108 年 國立成功大學心理學系碩士班《方法學》

本題考驗研究者對於不同類型變數間關係的測量方法之選擇。題目要求描述「性別」(男/女)與「參加社團活動」(是/否)之間的關係。這兩個變數都是二分類的類別變數（或稱名目變數）。

(a) Pearson's product moment correlation coefficient (皮爾森積差相關係數) 通常用於測量兩個連續變數之間的線性關係。
(b) Phi coefficient ($\phi$) ( phi 係數) 是專門用於測量兩個二分類變數之間關係的相關係數。

本題考驗研究者對於不同類型變數間關係的測量方法之適用性。題目要求判斷何種統計方法「不適合」用來描述「性別」(二分類變數)與「英文考試分數」(連續變數)之間的關係。

(a) Pearson's product moment correlation coefficient (皮爾森積差相關係數) 雖然嚴格來說是用於兩個連續變數，但當其中一個變數是二分類變數時，其計算結果與 Point biserial correlation 是相同的。因此，它是適合的。
(b) Point biserial correlation (點雙列相關) 是專門用來測量一個二分類變數與一個連續變數之間關係的相關係數。因此，它是適合的。

本題考驗研究者對於無母數統計方法適用時機的理解。題目情境是比較「不同種類運動選手」的「表現」，這通常涉及到比較三個或更多組的獨立樣本。

(a) Kruskal-Wallis analysis (克魯斯卡-華里斯檢定) 是一種用於比較三個或更多獨立樣本組的中間數（或等級平均數）是否具有顯著差異的無母數檢定。這非常適合比較不同種類運動選手的表現。
(b) Chi-square test (卡方檢定) 主要用於分析類別變數之間的關聯性，或是適合度檢定。如果運動員的表現可以被分類（例如：表現好、中等、差），那麼卡方檢定可用於檢驗運動員種類與表現類別之間是否有關聯。然而，如果表現是連續分數，則卡方檢定不是首選。題目中未明確說明表現是連續或類別，但卡方檢定通常不是用來比較平均數或中位數的。
(c) Mann-Whitney U test (曼-惠特尼 U 檢定) 是一種用於比較兩個獨立樣本組的中間數（或等級平均數）是否具有顯著差異的無母數檢定。它適用於比較兩組運動員（例如：籃球 vs. 棒球），但無法直接比較三組或更多組。
(d) Wilcoxon matched pairs test (威爾考森符號等級檢定) 是一種用於比較兩個相關樣本（配對樣本）之間差異是否具有顯著性的無母數檢定。這適用於受試者內設計（within-subjects design），例如比較同一組運動員在訓練前後的表現。

在這個情境中，我們比較的是「不同種類運動選手」（通常是獨立的群體）的表現。如果我們有三種或更多種類的運動選手，Kruskal-Wallis test 是最適合的無母數方法來比較他們表現的中位數。Mann-Whitney U test 僅適用於兩組比較。Wilcoxon matched pairs test 適用於配對樣本，與獨立樣本的比較不同。Chi-square test 適用於類別資料。

題目問的是「最不合適」。如果表現是連續分數，那麼 Mann-Whitney U test (只能比兩組) 和 Wilcoxon matched pairs test (配對樣本) 都無法直接處理三組獨立樣本的比較。然而，Kruskal-Wallis test 是為此情境設計的。

核心觀念

本題考的是「控制變項後，部分相關與半部分相關的差異」。

設研究變項為 $X$、$Y$，控制變項為 $Z$：

• Partial correlation（偏相關，$Pr$）：先分別從 $X$ 與 $Y$ 中移除 $Z$ 的影響，再計算兩個殘差的相關：

$$Pr_{XY.Z} = \operatorname{cor}(X-\hat X_Z,\;Y-\hat Y_Z)$$

• Semi-partial correlation（半偏相關，$Sr$）：只從其中一個變項移除 $Z$ 的影響，另一個變項維持原始狀態，再計算相關。

例如只從 $X$ 移除 $Z$：

$$Sr_{X(Y.Z)} = \operatorname{cor}(X-\hat X_Z,\;Y)$$

偏相關同時控制兩邊的 $Z$，半偏相關只控制一邊，因此偏相關通常代表「控制後兩變項的純粹關聯」，半偏相關則代表「某變項對另一變項的獨特解釋量」。

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解題方法

假設半偏相關是將 $X$ 中的 $Z$ 影響移除。令：

• $X_r=X-\hat X_Z$，表示 $X$ 控制 $Z$ 後的殘差；
• $Y_r=Y-\hat Y_Z$，表示 $Y$ 控制 $Z$ 後的殘差。

由於 $X_r$ 與 $Z$ 不相關，因此：

$$\operatorname{cov}(X_r,Y) = \operatorname{cov}(X_r,Y_r)$$

半偏相關為：

$$Sr_{X(Y.Z)} = \frac{\operatorname{cov}(X_r,Y)} {\sqrt{\operatorname{var}(X_r)\operatorname{var}(Y)}}$$

偏相關為：

$$Pr_{XY.Z} = \frac{\operatorname{cov}(X_r,Y_r)} {\sqrt{\operatorname{var}(X_r)\operatorname{var}(Y_r)}}$$

因為：

本題考驗對多元迴歸中「共線性」(multicollinearity) 的理解。共線性是指在多元迴歸模型中，兩個或多個預測變數之間存在高度相關性。

(a) 這些變數之間彼此正交(orthogonal)：共線性與正交是相反的概念。正交表示預測變數之間完全不相關，而共線性表示預測變數之間高度相關。因此，(a) 是錯誤的。

(b) 這些變數的R²並沒有互相重疊：R² 代表依變數的變異量被模型解釋的比例。當預測變數之間存在共線性時，它們對依變數的解釋會產生重疊。例如，如果 $X_1$ 和 $X_2$ 都與 $Y$ 相關，並且 $X_1$ 和 $X_2$ 本身也高度相關，那麼 $X_1$ 和 $X_2$ 對 $Y$ 的解釋就存在重疊。因此，(b) 是錯誤的。

(c) 其迴歸係數可以由最小平方法計算而得：最小平方法（Ordinary Least Squares, OLS）是計算迴歸係數的標準方法。

本題考驗對迴歸分析中各項自由度的理解。在一個包含 $n$ 個觀測值和 $p$ 個預測變數（不含截距項）的迴歸模型中，總自由度 (Total Degrees of Freedom, Total DF) 通常為 $n-1$。

• 總變異 (Total Sum of Squares, SST)：衡量依變數 $Y$ 相對於其平均數的總變異。其自由度是 $n-1$。
• 迴歸變異 (Regression Sum of Squares, SSR)：衡量模型中預測變數對依變數的解釋變異。其自由度是預測變數的數量 $p$。
• 殘差變異 (Residual Sum of Squares, SSE)：衡量模型未能解釋的變異，即誤差項的變異。其自由度是 $n-p-1$。

題目中的選項：
(a) Y：Y 是依變數的觀測值，它本身沒有自由度這個概念。自由度是指獨立資訊的數量，通常與估計參數或變異的來源有關。
(b) Ŷ (Y-hat)：Ŷ 是依變數的預測值，由迴歸模型產生。每一個預測值 Ŷ 都是由模型中的參數（截距和迴歸係數）計算出來的。在一個具有 $p$ 個預測變數（不含截距）的迴歸模型中，模型總共估計了 $p+1$ 個參數（截距和 $p$ 個迴歸係數）。因此，預測值 Ŷ 的自由度可以視為模型的自由度，即 $p+1$。然而，題目中的 Y 符號通常指代原始的依變數觀測值，而 Ŷ 指代預測值。如果 Y 和 Ŷ 都被理解為變異的來源，那麼 Y 的總變異自由度是 $n-1$，而 Ŷ 的自由度（迴歸變異的自由度）是 $p$。
(c) 殘差(或誤差項)：殘差的自由度是 $n-p-1$。
(d) 不一定，隨著資料的特性而有不同：自由度是與模型結構和樣本大小相關的，而不是資料的「特性」本身（如資料的分佈、量級等）。

本題考驗對統計檢定中「檢定力」(power) 的定義。統計檢定的 power 指的是在虛無假說 (Null Hypothesis, $H_0$) 為 false 的情況下，正確地拒絕 $H_0$ 的機率。

選項的含義：
(a) P(reject $H_0$ | $H_0$ is true)：這是 Type I error (第一類錯誤) 的機率，通常用 $\alpha$ 表示。

本題考驗影響統計檢定力 (power) 的因素。檢定力是指在虛無假說 (H₀) 為 false 時，正確拒絕 H₀ 的機率。檢定力 (Power) = $1 - \beta$，其中 $\beta$ 是第二類錯誤的機率。

影響檢定力的主要因素包括：

1. 顯著水準 ($\alpha$): $\alpha$ 是第一類錯誤的機率（當 H₀ 為 true 時拒絕 H₀）。當 $\alpha$ 增加時（例如從 0.05 增加到 0.10），拒絕 H₀ 的區域變大，因此在 H₀ 為 false 時，我們更有可能拒絕 H₀，故檢定力會增加。
2. 效果量 (Effect Size): 效果量衡量真實效應的大小（例如，兩組平均數的差異大小）。效果量越大，真實效應越明顯，越容易被檢測出來，因此檢定力越高。

本題考驗對變異數分析 (ANOVA) 適用時機的理解。ANOVA 的主要目的是比較三個或更多組的平均數之間是否存在顯著差異。

(a) 比較兩組平均數之間是否有顯著差異：這通常使用獨立樣本 t 檢定 (independent samples t-test) 來完成。雖然 ANOVA 也可以用於比較兩組，但 t 檢定是更直接且常用的方法。
(b) 比較兩組變異數之間是否有顯著差異：這通常使用 F 檢定 (F-test for equality of variances)，例如 Levene's test 或 Bartlett's test。

本題考驗對單因子變異數分析 (One-way ANOVA) 線性模型的理解。

模型為 $X_{ij} = \mu + \tau_j + \epsilon_{ij}$：

• $X_{ij}$: 第 $j$ 組中第 $i$ 個觀測值。這是依變數的觀測值。
• $\mu$: 整體平均數 (grand mean)。這是所有組別平均數的平均值（假設組別大小相等或進行適當加權）。
• $\tau_j$: 第 $j$ 組的組別效應 (treatment effect) 或組別平均數與整體平均數之間的差異 ($\mu_j - \mu$)。這是不同組別對依變數的平均影響。
• $\epsilon_{ij}$: 第 $j$ 組中第 $i$ 個觀測值的隨機誤差 (random error) 或殘差。這是由於個體差異、測量誤差等未被模型解釋的變異。

ANOVA 的核心目的是檢定不同組別的平均數之間是否存在顯著差異。在上述模型中，組別效應 $\tau_j$ 代表了第 $j$ 組相對於整體平均數 $\mu$ 的差異。

本題考驗對實驗設計中「受試者間設計」(Between-Subjects Design) 與「受試者內設計」(Within-Subjects Design) 的理解、比較與應用。

一、定義與舉例

1. 受試者間設計 (Between-Subjects Design / Independent Groups Design)

   • 定義：在此設計中，不同的受試者被分配到實驗的不同處理條件 (treatment conditions) 組別。每個受試者只會經歷其中一種條件。
   • 舉例：研究者想比較兩種不同教學方法 (方法 A 和方法 B) 對學生學習成效的影響。研究者將學生隨機分配到兩個組別：一組接受方法 A 教學，另一組接受方法 B 教學。最後，比較兩組學生的學習成效（例如考試分數）。

2. 受試者內設計 (Within-Subjects Design / Repeated Measures Design)

   • 定義：在此設計中，同一組受試者會經歷所有實驗處理條件。每個受試者都會暴露於所有條件之下，並且在不同條件下進行測量。
   • 舉例：研究者想比較兩種不同藥物 (藥物 X 和藥物 Y) 對患者血壓的影響。研究者招募一批患者，讓他們在不同時間點分別服用藥物 X 和藥物 Y（可能需要洗藥期 Washout Period 來避免藥物殘留影響）。然後，比較同一批患者在服用藥物 X 和藥物 Y 後的血壓變化。

二、優缺點比較

特徵	受試者間設計 (Between-Subjects)	受試者內設計 (Within-Subjects)
優點	1. 無學習/練習效應：受試者不會因為重複暴露於條件而技能增進或感到厭煩。	1. 效率高，所需樣本數少：同一批受試者被重複使用，因此所需總樣本數較少。
	2. 無殘留效應 (Carryover Effects)：前一條件的影響不會殘留到下一條件。	2. 減少個體差異的變異：由於同一受試者在所有條件下接受測量，個體間的基線差異（如智力、技能等）被控制住了，因此能更精確地比較條件間的差異。
	3. 較容易執行：通常不需要複雜的設計或長時間的實驗。	3. 統計效力較高：由於個體差異的變異被控制，統計檢定的檢定力 (power) 通常較高。
缺點	1. 需要較多樣本數：每個條件都需要獨立的受試者群體。	1. 可能產生學習/練習效應：受試者在重複暴露於條件後，表現可能因練習而改善。

本題考驗對實驗設計中「多因子設計」(Factorial Design) 的理解與優勢。

一、多因子設計的理由與優點

認知心理學家之所以經常採用多因子設計，即使它比單一因子設計更複雜，主要基於以下理由與優點：

1. 檢驗因子間的交互作用 (Interaction Effects)：

   • 理由：在現實世界中，許多認知現象並非由單一因素獨立決定，而是多個因素共同作用的結果。單一因子設計只能觀察每個因子獨立的影響，而無法得知這些因素組合起來時是否會產生「額外」的、非預期的效果。
   • 優點：多因子設計能夠系統性地檢驗不同因子之間是否存在交互作用。交互作用意味著一個因子的影響程度或方向會隨著另一個因子的水準 (level) 而改變。理解交互作用能提供對現象更深入、更精確的解釋，更貼近真實世界的複雜性。例如，某種記憶策略的效果可能只在特定的訊息類型下才顯著，而在另一種訊息類型下則不明顯。

2. 提高效率與資源利用：

   • 理由：為了檢驗多個獨立因子的獨立效應，如果採用單一因子設計，需要進行多次獨立的實驗，這會消耗更多時間、資源和受試者。
   • 優點：多因子設計可以在一次實驗中同時操弄和測量多個因子。例如，一個兩因子設計可以同時檢驗因子 A 的主效應、因子 B 的主效應，以及 A 與 B 的交互作用。這大大提高了實驗效率。

3. 建立更全面的模型：

   • 理由：人類的認知過程往往是多層面、多因素相互影響的。
   • 優點：多因子設計能夠構建一個更全面、更複雜的認知模型，從而更精確地解釋觀察到的行為。例如，研究記憶時，可以同時考慮編碼方式、回憶線索、以及受試者狀態（如睡眠充足與否）這三個因子。

4. 增加結果的生態效度 (Ecological Validity)：

   • 理由：真實世界中的情況很少只有一個變數在起作用。
   • 優點：多因子設計通過同時操弄多個變數，可以更真實地模擬複雜的環境，使得實驗結果更具生態效度，更容易推論到真實世界的應用。

二、三因子設計 vs. 三個單一因子設計的比較

假設我們要研究三個因子對某項認知任務表現的影響：

• 因子 A：學習材料類型 (例如：文字 vs. 圖像)
• 因子 B：回憶線索 (例如：有線索 vs. 無線索)
• 因子 C：時間壓力 (例如：有壓力 vs. 無壓力)

情況一：三個單一因子設計
這將需要進行三次獨立的實驗：

1. 實驗 1 (只操弄 A)：比較文字材料與圖像材料對表現的影響，而 B 和 C 則固定在某個水準（例如，都有線索、無壓力）。
2. 實驗 2 (只操弄 B)：比較有線索與無線索對表現的影響，而 A 和 C 固定（例如，都用圖像、無壓力）。

本題考驗對多組比較時統計推論的關鍵概念，包括多重比較校正和事前/事後比較的區別。

1. 多重比較的校正 (Correction for Multiple Comparisons)

• 為什麼需要校正？
  當我們進行多次統計檢定時，即使每次檢定的顯著水準 ($\alpha$) 設定為一個較小的數值（例如 0.05），整體上犯下至少一次第一類錯誤（Type I error，即錯誤地拒絕一個真實為假的虛無假說，False Positive）的機率會顯著增加。這個整體犯錯的機率稱為「整體檢定水準」(Family-wise Error Rate, FWER) 或「實驗錯誤水準」(Experiment-wise Error Rate)。
  簡單來說，如果我們進行 $m$ 次獨立的檢定，每次 $\alpha=0.05$，那麼至少犯一次第一類錯誤的機率會接近 $1 - (1-\alpha)^m$。例如，如果進行 5 次檢定，FWER 約為 $1 - (0.95)^5 \approx 0.226$，遠高於原設定的 0.05。

• 不同型態的犯錯機率解釋：

  • 第一類錯誤 (Type I Error)：當虛無假說 ($H_0$) 為真時，拒絕 $H_0$。其機率為 $\alpha$。在多重比較中，我們關心的是「至少發生一次第一類錯誤」的總機率。
  • 第二類錯誤 (Type II Error)：當對立假說 ($H_1$) 為真時（即 $H_0$ 為 false），未能拒絕 $H_0$。其機率為 $\beta$。多重比較校正主要關注的是控制第一類錯誤，雖然有時也會影響檢定力（即 $1-\beta$）。

• 舉例說明：
  假設我們要比較四種不同肥料對作物產量的影響，我們有三對可能的比較：

  • 肥料 1 vs. 肥料 2
  • 肥料 1 vs. 肥料 3
  • 肥料 1 vs. 肥料 4
  • 肥料 2 vs. 肥料 3
  • 肥料 2 vs. 肥料 4
  • 肥料 3 vs. 肥料 4
    總共有 $C(4, 2) = 6$ 對可能的比較。
    如果我們將顯著水準 $\alpha$ 設定為 0.05，並對這 6 對比較分別進行 t 檢定，那麼至少有一對比較出現假陽性（錯誤地認為有顯著差異）的機率將遠大於 0.05。例如，FWER 可能會上升到 20% 或更高。
    為了控制這個整體錯誤率，我們需要進行多重比較校正，例如 Bonferroni 校正。Bonferroni 校正的做法是將原來的 $\alpha$ 除以比較的對數，即新的顯著水準變為 $\alpha' = \alpha / m$。在上述例子中，$\alpha' = 0.05 / 6 \approx 0.0083$。只有當某對比較的 p 值小於 0.0083 時，我們才認為該差異是顯著的。這樣就大大降低了犯第一類錯誤的總機率，但相對地，也可能會增加第二類錯誤的機率（降低檢定力），因為判斷標準變得更嚴格。

2. 事前比較 (A Priori Comparisons) 與 事後比較 (Post-Hoc Comparisons)

本題考驗對 ROC 曲線 (Receiver Operating Characteristic curve) 的理解，這是常用於評估二元分類模型（如診斷測試、分類器）性能的工具。

1) 何謂ROC曲線,其英文全名為何?

• 定義：ROC 曲線是一種圖形化的方法，用於展示一個二元分類模型在不同分類閾值 (threshold) 下的性能。它繪製了「真陽性率」(True Positive Rate, TPR) 對「偽陽性率」(False Positive Rate, FPR) 的曲線。
• 英文全名：Receiver Operating Characteristic curve。

2) 請試著畫出兩條典型的 ROC 曲線,並清楚標示出它的縱軸與橫軸的名稱。

      ^ True Positive Rate (TPR) / Sensitivity
      |
      |      /------------------ Good Classifier
      |     /
      |    /
      |   /
      |  /
      | /
      |/________________________> False Positive Rate (FPR) / (1 - Specificity)
      0

典型 ROC 曲線的特徵：

• 橫軸 (X-axis)：偽陽性率 (False Positive Rate, FPR)，也稱為 $1 - \text{Specificity}$。FPR = FP / (FP + TN)，其中 FP 是偽陽性 (False Positive)，TN 是真陰性 (True Negative)。
• 縱軸 (Y-axis)：真陽性率 (True Positive Rate, TPR)，也稱為敏感度 (Sensitivity) 或召回率 (Recall)。TPR = TP / (TP + FN)，其中 TP 是真陽性 (True Positive)，FN 是偽陰性 (False Negative)。
• 對角線 (Diagonal Line)：這條線代表隨機分類器 (random classifier) 的性能。如果一個分類器的性能接近隨機，它的 ROC 曲線就會接近這條對角線。
• 理想分類器：一個完美的分類器會將所有陽性樣本分類為陽性，所有陰性樣本分類為陰性，其 ROC 曲線會從左下角 (0,0) 沿著左邊邊界向上到 (0,1)，再沿著頂部邊界向右到 (1,1)。
• 曲線下的面積 (Area Under the Curve, AUC)：AUC 是衡量分類器整體性能的重要指標。AUC 值介於 0 到 1 之間。AUC = 0.5 表示隨機分類器。AUC > 0.5 表示分類器優於隨機。AUC = 1 表示完美的分類器。

兩條典型 ROC 曲線的繪製：

      ^ True Positive Rate (TPR)
      |
      |      /------------------ Good Classifier (Higher AUC)
      |     /
      |    /
      |   /
      |  /
      | /
      |/________________________> False Positive Rate (FPR)
      0
      |\
      | \
      |  \
      |   \------------------ Poor Classifier (Lower AUC, but > 0.5)
      |    \
      |     \
      |      \
      |       \
      |        \
      |         \
      +----------\----------------->
      0           1

• 較高的曲線（靠近左上角）：代表分類器性能較好，在較低的 FPR 下能獲得較高的 TPR。其 AUC 值較大。
• 較低的曲線（但仍優於隨機）：代表分類器性能較差，但仍優於隨機分類。其 AUC 值較小，但大於 0.5。
• 對角線（未畫出，但假想存在）：代表隨機分類器，AUC = 0.5。

3) 以上圖為例,簡單解釋 ROC 曲線的意義與特性,何種情形會需要繪製它。

• 意義與特性：
  • 意義：ROC 曲線展示了一個分類模型在不同靈敏度 (TPR) 和特異度 (1-FPR) 組合下的表現。

核心觀念

本題探討同一批受試者在三種磁場強度下的認知表現差異：

• 自變項：磁場強度，三個水準：$0$、$1.5$、$3$ Tesla。
• 依變項：正確回憶的物體數量，最高為 $10$。
• 受試者：四人，每人皆接受三種磁場條件。

因為每位受試者都接受全部三種磁場條件，三組資料彼此不是獨立樣本，而是「受試者內設計」。因此應採用：

單因子受試者內變異數分析，亦稱單因子重複量數 ANOVA；以受試者作為區組的隨機區組設計 ANOVA。

此方法將受試者之間穩定的個別差異從誤差中分離，能更精確檢驗磁場強度的效果。

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一、資料整理與描述統計

1. 原始資料與各條件統計量

磁場強度	羅根	琴葛雷	史考特	瑞雯	總和	平均數	樣本標準差
$0$ Tesla	9	8	5	8	30	7.50	1.73
$1.5$ Tesla	6	5	4	7	22	5.50	1.29
$3$ Tesla	3	2	3	6	14	3.50	1.73

各條件的樣本標準差公式為：

$$s=\sqrt{\frac{\sum (X-\bar X)^2}{n-1}}$$

例如，$0$ Tesla 條件的平均數為：

$$\bar X_0=\frac{9+8+5+8}{4}=7.5$$

其離均差平方和為：

$$(9-7.5)^2+(8-7.5)^2+(5-7.5)^2+(8-7.5)^2=9$$

因此：

$$s_0=\sqrt{\frac{9}{3}}=\sqrt{3}\approx1.73$$

三個磁場條件的平均數依序為：

$$7.50,\quad 5.50,\quad 3.50$$

可見磁場強度增加時，認知正確數逐步下降。

2. 受試者平均數

受試者	三種條件總和	個人平均數
羅根	18	6
琴葛雷	15	5
史考特	12	4
瑞雯	21	7

整體平均數為：

$$\bar X_{\text{總}}=\frac{66}{12}=5.5$$

3. 圖形呈現

適合使用「磁場強度—平均正確數」折線圖：

平均正確數
8 | ●
7 |
6 |       ●
5 |
4 |
3 |               ●
2 |
1 |
0 +---------------------------
      0       1.5       3
              磁場強度（Tesla）

各條件平均數為：

• $0$ Tesla：$7.5$
• $1.5$ Tesla：$5.5$
• $3$ Tesla：$3.5$

折線呈現明顯的負向趨勢，表示磁場強度越高，正確回憶數越少。

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二、重複量數 ANOVA

1. 為何採用受試者內 ANOVA

若使用三組獨立樣本 ANOVA，會錯誤地把同一位受試者在不同磁場下的資料當成彼此獨立。

本題每位受試者都經歷三種磁場，因此應將總變異分解為：

$$SS_{\text{總}}= SS_{\text{磁場}}+ SS_{\text{受試者}}+ SS_{\text{誤差}}$$

其中：

• $SS_{\text{磁場}}$：磁場強度造成的變異。
• $SS_{\text{受試者}}$：不同受試者本身能力差異造成的變異。
• $SS_{\text{誤差}}$：扣除磁場效果與受試者差異後的剩餘變異。

2. 基本資料

受試者人數：

$$n=4$$

磁場條件數：

$$k=3$$

總觀察值數：

$$N=nk=12$$

所有分數總和：

$$G=66$$

平方和：

$$\sum X^2=418$$

修正項為：

$$C=\frac{G^2}{N} =\frac{66^2}{12} =363$$

3. 總平方和

$$SS_{\text{總}}=\sum X^2-C =418-363=55$$

4. 磁場強度平方和

三個磁場條件的總和分別為 $30,22,14$，因此：

$$SS_{\text{磁場}} = \frac{30^2+22^2+14^2}{4}-363$$ $$= \frac{900+484+196}{4}-363 =395-363=32$$

5. 受試者平方和

四位受試者的總和分別為 $18,15,12,21$，因此：