114 年 國立中央大學光電科學與工程學系半導體光電科技碩士班《電磁學》

核心觀念

• 電容器的儲能來源於其電場能。
• 以電容 $C$（法拉）及兩端電壓 $V$（伏）為已知條件，儲能公式來源於 電容的定義 $Q = CV$（電荷 $Q$ 與電壓 $V$ 的線性關係）以及 能量的積分定義
  $W = \int_{0}^{Q} V\,\mathrm{d}Q'$
  其中 $V = Q'/C$。

解題方法

1. 代入 $V = Q'/C$ 於能量積分式：
   $W = \int_{0}^{Q} \frac{Q'}{C}\,\mathrm{d}Q' = \frac{1}{C}\int_{0}^{Q} Q'\,\mathrm{d}Q' = \frac{1}{C}\left[\frac{Q'^2}{2}\right]_{0}^{Q} = \frac{Q^{2}}{2C}.$
2. 以 $Q = CV$ 重新寫成 $W$ 的常見形式：
   $W = \frac{(CV)^{2}}{2C}= \frac{1}{2}CV^{2}.$
   因此，儲能等於 $\displaystyle \frac12 C V^{2}$。

選項分析

• (a) $\displaystyle \frac{1}{2}CV^{2}$：正確。以上推導直接得到此式。
• (b) $CV^{2}$：錯誤。

此題考查介質中的邊界條件，特別是極化強度 $\mathbf{P}$ 與表面束縛電荷密度 $\sigma_b$ 的關係。

核心觀念：
在介質中，總電荷密度 $\rho$ 可以分解為自由電荷密度 $\rho_f$ 和束縛電荷密度 $\rho_b$。同樣地，表面電荷密度也可以分解為自由表面電荷密度 $\sigma_f$ 和束縛表面電荷密度 $\sigma_b$。
束縛電荷密度與極化強度 $\mathbf{P}$ 的關係為：
體束縛電荷密度：$\rho_b = -\nabla \cdot \mathbf{P}$
表面束縛電荷密度：$\sigma_b = \mathbf{P} \cdot \hat{n}$ (其中 $\hat{n}$ 是指向介質外部的法向量)

解題步驟：

1. 識別題目要求的是表面束縛電荷密度 $\sigma_b$ 的表達式。
2. 回憶束縛電荷密度與極化強度 $\mathbf{P}$ 的關係。
3. 比較選項，找出正確的表達式。

選項分析：
(A) $\sigma_b = -\nabla \cdot \mathbf{P}$：這是體束縛電荷密度 $\rho_b$ 的公式，不是表面電荷密度。

核心觀念
電場在真空中的波動方程式

$\nabla^{2}\mathbf{E}-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}}=0$

是由 麥克斯威爾方程式 中的 法拉第電磁感應定律 以及 安培‑麥克斯威爾定律（帶位移電流項）組合而得。此兩式分別給予電場的旋度與磁場的旋度，兩者相互取旋度可消除磁場，留下只含 $\mathbf{E}$ 的二階偏微分方程，即為波動方程式。

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解題方法

1. 取法拉第定律（Faraday's law）

$$\nabla\times\mathbf{E}= -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} \tag{1}$$

2. 取安培‑麥克斯威爾定律（Ampère‑Maxwell law）

$$\nabla\times\mathbf{B}= \mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} \tag{2}$$

於真空中 $\mathbf{J}=0$，且 $\mu_{0}\varepsilon_{0}=1/c^{2}$。

3. 先對 (1) 作 curl，得

$$\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E}) = -\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\mathbf{B}) \tag{3}$$

4. 代入 (2) 於右側：

$$\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E}) = -\frac{\partial}{\partial t}\!\left(\mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\right) = -\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}} \tag{4}$$

5. 使用向量恆等式

$$\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E})=\nabla(\nabla\!\cdot\!\mathbf{E})-\nabla^{2}\mathbf{E} \tag{5}$$

6. 在自由空間，根據 高斯電通量定律（Gauss's law for electricity）

$$\nabla\!\cdot\!\mathbf{E}=0 \tag{6}$$

因而 (5) 簡化為 $-\nabla^{2}\mathbf{E}$。

7. 結合 (4) 與 (5) 得

此題考查電磁場在不同介質介面上的邊界條件，特別是電場的切線分量。

核心觀念：
在兩個不同介質的界面上，電磁場的邊界條件由馬克士威方程式推導而來。
對於電場 $\mathbf{E}$，其邊界條件為：

1. 垂直分量：$\hat{n} \cdot (\mathbf{D}_2 - \mathbf{D}_1) = \sigma_f$ （其中 $\sigma_f$ 是自由表面電荷密度）
2. 切線分量：$\hat{n} \times (\mathbf{E}_2 - \mathbf{E}_1) = 0$ 或 $\mathbf{E}_{t1} = \mathbf{E}_{t2}$ （其中 $\mathbf{E}_{t}$ 是切線分量）

這個切線分量的邊界條件可以從法拉第定律 $\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$ 導出。在穩恆情況下（$\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = 0$），則 $\nabla \times \mathbf{E} = 0$，進而推得 $\mathbf{E}$ 的切線分量連續。即使在非穩恆情況下，考慮一個非常薄的迴路沿著界面，其感應電動勢為零，也得到相同的邊界條件。

解題步驟：

1. 回憶電場 $\mathbf{E}$ 在介質界面上的邊界條件。
2. 識別題目要求的是切線分量的條件。
3. 比較選項，找出正確的表達式。

選項分析：
(a) $\mathbf{E}_1 = \mathbf{E}_2$：這表示整個電場向量都連續，這通常不成立，除非兩個介質的磁導率和介電常數相同，且無表面電荷。
(b) $(\mathbf{E}_1 - \mathbf{E}_2) \cdot \hat{n} = 0$：這表示 $\mathbf{E}_1$ 和 $\mathbf{E}_2$ 的垂直分量相等，即 $\mathbf{E}_{1\perp} = \mathbf{E}_{2\perp}$。這個條件通常不成立，除非介質是自由空間或兩種介質的介電常數相同且無自由表面電荷。

此題考查在自由空間傳播的電磁波中，電場 $\mathbf{E}$ 和磁場 $\mathbf{B}$ 之間的關係。

核心觀念：
在自由空間中傳播的平面電磁波，其電場 $\mathbf{E}$、磁場 $\mathbf{B}$ 和傳播方向 $\mathbf{k}$ 必須滿足以下條件：

1. $\mathbf{E}$、$\mathbf{B}$ 和 $\mathbf{k}$ 相互垂直。即 $\mathbf{E} \perp \mathbf{B}$，$\mathbf{E} \perp \mathbf{k}$，$\mathbf{B} \perp \mathbf{k}$。
2. $\mathbf{E}$ 和 $\mathbf{B}$ 的相位相同。
3. 兩者的大小之比為相速度 $v = 1/\sqrt{\mu\epsilon}$，在自由空間中為光速 $c = 1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0}$，即 $|\mathbf{E}| = c|\mathbf{B}|$。

此題考查坡印廷向量 (Poynting vector) $\mathbf{S}$ 的物理意義。

核心觀念：
坡印廷向量 $\mathbf{S}$ 定義為 $\mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0}(\mathbf{E} \times \mathbf{B})$ (在自由空間中)，它描述了電磁場的能量流動。
其物理意義是：

1. 能量流的方向：$\mathbf{S}$ 的方向指出電磁能量流動的方向。
2. 能量流的速率密度：$|\mathbf{S}|$ 表示單位時間內通過單位面積的電磁能量。也就是功率密度。

解題步驟：

1. 回憶坡印廷向量的定義及其物理意義。
2. 檢查選項，找出最符合坡印廷向量定義的敘述。

選項分析：
(a) The energy density of an electromagnetic wave：能量密度是指單位體積內儲存的能量，通常用

核心觀念

• 完全導體（perfect conductor）在靜電或低頻電磁情況下，內部電場必為 零，因為自由電荷會立即重新分布，使電場抵消。
• 介面處的電場分解為 切向分量 $E_t$ 與 法向分量 $E_n$。根據麥克斯韋方程與邊界條件：
  1. 切向電場：
     $\mathbf{E}_t^{\text{上}}-\mathbf{E}_t^{\text{下}} = 0$
     若下側是導體內部（$\mathbf{E}=0$），則上側（導體表面外）必有 $\mathbf{E}_t=0$。
  2. 法向電場：
     $\mathbf{E}_n^{\text{上}}-\mathbf{E}_n^{\text{下}} = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$
     內部 $\mathbf{E}_n^{\text{下}}=0$，故外部 $\mathbf{E}_n=\sigma/\epsilon_0$，與表面電荷密度 $\sigma$ 相關。
• 其他兩個常見的場方程式：
  • $\nabla\cdot\mathbf{E}= \rho/\epsilon_0$（與電荷分布有關）。
  • $\nabla\times\mathbf{E}= -\partial\mathbf{B}/\partial t$（與時間變化的磁場有關）。

解題方法
直接應用完美導體的邊界條件：

1. 由於導體內部 $\mathbf{E}=0$，取導體內外的切向分量差：
   $\mathbf{E}_t^{\text(外)} - \mathbf{E}_t^{\text(內)} = 0 \;\;\Longrightarrow\;\; \mathbf{E}_t^{\text(外)} = 0.$
2. 只要不考慮時間變化的磁場，$\nabla\times\mathbf{E}$ 不一定為零（例如交流電場），因此不能直接作為普遍邊界條件。

核心觀念

• 在電磁波的自由空間（無電荷、無電流）中，電磁場滿足麥克斯威爾方程組的真空形式。
• 兩條相關方程式為

$\nabla\!\cdot\!\mathbf{B}=0 \qquad\text{(磁場無源性)}$

$\nabla\!\times\!\mathbf{B}= \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\qquad\text{(麥克斯威爾–安培定律的位移電流項)}$

• 以上兩式均在「無自由電荷、無自由電流」的條件下成立，且不需額外假設電磁波是平面波或是時間諧波。

解題方法

1. 判斷題目所給條件：「In the absence of charges and currents」，即 $\rho=0$、$\mathbf{J}=0$。
2. 直接寫出真空中的麥克斯威爾方程組：

$$\begin{aligned} &\nabla\!\cdot\!\mathbf{E}=0,\\ &\nabla\!\cdot\!\mathbf{B}=0,\\ &\nabla\!\times\!\mathbf{E}= -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t},\\ &\nabla\!\times\!\mathbf{B}= \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}. \end{aligned}$$

3. 從中挑選與題目敘述相符的選項：
   • (a) 正是 $\nabla\!\cdot\!\mathbf{B}=0$。

核心觀念

• 位移電流 (displacement current)：在麥克斯威爾-安培定律中加入的額外項，定義為
  $\mathbf{J}_d=\varepsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$
• 麥克斯威爾修正的安培定律：
  $\nabla\times\mathbf{B}= \mu_0\mathbf{J}+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}$
• 電荷守恆 (continuity equation)：
  $\nabla\!\cdot\!\mathbf{J} +\frac{\partial\rho}{\partial t}=0$
  只要方程式的左手項為$\nabla\!\cdot\!(\nabla\times\mathbf{B})=0$，右手必須同樣為零，才不會與電荷守恆衝突。位移電流的加入正是為了滿足此條件。

解題方法

1. 取麥克斯威爾-安培定律兩側做散度：
   $\nabla\!\cdot(\nabla\times\mathbf{B})=0$
2. 右側得到

$$\nabla\!\cdot\!\bigl(\mu_0\mathbf{J}+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\bigr) =\mu_0\bigl(\nabla\!\cdot\!\mathbf{J}+\varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\!\cdot\!\mathbf{E})\bigr)$$

3. 由高斯定律 $\nabla\!\cdot\!\mathbf{E}= \rho/\varepsilon_0$，代入上式得到
   $\mu_0\bigl(\nabla\!\cdot\!\mathbf{J}+ \frac{\partial\rho}{\partial t}\bigr)=0$

此題考查在自由空間中，電磁波的能量密度公式。

核心觀念：
電磁場儲存能量，其能量密度 $u$ 是電場能量密度和磁場能量密度的總和。
在自由空間中：

• 電場的能量密度為 $u_E = \frac{1}{2}\epsilon_0 E^2$。
• 磁場的能量密度為 $u_B = \frac{1}{2\mu_0} B^2$。
  因此，總能量密度為 $u = u_E + u_B = \frac{1}{2}\epsilon_0 E^2 + \frac{1}{2\mu_0} B^2$。

解題步驟：

1. 回憶電場和磁場在自由空間中的能量密度公式。
2. 將兩者相加得到總能量密度。
3. 比較選項，找出正確的公式。

核心觀念
本題測驗的是麥克斯威爾對安培定律的修正，也稱為「位移電流」項。原始的安培環路定理

$\oint_{\partial S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}= \mu_0 I_{\text{導}}$

只能描述導電電流 $I_{\text{導}}$。為了滿足電荷連續方程

$\nabla\!\cdot\!\mathbf{J} + \frac{\partial \rho}{\partial t}=0,$

在無導電電流的情況（如電容充放電）仍需產生磁場。麥克斯威爾引入的額外項為

$\mathbf{J}_D = \varepsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t},$

稱為位移電流 (displacement current)。修正後的安培-麥克斯威爾方程式為

$\oint_{\partial S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}= \mu_0 \!\left(I_{\text{導}} + \varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}\right),$

核心觀念
在電磁場的時變問題中，訊號的傳播速率為光速 $c$。因此，觀測點在時間 $t$ 所感受到的場，其實是來源在較早時刻 $t_{\text{ret}}$ 所發出的訊號，兩者之間的時間差稱為傳遞延遲。此概念由**遲延時間（retarded time）**正式描述，其定義式為

$$t_{\text{ret}} = t - \frac{R(t_{\text{ret}})}{c},$$

其中 $R(t_{\text{ret}})$ 為來源到觀測點的距離（可能隨時間變化），$c$ 為真空光速。

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解題方法

1. 釐清題目所問的空格內詞彙。題目敘述「accounts for the delay of electromagnetic influence due to finite speed of light」正是描述上述傳遞延遲的概念。
2. 直接對應電磁學教科書（如 Griffiths《Introduction to Electrodynamics》）中對遲延時間的說明。
3. 若題目為選擇題，可列出常見干擾選項並逐一驗證其定義：

核心觀念
電磁波的能量傳遞以能流密度（energy flux density）來描述。根據麥克斯韋方程式，電場 $\mathbf{E}$ 與磁場 $\mathbf{B}$ 的交叉乘積給出單位面積、單位時間內通過的能量，稱為Poynting 向量 $\mathbf{S}$，其定義式

$\mathbf{S}= \frac{1}{\mu_0}\,\mathbf{E}\times\mathbf{B}$

其中 $\mu_0$ 為真空磁導率。$\mathbf{S}$ 的方向即為能量傳播的方向，大小等於瞬時功率密度（W/m$^2$）。

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解題方法
題目只要求填入空格的名詞。根據上述定義，能量流（energy flux）在電磁波中即由 $\mathbf{E}\times\mathbf{B}$ 所形成的向量描述，因而答案為 Poynting 向量。若要驗證，可檢視以下兩點：

1. 單位檢查：
   $\mathbf{E}$ 單位 V/m，$\mathbf{B}$ 單位 T (= N·s/C·m)。
   $\frac{1}{\mu_0}\mathbf{E}\times\mathbf{B} \;[\text{W/m}^2]$
   確實為功率密度（能流）之單位。

2. 能量守恆：
   Poynting 定理
   $\nabla\!\cdot\!\mathbf{S}+ \frac{\partial u}{\partial t}= -\mathbf{J}\!\cdot\!\mathbf{E}$
   其中 $u$ 為電磁場能密度，$\mathbf{J}\!\cdot\!\mathbf{E}$ 為功率損耗。此關係說明 $\mathbf{S}$ 正是能量流的守恆流向。

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選項分析（假設典型的四選題選項）

選項	內容	為何錯誤 / 為何正確

核心觀念

• 平面電磁波的關係式：在真空中，平面電磁波的電場 $\mathbf{E}$ 與磁場 $\mathbf{B}$ 互相垂直且相位相同，且滿足
  $\frac{|\mathbf{E}|}{|\mathbf{B}|}=c$
  其中 $c$ 為光速。此結果來源於 麥克斯威爾方程式（特別是法拉第電磁感應定律與安培-麥克斯威爾定律）與 波動方程 的推導。
• 光速的表達式：在電磁理論中
  $c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}$
  其中 $\mu_0$ 為真空磁導率，$\varepsilon_0$ 為真空電容率。

解題方法

1. 從麥克斯威爾方程式出發，對無電荷、無電流的真空區域取 時間諧波（$e^{j\omega t}$）解。
2. 由法拉第定律
   $\nabla\times\mathbf{E}= -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}$
   以及安培-麥克斯威爾定律（無電流）
   $\nabla\times\mathbf{B}= \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}$
   針對單向傳播的平面波 $\mathbf{E}=E_0\hat{x}\,e^{j(kz-\omega t)}$、$\mathbf{B}=B_0\hat{y}\,e^{j(kz-\omega t)}$，代入可得到
   $kE_0 = \omega B_0,\qquad kB_0 = \frac{\omega}{c^2}E_0$
   兩式相除即得
   $\frac{E_0}{B_0}= \frac{\omega}{k}=c$
3. 直接寫出比例式
   $\boxed{\displaystyle \frac{|\mathbf{E}|}{|\mathbf{B}|}=c}$

核心觀念

• 理想電偶極子（Hertzian dipole）：長度遠小於波長的振盪電流元件，電偶極矩 $\mathbf{p}=I_0\ell\,\hat{\mathbf{z}}$（軸向以 $\hat{\mathbf{z}}$ 為例）。
• 遠區（far‑field）輻射場：對於理想電偶極子，遠區電場與磁場的幅度分佈為
  $|\mathbf{E}_\theta|\propto\frac{I_0\ell}{r}\sin\theta ,\qquad |\mathbf{H}_\phi|= \frac{|\mathbf{E}_\theta|}{\eta_0}$
  其中 $\theta$ 為與偶極子軸的夾角（$0^\circ$ 為軸向，$90^\circ$ 為垂直面）。
• 功率密度（radiation intensity）：
  $U(\theta)=\frac{r^2}{2\eta_0}|\mathbf{E}_\theta|^2\propto\sin^2\theta$
  故輻射強度隨 $\sin^2\theta$ 變化。

解題方法

1. 辨認題目問的方向：題目敘述「radiation pattern ... strongest in the direction _____ to its axis」，意指在與偶極子軸的相對方向上，哪一個方向的輻射最強。
2. 套用偶極子遠區強度公式：由 $U(\theta)\propto\sin^2\theta$ 可得
   • $\theta=0^\circ$（沿軸向）及 $\theta=180^\circ$（與軸相反）時 $\sin\theta=0$，輻射為零。
   • $\theta=90^\circ$（垂直於軸）時 $\sin\theta=1$，取得最大值。
3. 因此，最強輻射方向為與偶極子軸垂直（perpendicular） 的平面。

選項分析（假設常見四個選項）

核心觀念

本題考查自由空間中的平面電磁波，以及電場、磁場與波的傳播方向之間的關係。

在自由空間中：

• 電場 $\mathbf{E}$、磁場 $\mathbf{B}$、傳播方向彼此互相垂直。
• 波的傳播方向由 $\mathbf{E}\times\mathbf{B}$ 決定。
• 電磁波在自由空間中的速率為

$$c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}=\frac{\omega}{k}$$

• 電場與磁場振幅滿足

$$B_0=\frac{E_0}{c}$$

坡印廷向量定義為

$$\mathbf{S}=\frac{1}{\mu_0}\mathbf{E}\times\mathbf{B}$$

其物理意義為單位面積、單位時間所傳遞的電磁能量。

解題方法

題目給定電磁波沿 $+z$ 軸傳播，且電場沿 $x$ 軸：

$$\mathbf{E}(z,t)=E_0\cos(kz-\omega t)\hat{x}$$

相位 $kz-\omega t$ 顯示波向 $+z$ 軸前進。為使能量傳播方向為 $+z$ 軸，必須有

$$\hat{x}\times\hat{y}=\hat{z}$$

因此磁場方向為 $+\hat{y}$。

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(a) 磁場 $\mathbf{B}(z,t)$

使用 Maxwell 方程式

在自由空間中，Faraday 定律為

$$\nabla\times\mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}$$

令

$$\phi=kz-\omega t$$

則

$$\mathbf{E}=E_0\cos\phi\,\hat{x}$$

由於電場只有 $x$ 分量，且只隨 $z$ 變化，

$$\nabla\times\mathbf{E} = \frac{\partial E_x}{\partial z}\hat{y}$$

計算得

$$\frac{\partial E_x}{\partial z} = -kE_0\sin\phi$$

所以

$$\nabla\times\mathbf{E} = -kE_0\sin\phi\,\hat{y}$$

設磁場形式為

$$\mathbf{B}(z,t)=B_0\cos\phi\,\hat{y}$$

則

$$\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} = \omega B_0\sin\phi\,\hat{y}$$

代入 Faraday 定律：

$$-kE_0\sin\phi\,\hat{y} = -\omega B_0\sin\phi\,\hat{y}$$

因此

$$kE_0=\omega B_0$$

得到

$$B_0=\frac{k}{\omega}E_0=\frac{E_0}{c}$$

故磁場為

$$\boxed{ \mathbf{B}(z,t) = \frac{E_0}{c} \cos(kz-\omega t)\,\hat{y} }$$

其中

$$c=\frac{\omega}{k}$$

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(b) 坡印廷向量 $\mathbf{S}$

坡印廷向量為

$$\mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0}\mathbf{E}\times\mathbf{B}$$

代入電場與磁場：

核心觀念

本題考察無限大載流面所產生的磁場，以及面電流在外加磁場中受到的磁力。

位於 $z=0$、面法向為 $+\hat{\mathbf z}$ 的無限大電流面，兩側磁場大小相同、方向相反，並滿足邊界條件

$$\hat{\mathbf z}\times(\mathbf B_{\text{上}}-\mathbf B_{\text{下}}) =\mu_0\mathbf K.$$

面電流受到外加磁場的單位面積作用力為

$$\frac{\mathbf F}{A}=\mathbf K\times\mathbf B_{\text{外}}.$$

計算單一電流面的受力時，只取另一張電流面產生的磁場；不把該電流面自身的磁場算入。

(a) 三個區域的磁場

先分別求兩張電流面的磁場，再利用磁場疊加。

對上方電流面 $z=d$，其電流為 $\mathbf K_+=K_0\hat{\mathbf x}$。依右手定則，電流面上方磁場指向 $-\hat{\mathbf y}$，下方指向 $+\hat{\mathbf y}$：

$$\mathbf B_+ = \begin{cases} -\dfrac{\mu_0K_0}{2}\hat{\mathbf y}, & z>d,\\[4pt] +\dfrac{\mu_0K_0}{2}\hat{\mathbf y}, & z<d. \end{cases}$$

對下方電流面 $z=-d$，其電流為 $\mathbf K_-=-K_0\hat{\mathbf x}$。電流方向相反，因此其上方磁場指向 $+\hat{\mathbf y}$，下方指向 $-\hat{\mathbf y}$：

$$\mathbf B_- = \begin{cases} +\dfrac{\mu_0K_0}{2}\hat{\mathbf y}, & z>-d,\\[4pt] -\dfrac{\mu_0K_0}{2}\hat{\mathbf y}, & z<-d. \end{cases}$$

將兩張電流面的磁場合成：

• **上方 $z>d$：**兩磁場大小相同、方向相反，互相抵消。
• **兩面之間 $-d<z<d$：**兩磁場皆指向 $+\hat{\mathbf y}$，方向相同。
• **下方 $z<-d$：**兩磁場大小相同、方向相反，互相抵消。

因此