115 年 國立中央大學光電科學與工程學系碩士班《工程數學》

核心觀念

1. 曲面之法向量與梯度（Gradient）：
   若一空間曲面可表示為等值面（Level Surface） $F(x, y, z) = C$（ $C$ 為常數），則該曲面上任意點處的法向量（Normal Vector）可由曲面函數的梯度 $\nabla F$ 求得。由於橢球面內部的 $F(x,y,z) < 3$ 且外部 $F(x,y,z) > 3$，梯度向量 $\nabla F$ 自然指向函數值增加的方向，即橢球面的外法線方向（Outward Normal Direction）。

2. 單位法向量（Unit Normal Vector）：
   計算方向導數時，方向向量必須歸一化為長度等於 $1$ 的單位向量：
   $\hat{\mathbf{n}} = \frac{\nabla F}{|\nabla F|}$

3. 方向導數（Directional Derivative）：
   純量位能（Scalar Potential） $\phi(x, y, z)$ 沿單位向量 $\hat{\mathbf{n}}$ 方向的方向導數，定義為位能梯度 $\nabla \phi$ 與單位向量 $\hat{\mathbf{n}}$ 的純量積（點積）：
   $D_{\hat{\mathbf{n}}} \phi = \nabla \phi \cdot \hat{\mathbf{n}}$

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解題方法

步驟一：驗證給定點 $P(1, 2, 3)$ 是否位於橢球面上

將橢球面方程式表示為等值面函數：
$F(x, y, z) = x^2 + \frac{1}{4}y^2 + \frac{1}{9}z^2 = 3$
將點 $(1, 2, 3)$ 代入函數中：
$1^2 + \frac{1}{4}(2)^2 + \frac{1}{9}(3)^2 = 1 + 1 + 1 = 3$
證實點 $P(1, 2, 3)$ 確實在橢球曲面上。

步驟二：求橢球面在點 $P(1, 2, 3)$ 處的單位外法向量 $\hat{\mathbf{n}}$

對曲面函數 $F(x, y, z)$ 求梯度：
$\nabla F = \frac{\partial F}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial F}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial F}{\partial z}\mathbf{k} = 2x\mathbf{i} + \frac{1}{2}y\mathbf{j} + \frac{2}{9}z\mathbf{k}$
將點 $P(1, 2, 3)$ 代入得該點的外法向量：
$\nabla F(1, 2, 3) = 2(1)\mathbf{i} + \frac{1}{2}(2)\mathbf{j} + \frac{2}{9}(3)\mathbf{k} = 2\mathbf{i} + \mathbf{j} + \frac{2}{3}\mathbf{k}$
計算法向量 $\nabla F(1, 2, 3)$ 的長度（模長）：
$|\nabla F(1, 2, 3)| = \sqrt{2^2 + 1^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{4 + 1 + \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{49}{9}} = \frac{7}{3}$
故點 $P(1, 2, 3)$ 處的單位外法向量為：

核心觀念

本題考驗向量分析（Vector Analysis）中旋度（Curl）的運算以及**保守場（Conservative Field）**與靜電場的物理性質。
主要涉及的定義與公式如下：

1. 位置向量與長度：位置向量 $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$，其長度大小為 $r = |\vec{r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$。
2. 純量與向量乘積的旋度公式：對於純量函數 $f(r)$ 與向量場 $\vec{A}$，有
   $\nabla \times (f\vec{A}) = f (\nabla \times \vec{A}) + (\nabla f) \times \vec{A}$
3. 徑向純量場的梯度：對純徑向純量函數 $f(r)$，其梯度為 $\nabla f(r) = f'(r) \hat{r} = f'(r) \frac{\vec{r}}{r}$。
4. 梯度場的旋度恆等於零：若向量場可表示為純量場的梯度 $\vec{E} = -\nabla V$，則其旋度恆等於零向量，即 $\nabla \times \vec{E} = \nabla \times (-\nabla V) = \vec{0}$。

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解題方法

本題可透過「向量微積分運算公式」或「純量勢能法（保守場）」推導，以下提供標準推導步驟：

解法一：向量微積分恆等式推導（標準計算）

將靜電場表示為純量函數 $f(r) = \frac{a}{r^3} = a r^{-3}$ 與位置向量 $\vec{r}$ 的乘積：
$\vec{E} = a r^{-3} \vec{r}$

利用純量與向量乘積的旋度公式：
$\nabla \times \vec{E} = \nabla \times \left( a r^{-3} \vec{r} \right) = a r^{-3} (\nabla \times \vec{r}) + \left( \nabla (a r^{-3}) \right) \times \vec{r}$

分別計算公式中的兩項：

1. 計算第一項 $\nabla \times \vec{r}$：
   由於 $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$，其旋度為：
   $\nabla \times \vec{r} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ x & y & z \end{vmatrix} = \hat{i}\left(\frac{\partial z}{\partial y} - \frac{\partial y}{\partial z}\right) - \hat{j}\left(\frac{\partial z}{\partial x} - \frac{\partial x}{\partial z}\right) + \hat{k}\left(\frac{\partial y}{\partial x} - \frac{\partial x}{\partial y}\right) = \vec{0}$

核心觀念

1. 矩陣特徵值與特徵向量定義：若方陣 $A$ 與非零向量 $\mathbf{v}$ 滿足 $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$，則稱 $\lambda$ 為 $A$ 的特徵值（Eigenvalue），$\mathbf{v}$ 為對應於 $\lambda$ 的特徵向量（Eigenvector）。
2. 特徵多項式與特徵方程式：矩陣 $A$ 的特徵值 $\lambda$ 為特徵方程式 $\det(A - \lambda I) = 0$ 的根。
3. 矩陣次方的特徵性質：若 $A$ 的特徵值為 $\lambda$，對應的特徵向量為 $\mathbf{v}$，則對任意正整數 $k$，$A^k$ 的特徵值為 $\lambda^k$，且對應的特徵向量仍為相同的 $\mathbf{v}$。
   推導證明：
   $A^2 \mathbf{v} = A(A\mathbf{v}) = A(\lambda \mathbf{v}) = \lambda (A\mathbf{v}) = \lambda (\lambda \mathbf{v}) = \lambda^2 \mathbf{v}$

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解題方法

採用「先求解矩陣 $A$ 之特徵對，再由矩陣次方定理導出 $A^2$ 之特徵對」的高效推導路徑。

步驟一：求矩陣 $A$ 的特徵值

已知矩陣 $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$。
特徵方程式為：
$\det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 2-\lambda & -1 \\ -1 & 2-\lambda \end{vmatrix} = 0$

展開行列式並因式分解：
$(2-\lambda)^2 - (-1)(-1) = 0$
$(2-\lambda)^2 - 1 = 0$
$(\lambda - 2 - 1)(\lambda - 2 + 1) = 0$
$(\lambda - 3)(\lambda - 1) = 0$

解得矩陣 $A$ 的特徵值為：
$\lambda_1 = 3, \quad \lambda_2 = 1$

步驟二：求矩陣 $A$ 對應的特徵向量

1. 當 $\lambda_1 = 3$ 時：
   解齊次線性系統 $(A - 3I)\mathbf{v}_1 = \mathbf{0}$：
   $\begin{bmatrix} 2-3 & -1 \\ -1 & 2-3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$
   展開可得 $-x_1 - x_2 = 0 \implies x_1 = -x_2$。
   對應特徵向量為：
   $\mathbf{v}_1 = c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}, \quad (c_1 \neq 0)$

2. 當 $\lambda_2 = 1$ 時：
   解齊次線性系統 $(A - 1I)\mathbf{v}_2 = \mathbf{0}$：
   $\begin{bmatrix} 2-1 & -1 \\ -1 & 2-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$
   展開可得 $x_1 - x_2 = 0 \implies x_1 = x_2$。
   對應特徵向量為：
   $\mathbf{v}_2 = c_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad (c_2 \neq 0)$

核心觀念

1. 二次型（Quadratic Form）與對稱矩陣：平面的二次曲線方程式 $Ax^2 + Bxy + Cy^2 = K$ 可表示為矩陣乘積型態 $\mathbf{x}^T \mathbf{A} \mathbf{x} = K$，其中 $\mathbf{A}$ 為實對稱矩陣（Real Symmetric Matrix）。
2. 正交對角化與坐標軸旋轉（Rotation of Axes）：利用對稱矩陣的主軸定理（Principal Axis Theorem），求出矩陣 $\mathbf{A}$ 的特徵值（Eigenvalues）與正交特徵向量（Eigenvectors），可消除交叉項 $xy$，將方程式化簡至新坐標系下的標準式。
3. 橢圓幾何特徵：在主軸坐標系 $(x', y')$ 下，橢圓標準式為 $\frac{(x')^2}{a^2} + \frac{(y')^2}{b^2} = 1$（假設 $a > b > 0$），其中：
   • 半長軸長（Semi-major axis length）$= a$
   • 半短軸長（Semi-minor axis length）$= b$
   • 長軸長（Length of major axis）$= 2a$
   • 短軸長（Length of minor axis）$= 2b$

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解題方法

Step 1：將二次型寫成矩陣形式

給定橢圓方程式為：
$17x^2 - 30xy + 17y^2 = 128$

令 $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$，矩陣 $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 17 & -15 \\ -15 & 17 \end{pmatrix}$，可將原式表示為二次型：
$\mathbf{x}^T \mathbf{A} \mathbf{x} = 128$

Step 2：求矩陣 $\mathbf{A}$ 的特徵值

解特徵方程式 $\det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) = 0$：
$\begin{vmatrix} 17-\lambda & -15 \\ -15 & 17-\lambda \end{vmatrix} = 0$

對角行列式展開：
$(17-\lambda)^2 - (-15)^2 = 0$
$(17-\lambda)^2 = 225$
$17-\lambda = \pm 15$

解得兩特徵值：
$\lambda_1 = 17 + 15 = 32$
$\lambda_2 = 17 - 15 = 2$

Step 3：進行坐標軸旋轉（對角化化簡）

因為 $\mathbf{A}$ 為實對稱矩陣，必可被正交矩陣對角化。

(a) 各選項正確性分析

1. (A) 正確
   由微分乘積法則與向量外積的反對稱性（$\vec{u} \times \vec{v} = -\vec{v} \times \vec{u}$）：
   $\nabla \times (\phi \vec{A}) = (\nabla \phi) \times \vec{A} + \phi (\nabla \times \vec{A}) = \phi (\nabla \times \vec{A}) - \vec{A} \times (\nabla \phi)$

2. (B) 正確
   此為標準散度乘積恆等式：
   $\nabla \cdot (\vec{A} \times \vec{B}) = \vec{B} \cdot (\nabla \times \vec{A}) - \vec{A} \cdot (\nabla \times \vec{B})$

3. (C) 錯誤
   在三維直角坐標下，位置向量 $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$，其散度為：
   $\nabla \cdot \vec{r} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 1 + 1 + 1 = 3 \neq 4\pi |\vec{r}|$

4. (D) 錯誤
   旋度的旋度恆等式第二項符號為負：
   $\nabla \times (\nabla \times \vec{A}) = \nabla (\nabla \cdot \vec{A}) - \nabla^2 \vec{A}$

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(b) 恆等式證明

證明選項 (A)

利用 Levi-Civita 符號 $\epsilon_{ijk}$ 與愛因斯坦求和約定，其第 $i$ 個分量為：

核心觀念

本題考查**一階非齊次線性常微分方程式（First-order Non-homogeneous Linear Ordinary Differential Equation）**的求通解方法。

解此類問題的核心定義與定理如下：

1. 標準型態：一階線性微分方程式的標準式為：
   $y' + P(x)y = Q(x)$
2. 積分因子法（Integrating Factor Method）：
   定義積分因子 $I(x)$ 為：
   $I(x) = e^{\int P(x) \, dx}$
   將標準式同乘以 $I(x)$ 後，方程式左端可化簡為全微分形式 $\frac{d}{dx}[I(x)y]$，再對兩邊積分即可求解。
3. 通解結構：線性微分方程式的通解由齊次解（Homogeneous solution, $y_h$）與特解（Particular solution, $y_p$）組成，即 $y(x) = y_h(x) + y_p(x)$。

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解題方法

步驟一：將微分方程式化為標準式

原方程式為：
$xy' + 3y = 2x^2$

假設 $x \neq 0$，將等式兩邊同除以 $x$，化為一階線性微分方程式的標準形式：
$y' + \frac{3}{x}y = 2x$

比對標準式 $y' + P(x)y = Q(x)$，可得：
$P(x) = \frac{3}{x}, \quad Q(x) = 2x$

步驟二：求取積分因子 $I(x)$

依據積分因子公式計算 $I(x)$：
$I(x) = e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int \frac{3}{x} \, dx} = e^{3 \ln|x|} = e^{\ln|x|^3} = |x|^3$

取 $x > 0$ 區間（或不失一般性地選擇正枝），積分因子簡化為：
$I(x) = x^3$

步驟三：乘以積分因子並進行全微分積分

將標準式兩邊同乘以 $I(x) = x^3$：
$x^3 \left( y' + \frac{3}{x}y \right) = x^3 \cdot 2x$
$x^3 y' + 3x^2 y = 2x^4$

利用微分乘法法則，左式可改寫為全微分形式：
$\frac{d}{dx}\left[ x^3 y \right] = 2x^4$

對兩邊關於 $x$ 進行不定積分：
$x^3 y = \int 2x^4 \, dx$
$x^3 y = \frac{2}{5}x^5 + C$
（其中 $C$ 為任意積分常數）

步驟四：解出通解 $y(x)$

兩邊同除以 $x^3$，得到一般通解：
$y(x) = \frac{2}{5}x^2 + \frac{C}{x^3}$

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選項分析

本題為非選擇題（計算題），無選項需要逐一分析。但可將求得的通解進行架構成分拆解分析：

核心觀念

串聯 RLC 電路依 Kirchhoff 電壓定律，有

$$L\frac{dI}{dt}+RI+\frac{q}{C}=E(t), \qquad I=\frac{dq}{dt}.$$

對時間微分，可得電流的二階微分方程：

$$L I''+R I'+\frac{1}{C}I=E'(t).$$

題目給定 $R=5\,\Omega$、$L=0.1\,\mathrm{H}$、$C=0.025\,\mathrm{F}$，且 $E(t)=5\sin(20t)$。

解題方法

代入電路參數與 $E'(t)=100\cos(20t)$：

$$0.1I''+5I'+40I=100\cos(20t).$$

兩邊乘以 $10$，得到

$$I''+50I'+400I=1000\cos(20t).$$

先解齊次方程，其特徵方程為

$$r^2+50r+400=0=(r+10)(r+40),$$

所以齊次解為

$$I_h(t)=C_1e^{-10t}+C_2e^{-40t}.$$

核心觀念

本題考查二階線性變係數非齊次常微分方程（ODE）在常點附近的冪級數解法（Power-Series Method）。

1. 常點（Ordinary Point）定義：
   對於標準形式二階常微分方程 $y'' + P(x)y' + Q(x)y = R(x)$，若 $P(x), Q(x), R(x)$ 在 $x=0$ 處均為解析（Analytic），則 $x=0$ 稱為該微分方程的常點。本題中 $P(x)=-3x$, $Q(x)=4x^2$, $R(x)=2x$ 皆為多項式，於 $x=0$ 處解析，故 $x=0$ 為常點。

2. 麥克勞林級數假設（Maclaurin Series Expansion）：
   於常點 $x=0$ 展開之冪級數解形式為：
   $y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4 + a_5 x^5 + \dots$

3. 初值條件之意義：

   • $y(0) = a_0 = 1$
   • $y'(0) = a_1 = 0$

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解題方法

本題可以透過「標準冪級數代換法（遞迴關係式）」推導，並可用「微分方程高階求導法（泰勒展開式）」進行驗算。

方法一：標準冪級數代換法

1. 微分並寫成級數形式：
   $y'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}$
   $y''(x) = \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2}$

2. 代入原微分方程 $y'' - 3xy' + 4x^2y = 2x$：
   $\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2} - 3x \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} + 4x^2 \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = 2x$

   將 $x$ 乘入級數內部：
   $\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2} - \sum_{n=1}^{\infty} 3n a_n x^n + \sum_{n=0}^{\infty} 4 a_n x^{n+2} = 2x$

3. 統一各項次之 $x$ 次方數（平移指標至 $x^n$）：
   $\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^n - \sum_{n=0}^{\infty} 3n a_n x^n + \sum_{n=2}^{\infty} 4 a_{n-2} x^n = 2x$

4. 逐項比較同次項係數：

   • $x^0$ 項（$n=0$）：
     $(2)(1) a_2 - 3(0) a_0 = 0 \implies 2a_2 = 0 \implies a_2 = 0$

   • $x^1$ 項（$n=1$）：
     $(3)(2) a_3 - 3(1) a_1 = 2 \implies 6a_3 - 3(0) = 2 \implies a_3 = \frac{1}{3}$

   • $x^2$ 項（$n=2$）：
     $(4)(3) a_4 - 3(2) a_2 + 4 a_0 = 0 \implies 12a_4 - 6(0) + 4(1) = 0 \implies 12a_4 = -4 \implies a_4 = -\frac{1}{3}$

   • $x^3$ 項（$n=3$）：
     $(5)(4) a_5 - 3(3) a_3 + 4 a_1 = 0 \implies 20a_5 - 9\left(\frac{1}{3}\right) + 4(0) = 0 \implies 20a_5 = 3 \implies a_5 = \frac{3}{20}$

5. 彙整級數解的前六項（包含 $a_0$ 至 $a_5$）：
   $y(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4 + a_5 x^5 + \dots$

核心觀念

本題考查**狄拉克 $\delta$ 函數（Dirac Delta Function / 單位脈衝函數）**的拉普拉斯轉換（Laplace Transform）。

1. 單邊拉普拉斯轉換定義：
   $\mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} \, dt$
2. 狄拉克 $\delta$ 函數的篩選性質（Sifting Property）：
   若 $g(t)$ 為連續函數，且 $t_0$ 落在積分區間 $[a, b]$ 之內，則：
   $\int_{a}^{b} \delta(t - t_0) g(t) \, dt = g(t_0)$

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解題方法

1. 代入拉普拉斯轉換定義：
   將 $f(t) = \delta(t - 2\pi)$ 代入單邊拉普拉斯轉換的定義式中：
   $\mathcal{L}\{\delta(t - 2\pi)\} = \int_{0}^{\infty} \delta(t - 2\pi) e^{-st} \, dt$

2. 套用篩選性質進行推導：
   設 $g(t) = e^{-st}$，脈衝發生時間點為 $t_0 = 2\pi$。
   由於 $t_0 = 2\pi > 0$，確定包含於單邊拉氏轉換的積分範圍 $[0, \infty)$ 內。根據篩選性質，積分結果等於將 $t = 2\pi$ 直接代入 $g(t)$ 中：
   $\int_{0}^{\infty} \delta(t - 2\pi) e^{-st} \, dt = \left. e^{-st} \right|_{t=2\pi} = e^{-2\pi s}$

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選項分析

本題為非選擇題（計算／填空題），針對所得出之結果 $e^{-2\pi s}$ 與常見錯誤型態進行詳細剖析：

核心觀念

由圖可讀出 $f_0(x)$ 為偶函數：

$$f_0(x)= \begin{cases} 3, & |x|<1,\\ 1, & 1<|x|<2,\\ 0, & |x|>2. \end{cases}$$

跳躍點的單點取值不影響傅立葉轉換與傅立葉係數。

本題利用偶函數的對稱性簡化計算：

• 傅立葉轉換中的正弦積分為零，只需計算餘弦積分。
• 偶函數的傅立葉級數只有常數項與餘弦項。
• 週期為 $T=8$，基本角頻率為 $\omega_0=2\pi/T=\pi/4$。

解題方法

（a）求 $f_0(x)$ 的傅立葉轉換

依題目指定的定義，利用偶對稱性：

$$\begin{aligned} \mathcal F\{f_0(x)\} &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}f_0(x)e^{-i\omega x}\,dx\\ &=\frac{2}{\sqrt{2\pi}} \int_0^\infty f_0(x)\cos(\omega x)\,dx\\ &=\frac{2}{\sqrt{2\pi}} \left[ 3\int_0^1\cos(\omega x)\,dx +\int_1^2\cos(\omega x)\,dx \right]. \end{aligned}$$

當 $\omega\ne0$ 時，

$$\begin{aligned} \mathcal F\{f_0(x)\} &=\frac{2}{\sqrt{2\pi}} \left[ \frac{3\sin\omega}{\omega} +\frac{\sin(2\omega)-\sin\omega}{\omega} \right]\\ &=\frac{2\sin(2\omega)+4\sin\omega} {\omega\sqrt{2\pi}}. \end{aligned}$$

在 $\omega=0$ 處，直接由圖形面積求得：

$$\mathcal F\{f_0(x)\}(0) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f_0(x)\,dx =\frac{3\cdot2+1\cdot2}{\sqrt{2\pi}} =\frac{8}{\sqrt{2\pi}}.$$

這也等於上述公式在 $\omega\to0$ 時的極限。

（b）求 $f(x)$ 的傅立葉級數

題目未指定一個週期內 $2<|x|\le4$ 的函數值；以下採此區間為零，再作週期 $8$ 的延拓。

取基本區間 $[-4,4]$，寫成

$$f(x)\sim\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n\cos\left(\frac{n\pi x}{4}\right) +b_n\sin\left(\frac{n\pi x}{4}\right) \right],$$

其中