112 年 國立中央大學光電科學與工程學系碩士班《近代物理》

核心觀念

本題考查**玻爾茲曼機率分布（Boltzmann probability distribution）與氫原子能階結構（Energy levels of Hydrogen atom）**的綜合應用。

1. 氫原子能階公式：
   根據玻爾模型（Bohr model）或薛丁格方程式（Schrödinger equation）解法，氫原子的束縛態能階為：
   $E_n = -\frac{E_0}{n^2} = -\frac{13.6 \text{ eV}}{n^2}$
   其中 $n = 1, 2, 3, \dots$ 為主量子數（Principal quantum number），$E_0 \approx 13.6 \text{ eV}$ 為基態游離能。

2. 玻爾茲曼分布律：
   在熱平衡狀態（熱力學溫度為 $T$）下，系統處於能量為 $E_i$ 的量子態之機率 $P_i$ 正比於玻爾茲曼因子 $e^{-E_i / kT}$：
   $P_i \propto g_i e^{-\frac{E_i}{kT}}$
   其中 $k = 8.617 \times 10^{-5} \text{ eV/K}$ 為玻爾茲曼常數，$g_i$ 為該能階的簡併度（Degeneracy）。對於氫原子，若考慮電子自旋（Spin），第 $n$ 能階的總簡併度為 $g_n = 2n^2$。

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解題方法

Step 1：設定標準室溫溫度

題目給定室溫條件，物理學中標準室溫通常取為 $T = 300 \text{ K}$（或 $27^\circ\text{C}$）。
熱能 $kT$ 的數值計算如下：
$kT = (8.617 \times 10^{-5} \text{ eV/K}) \times 300 \text{ K} = 0.025851 \text{ eV}$

Step 2：計算氫原子能階差 $\Delta E$

• 基態 ($n = 1$) 能量：
  $E_1 = -\frac{13.6 \text{ eV}}{1^2} = -13.6 \text{ eV}$
• 第一激發態 ($n = 2$) 能量：
  $E_2 = -\frac{13.6 \text{ eV}}{2^2} = -3.4 \text{ eV}$
• 兩能階間的能量差：
  $\Delta E = E_2 - E_1 = -3.4 \text{ eV} - (-13.6 \text{ eV}) = 10.2 \text{ eV}$

Step 3：計算指數項之次方數

將能量差與熱能代入比值指數：
$\frac{\Delta E}{kT} = \frac{10.2 \text{ eV}}{0.025851 \text{ eV}} \approx 394.57$

Step 4：代入玻爾茲曼分布計算機率比值

• 情況 A：若計算「能階 $n=2$ 與能階 $n=1$ 的總佔有機率比值（考慮簡併度）」
  氫原子第 $n$ 能階的簡併度 $g_n = 2n^2$：
  $g_1 = 2(1)^2 = 2$
  $g_2 = 2(2)^2 = 8$

核心觀念

1. 普朗克黑體輻射定律（Planck's Radiation Law）：黑體腔體內在絕對溫度 $T$ 下，單位體積內波長介於 $\lambda$ 與 $\lambda + d\lambda$ 之間的微觀光譜能量密度（Spectral Energy Density）表示為：
   $u(\lambda) = \frac{8\pi hc}{\lambda^5} \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}} - 1}$
2. 總能量密度（Total Energy Density）：腔體內的總能量密度 $u_{\text{total}}$ 為光譜能量密度對全波長範圍（$\lambda \in [0, \infty)$）的定積分：
   $u_{\text{total}} = \int_0^\infty u(\lambda) d\lambda$
3. 無因次變數變換與玻色積分（Bose Integral）：透過無因次變數 $x = \frac{hc}{\lambda kT}$ 進行變數替換，並運用標準伽瑪與黎曼 Zeta 函數相關的定積分公式：
   $\int_0^\infty \frac{x^3}{e^x - 1} dx = \frac{\pi^4}{15}$

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解題方法

步驟一：建立總能量密度的積分表示式

將普朗克公式帶入總能量密度的定義中：
$u_{\text{total}} = \int_0^\infty u(\lambda) d\lambda = \int_0^\infty \frac{8\pi hc}{\lambda^5} \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}} - 1} d\lambda$

步驟二：進行無因次變數替換（Substitution of Variables）

令無因次參數 $x = \frac{hc}{\lambda kT}$，則波長 $\lambda$ 可表示為：
$\lambda = \frac{hc}{xkT}$

對 $\lambda$ 微分求出 $d\lambda$：
$d\lambda = -\frac{hc}{kT x^2} dx$

同時轉換積分上下限：

• 當 $\lambda \to 0$ 時，$x \to \infty$
• 當 $\lambda \to \infty$ 時，$x \to 0$

步驟三：代入變數並簡化積分式

將 $\lambda$ 與 $d\lambda$ 的表達式代回總能量密度積分中：
$u_{\text{total}} = \int_\infty^0 \frac{8\pi hc}{\left(\frac{hc}{xkT}\right)^5} \frac{1}{e^x - 1} \left( -\frac{hc}{kT x^2} dx \right)$

利用積分上下限對調以消除微分的負號（$\int_\infty^0 -dx = \int_0^\infty dx$）：
$u_{\text{total}} = \int_0^\infty 8\pi hc \cdot \left(\frac{xkT}{hc}\right)^5 \cdot \frac{hc}{kT x^2} \cdot \frac{1}{e^x - 1} dx$

整理被積函數中的常數與變數：
$u_{\text{total}} = 8\pi hc \cdot \frac{(kT)^5}{(hc)^5} \cdot \frac{hc}{kT} \int_0^\infty \frac{x^5}{x^2(e^x - 1)} dx$
$u_{\text{total}} = \frac{8\pi k^4 T^4}{h^3 c^3} \int_0^\infty \frac{x^3}{e^x - 1} dx$

步驟四：代入標準定積分數值

已知標準玻色積分值為：
$\int_0^\infty \frac{x^3}{e^x - 1} dx = \frac{\pi^4}{15}$

核心觀念

本題考查量子力學中的海森堡能量-時間不確定原理（Energy-Time Uncertainty Principle）以及光子能量與頻率的關係。

1. 能量-時間不確定原理：
   依據量子力學，系統處於某一能量狀態的持續時間（壽命 $\Delta t$）與該狀態能量的不確定度（$\Delta E$）滿足以下關係：
   $\Delta E \Delta t \ge \frac{\hbar}{2} = \frac{h}{4\pi}$
   其中 $\hbar = \frac{h}{2\pi}$ 為約化普朗克常數（Reduced Planck Constant）。

2. 光子能量與頻率關係：
   光子能量 $E$ 與其頻率 $\nu$ 的關係為 $E = h\nu$，因此能量不確定度與頻率不確定度的轉換關係為：
   $\Delta E = h \Delta \nu$

3. 物理意義（自然線寬）：
   原子處於受激態（Excited state）的平均壽命 $\Delta t \sim 10^{-8} \text{ s}$ 為有限值，這導致發射出的光子能量無法精確為單一數值，呈現出一定的能量寬度（自然線寬 Natural Linewidth），相應地產生頻率的不確定度 $\Delta \nu$。

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解題方法

步驟一：建立頻率不確定度公式

將光子能量與頻率的關係 $\Delta E = h \Delta \nu$ 代入能量-時間不確定原理公式中：
$(h \Delta \nu) \Delta t \ge \frac{h}{4\pi}$

等號兩邊同除以普朗克常數 $h$，可得發射光子頻率不確定度 $\Delta \nu$ 的滿足條件：
$\Delta \nu \Delta t \ge \frac{1}{4\pi}$

由此可知，頻率的最小不確定度（Minimum uncertainty in frequency） $\Delta \nu_{\min}$ 為：
$\Delta \nu_{\min} = \frac{1}{4\pi \Delta t}$

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步驟二：計算能量與頻率的不確定度

1. 計算發射光子的最小能量不確定度 $\Delta E_{\min}$：
   已知受激態壽命 $\Delta t = 10^{-8} \text{ s}$，題目給定普朗克常數 $h = 4.136 \times 10^{-15} \text{ eV} \cdot \text{s}$：
   $\Delta E_{\min} = \frac{h}{4\pi \Delta t} = \frac{4.136 \times 10^{-15} \text{ eV} \cdot \text{s}}{4\pi \times 10^{-8} \text{ s}} \approx 3.29 \times 10^{-8} \text{ eV}$

2. 計算最小頻率不確定度 $\Delta \nu_{\min}$：

核心觀念

本題考查**布拉格繞射定律（Bragg's Law）**與晶體結構中 X 光繞射的幾何干涉條件。

當單色 X 光入射至晶體時，相鄰兩平行晶面間距為 $d$，入射光與晶面夾角為 $\theta$。由相鄰晶面散射出的 X 光產生建設性干涉（Constructive Interference）的條件為：光程差（Optical Path Difference）必須等於 X 光波長 $\lambda$ 的整數倍。

布拉格繞射公式為：
$2d \sin\theta = n\lambda$

公式中變數定義：

• $d$：晶面間距（Interplanar spacing），本題 $d = 0.252\text{ nm}$。
• $\theta$：掠射角（Glancing angle）／入射角（光線與晶面之夾角），本題 $\theta = 18.1^\circ$。
• $n$：繞射階數（Order of diffraction），本題「第一階極大值（first-order maximum）」對應 $n = 1$。
• $\lambda$：X 光波長（Wavelength）。

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解題方法

本題求解目標為 X 光波長 $\lambda$（單位：$\text{nm}$）。

將布拉格繞射公式移項整理，可得波長計算式：
$\lambda = \frac{2d \sin\theta}{n}$

關鍵步驟與代入推導：

1. 確定已知物理量：

   • $d = 0.252\text{ nm}$
   • $\theta = 18.1^\circ$
   • $n = 1$

2. 計算三角函數值：
   $\sin(18.1^\circ) \approx 0.31068$

核心觀念

本題考查一維無限深位能井（Infinite Potential Well）的基本量子力學特性、波函數的邊界條件，以及波函數的哥本哈根統計詮釋（Statistical Interpretation）。

1. 定態薛丁格方程式（Time-Independent Schrödinger Equation）：
   $-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\Psi(x)}{dx^2} + V(x)\Psi(x) = E_n\Psi(x)$
2. 機率分佈函數（Probability Distribution Function / Density）：
   對於時空波函數 $\psi(x, t) = \Psi(x)e^{-iE_nt/\hbar}$，在位置 $x$ 找到粒子的機率密度（機率分佈函數）定義為波函數的模平方：
   $P(x, t) = |\psi(x, t)|^2 = \psi^*(x, t)\psi(x, t)$

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解題方法

1. 考慮時空波函數的機率密度表示式：
   題目給定平穩態（Stationary State）波函數形式為 $\psi(x, t) = \Psi(x)e^{-iE_nt/\hbar}$。
   其機率分佈函數為：
   $P(x, t) = |\psi(x, t)|^2 = \left| \Psi(x)e^{-iE_nt/\hbar} \right|^2 = |\Psi(x)|^2 \cdot \left| e^{-iE_nt/\hbar} \right|^2$
   由於相位因子的模長 $\left| e^{-iE_nt/\hbar} \right| = 1$，故機率分佈函數與時間無關：
   $P(x) = |\Psi(x)|^2$

2. 分析井外區域（$x < 0$ 與 $x > L$）的波函數 $\Psi(x)$：
   將定態薛丁格方程式改寫為：
   $\frac{d^2\Psi(x)}{dx^2} = \frac{2m}{\hbar^2} \left[ V(x) - E_n \right] \Psi(x)$
   在井外區域 $x < 0$ 以及 $x > L$，位能極限為 $V(x) = \infty$。
   若要在能量 $E_n$ 有限的情況下，使方程式左側的二階微分項 $\frac{d^2\Psi(x)}{dx^2}$ 保持為有限實數（滿足物理上波函數需連續且可二次微分的條件），唯一合法的數學與物理解必須為：
   $\Psi(x) = 0 \quad (\text{對所有 } x < 0 \text{ 及 } x > L)$

核心觀念

本題考查狹義相對論（Special Relativity）中的原時（Proper Time）與時間膨脹（Time Dilation）：

1. 原時與時間膨脹：在相對同一事件地點靜止的參考系中所測得的時間間隔稱為原時 $\Delta \tau$。雙胞胎中搭乘太空船的旅行者，自身經歷的時間為原時（由 10 歲至 20 歲，$\Delta \tau = 10\text{ 年}$）。而在地球慣性系觀察者測得的時間間隔為 $\Delta t = \gamma \Delta \tau$，其中勞侖茲因子（Lorentz factor）$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$。
2. 運動學與光速單位轉換：地球參考系中，地球至最近恆星（比鄰星 Proxima Centauri）的距離為 $d \approx 4.3\text{ 光年}$（$\text{ly}$）。太空船往返總路程為 $2d$，在地球系測得的時間間隔為 $\Delta t = \frac{2d}{v}$。

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解題方法

(a) 求太空船的速率 $v$

本題未於內文中直接給定最近恆星的距離 $d$；依據近代物理標準常數，地球至最近恆星（比鄰星 Proxima Centauri）之距離取 $d = 4.3\text{ 光年}$。

1. 設定時間與距離變數：

   • 太空船旅行者自身經歷的時間間隔（原時）：
     $\Delta \tau = 20 - 10 = 10\text{ 年}$
   • 地球參考系中測得太空船來回總時間間隔：
     $\Delta t = \frac{2d}{v}$

2. 建立相對論時間膨脹方程：
   將 $\Delta t = \gamma \Delta \tau$ 代入上式：
   $\frac{2d}{v} = \frac{\Delta \tau}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

3. 推導速率 $v$ 的一般符號解：
   將等式兩邊平方並交叉相乘：
   $\frac{4d^2}{v^2} = \frac{(\Delta \tau)^2}{1 - \frac{v^2}{c^2}}$
   $4d^2 \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right) = v^2 (\Delta \tau)^2$
   $4d^2 = v^2 \left[ (\Delta \tau)^2 + \frac{4d^2}{c^2} \right]$
   $v^2 = \frac{4d^2 c^2}{(c \Delta \tau)^2 + 4d^2}$
   開根號後得到太空船速率的一般式：
   $v = \frac{2d}{\sqrt{4d^2 + (c \Delta \tau)^2}} c$

4. 代入數值計算：
   令光速 $c = 1\text{ ly/yr}$，則 $c\Delta \tau = 10\text{ ly}$，$2d = 2 \times 4.3 = 8.6\text{ ly}$：
   $v = \frac{8.6}{\sqrt{(8.6)^2 + 10^2}} c = \frac{8.6}{\sqrt{73.96 + 100}} c = \frac{8.6}{\sqrt{173.96}} c \approx 0.652 c$

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(b) 求太空船返回時地球上雙胞胎的年齡

核心觀念

1. 單一光子能量：波長為 $\lambda$ 之光子能量為 $E = \frac{hc}{\lambda}$。
2. 每秒入射總能量（光功率）：強度為 $I$ 之光垂直通過直徑 $d$ 之瞳孔截面積 $A = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2$，總功率為 $P = I \cdot A$。
3. 每秒入射光子數 $N$：
   $N = \frac{P}{E} = \frac{I \cdot \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2}{\frac{hc}{\lambda}} = \frac{I \cdot \pi d^2 \lambda}{4hc}$

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詳細計算

已知數據：

• 光強 $I = 4.0 \times 10^{-11} \text{ W/m}^2$
• 波長 $\lambda = 600 \text{ nm} = 6.0 \times 10^{-7} \text{ m}$
• 瞳孔直徑 $d = 9 \text{ mm} = 9.0 \times 10^{-3} \text{ m}$（半徑 $r = 4.5 \times 10^{-3} \text{ m}$）

核心觀念

1. 一維無限深位能井（1D Infinite Square Well）能階量子化：
   長度為 $L$ 的一維無限深位能井中，質量為 $m$ 的粒子受到剛性邊界限制，其能量本徵值為不連續的量子化能階：
   $E_n = \frac{n^2 h^2}{8 m L^2} = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2 m L^2}, \quad n = 1, 2, 3, \dots$
   粒子的最低可能能量即為 $n=1$ 的基態能量（Ground State Energy）$E_1$（又稱零點能量 Zero-point Energy）。

2. 古典氣體熱動能與量子能階對應（能量均分定理 Equipartition Theorem）：
   在絕對溫度 $T$ 下，根據古典能量均分定理，粒子在單一維度平移自由度上的平均熱動能為：
   $\langle K_{\text{1D}} \rangle = \frac{1}{2} k_B T$
   （若題目意指一般三維氣體分子的平均平移動能，則為 $\langle K_{\text{3D}} \rangle = \frac{3}{2} k_B T$）。令該平均熱動能等於電子的量子能階 $E_n$，即可求得對應的量子數 $n$。

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解題方法與推導

(a) 求電子的最低可能能量（Lowest Possible Energy）

最低可能能量對應基態量子數 $n=1$：
$E_1 = \frac{h^2}{8 m_e L^2}$

代入基本物理常數與題給條件（採用 SI 國際標準制）：

• 普朗克常數：$h \approx 6.626 \times 10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$
• 電子質量：$m_e \approx 9.109 \times 10^{-31}\ \text{kg}$
• 奈米線長度：$L = 1\ \mu\text{m} = 1.0 \times 10^{-6}\ \text{m}$
• 電子伏特換算：$1\ \text{eV} \approx 1.602 \times 10^{-19}\ \text{J}$

計算基態能量：
$E_1 = \frac{(6.626 \times 10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s})^2}{8 \times (9.109 \times 10^{-31}\ \text{kg}) \times (1.0 \times 10^{-6}\ \text{m})^2}$

$E_1 = \frac{4.3904 \times 10^{-67}}{7.2872 \times 10^{-42}} \approx 6.025 \times 10^{-26}\ \text{J}$

換算為電子伏特（$\text{eV}$）：
$E_1 = \frac{6.025 \times 10^{-26}\ \text{J}}{1.602 \times 10^{-19}\ \text{J/eV}} \approx 3.76 \times 10^{-7}\ \text{eV} = 0.376\ \mu\text{eV}$

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核心觀念

本題考查金屬中自由電子氣模型（Free Electron Gas Model）在絕對零度（$T=0\text{ K}$）時的費米-狄拉克統計（Fermi-Dirac Statistics）與態密度（Density of States, DOS）。

1. $T=0\text{ K}$ 時的佔據概率：費米-狄拉克分佈函數為階梯函數：
   $f(E) = \begin{cases} 1, & E \le E_F \\ 0, & E > E_F \end{cases}$
   其中 $E_F$ 為費米能階（Fermi Energy）。
2. 三維自由電子的態密度 $g(E)$：在三維空間中，電子的態密度與能量的平方根成正比，即 $g(E) = C E^{1/2}$（$C$ 為常數）。
3. 電子總數與平均能量：透過對態密度進行積分，可求得能量低於 $E$ 的電子個數分佈，進而算出單一電子的平均能量 $\bar{E}$。

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解題方法

步驟一：計算 $T=0\text{ K}$ 下的電子總數 $N$

在三維自由電子模型中，能量介於 $E$ 至 $E+dE$ 之間的電子態密度為 $g(E) = C E^{1/2}$。在 $T=0\text{ K}$ 時，能量小於等於 $E_F$ 的量子態全被填滿，高於 $E_F$ 者皆為空態。
電子總數 $N$ 為：
$N = \int_{0}^{E_F} g(E) dE = \int_{0}^{E_F} C E^{1/2} dE = \left[ \frac{2}{3} C E^{3/2} \right]_{0}^{E_F} = \frac{2}{3} C E_F^{3/2}$

步驟二：計算電子總內能 $U$ 與平均能量 $\bar{E}$

電子的總內能 $U$ 為所有電子能量的總和：
$U = \int_{0}^{E_F} E \cdot g(E) dE = \int_{0}^{E_F} C E^{3/2} dE = \left[ \frac{2}{5} C E^{5/2} \right]_{0}^{E_F} = \frac{2}{5} C E_F^{5/2}$

因此，每個電子的平均能量 $\bar{E}$ 為：
$\bar{E} = \frac{U}{N} = \frac{\frac{2}{5} C E_F^{5/2}}{\frac{2}{3} C E_F^{3/2}} = \frac{3}{5} E_F = 0.6 E_F$

步驟三：計算能量低於平均能量 $\bar{E}$ 的電子比例

能量低於平均能量 $\bar{E} = \frac{3}{5} E_F$ 的電子總數 $N(E < \bar{E})$ 為：

核心觀念

1. 氫原子之量子數與簡併度（Degeneracy）
   在不考慮精細結構（如自旋-軌域耦合）的情形下，氫原子的束縛態能量僅由主量子數 $n$ 決定。

   • 軌域角動量量子數 $l$ 的允許值為：$l = 0, 1, 2, \dots, n-1$。
   • 磁量子數 $m_l$ 的允許值為：$m_l = -l, -l+1, \dots, +l$，對應 $(2l+1)$ 個不同的空間簡併態。
   • 自旋磁量子數 $m_s$：若考慮電子自旋 $s = 1/2$，每個空間狀態包含 $m_s = \pm 1/2$ 共 2 種自旋取向。

2. 軌域角動量與磁矩的關係
   電荷為 $-e$、質量為 $m_e$ 的電子繞核旋轉時，其軌域磁偶極矩 $\vec{\mu}$ 與軌域角動量 $\vec{L}$ 的物理關係為：
   $\vec{\mu} = -\frac{e}{2m_e} \vec{L}$
   磁矩大小為 $\mu = \frac{e}{2m_e} L$。引入波耳磁子（Bohr magneton）定義 $\mu_B \equiv \frac{e\hbar}{2m_e}$，則可表示為 $\mu = \frac{\mu_B}{\hbar} L$。

3. 波耳模型（Bohr's Model）與薛丁格方程式（Schrödinger Equation）之角動量比較

   • 波耳模型：假設軌域角動量量值完全由主量子數量子化，即 $L = n\hbar$（其中 $n = 1, 2, 3, \dots$）。
   • 薛丁格方程式：經由空間波函數之球面調和函數推導，軌域角動量量值由量子數 $l$ 決定，即 $L = \sqrt{l(l+1)}\hbar$。對應給定 $n$ 下的最大軌域角動量量子數為 $l_{\max} = n - 1$。

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解題方法

(a) 求總簡併度（Total Degeneracy）

1. 不考慮電子自旋（空間態簡併度）：
   給定主量子數 $n$，將所有允許的 $l$ 態所對應的 $m_l$ 狀態數進行求和：
   $g_{\text{spatial}} = \sum_{l=0}^{n-1} (2l+1) = 1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1)$
   此為首項為 $1$、末項為 $2n-1$、項數為 $n$ 的等差級數：
   $g_{\text{spatial}} = \frac{[1 + (2n-1)] \times n}{2} = n^2$

2. 考慮電子自旋（完整量子態簡併度）：
   由於電子自旋自旋態共有 $2s+1 = 2$ 種（$m_s = \pm 1/2$），總簡併度為空間簡併度的 2 倍：
   $g_{\text{total}} = 2 \times g_{\text{spatial}} = 2n^2$

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(b) 求最大可能軌域角動量下之磁矩（Magnetic Moment）

1. 基於波耳模型（Bohr's Model）：
   在波耳模型中，第 $n$ 個軌域的最大（也是唯一的）軌域角動量大小為：
   $L_{\text{Bohr}} = n\hbar$
   將其代入磁矩與角動量之關係式：
   $\mu_{\text{Bohr}} = \frac{e}{2m_e} L_{\text{Bohr}} = \frac{e}{2m_e} (n\hbar) = n \left(\frac{e\hbar}{2m_e}\right) = n\mu_B$