層光學系統的焦距關係以及主點與節點的定義。

G.
(18) 物焦距與像焦距關係：
對於一個單一介質中的薄透鏡（即物方和像方折射率相同，例如在空氣中），物方焦距 $f_o$ 與像方焦距 $f_i$ 的大小是相等的，即 $|f_o| = |f_i|$。通常我們將其簡稱為焦距 $f$。
然而，題目中使用了 $f_0$ 和 $f_i$，這可能暗示著一個更廣泛的光學系統，或者在討論不同介質中的焦距。
在光學系統中，如果前後介質的折射率不同，則焦距的定義會有所不同。

• 物方焦距 ($f_o$)：從第一主點 (P) 到第一焦點 (F) 的距離。
• 像方焦距 ($f_i$)：從第二主點 (P') 到第二焦點 (F') 的距離。
  對於單透鏡，如果前後介質折射率相同 ($n=n'$)，則 $f_o = f_i = f$。
  如果前後介質折射率不同，則有 $f_o = \frac{f}{n}$ 和 $f_i = \frac{f}{n'}$，其中 $f$ 是在折射率為 1 的介質中的焦距。
  題目明確說明「物方折射率 $n$ 與像方折射率 $n'$ 相同」，這表示我們處理的是一個均勻介質中的光學系統。在此情況下，物方焦距 $f_0$ 和像方焦距 $f_i$ 的大小是相等的。
  【答案】(18) $f_0 = f_i$ (或 $|f_0| = |f_i|$)

核心觀念

本題考查近軸光線追跡的兩個基本過程：

1. 折射過程：利用近軸形式的斯涅耳定律，描述光線通過第 $j$ 個球面後，光線角度與折射率的關係。
2. 傳遞過程：光線在兩個折射面之間沿直線前進，利用幾何關係求光線高度。
3. 光圈與瞳的位置：
   • 光圈本身所在位置稱為光闌或光圈。
   • 從物方觀察光圈，經前方光學元件所成的像為入瞳。
   • 從像方觀察光圈，經後方光學元件所成的像為出瞳。

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H(a) 折光過程

在第 $j$ 個球面上，入射介質折射率為 $n_{j-1}$，折射後介質折射率為 $n_j$。近軸條件下，球面折射公式可寫成

$$n_j u_j-n_{j-1}u_{j-1} = (n_j-n_{j-1})\frac{h_j}{R_j}.$$

由於

$$C_j=\frac{1}{R_j},$$

因此

$$n_j u_j = n_{j-1}u_{j-1} + (n_j-n_{j-1})h_jC_j.$$

所以空格為

$$\boxed{(20)=(n_j-n_{j-1})h_jC_j}.$$

其中 $h_jC_j=h_j/R_j$，代表球面曲率對光線折射角度的影響。

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H(b) 傳遞過程

光線離開第 $j$ 個折射面後，在均勻介質中沿直線傳播至下一個折射面。兩面間的中心厚度為 $d_j$，近軸條件下有

核心觀念

平板玻璃兩面平行，且外界介質相同，因此光線出射後與入射前平行，不產生永久的角度偏折；但光線在玻璃中的傳播速度較慢，使其等效光程縮短。

厚度為 $t$、折射率為 $n$ 的平板玻璃，對近軸光線的等效空氣厚度為

$$t_{\mathrm{eq}}=\frac{t}{n}$$

因此相較於原本的空氣層，等效傳播距離減少

$$\Delta=t-\frac{t}{n} =t\left(1-\frac{1}{n}\right)$$

此結果即為會造成的像平面位移量，也等於系統第二主平面的位移量。

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解題方法

設原本鏡頭至像平面的距離為 $L$，平板玻璃插入會聚光束中，厚度為 $t$。

原本光線在厚度 $t$ 的空氣中傳播，橫向位移為

$$t\theta$$

插入玻璃後，光線在玻璃中的折射角依近軸 Snell 定律為

$$\theta_g=\frac{\theta}{n}$$

因此在玻璃內的橫向位移變成

$$t\theta_g=\frac{t\theta}{n}$$

相較於原本的空氣層，光線少前進的等效距離為

$$\Delta=t\theta-\frac{t\theta}{n} =t\theta\left(1-\frac{1}{n}\right)$$

出射光線仍與原光線平行，所以為了讓光線重新會聚，像點必須沿光軸遠離鏡頭，位移量為

$$\Delta=t\left(1-\frac{1}{n}\right)$$

代入

$$t=0.6\ \mathrm{mm},\qquad n=1.523$$

得到

本題考查 Abbe number 的計算，這是衡量玻璃色散程度的重要參數。

K. Abbe number $V_d$值
Abbe number ($V_d$) 定義了材料的色散程度，對於玻璃來說，它定義為：
$V_d = \frac{n_d - 1}{n_F - n_c}$
其中：

• $n_d$ 是在黃色譜線 (d-line, 587.56 nm) 的折射率。
• $n_F$ 是在藍色譜線 (F-line, 486.13 nm) 的折射率。

本題考查眼鏡原理，包括近視眼和遠視眼的成像特點、遠點的定義以及如何通過配戴眼鏡進行矯正。

L. 眼鏡原理
近視眼和遠視眼的矯正原理是利用透鏡來改變光線的匯聚點，使其能夠正確地成像在視網膜上。

a. 近視眼遠點的位置：
近視眼的特點是眼球的屈光系統（角膜和晶狀體）的屈光力過強，或者眼軸過長，導致遠處物體（理論上應成像在視網膜上）的像成像在視網膜的前方。
遠點（Far point）是指人眼在不調節狀態下，能看清楚的最遠處的物點。對於近視眼，由於其屈光力過強，即使是來自較遠處的物體，其像也已經在視網膜前成像了。因此，近視眼能夠看清楚的物體距離是有限的，其遠點就位於視網膜前方。
【答案】(27) (A) 前方

b. 近視眼校正眼鏡的焦距：
近視眼需要將遠處物體的像向後移動，使其成像在視網膜上。這需要一個具有發散作用的透鏡來減緩光線的匯聚。發散透鏡（凹透鏡）的焦距為負值。
因此，近視眼需要配戴焦距為負的眼鏡。
【答案】(28) 負

c. 近視眼遠點與鏡片的位置關係：
為了矯正近視眼，配戴的凹透鏡（負焦距）需要使得近視眼的遠點處的物體，經過眼鏡（凹透鏡）成像在人眼的遠點位置。也就是說，眼鏡的虛像必須成在近視眼能看清楚的最近點（即其遠點）。

本題考查望遠鏡的基本原理，包括角放大率、物鏡和目鏡的焦距關係、以及望遠鏡的光圈和出瞳。

M. 望遠鏡
望遠鏡是一種無窮遠成像的光學系統（afocal system），即平行光入射，平行光出射。它由物鏡和目鏡組成，物鏡和目鏡的焦點重合。

(a) 角放大率與半視角關係：
望遠鏡的角放大率 (Angular Magnification, MP) 定義為出射半視角與入射半視角的比值。對於 afocal 系統，通常定義為：
$MP = \frac{\theta_e}{\theta_0}$ （這裡用角度）
或者，如果使用切線值，則為：
$MP = \frac{u_e}{u_0}$ （這裡用切線值）
題目給出 MP = -8。
題目也給出 $u_0 = \tan\theta_0$ 和 $u_e = \tan\theta_e$。
因此， $MP = \frac{u_e}{u_0} = \frac{\tan\theta_e}{\tan\theta_0}$。
給定 $\theta_0 = 2^\circ$。
我們需要計算 $\theta_e$。
$\tan(2^\circ) \approx 0.03492$。
$u_0 \approx 0.03492$。
$MP = \frac{u_e}{u_0} \implies u_e = MP \times u_0 = -8 \times 0.03492 \approx -0.27936$。
$u_e = \tan\theta_e \implies \theta_e = \arctan(u_e) = \arctan(-0.27936)$。
$\theta_e \approx -15.62^\circ$。
由於望遠鏡的角放大率為負，表示出射光線的方向與入射光線的方向相反，或者說成像為倒立。
在望遠鏡中，通常物鏡成像在焦平面，目鏡將此焦平面上的像放大。
如果 MP 是負值，通常表示系統是倒立成像的，例如使用伽利略望遠鏡（一個凸透鏡物鏡，一個凹透鏡目鏡）或克卜勒望遠鏡（兩個凸透鏡）。
這裡的 MP = -8，表示出射半視角是入射半視角的 8 倍，且方向相反。
所以， $\theta_e = -8 \times \theta_0$ （如果使用角度）。
$\theta_e = -8 \times 2^\circ = -16^\circ$。
但是，題目給了 $u_0 = \tan\theta_0$ 和 $u_e = \tan\theta_e$。
所以，MP 應該是 $u_e/u_0$。
$u_e = MP \times u_0 = -8 \times \tan(2^\circ)$。

本題考查反射式望遠鏡的種類及其構成元件的二次曲面鏡形式。

N. 反射式望遠鏡
反射式望遠鏡使用反射鏡代替透鏡，優點是沒有色差。常見的反射鏡形狀有拋物面、橢圓面和雙曲面。

(a) 牛頓式望遠鏡 (Newtonian Telescope)
牛頓式望遠鏡使用一個主要的拋物面反射鏡作為物鏡，將光線反射到一個位於主反射鏡前方的平面副反射鏡上，副反射鏡再將光線反射到側面的目鏡。
因此，物鏡（主反射鏡）是拋物面鏡。
【答案】(36) 拋物面鏡

本題考查視網膜投影機（如 Google Glass）的工作原理，涉及成像性質、目鏡焦距以及面板（LCoS）的位置。

O. 視網膜投影機(Google glasses)
視網膜投影機的核心原理是利用一個微型顯示器（如 LCoS 面板）生成圖像，然後通過一個光學系統將該圖像放大並投影到觀察者的視網膜上。這個光學系統通常包含一個準直器（Collimator）和一個目鏡（Eyepiece）。

a. 眼睛看到的面板影像性質：
LCoS 面板產生一個微小的圖像。這個圖像首先通過一個準直器（Collimator）將其變成平行光束。然後，這個平行光束通過一個目鏡（Eyepiece）被放大，並最終成像在人眼的視網膜上。
人眼看到的最終影像，實際上是目鏡所成的虛像。這個虛像的大小取決於目鏡的放大倍率。
從人眼觀察者的角度來看，目鏡的作用是將面板上的圖像放大，使其看起來更大。因此，最終的影像通常是放大的。

核心觀念

本題考查掃描器鏡頭的取樣解析度、橫向放大率，以及薄透鏡成像公式。

物方解析度為 $600\ \mathrm{dpi}$，表示每英吋可解析 $600$ 個物方點，因此單一物方解析度尺寸為

$$\Delta x_o=\frac{25.4\ \mathrm{mm}}{600} =0.04233\ \mathrm{mm} =42.33\ \mu\mathrm{m}.$$

CCD 的單一 pixel 尺寸為

$$\Delta x_i=10\ \mu\mathrm{m}.$$

為使物方一個解析單位恰好成像於 CCD 的一個 pixel，橫向放大率的大小為

$$|M_T|=\frac{\Delta x_i}{\Delta x_o}.$$

若採用成像方向的符號慣例，實像通常為倒立，放大率可寫成負值；本題所求鏡頭橫向放大率通常取其幾何大小。

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解題方法

由物方與像方尺寸的比例，

$$M_T=\frac{10}{42.33} =\frac{10}{25.4/600} =0.2362.$$

因此

$$\boxed{M_T\approx 0.236}$$

若標示倒立成像方向，則可寫為 $M_T=-0.236$；鏡頭設計中的倍率大小為 $0.236$。

設物距為 $s_o$、像距為 $s_i$。題目給出物像距離為 $300\ \mathrm{mm}$，故

$$s_o+s_i=300\ \mathrm{mm}.$$

由橫向放大率

$$|M_T|=\frac{s_i}{s_o}=0.2362,$$

可得

$$s_i=0.2362s_o.$$

代入物像距離：

$$s_o+0.2362s_o=300,$$ $$s_o=\frac{300}{1.2362}\approx242.7\ \mathrm{mm},$$ $$s_i=300-242.7\approx57.3\ \mathrm{mm}.$$

再利用薄透鏡公式

本題考查光纖的光學特性，包括數值孔徑 (NA)、最大入射角以及光功率損耗的 dB 值計算。

Q. 光纖
(a) 數值孔徑 (NA) 和最大入射角 ($\theta_{imax}$)：
光纖的數值孔徑 (Numerical Aperture, NA) 是衡量光纖匯聚光線能力的一個參數。對於階躍型光纖（Step-index fiber），其定義為：
$NA = \sqrt{n_{core}^2 - n_{cladding}^2}$
其中 $n_{core}$ 是纖芯的折射率， $n_{cladding}$ 是包層的折射率。
題目中給出 $n_{core} = 1.52$ 和 $n_{cladding} = 1.45$。
$NA = \sqrt{(1.52)^2 - (1.45)^2}$
$NA = \sqrt{2.3104 - 2.1025} = \sqrt{0.2079}$
$NA \approx 0.45596$。
我們保留三位有效數字。
$NA \approx 0.456$。

最大入射角 $\theta_{imax}$ 是指光線從空氣（折射率 $n_{air} \approx 1$）進入光纖纖芯時，能夠被光纖傳輸的最大入射角。
數值孔徑與最大入射角的關係為：
$NA = n_{air} \sin(\theta_{imax})$
由於空氣的折射率 $n_{air} \approx 1$，所以 $NA = \sin(\theta_{imax})$。
$\sin(\theta_{imax}) = 0.45596$
$\theta_{imax} = \arcsin(0.45596)$
$\theta_{imax} \approx 27.13^\circ$。
我們保留三位有效數字。

本題考查光度學中的基本術語，包括光源的發光強度和被照體的照度。

R. 光照術語
(a) 光源在某一方向單位立體角所發出的光通量：
這個定義指的是光源在特定方向上的發光強度（Luminous Intensity）。
發光強度 $I_v$ 定義為光源在某一特定方向上單位立體角所發出的光通量。
單位是坎德拉 (candela, cd)。
$I_v = \frac{d\Phi_v}{d\Omega}$

本題考查 Lambertian 光源的特性，包括其輝度和不同方向上的光強度。

S. Lambertian 光源
Lambertian 光源（或稱朗伯體光源）的特點是其表面在各個方向上發出的輝度是均勻的。

(a) 由各方向所看到的輝度：
Lambertian 光源的輝度（Luminance）在所有觀察方向上都是相同的。
輝度 $L_v$ 定義為單位投影面積在單位立體角內的光強度。
對於 Lambertian 光源，其輝度與觀察角度無關。

核心觀念

光具有粒子性，每個光子的能量為

$$E_{\gamma}=hf=\frac{hc}{\lambda}$$

其中：

• $h=6.626\times10^{-34}\ \mathrm{J\cdot s}$：普朗克常數
• $c=3.00\times10^8\ \mathrm{m/s}$：真空光速
• $\lambda$：光在真空中的波長，空氣中可近似視為相同

雷射功率定義為單位時間放出的能量：

$$P=\frac{E_{\text{total}}}{t}$$

因此，在時間 $t$ 內的總能量為

$$E_{\text{total}}=Pt$$

若總光子數為 $N$，則

$$N E_{\gamma}=Pt$$

得到光子總數公式：

$$N=\frac{Pt}{E_{\gamma}} =\frac{Pt\lambda}{hc}$$

題目給出的水與空氣折射率，對本題光子總數的計算不造成影響。光進入水中後，頻率不變，波長變為

$$\lambda_{\text{water}}=\frac{\lambda_{\text{air}}}{n_{\text{water}}}$$

但光子能量仍為 $E_{\gamma}=hf$，因此直接使用雷射的真空波長計算即可。

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解題方法

雷射功率為

$$P=5\ \mathrm{mW}=5.00\times10^{-3}\ \mathrm{W}$$

發光時間為

$$t=3\ \mathrm{min}=180\ \mathrm{s}$$

所以雷射在這段時間內放出的總能量為

$$E_{\text{total}}=Pt =(5.00\times10^{-3})(180) =0.900\ \mathrm{J}$$

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(a) He-Ne 雷射的光子數

He-Ne 雷射波長為

$$\lambda=632.8\ \mathrm{nm} =632.8\times10^{-9}\ \mathrm{m}$$

單一光子的能量為

$$E_{\gamma} =\frac{hc}{\lambda}$$

代入數值：

$$E_{\gamma} = \frac{(6.626\times10^{-34})(3.00\times10^8)} {632.8\times10^{-9}}$$ $$E_{\gamma} \approx 3.14\times10^{-19}\ \mathrm{J}$$

因此，總光子數為

$$N =\frac{E_{\text{total}}}{E_{\gamma}} =\frac{0.900}{3.14\times10^{-19}}$$

核心觀念

本題考查階梯式光纖的基本參數與傳播特性：

1. 數值孔徑（numerical aperture, NA）與半接受角。
2. 單模傳播的截止條件。
3. 正規化頻率 $V$ 與光纖可傳播模態數。
4. 光纖衰減與輸入、輸出功率的關係。

已知：

$$n_1=1.502,\qquad n_2=1.471,\qquad \lambda=1.550\ \mu\text{m}$$

其中 $n_1$ 為纖芯折射率，$n_2$ 為包覆層折射率。

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（a）數值孔徑與半接受角

數值孔徑

光纖在空氣中使用時，數值孔徑為

$$\mathrm{NA}=\sqrt{n_1^2-n_2^2}$$

代入數值：

$$\mathrm{NA} =\sqrt{(1.502)^2-(1.471)^2}$$ $$=\sqrt{2.256004-2.163841} =\sqrt{0.092163} \approx 0.3036$$

因此，

$$\boxed{\mathrm{NA}\approx 0.304}$$

半接受角

半接受角 $\theta_a$ 滿足

$$\sin\theta_a=\mathrm{NA}$$

因此

$$\theta_a=\sin^{-1}(0.3036) \approx 17.7^\circ$$

所以半接受角為

$$\boxed{\theta_a\approx 17.7^\circ}$$

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（b）單模傳播的光纖直徑上限

解題方法

階梯式光纖的正規化頻率為

$$V=\frac{2\pi a}{\lambda}\mathrm{NA}$$

其中 $a$ 是纖芯半徑。

單模傳播的條件為

$$V<2.405$$

因此臨界狀況滿足

$$\frac{2\pi a}{\lambda}\mathrm{NA}=2.405$$

解出半徑：

$$a_c=\frac{2.405\lambda}{2\pi\mathrm{NA}}$$

題目要求的是直徑 $d=2a$，因此

$$d_c=\frac{2.405\lambda}{\pi\mathrm{NA}}$$

代入：

$$d_c =\frac{2.405(1.550)}{\pi(0.3036)} \ \mu\text{m}$$ $$d_c\approx 3.91\ \mu\text{m}$$

所以要維持單模傳播，光纖直徑必須滿足

$$\boxed{d<3.91\ \mu\text{m}}$$

其中 $3.91\ \mu\text{m}$ 是單模截止直徑。

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（c）光纖直徑為 $70\ \mu\text{m}$ 時的傳播模態數

光纖直徑為 $70\ \mu\text{m}$，所以纖芯半徑為

$$a=35\ \mu\text{m}$$

先計算正規化頻率：

$$V=\frac{2\pi a}{\lambda}\mathrm{NA}$$ $$V =\frac{2\pi(35)}{1.550}(0.3036) \approx 43.1$$

核心觀念

本題結合「單狹縫繞射」與「雙狹縫干涉」：

1. 單狹縫繞射暗紋條件：

$$a\sin\theta_m=m\lambda,\qquad m=1,2,3,\ldots$$

其中 $a$ 是狹縫寬度，$\lambda$ 是波長。

2. 雙狹縫干涉亮紋條件：

$$d\sin\theta_n=n\lambda,\qquad n=0,\pm1,\pm2,\ldots$$

其中 $d$ 是兩狹縫中心間距。

3. 有限寬度雙狹縫的強度分布為：

$$I(\theta)=I_0 \left[ \frac{\sin\beta}{\beta} \right]^2 \cos^2\alpha$$

其中

$$\beta=\frac{\pi a\sin\theta}{\lambda}, \qquad \alpha=\frac{\pi d\sin\theta}{\lambda}$$

雙狹縫干涉亮紋的強度還會受到單狹縫繞射包絡線調制。

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（a）求狹縫到屏幕的距離

已知：

$$\lambda=532\ \text{nm}=5.32\times10^{-7}\ \text{m}$$ $$a=0.42\ \text{mm}=4.2\times10^{-4}\ \text{m}$$

第一暗紋滿足：

$$a\sin\theta_1=\lambda$$

因此

$$\sin\theta_1=\frac{\lambda}{a} =\frac{5.32\times10^{-7}}{4.2\times10^{-4}} =1.2667\times10^{-3}$$

由於角度很小，可使用小角近似：

$$\tan\theta_1\approx\sin\theta_1 \approx1.2667\times10^{-3}$$

屏幕上的位置為：

$$y_1=L\tan\theta_1$$

所以

$$L=\frac{y_1}{\tan\theta_1} \approx \frac{0.72\times10^{-3}} {1.2667\times10^{-3}}$$ $$\boxed{L\approx0.568\ \text{m}}$$

因此狹縫與屏幕相距約 $56.8\ \text{cm}$。

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（b）求第五暗紋的位置

單狹縫第 $m$ 個暗紋滿足：

$$a\sin\theta_m=m\lambda$$

在小角近似下：

$$y_m\approx L\sin\theta_m =L\frac{m\lambda}{a}$$

因此位置與階數成正比：

$$y_5=5y_1$$ $$y_5=5(0.72\ \text{mm})$$ $$\boxed{y_5=3.60\ \text{mm}}$$

第五暗紋位於中央亮紋兩側，因此相對於中央最大值的位置為：

$$\boxed{y=\pm3.60\ \text{mm}}$$

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（c）中央繞射亮峰中可見的亮紋數與缺階

雙狹縫參數為：

$$a=0.34\ \text{mm}, \qquad d=1.36\ \text{mm}$$

中央單狹縫繞射亮峰的邊界由第一暗紋決定：

$$a\sin\theta=\lambda$$

雙狹縫第 $n$ 階干涉亮紋的位置為：

$$d\sin\theta_n=n\lambda$$

要使第 $n$ 階干涉亮紋位於中央繞射亮峰內，必須滿足：

$$\left|\sin\theta_n\right|<\frac{\lambda}{a}$$

代入 $\sin\theta_n=n\lambda/d$：

$$\frac{|n|\lambda}{d}<\frac{\lambda}{a}$$

約去 $\lambda$：

$$|n|<\frac{d}{a}$$

而

$$\frac{d}{a}=\frac{1.36}{0.34}=4$$

所以中央繞射亮峰內可見的干涉階數為：

$$n=0,\ \pm1,\ \pm2,\ \pm3$$

亮紋總數為：

$$1+2(3)=7$$

因此：

$$\boxed{\text{中央峰內可見 7 條干涉亮紋}}$$

缺階判定

當 $n=4$ 時：

核心觀念

Fresnel 雙棱鏡可視為由同一光源產生兩個相干的虛光源 $S_1$、$S_2$。其干涉條紋間距為

$$\beta=\frac{\lambda L}{d'}$$

其中：

• $\beta$：條紋間距
• $\lambda$：光波長
• $L$：兩虛光源到螢幕的距離
• $d'$：兩虛光源 $S_1,S_2$ 的間距

對小頂角雙棱鏡，每半部棱鏡造成的偏折角為

$$\delta \simeq (n-1)\frac{\alpha}{2}$$

因此兩虛光源間距為

$$d'=2d\delta=d(n-1)\alpha$$

其中 $d$ 是光源到雙棱鏡的距離，$\alpha$ 為雙棱鏡頂角。

題目給定：

$$n=1.58,\qquad \lambda=532\ \text{nm}$$ $$L=190\ \text{cm}=1.90\ \text{m}$$

雙棱鏡位於螢幕前 $180\ \text{cm}$，所以

$$d=190-180=10\ \text{cm}=0.10\ \text{m}$$

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(a) 求雙棱鏡頂角 $\alpha$

由條紋間距公式，

$$d'=\frac{\lambda L}{\beta}$$

代入 $\beta=1.1\ \text{mm}=1.1\times10^{-3}\ \text{m}$：

$$d' =\frac{(532\times10^{-9})(1.90)} {1.1\times10^{-3}} =9.19\times10^{-4}\ \text{m}$$

因此

$$d'=0.919\ \text{mm}$$

又因為

$$d'=d(n-1)\alpha$$

所以

$$\alpha=\frac{d'}{d(n-1)}$$ $$\alpha =\frac{9.19\times10^{-4}} {(0.10)(1.58-1)} =7.92\times10^{-3}\ \text{rad}$$

換算成角度：