114 年 國立中央大學光電科學與工程學系半導體光電科技碩士班《光學》

本題主要測試學生對光波基本性質的理解，包含頻率、顏色、同調長度以及光在不同介質中傳播時波長與頻率的變化。

(a) 光波的頻率 $f$ 與波長 $\lambda$ 及光速 $c$ 的關係為 $c = f \lambda$。在真空中，光速約為 $c = 3 \times 10^8 m/s$。
因此，頻率 $f = \frac{c}{\lambda}$。
給定波長 $\lambda = 0.55 \mu m = 0.55 \times 10^{-6} m$。
$f = \frac{3 \times 10^8 m/s}{0.55 \times 10^{-6} m} \approx 5.45 \times 10^{14} Hz$。

(b) 波長 $0.55 \mu m$ 屬於可見光譜中的綠光範圍。可見光譜的波長範圍大約在 400 nm (紫光) 到 700 nm (紅光) 之間。
400 nm (4000 Å) = 0.4 µm
500 nm (5000 Å) = 0.5 µm
550 nm (5500 Å) = 0.55 µm
600 nm (6000 Å) = 0.6 µm
700 nm (7000 Å) = 0.7 µm
$0.55 \mu m$ 接近 550 nm，這個波長範圍的光屬於綠光。

(c) 同調長度（coherent length）$L_c$ 與頻寬 $\Delta \lambda$ 的關係為 $L_c \approx \frac{\lambda^2}{\Delta \lambda}$。

本題在於釐清單色平面波（monochromatic plane wave）在時間同調（temporal coherence）與空間同調（spatial coherence）上的特性。

時間同調 (Temporal Coherence)
時間同調是指單色光波在時間上保持相干的能力。一個理想的單色平面波，其頻率是完全確定的（無限窄的頻寬）。

• 結論： 一個理想的單色平面波具有無限的時間同調。
• 原因： 由於其頻率是單一的、確定的，它的相位隨時間的變化是完全可預測的，且在任何時間點都保持固定的相位關係。在數學上，其波函數可以表示為 $E(t) = E_0 \cos(\omega t + \phi)$，其中 $\omega$ 是單一的角頻率，$\phi$ 是固定的相位。這意味著在任何時間 $t_1$ 和 $t_2$ 之間，其相位差 $\Delta \phi = \omega (t_2 - t_1)$ 是確定的，故具有時間上的相干性。

空間同調 (Spatial Coherence)
空間同調是指單色光波在空間上保持相干的能力。一個理想的平面波，其波前是無限大的平面，且在整個波前上相位是均勻的。

• 結論： 一個理想的單色平面波具有無限的空間同調。

核心觀念

兩束相干平面波在介質中的干涉條紋間隔為

$$\Delta x=\frac{\lambda'}{2\sin(\theta/2)}$$

其中：

• $\lambda'$：光在介質中的波長；
• $\theta$：兩束光在介質內傳播方向的夾角。

光進入折射率為 $n$ 的平板後，波長變為

$$\lambda'=\frac{\lambda_0}{n}$$

本題中 $\lambda_0=0.5\,\mu\text{m}$、$n=2$，因此

$$\lambda'=\frac{0.5}{2}=0.25\,\mu\text{m}$$

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解題方法

(a) 圖一：兩束光由同一平面入射

兩束光在介質外的夾角為 $60^\circ$，且對稱入射，因此每束光與平板法線的夾角為

$$i=\frac{60^\circ}{2}=30^\circ$$

由 Snell 定律：

$$n_1\sin i=n_2\sin r$$

假設外界為空氣，$n_1=1$，平板折射率 $n_2=2$，所以

$$\sin r=\frac{\sin30^\circ}{2} =\frac{1/2}{2} =\frac14$$

兩束光在平板內的夾角為 $2r$，故

$$\Delta x =\frac{\lambda'}{2\sin r}$$

本題主要測試學生對點光源的定義、其輻射波前的特性，以及如何利用光學元件產生平行光。

(a) 點光源的定義與波前特徵

• 點光源 (Point Source)：
  點光源是指一個理想化的光源，其尺寸遠小於觀察距離或光學系統的尺度。在實際應用中，任何尺寸極小的光源，或者距離觀察點足夠遠的光源（例如遙遠的恆星），都可以近似視為點光源。

• 輻射的波前特徵 (Wavefront Characteristics)：
  一個點光源向四周輻射光線。由於光源的對稱性，其輻射的波前是球面波 (Spherical Wavefront)。
  換句話說，在光源發出的光波的任何時刻，所有振動相位相同的點構成一個球面，這個球面稱為波前。隨著光波向外傳播，這個球面不斷擴大。在距離光源較遠的地方，這個球面的一部分可以近似看作平面。

(b) 產生平行光的方法

平行光是指光線傳播方向相互平行，即波前為平面波的光。產生平行光的方法通常是利用透鏡或反射鏡。

• 方法一：使用凸透鏡 (Convex Lens)
  • 原理： 當一個點光源（或一個與凸透鏡焦距相等的距離處的實際光源）放置在凸透鏡的焦點 (Focal Point) 上時，通過凸透鏡折射後，從透鏡出射的光線將變成平行光束。
  • 說明： 根據凸透鏡的光學原理，從焦點發出的光線，經過凸透鏡折射後，其出射光線的方向將與主光軸平行。這是因為從焦點發出的光線，其波前是球面波，當它到達凸透鏡時，透鏡的折射作用使得球面波的曲率發生改變，最終變成平面波。

本題考驗學生對薄透鏡成像公式的應用，以及判斷成像性質（實虛、正倒）的能力。

核心觀念： 薄透鏡成像公式、放大率公式。

已知條件：

• 物距 $u = 10 cm$ (物體通常置於透鏡左側，故 $u$ 取正值)
• 像距 $v = 10 cm$ (像在透鏡右側，故 $v$ 取正值)

薄透鏡成像公式：
$\frac{1}{f} = \frac{1}{u} + \frac{1}{v}$
其中 $f$ 為透鏡焦距， $u$ 為物距， $v$ 為像距。

放大率公式：
$M = \frac{h_i}{h_o} = -\frac{v}{u}$
其中 $M$ 為放大率，$h_i$ 為像高，$h_o$ 為物高。

(a) 該薄透鏡的焦距為何？

將已知條件代入薄透鏡成像公式：
$\frac{1}{f} = \frac{1}{10 cm} + \frac{1}{10 cm}$
$\frac{1}{f} = \frac{2}{10 cm} = \frac{1}{5 cm}$

核心觀念

本題考查厚透鏡的「主平面」與「主點」概念。厚透鏡成像時，物距與像距必須分別由前主點 $H$、後主點 $H'$ 起算，不能直接以透鏡的前、後頂點計算。

已知：

• 物體距前頂點 $10\ \text{cm}$
• 前頂點至前主點：$2\ \text{cm}$
• 後主點至後頂點：$2\ \text{cm}$
• 後頂點至後焦點：$4\ \text{cm}$

薄透鏡成像公式為

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{u}+\frac{1}{v}$$

其中 $u$ 為物體至前主點的距離，$v$ 為像至後主點的距離。

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解題方法

1. 求物體至前主點的距離

物體位於前頂點左方 $10\ \text{cm}$，而前主點位於前頂點右方 $2\ \text{cm}$，因此物體至前主點的距離為

$$u=10+2=12\ \text{cm}$$

2. 求有效焦距

後頂點至後焦點的距離為 $4\ \text{cm}$，但後主點位於後頂點前方 $2\ \text{cm}$，所以後主點至後焦點的有效焦距為

$$f=4-2=2\ \text{cm}$$

雙凸透鏡為會聚透鏡，因此 $f>0$。

3. 利用透鏡公式求像距

代入

$$\frac{1}{2}=\frac{1}{12}+\frac{1}{v}$$

得到

$$\frac{1}{v} =\frac{1}{2}-\frac{1}{12} =\frac{6-1}{12} =\frac{5}{12}$$

因此

$$v=\frac{12}{5}=2.4\ \text{cm}$$

這表示像位於後主點右方 $2.4\ \text{cm}$。