109 年 國立成功大學心理學系碩士班《方法學》

本題主要在考驗基本的敘述統計量計算能力，包含平均數、標準差與中位數。

計算步驟：

1. 平均數 (Mean)：
   所有數據的總和除以數據的個數。
   資料為：{1, 4, 5, 3, 9, 7, 4, 6, 9, 5}
   總和 = 1 + 4 + 5 + 3 + 9 + 7 + 4 + 6 + 9 + 5 = 53
   樣本數 (n) = 10
   平均數 $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{53}{10} = 5.3$

2. 中位數 (Median)：
   將數據由小到大排序後，位於最中間的數值。若數據個數為偶數，則取中間兩個數的平均值。
   排序後的資料：{1, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 9, 9}
   由於樣本數 n=10 (偶數)，取中間兩數 (第 5 和第 6 個數) 的平均值。
   中間兩數為 5 和 5。
   中位數 = $\frac{5 + 5}{2} = 5$

3. 標準差 (Standard Deviation)：
   標準差是衡量數據離散程度的指標，通常計算樣本標準差 (sample standard deviation)。
   樣本標準差的公式為：$s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}}$
   首先計算各數據與平均數的差的平方：

本題考驗對「保守誤差範圍」概念的理解，特別是在民意調查情境下的應用。

核心觀念：
在民意調查中，我們希望估計一個比例（例如支持某候選人的比例），但只能從一個樣本來推論母體。抽樣會產生誤差，而誤差範圍 (margin of error, MOE) 是用來量化這種抽樣變異性。

保守誤差範圍 (Conservative Margin of Error) 的意涵：
一般來說，誤差範圍的計算與信賴水準 (confidence level) 和樣本比例的變異數有關。對於比例的誤差範圍，傳統的估計公式為：
$MOE = Z \times \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$
其中 $Z$ 是對應於信賴水準的標準常態值，$\hat{p}$ 是樣本比例，n 是樣本數。

然而，為了得到一個「保守」的誤差範圍，也就是一個「最壞情況」下可能的最大誤差，我們需要考慮 $\hat{p}(1-\hat{p})$ 這項。這個項目的最大值發生在 $\hat{p} = 0.5$ 時，此時 $\hat{p}(1-\hat{p}) = 0.5 \times 0.5 = 0.25$。
因此，一個保守的誤差範圍公式為：
$Conservative MOE = Z \times \sqrt{\frac{0.25}{n}} = Z \times \frac{\sqrt{0.25}}{\sqrt{n}} = Z \times \frac{0.5}{\sqrt{n}}$

題目中提到 $1/\sqrt{N}$，這可能是在特定情境下的簡化或近似。如果將 $Z=2$ (對應於約 95% 信賴水準) 代入保守誤差範圍公式，則：
$Conservative MOE \approx 2 \times \frac{0.5}{\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n}}$

意涵說明：

1. 最大化不確定性： 這種保守估計的誤差範圍，是基於「最不確定的情況」來計算的。

本題考驗獨立樣本 t 檢定 (Independent Samples t-test) 的假設檢定流程，包含建立虛無與對立假設、計算檢定統計量、決定自由度，以及最後的決策。題目特別要求寫出檢定程序。

核心觀念：
獨立樣本 t 檢定用於比較兩個獨立樣本的平均數是否存在統計上顯著的差異。其核心是計算一個 t 值，該值衡量了兩組平均數之間的差異相對於其變異性的程度。

假設檢定步驟：

1. 建立假設 (Hypotheses)：

   • 虛無假設 ($H_0$)：兩組的平均數相等。
     $H_0: \mu_1 = \mu_2$
   • 對立假設 ($H_1$)：兩組的平均數不相等 (雙尾檢定，因為題目未指定方向)。
     $H_1: \mu_1 \neq \mu_2$

2. 設定顯著水準 (Significance Level)：
   題目指定 $\alpha = 0.01$。

3. 檢定統計量 (Test Statistic)：
   由於題目假設變異數同質性 (homogeneity of variance)，我們使用合併變異數 (pooled variance) 的公式來計算 t 值。

   • 第一組數據：$\bar{x}_1 = 124$, $s_1 = 10$, $n_1 = 10$
   • 第二組數據：$\bar{x}_2 = 110$, $s_2 = 12$, $n_2 = 8$

   首先計算合併變異數 ($s_p^2$)：
   $s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}$
   $s_p^2 = \frac{(10-1)(10^2) + (8-1)(12^2)}{10 + 8 - 2}$
   $s_p^2 = \frac{(9)(100) + (7)(144)}{16}$
   $s_p^2 = \frac{900 + 1008}{16}$
   $s_p^2 = \frac{1908}{16} = 119.25$

   接著計算 t 檢定統計量：
   $t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{s_p^2 (\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2})}}$
   $t = \frac{124 - 110}{\sqrt{119.25 (\frac{1}{10} + \frac{1}{8})}}$
   $t = \frac{14}{\sqrt{119.25 (0.1 + 0.125)}}$

核心觀念

標準分數（$Z$ 分數）的定義為：

其中：

• $X$：原始分數
• $\mu$：原始分數的平均數
• $\sigma$：原始分數的標準差，且 $\sigma>0$

此轉換包含兩個步驟：

1. $X-\mu$：將分數平移，使平均數變成 $0$。
2. 再除以 $\sigma$：將尺度調整，使標準差變成 $1$。

解題方法

設隨機變數 $X$ 的平均數為 $\mu$，標準差為 $\sigma$，並定義：

先證明 $Z$ 的平均數。

由期望值的線性性質：

因為 $E(X)=\mu$，所以：

因此：

所以，$Z$ 分數的平均數為 $0$。

接著證明 $Z$ 的標準差。

標準差是變異數的平方根，因此先求 $Z$ 的變異數：

常數平移不會改變變異數，因此：

而變數除以 $\sigma$ 時，變異數會除以 $\sigma^2$，故：

因此，$Z$ 的標準差為：

以離散資料直接驗證

若有 $n$ 個原始分數 $X_1,X_2,\ldots,X_n$，其平均數為 $\bar X$，母體標準差為：

將每個分數轉換為：

則 $Z$ 分數的平均數為：

由平均數的定義：

所以：

本題考驗獨立樣本卡方檢定 (Chi-squared test for independence) 的應用，用於檢驗兩個類別變數之間是否獨立。在此情境下，檢驗「治療方法」與「療效」這兩個變數是否獨立，也就是治療方法是否會影響療效。

核心觀念：
卡方檢定用於分析類別資料。卡方檢定獨立性檢定的核心思想是比較觀察到的頻率 (observed frequencies) 與在虛無假設（即兩個變數獨立）下預期會出現的頻率 (expected frequencies)。卡方統計量衡量了這兩者之間的差異。

假設檢定步驟：

1. 建立假設 (Hypotheses)：

   • 虛無假設 ($H_0$)：治療方法與療效是獨立的 (即，三種治療方法的療效沒有差異)。
     $H_0:$ 治療方法和療效是獨立的。
   • 對立假設 ($H_1$)：治療方法與療效不是獨立的 (即，三種治療方法的療效存在差異)。
     $H_1:$ 治療方法和療效不是獨立的。

2. 設定顯著水準 (Significance Level)：
   題目指定 $\alpha = 0.05$。

3. 計算邊際總計與總計 (Marginal Totals and Grand Total)：
   原始數據 (觀察頻率 $O$)：

   	治療成功 (Success)	治療失敗 (Failure)	小計 (Row Total)
   治療方法一	30	20	50
   治療方法二	22	28	50
   治療方法三	18	32	50
   列小計 (Col Total)	70	80	150 (Grand Total)

4. 計算預期頻率 (Expected Frequencies, E)：
   在虛無假設下，預期頻率的計算公式為：
   $E_{ij} = \frac{(\text{Row } i \text{ Total}) \times (\text{Column } j \text{ Total})}{\text{Grand Total}}$

   • 治療方法一，治療成功：$E_{11} = \frac{50 \times 70}{150} = \frac{3500}{150} \approx 23.33$
   • 治療方法一，治療失敗：$E_{12} = \frac{50 \times 80}{150} = \frac{4000}{150} \approx 26.67$
   • 治療方法二，治療成功：$E_{21} = \frac{50 \times 70}{150} = \frac{3500}{150} \approx 23.33$
   • 治療方法二，治療失敗：$E_{22} = \frac{50 \times 80}{150} = \frac{4000}{150} \approx 26.67$
   • 治療方法三，治療成功：$E_{31} = \frac{50 \times 70}{150} = \frac{3500}{150} \approx 23.33$
   • 治療方法三，治療失敗：$E_{32} = \frac{50 \times 80}{150} = \frac{4000}{150} \approx 26.67$

   預期頻率表：

   	治療成功	治療失敗
   治療方法一	23.33	26.67
   治療方法二	23.33	26.67
   治療方法三	23.33	26.67

此部分為第二大題，共包含四個子題，總配分 50%，主要涵蓋心理測驗理論中的重要概念，包括試題特徵曲線、

本題考驗對試題反應理論 (Item Response Theory, IRT) 中，試題特徵曲線 (Item Characteristic Curve, ICC) 的定義、不同參數模型如何描述 ICC，以及各參數的意義。

1. 試題特徵曲線 (Item Characteristic Curve, ICC) 的定義

試題特徵曲線 (ICC) 是試題反應理論 (IRT) 的核心概念之一。它描繪了受試者在某項測驗題目上答對的機率 (probability of a correct response) 與其潛在特質分數 (latent trait score)，通常是以能力 (ability) $\theta$ 來表示，之間的關係。

ICC 的橫軸代表受試者的潛在特質分數（能力值 $\theta$），通常是從負無窮大到正無窮大，或在特定範圍內（例如 -3 到 +3）。縱軸代表受試者答對該題目的機率 $P(\theta)$，其值介於 0 到 1 之間。

ICC 的形狀和位置由該題目的參數所決定。不同的 IRT 模型使用不同數量的參數來描述 ICC，從而捕捉不同的試題特性。

2. 單參數、二參數、三參數邏輯斯模型 (Logistic Models) 如何刻畫 ICC

邏輯斯模型是 IRT 中最常用的一類模型，它利用邏輯斯函數來描述 ICC。

• 單參數邏輯斯模型 (1PL Model - Rasch Model)

  • 公式：
    $P(\theta) = \frac{e^{(\theta - b)}}{1 + e^{(\theta - b)}}$
    或寫作：$P(\theta) = \frac{1}{1 + e^{-(\theta - b)}}$
  • 參數：
    • $\theta$: 受試者的潛在特質分數 (能力)。
    • $b$: 試題的難度參數 (difficulty parameter)。
  • ICC 刻畫：
    在 1PL 模型中，所有試題的 ICC 具有相同的斜率 (slope)，只在 $\theta$ 軸上位置不同。難度參數 $b$ 代表了使受試者答對該題目的機率達到 0.5 的能力值。當 $\theta = b$ 時，$P(\theta) = 0.5$。
    • $b$ 值越大，表示題目越難，需要更高的能力值才能達到 0.5 的答對機率。
    • ICC 的斜率相同，表示題目區辨不同能力水準受試者的能力是相同的。

• 二參數邏輯斯模型 (2PL Model)

  • 公式：
    $P(\theta) = \frac{e^{a(\theta - b)}}{1 + e^{a(\theta - b)}}$
    或寫作：$P(\theta) = \frac{1}{1 + e^{-a(\theta - b)}}$
  • 參數：
    • $\theta$: 受試者的潛在特質分數 (能力)。
    • $a$: 試題的區辨度參數 (discrimination parameter)。
    • $b$: 試題的難度參數 (difficulty parameter)。
  • ICC 刻畫：
    在 2PL 模型中，ICC 的斜率不再相同，而是由參數 $a$ 控制。
    • $a$ 值越大，表示試題的區辨度越高，ICC 的斜率越陡峭。陡峭的斜率意味著在較窄的能力範圍內，答對機率會快速從低變高，這表示該試題能有效區分能力相近的受試者。
    • $b$ 值仍代表使答對機率達到 0.5 的能力值。
    • 2PL 模型允許不同試題具有不同的難度和區辨度。

• 三參數邏輯斯模型 (3PL Model)

  • 公式：
    $P(\theta) = c + \frac{(1-c)e^{a(\theta - b)}}{1 + e^{a(\theta - b)}}$
    或寫作：$P(\theta) = c + \frac{(1-c)}{1 + e^{-a(\theta - b)}}$
  • 參數：

本題考驗對古典測驗理論 (Classical Test Theory, CTT) 下的試題分析 (Item Analysis) 的理解，特別是針對二分法計分（答對/答錯）的試題。

核心觀念：
古典測驗理論 (CTT) 認為一個測驗分數由真實分數 (True Score) 和測量誤差 (Measurement Error) 組成。試題分析是 CTT 的重要組成部分，旨在評估測驗中個別試題的品質，以便改進測驗。對於二分法計分（例如，答對得 1 分，答錯得 0 分）的試題，試題分析主要關注兩個指標：試題難度 (Item Difficulty) 和試題區辨度 (Item Discrimination)。

試題分析的步驟與指標：

1. 試題難度 (Item Difficulty)

   • 定義： 試題難度通常用試題通過率 (Item Passing Rate) 或答對率 (Item Difficulty Index) 來表示。它反映了在特定樣本中，有多少比例的受試者能夠正確回答該試題。
   • 計算方法：
     對於一個二分法計分的試題 $j$，其難度指標 $P_j$ 計算如下：
     $P_j = \frac{R_j}{N}$
     其中，$R_j$ 是答對試題 $j$ 的人數，$N$ 是總受試者人數。
   • 解釋：
     • $P_j$ 的值介於 0 和 1 之間。
     • $P_j$ 值越接近 1，表示試題越容易（越多人答對）。
     • $P_j$ 值越接近 0，表示試題越難（越少人答對）。
     • 理想的難度範圍通常取決於測驗的目的，但一般認為難度在 0.3 到 0.7 之間的試題較具鑑別力。極難或極易的試題可能無法有效區分受試者。

2. 試題區辨度 (Item Discrimination)

   • 定義： 試題區辨度衡量了該試題能否有效地區分能力較高和能力較低的受試者。一個好的試題應該能被能力高的受試者更容易答對，而被能力低的受試者更難答對。
   • 計算方法：
     最常用的方法是計算「高級組」與「低級組」的答對率差異，即 區辨度指數 (Discrimination Index, $D$)，通常取樣本的前 27% 作為高級組，後 27% 作為低級組。
     $D = P_{\text{upper}} - P_{\text{lower}}$
     其中：
     • $P_{\text{upper}}$ 是高級組受試者答對該試題的比例。
     • $P_{\text{lower}}$ 是低級組受試者答對該試題的比例。
       另一種常用的區辨度指標是 點二系列相關係數 (Point-Biserial Correlation Coefficient, $r_{pb}$)。它計算的是該試題得分（0 或 1）與總測驗分數（或總測驗的標準化分數）之間的相關係數。
       $r_{pb} = \frac{M_p - M_q}{s_t} \sqrt{PQ}$
       其中：
     • $M_p$ 是答對該試題的受試者總測驗分數的平均數。
     • $M_q$ 是答錯該試題的受試者總測驗分數的平均數。
     • $s_t$ 是總測驗分數的標準差。
     • $P$ 是該試題的答對率。
     • $Q = 1 - P$ 是該試題的答錯率。
   • 解釋：
     • 區辨度指數 ($D$)：

本題考驗對 Cronbach's alpha 指標的理解，以及為何它被視為內部一致性的度量。

核心觀念：
內部一致性 (Internal Consistency) 是指測驗中各個題目之間測量同一個潛在構念 (latent construct) 的程度。換句話說，如果一個測驗是內部一致的，那麼它包含的題目應該能夠相互印證，測量到的是同一個東西。Cronbach's alpha 是最常用來估計測驗內部一致性的指標之一。

Cronbach's Alpha 的定義與計算基礎

Cronbach's alpha 的計算基於以下幾點：

1. 測驗的分解： Cronbach's alpha 實際上是將測驗視為由許多「平行測驗」(parallel tests) 組成。平行測驗是指兩個測驗具有相同的平均數、標準差和真實分數，但題目不同。
2. 分半信度 (Split-Half Reliability) 的概念： Cronbach's alpha 可以看作是所有可能的測驗分半方法所得到的信度平均值。當我們將一個測驗分成兩半（例如，奇偶數題分組），計算這兩半分數的相關性，然後使用 Spearman-Brown 預測公式來估計整個測驗的信度。Cronbach's alpha 則進一步將這個概念推廣到將測驗分解成所有可能的子集（甚至每個題目自己本身都可以視為一個「測驗」）。
3. 題目變異數與總測驗變異數的關係： Cronbach's alpha 的公式核心在於比較題目本身的變異數與總測驗分數的變異數。

Cronbach's Alpha 的公式 (簡化版)

最常見的 Cronbach's alpha 公式為：
$\alpha = \frac{k}{k-1} \left( 1 - \frac{\sum_{j=1}^{k} \sigma_j^2}{\sigma_X^2} \right)$
其中：

• $k$：測驗中的題目數量。
• $\sigma_j^2$：第 $j$ 個題目得分的變異數。
• $\sum_{j=1}^{k} \sigma_j^2$：所有題目得分變異數的總和。
• $\sigma_X^2$：總測驗分數 (所有題目分數加總) 的變異數。

為何 Cronbach's Alpha 是內部一致性的指標？

1. 題目與總分的相關性：
   • 公式中的 $\frac{\sum_{j=1}^{k} \sigma_j^2}{\sigma_X^2}$ 這項，代表了所有題目變異數的總和佔總測驗分數變異數的比例。
   • 如果一個測驗是內部一致的，意味著每個題目都在測量同一個潛在構念。因此，每個題目得分的變異數應該能「貢獻」到總測驗分數的變異數中。
   • 如果一個題目與總測驗分數的相關性很高（即區辨度好），那麼這個題目得分的變異數在總測驗分數變異數中所佔的比例就會相對較小，因為總測驗分數的變異大部分是由其他題目貢獻的。

本題考驗對兩種不同測驗參照標準的理解：常模參照測驗 (Norm-Referenced Test, NRT) 和效標參照測驗 (Criterion-Referenced Test, CRT)。需要說明它們的異同點。

核心觀念：
測驗的參照標準 (frame of reference) 指的是用來解釋測驗分數的基準。常見的有兩種：常模參照和效標參照。

1. 常模參照測驗 (Norm-Referenced Test, NRT)

• 定義： NRT 的分數解釋是以一個特定的、代表性的參照團體 (norm group) 的分數分佈為基準。受試者的分數被解釋為相對於該參照團體的位置。
• 目的： 主要用於區分不同受試者之間在某項特質上的相對差異。它回答的問題是：「這個人在所有受試者中表現如何？」
• 分數解釋： 通常使用百分等級 (percentile rank, PR)、標準分數 (如 Z 分數、T 分數)、或標準九分數 (stanine) 等來報告分數，這些分數都反映了受試者在參照團體中的相對位置。
• 題目設計重點： 題目通常設計成涵蓋廣泛的能力範圍，並具有良好的區辨度，以便能有效區分出不同能力的受試者。
• 範例：
  • 標準化智力測驗 (如 Wechsler Adult Intelligence Scale, WAIS)。
  • 學業成就測驗（如 SAT, GRE，用於大學錄取）。
  • 人格測驗（用於了解個體在人群中的特質水平）。

2. 效標參照測驗 (Criterion-Referenced Test, CRT)

• 定義： CRT 的分數解釋是將受試者的表現與一個預先設定的、明確的行為標準或學習目標 (criterion) 進行比較。分數的意義在於說明受試者是否達到了特定的能力或知識水準。
• 目的： 主要用於評估受試者是否掌握了特定的知識、技能或行為標準。它回答的問題是：「這個人是否達到了某個特定的標準？」
• 分數解釋： 通常以「通過/不通過」(pass/fail)、掌握程度 (mastery level)、或在特定領域的表現等級來報告分數。例如，一個學習單元結束時的測驗，可能設定 80% 的答對率為及格標準。
• 題目設計重點： 題目直接對應於要評估的特定知識、技能或行為目標，並力求準確測量受試者對這些目標的掌握程度。區辨度雖然重要，但更重要的是題目對目標的代表性。
• 範例：
  • 駕照考試。
  • 駕訓班的學科測驗。
  • 學科能力測驗 (SAT) 的特定科目，若用來評估是否具備進入大學某科系的基礎知識。
  • 技能認證考試。

異同點比較：