113 年 國立中央大學光電科學與工程學系半導體光電科技碩士班《光學》

此題考查薄透鏡成像公式的適用條件。

核心觀念：薄透鏡成像公式 $\frac{1}{P}+\frac{1}{q}=\frac{1}{f}$ 是基於一系列簡化假設推導而來的。

解題過程：
薄透鏡成像公式 $\frac{1}{P}+\frac{1}{q}=\frac{1}{f}$ (或稱高斯成像公式) 是在以下幾種主要假設下成立的：

1. 薄透鏡假設 (Thin Lens Approximation): 透鏡的厚度遠小於其曲率半徑，且遠小於物距和像距。這使得我們可以將透鏡的折射效應集中在一個假想的「透鏡主平面」上，忽略光線在透鏡厚度中的傳播和折射。
2. 近軸近似 (Paraxial Approximation):
   • 小角度近似: 光線與光軸的夾角非常小，因此 $\sin\theta \approx \theta$ 且 $\tan\theta \approx \theta$。這使得我們可以用簡單的幾何關係推導出公式，而無需考慮複雜的三角函數。
   • 光線靠近光軸: 光線只在靠近光軸的區域傳播。這保證了角度足夠小，並且光線不會發生全反射（如果光線離開光軸太遠，可能會發生）。
3. 單一介質與折射率: 假設透鏡與周圍介質（通常是空氣）的折射率是均勻且恆定的。公式中的 $f$ 通常是指透鏡在空氣中的焦距，其計算與透鏡材料的折射率 ($n_{lens}$) 和周圍介質的折射率 ($n_{medium}$) 有關（例如，透鏡製造者公式 $\frac{1}{f} = (n_{lens}-n_{medium}) (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$）。
4. 單一介質成像: 假設物體和像都位於透鏡的同一側的介質中（通常是空氣）。
5. 球面透鏡 (Spherical Lenses): 雖然公式本身不直接假設球面，但在推導過程中，通常假設透鏡的表面是球面或近似球面，以便計算曲率半徑。

何種情形下此計算結果不正確？

當上述任何一項假設不成立時，此公式的計算結果可能不準確或完全不適用：

此題主要在探討光波的偏振現象及其與光波傳播方向、波前的關係。

核心觀念：光的偏振是描述電場向量振動方向的性質，與光波的傳播方向和波前是獨立但相關的概念。

解題過程：
1. 何謂光波的偏振 (Polarization)?

光是一種電磁波，其振動包含電場向量($\vec{E}$)和磁場向量($\vec{B}$)，兩者相互垂直，且同時垂直於光的傳播方向。偏振（Polarization）是描述光波的電場向量在垂直於傳播方向的平面內振動方向的性質。

• 自然光 (Unpolarized Light): 大多數光源（如太陽、白熾燈）發出的光是自然光，其電場向量在垂直於傳播方向的平面內朝向所有可能的方向隨機振動。
• 線偏振光 (Linearly Polarized Light): 如果電場向量只在一個固定的方向上振動，則稱為線偏振光。
• 圓偏振光 (Circularly Polarized Light): 如果電場向量的端點繞傳播方向畫出一個圓，則稱為圓偏振光。
• 橢圓偏振光 (Elliptically Polarized Light): 如果電場向量的端點繞傳播方向畫出一個橢圓，則稱為橢圓偏振光。

偏振的產生通常涉及光與物質的相互作用，例如通過偏振片、反射、散射等。

2. 光波傳輸的方向由偏振控制？

否，光波傳輸的方向不由偏振控制。 光波的傳輸方向是由其傳播介質的性質（如折射率）、光源的方向以及是否受到反射或折射等物理過程決定的。偏振描述的是在給定傳播方向上，電場向量的振動特性，而不是決定這個傳播方向本身。

此題考查光的折射定律，特別是關於無偏折、全反射和全折射的條件。

核心觀念：斯涅爾定律（Snell's Law）描述了光從一種介質進入另一種介質時的折射行為。

解題過程：
設光從介質 A（折射率 $n_A$）入射到介質 B（折射率 $n_B$）。令入射角為 $\theta_A$，折射角為 $\theta_B$。斯涅爾定律的數學表達式為：
$n_A \sin \theta_A = n_B \sin \theta_B$

1. 何種情況下，該入射光不會偏折 (該入射光非正向入射)?

光線不會偏折，意味著入射角等於折射角，即 $\theta_A = \theta_B$。
根據斯涅爾定律 $n_A \sin \theta_A = n_B \sin \theta_B$，若 $\theta_A = \theta_B$，則必須滿足：
$n_A \sin \theta_A = n_B \sin \theta_A$
由於題目假設「非正向入射」，即 $\theta_A \neq 0$。當 $\theta_A \neq 0$ 時，$\sin \theta_A \neq 0$。因此，上式成立的唯一條件是：
$n_A = n_B$
所以，當兩介質的折射率相等時，無論入射角為何（只要非正向入射），光線都不會偏折，直線前進。

2. 何種情況會產生全反射 (Total Internal Reflection, TIR)?

全反射發生在光從光密介質（折射率較高）射向光疏介質（折射率較低）時，且入射角大於或等於臨界角（critical angle）。
條件：

• 光從光密介質射向光疏介質: $n_A > n_B$。
• 入射角大於或等於臨界角: $\theta_A \ge \theta_c$。

臨界角 $\theta_c$ 是指當折射角 $\theta_B = 90^\circ$ 時的入射角。此時，斯涅爾定律變為：
$n_A \sin \theta_c = n_B \sin 90^\circ$
$n_A \sin \theta_c = n_B$
$\sin \theta_c = \frac{n_B}{n_A}$
因此，全反射發生的條件是：
$n_A > n_B \quad \text{且} \quad \theta_A \ge \arcsin\left(\frac{n_B}{n_A}\right)$

3. 何種情況會產生全折射 (Total Refraction)?

「全折射」這個術語在光學中並不常用，通常我們討論的是「部分折射」和「全反射」。這裡的「全折射」可能意指：

此題考查LED與雷射的光譜特性及其產生機制。

核心觀念：LED 產生的是寬譜的自發輻射，而雷射產生的是高度單色、相干的光。

解題過程：
1. 一種單色的 LED，其光譜與同色的雷射有何差異？

即使是標榜為「單色」的 LED，其光譜與同色的雷射相比，存在顯著差異：

• 光譜寬度 (Spectral Width):

  • LED: 即使是單色 LED，其發出的光也不是絕對單色的，而是具有一定的光譜寬度。這是因為 LED 的發光機制是半導體內的電子-電洞複合，這個過程涉及多個能量狀態的躍遷，導致發射的光子能量（對應波長）有一個分布範圍。LED 的光譜通常呈現一個較寬的峰值，半高全寬（Full Width at Half Maximum, FWHM）可能在數十奈米（nm）的量級。
  • 雷射 (Laser): 雷射光是高度單色的。其光譜寬度非常窄，通常在幾奈米或更小的量級。這是因為雷射的產生是通過受激輻射，並且光腔（optical cavity）會選擇性地放大特定頻率的光。

• 光譜形狀 (Spectral Shape):

  • LED: 光譜通常呈現近似高斯（Gaussian）或洛倫茲（Lorentzian）的單峰分佈。
  • 雷射: ideal case 下是單一頻率，但實際雷射可能有多個縱模（longitudinal modes）疊加，呈現出更複雜的、但仍然非常窄的光譜結構。

• 相干性 (Coherence):

  • LED: 發射的光是大部分非相干的（incoherent），不同光子的相位關係是隨機的。
  • 雷射: 發射的光是高度相干的（coherent），包括空間相干性和時間相干性。這是雷射區別於其他光源的最重要特性之一。

• 方向性 (Directionality):

  • LED: 光線向四面八方輻射，方向性較差。
  • 雷射: 光束高度準直，方向性極佳，可以傳播很遠而擴散很小。

2. 又雷射之光譜是如何產生？

此題考查半導體曝光機（Lithography Stepper/Scanner）中，所能製作的最小線寬（Feature Size）與曝光機關鍵參數之間的關係。

核心觀念：最小線寬的解析度極限受到繞射極限和曝光機的關鍵參數（如波長、數值孔徑、聚焦精度）的影響。

解題過程：
半導體曝光機的解析度（Resolution），即能製作的最小線寬，主要由以下幾個關鍵參數決定，並遵循特定的解析度公式。最常用的解析度公式是基於繞射極限（Diffraction Limit）的：

最小線寬 (Minimum Feature Size) $\propto \frac{k_1 \lambda}{NA}$

其中：

• $\lambda$ (Wavelength): 光源的波長。這是曝光機最核心的參數之一。波長越短，解析度越好，即能製作的線寬越小。

  • 關聯性: 線寬與波長成正比。若波長減半，理論上最小線寬也能減半。
  • 例子: 早期使用 g-line (436 nm) 或 i-line (365 nm) 的曝光機，現在主流使用 KrF (248 nm) 或 ArF (193 nm) 深紫外線（DUV）曝光機。未來的極紫外光（EUV）曝光機使用 13.5 nm 的波長，解析度大幅提升。

• $NA$ (Numerical Aperture): 物鏡的數值孔徑。它描述了物鏡收集光線的能力，也與解析度直接相關。

  • 關聯性: 線寬與數值孔徑成反比。$NA$ 越大，解析度越好，線寬越小。
  • 數值孔徑定義: $NA = n \sin \theta_{max}$，其中 $n$ 是透鏡與被成像物體之間介質的折射率（通常是空氣，$n=1$），$\theta_{max}$ 是物鏡能接收到的最大半視角。
  • 提高 NA 的方法:
    • 增大視角 $\theta_{max}$: 這會導致透鏡設計複雜、像差控制困難，且景深（Depth of Focus, DOF）會變淺。
    • 使用浸潤式微影 (Immersion Lithography): 在曝光機的鏡頭和晶圓之間填充高折射率的液體（如純水，$n \approx 1.44$；或更高折射率的液體）。例如，使用 ArF 浸潤式曝光機 (ArFi, 193 nm)，其 $NA$ 可以達到 1.35 甚至更高，相比於乾式曝光機 (NA $\approx$ 0.7-0.9) 解析度得到顯著提升。

• $k_1$ (Process Factor): 一個與製程相關的參數，代表了製程的成熟度和各種解析度增強技術（Resolution Enhancement Techniques, RETs）的使用。

  • 關聯性: 線寬與 $k_1$ 成正比。$k_1$ 值越小，解析度越好，線寬越小。