113 年 國立成功大學心理學系碩士班《方法學（含統計學、實驗設計及心理測驗）》

效果量（Effect Size）是指在統計學中，用來衡量兩個或多個群體之間差異的大小，或是自變項與依變項之間關聯強度的一種指標。它獨立於樣本大小，提供一個客觀且可解釋的量化標準。

在統計假設檢定中，效果量的重要性體現在以下幾個方面：

1. 解釋統計顯著性的實際意義：即使一個研究發現了統計上顯著的結果（p值小於顯著水準 $\alpha$），但如果效果量很小，則表示實際差異或關聯強度微弱，可能沒有實際應用價值。反之，即使統計顯著性未達標，但若效果量很大，則可能暗示存在一個重要的現象，值得進一步研究或考慮。
2. 提供更全面的資訊：假設檢定主要關注的是「是否存在差異或關聯」，而效果量則關注「差異或關聯有多大」。結合兩者，研究者能更全面地理解研究結果。

這個陳述是錯誤的。迴歸分析中的迴歸係數顯著不為零，僅能證明 $X$ 與 $Y$ 之間存在統計上的關聯性（correlation）或預測關係（predictive relationship），但不能直接證明因果關係（causal relationship）。

評論如下：

1. 相關不等於因果（Correlation does not imply causation）：這是統計學中最基本的原則之一。迴歸分析可以顯示 $X$ 和 $Y$ 之間的關係有多強，以及當 $X$ 改變時 $Y$ 如何改變，但它無法排除其他潛在因素對 $Y$ 的影響。
2. 潛在的混淆變項（Confounding Variables）：可能存在一個或多個未被納入迴歸模型的變項（即潛在的混淆變項），同時影響 $X$ 和 $Y$。例如，冰淇淋的銷售量與溺水人數之間可能存在正相關，但兩者都與氣溫（混淆變項）有關，而不是冰淇淋導致溺水。

正則化估計（Regularized Estimation）是一種在統計模型估計中，透過加入懲罰項（penalty term）來約束模型參數（coefficients）大小的技術。其主要目的是為了防止模型過度擬合（overfitting）訓練資料，尤其是在自變項數量較多、與樣本數相比時，或是變數之間存在高度相關（multicollinearity）的情況下。

原理：
在標準的最小平方法（Ordinary Least Squares, OLS）估計中，目標是最小化殘差平方和（Sum of Squared Residuals, SSR）。然而，當模型複雜度高或資料問題較多時，OLS 可能會產生非常大的參數估計值，使得模型對訓練資料的擬合度極高，但對新資料的預測能力卻很差。

正則化估計在最小化 SSR 的基礎上，額外增加一個懲罰項，該懲罰項的大小與模型參數的絕對值或平方值成比例。數學上表示為：
$\min_{\beta} \left( \sum_{i=1}^{n} (y_i - x_i^T \beta)^2 + \lambda P(\beta) \right)$
其中：

• $\sum_{i=1}^{n} (y_i - x_i^T \beta)^2$ 是殘差平方和。
• $\beta$ 是模型參數向量。
• $\lambda$ (lambda) 是一個非負的調控參數（tuning parameter），它控制著懲罰項的強度。$\lambda$ 越大，懲罰越重，參數估計值越趨近於零；$\lambda$ 越小，懲罰越輕，模型越接近 OLS。
• $P(\beta)$ 是懲罰函數，常見的有：
  • Lasso (Least Absolute Shrinkage and Selection Operator)：$P(\beta) = \sum_{j=1}^{p} |\beta_j|$。Lasso 的懲罰項是參數絕對值之和。

此題為關於單一樣本平均數的假設檢定與信賴區間估計，需使用 t 檢定。

已知資訊：

• 過去新生平均數 $\mu_0 = 75$
• 樣本大小 $n = 16$
• 今年新生樣本平均數 $\bar{X} = 77.25$
• 今年新生樣本離均差平方和 $\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2 = 375$
• 顯著水準 $\alpha = 0.05$ (由題幹的 $\alpha = .05$ 推知，且通常預設為 0.05)
• 常態分配假設成立。

首先，我們需要計算今年新生樣本的變異數（sample variance）和標準誤（standard error）。
樣本變異數 $s^2 = \frac{\sum(X_i - \bar{X})^2}{n-1} = \frac{375}{16-1} = \frac{375}{15} = 25$
樣本標準差 $s = \sqrt{25} = 5$
標準誤 $SE = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{5}{\sqrt{16}} = \frac{5}{4} = 1.25$

自由度 $df = n-1 = 16-1 = 15$。

回歸係數顯著性檢定
在此題僅考驗平均數，故無迴歸係數顯著性檢定。

(1) 請檢定今年新生英文檢定成績與過去新生是否有差異? (5%)

這是雙尾檢定，檢定今年新生平均數是否與過去平均數不同。

• 統計假設：

  • 虛無假設 $H_0: \mu = 75$ （今年新生平均成績等於過去平均成績）
  • 對立假設 $H_1: \mu \neq 75$ （今年新生平均成績不等於過去平均成績）

• 檢定統計量：
  $t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{SE} = \frac{77.25 - 75}{1.25} = \frac{2.25}{1.25} = 1.8$

• 決斷值：
  在 $\alpha = 0.05$ 且 $df = 15$ 的雙尾檢定中，臨界值為 $t_{crit} = \pm 2.131$ (查 t 分配表)。

• 檢定結果：
  由於 $|t| = |1.8| < 2.131$，我們無法拒絕 $H_0$。

• 結論：
  在 $\alpha = 0.05$ 的顯著水準下，沒有足夠證據顯示今年新生英文檢定成績與過去新生有顯著差異。

【答案】
虛無假設 $H_0: \mu = 75$，對立假設 $H_1: \mu \neq 75$。
檢定統計量 $t = 1.8$。
決斷值為 $\pm 2.131$。
檢定結果 $|1.8| < 2.131$，無法拒絕 $H_0$。
結論：今年新生英文檢定成績與過去新生無顯著差異。

(2) 請檢定今年新生英文檢定成績是否顯著高於過去新生? (5%)

這是單尾檢定，檢定今年新生平均數是否顯著大於過去平均數。

• 統計假設：

  • 虛無假設 $H_0: \mu = 75$ （今年新生平均成績等於或低於過去平均成績）
  • 對立假設 $H_1: \mu > 75$ （今年新生平均成績顯著高於過去平均成績）

• 檢定統計量：
  $t = 1.8$ (同上)。

• 決斷值：
  在 $\alpha = 0.05$ 且 $df = 15$ 的單尾檢定中，臨界值為 $t_{crit} = 1.753$ (查 t 分配表)。

• 檢定結果：
  由於 $t = 1.8 > 1.753$，我們拒絕 $H_0$。

• 結論：
  在 $\alpha = 0.05$ 的顯著水準下，有足夠證據顯示今年新生英文檢定成績顯著高於過去新生。

【答案】
虛無假設 $H_0: \mu \le 75$，對立假設 $H_1: \mu > 75$。
檢定統計量 $t = 1.8$。
決斷值為 $1.753$。
檢定結果 $1.8 > 1.753$，拒絕 $H_0$。
結論：今年新生英文檢定成績顯著高於過去新生。

核心觀念

本題是 $4\times 2$ 的二因子獨立樣本變異數分析：

• 因子 $A$：居住地區，共 $a=4$ 個水準。
• 因子 $B$：性別，共 $b=2$ 個水準。
• 每個細格有 $n=2$ 人，共 $4\times2\times2=16$ 人。

二因子 ANOVA 的平方和分解為

$$SS_T=SS_A+SS_B+SS_{AB}+SS_E$$

其中 $SS_{AB}$ 為交互作用平方和，$SS_E$ 為誤差平方和。各平方和除以對應自由度後得到均方，再以誤差均方作為 $F$ 檢定分母。

題目未明示顯著水準，以下採慣用的 $\alpha=.05$。

解題方法

（1）計算①至④

① 交互作用平方和

由平方和分解式：

$$SS_{AB} =SS_T-SS_A-SS_B-SS_E$$ $$SS_{AB}=51.94-2.25-30-10.50=9.19$$

因此

$$\boxed{①=9.19}$$

② 交互作用自由度

$$df_{AB}=(a-1)(b-1) =(4-1)(2-1)=3$$

因此

$$\boxed{②=3}$$

③ 交互作用均方

$$MS_{AB}=\frac{SS_{AB}}{df_{AB}} =\frac{9.19}{3}=3.0633$$

因此

$$\boxed{③\approx3.06}$$

④ 交互作用 $F$ 值

先計算誤差均方：

$$MS_E=\frac{SS_E}{df_E} =\frac{10.50}{8}=1.3125$$

因此

$$F_{AB} =\frac{MS_{AB}}{MS_E} =\frac{3.0633}{1.3125} \approx2.334$$

所以

$$\boxed{④\approx2.33}$$

相關 ANOVA 數值如下：

來源	$SS$	$df$	$MS$	$F$
$A$	$2.25$	$3$	$0.75$	—
$B$	$30$	$1$	$30$	—
$A\times B$	$9.19$	$3$	$3.0633$	$2.334$
誤差	$10.50$	$8$	$1.3125$
總和	$51.94$	$15$

交互作用（Interaction）在心理學實驗法中，是指當兩個或多個自變項（因子）同時影響依變項時，其中一個自變項的效果會隨著另一個自變項的不同水準而改變的現象。換句話說，兩個自變項對依變項的聯合效應，並非兩個自變項各自獨立效果的簡單加總。

正式定義：
在一個包含兩個自變項（例如 A 和 B）的實驗設計中，如果因子 A 對依變項 Y 的影響，會隨著因子 B 的不同水準而改變，或者因子 B 對依變項 Y 的影響，會隨著因子 A 的不同水準而改變，則稱因子 A 和因子 B 之間存在交互作用。

更通俗的解釋：
想像一下，你正在研究兩種藥物（因子 A：藥物 X，藥物 Y）和兩種劑量（因子 B：低劑量，高劑量）對病人疼痛緩解程度（依變項）的影響。

• 無交互作用：如果藥物 X 在高劑量下比低劑量更能緩解疼痛，且藥物 Y 在高劑量下也比低劑量更能緩解疼痛，並且藥物 X 的效果優於藥物 Y，這種優勢在兩種劑量下都存在（只是在高劑量下效果更好）。

好的，我們來舉一個心理學中常見的關於記憶的實驗來說明交互作用。

實驗範例：探討學習材料類型與複習方式對記憶保留的影響

• 研究問題：學習材料的類型（例如，具體圖像 vs. 抽象概念）與複習方式（例如，主動回憶 vs. 被動重複閱讀）如何共同影響學生對這些材料的記憶保留程度？

• 自變項 (Independent Variables, IVs)：

  • 因子 A：材料類型 (2水準)
    • A1: 具體圖像（例如，描述一個房間的物品和佈局）
    • A2: 抽象概念（例如，解釋某個科學理論的原理）
  • 因子 B：複習方式 (2水準)
    • B1: 主動回憶（例如，學習後嘗試自行回憶內容，或做練習題）
    • B2: 被動重複閱讀（例如，不斷重複閱讀學習材料）

• 依變項 (Dependent Variable, DV)：

  • 記憶保留程度（例如，在學習後 24 小時進行測驗，分數越高表示記憶保留越好）。

• 實驗設計：這是一個 $2 \times 2$ 的因子設計（Factorial Design），總共有 $2 \times 2 = 4$ 個實驗條件。受試者會被隨機分配到這四個條件之一。

• 假想結果（發現顯著交互作用）：
  假設實驗結果顯示，材料類型和複習方式之間存在顯著的交互作用 ($F_{A \times B}$ 顯著)。具體結果可能如下：

  • 條件 A1B1 (具體圖像 + 主動回憶)：記憶保留分數最高，例如平均 85 分。
  • 條件 A1B2 (具體圖像 + 被動重複閱讀)：記憶保留分數較低，例如平均 60 分。
  • 條件 A2B1 (抽象概念 + 主動回憶)：記憶保留分數中等，例如平均 70 分。
  • 條件 A2B2 (抽象概念 + 被動重複閱讀)：記憶保留分數最低，例如平均 50 分。

• 對結果的解釋（說明交互作用現象）：
  在這個例子中，交互作用意味著「複習方式對記憶保留的影響，取決於學習材料的類型」。

  1. 對於具體圖像（A1）：主動回憶（B1）比被動重複閱讀（B2）能帶來顯著更高的記憶保留（85 vs. 60，差異為 25 分）。
  2. 對於抽象概念（A2）：主動回憶（B1）仍然比被動重複閱讀（B2）效果好，但差異沒有那麼大（70 vs. 50，差異為 20 分）。

  觀察到，主動回憶對於具體圖像的幫助（+25分）比對抽象概念的幫助（+20分）更大。或者，我們也可以從另一個角度看：主動回憶對具體圖像的提升效果（25分），遠大於其對抽象概念的提升效果（20分）。

不完全對抗平衡法（Incomplete Counterbalancing）是一種用於處理實驗中順序效應（order effects）的實驗設計技術，特別適用於當實驗條件數量較多，無法列出所有可能的處理順序時。

什麼是不完全對抗平衡法？
在實驗中，受試者接受一系列的處理（或刺激）。如果受試者接受處理的順序會影響其對後續處理的反應（例如，學習效應、疲勞效應、對比效應等），這些就稱為順序效應。
對抗平衡法（Counterbalancing）的目標是透過安排不同的處理順序給不同的受試者，來平均化或抵消這些順序效應的影響。

• 完全對抗平衡法（Complete Counterbalancing）：列出所有可能的處理順序（假設有 $k$ 個處理，則有 $k!$ 種順序），並將受試者隨機分配到這些順序中。這對於處理數量較少時是理想的。
• 不完全對抗平衡法（Incomplete Counterbalancing）：當處理數量較多，例如 $k \ge 4$ 時，$k!$ 的數量會非常龐大，無法實際操作。此時，我們只選擇一個處理順序的子集（subset），並將受試者隨機分配到這個子集中的不同順序。

它適用於解決什麼問題？
不完全對抗平衡法主要用於解決以下問題：

1. 處理數量龐大時的順序效應抵消：當實驗有較多個處理條件（例如 4 個或更多）時，完全對抗平衡法會產生過多（$4! = 24$, $5! = 120$, $6! = 720$...）的處理順序，使得實驗難以執行，或者需要極大的樣本量才能保證每個順序都有足夠的受試者。不完全對抗平衡法能夠在不列出所有順序的情況下，仍能對順序效應進行控制。
2. 樣本量有限時的順序效應控制：當研究者預算或時間有限，無法招募足夠多的受試者來支持完全對抗平衡法時，不完全對抗平衡法提供了一種折衷方案。

設計原則或條件：
不完全對抗平衡法的核心是「系統性地選擇」一部分順序，以確保：

1. 每個處理都出現足夠多的次數，並且在不同的位置上出現：即使不是所有順序都被列出，也要確保每個處理（例如 A, B, C, D）都有機會出現在實驗序列中的不同位置（例如，第一個、第二個、第三個...）。
2. 每個處理在每個位置上的出現頻率大致相等：例如，如果我們有 4 個處理（A, B, C, D）和 4 個實驗階段，我們希望 A 出現在第一階段、第二階段、第三階段、第四階段的機會是大致均等的。
3. 常用方法：拉丁方設計（Latin Square Design）
   • 拉丁方設計是一種常見的不完全對抗平衡法。它是一種 $k \times k$ 的方陣，其中 $k$ 是處理的數量。方陣的每一行代表一種處理順序，每一列代表實驗中的一個階段（或時間點）。
   • 原則：在拉丁方設計中，每個處理在每一行（順序）中只出現一次，並且每個處理在每一列（階段）中也只出現一次。

此題考驗的是古典心理測驗理論（Classical Test Theory, CTT）中的信度與測驗長度關係的公式，即 Spearmen-Brown 預測公式。

已知資訊：

• 原始測驗題數 (長度) $n_1 = 10$ 題
• 原始測驗信度 $r_{11} = 0.80$
• 目標信度 $r_{LL} = 0.90$

目標：
計算需要將測驗長度增加到原來的幾倍，即求新的測驗長度 $n_2$ 與原始長度 $n_1$ 的比值 $\frac{n_2}{n_1}$。

Spearman-Brown 預測公式：
該公式用於預測將測驗長度改變 $k$ 倍後，信度會如何變化。
$r_{LL} = \frac{n \cdot r_{11}}{1 + (n-1) \cdot r_{11}}$
其中：

• $r_{LL}$ 是新的（預測的）測驗的信度。
• $r_{11}$ 是原始測驗的信度。
• $n$ 是新的測驗長度與原始測驗長度的比值。也就是說，如果我們將測驗長度增加到原來的 $n$ 倍，新的信度就是 $r_{LL}$。

在本題中，我們已知目標信度 $r_{LL} = 0.90$，原始信度 $r_{11} = 0.80$，我們要計算的是這個比值 $n$。

代入公式並求解 $n$：
$0.90 = \frac{n \cdot 0.80}{1 + (n-1) \cdot 0.80}$
$0.90 \cdot [1 + (n-1) \cdot 0.80] = n \cdot 0.80$
$0.90 \cdot [1 + 0.80n - 0.80] = 0.80n$
$0.90 \cdot [0.20 + 0.80n] = 0.80n$
$0.18 + 0.72n = 0.80n$
$0.18 = 0.80n - 0.72n$
$0.18 = 0.08n$
$n = \frac{0.18}{0.08} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4} = 2.25$

這個 $n=2.25$ 表示，新的測驗長度應為原來的 2.25 倍，才能使信度達到 0.90。
新的測驗題數 $n_2 = n \times n_1 = 2.25 \times 10 = 22.5$ 題。

考慮整數倍數的要求：
題目要求「僅需考慮整數倍數」。這意味著我們需要將測驗題數增加到一個整數倍數，使得信度達到或超過 0.90。

此題考驗對兩種主要測驗參照標準的理解：常模參照測驗和標準參照測驗。

(1) 請說明何為常模參照測驗,並舉例說明其適用情境。(5%)

定義：
常模參照測驗（Norm-Referenced Test）是一種旨在評估個體在某一特定能力或特質上，相對於某一參照群體（常模群體，norm group）的相對位置的測驗。測驗分數的解釋是透過將個體的得分與常模群體的得分分佈進行比較來進行的。個體的分數會被轉換成標準分數（如 Z 分數、T 分數、百分位數 Percentile Rank, PR）來表示其在常模群體中的相對表現。

核心概念：

• 相對比較：強調個體與群體的比較，而非與絕對標準的比較。
• 常模建立：需要對一個具有代表性的常模群體進行施測，建立分數的分佈（通常是常態分配）。
• 分數解釋：分數的意義在於其在常模中的位置，例如「高於 80% 的同齡人」。
• 區辨功能：常模參照測驗通常設計來區分個體之間的差異，適用於選拔或分類。

適用情境與舉例：

1. 教育選拔與分類：
   • 大學入學考試：如學測、分科測驗（SAT, ACT）。這些考試的目的是將考生區分為不同程度的錄取者。分數的解釋通常是與所有考生比較，例如「你的總級分是全國前 10%」。
   • 資優鑑定：用於識別具有特殊才能或高潛能的學生，例如 IQ 測驗（如 Wechsler Adult Intelligence Scale, WAIS；Wechsler Intelligence Scale for Children, WISC）。分數會被轉換成 IQ 值，並與同年齡人口的平均 IQ 100 進行比較。
   • 學業成就測驗（用於診斷或分班）：例如，在學期末，學校可能會使用一個標準化的學業成就測驗來評估學生的學習程度，並與全國或地區的學生平均水平比較，以了解學生在學習上的相對強弱。
2. 心理診斷與評估（部分情況）：
   • 人格測驗：例如 MMPI (Minnesota Multiphasic Personality Inventory)。結果會與臨床常模或一般人口常模比較，以判斷受試者在特定人格特質或病理症狀上的表現是否顯著偏離。
3. 人才招募：
   • 能力傾向測驗：用於評估應徵者在特定能力（如語言理解、數理推理、空間概念）上的表現，並與該職位過往的成功者或一般求職者進行比較，以篩選出最適合的候選人。

總結：
常模參照測驗的核心是「與他人比較」，用於評估個體在群體中的相對位置，常被用於選拔、分類和鑑別。

【答案】常模參照測驗是將個體的測驗分數與一個代表性的常模群體進行比較，以評估個體在該群體中的相對位置。分數常被轉換為百分位數或標準分數。適用情境包括大學入學考試（如學測）、資優鑑定（如 IQ 測驗）、學業成就測驗的相對評估，以及人才招募中的能力篩選。

(2) 請說明何為標準參照測驗,並舉例說明其適用情境。(5%)