108 年國立臺北大學都市計劃研究所乙組《統計學》考古題與詳解

Question 1

1. What is the data type of the type of housing such as apartment, single house, townhouse and condo? A. Interval B. Nominal C. Ordinal D. Ratio E. None of the above

Accepted Answer

本題在探討資料的測量尺度。居住類型（公寓、透天厝、聯排別墅、公寓大廈等）是一種分類，彼此之間沒有數值上的大小或順序關係。

名目尺度 (Nominal Scale)：用於分類，類別之間沒有順序或量化關係。例如：性別（男、女）、血型（A、B、AB、O）。
順序尺度 (Ordinal Scale)：用於分類，類別之間有順序關係，但無法量化類別間的差距。

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Question 2

2. What is the data type of the house value (unit: thousand dollars)? A. Interval B. Nominal C. Ordinal D. Ratio E. None of the above

Accepted Answer

本題探討房屋價值的資料類型。房屋價值是以「千元美金」為單位，這是一個數值，具有大小、順序，且「0」代表沒有價值，這是一個絕對的零點。

Question 3

3. What is the data type of the number of apartments in a given area? A. Interval B. Nominal C. Ordinal D. Ratio E. None of the above

Accepted Answer

本題探討某區域公寓數量的資料類型。公寓數量是一個計數值，例如 0, 1, 2, 3, ...。這個數值具有大小、順序，且 0 代表沒有公寓。

Question 4

4. Which is the most appropriate statistical chart for displaying the data for the type of housing such as apartment, single house, townhouse and condo? A. Box plot B. Dot plot C. Histogram D. Pie chart E. Scatter plot

Accepted Answer

本題要求選擇最適合呈現「房屋類型」資料的統計圖表。房屋類型（公寓、透天厝、聯排別墅、公寓大廈）是類別資料（名目尺度），我們通常想知道各類型的比例或頻率。

Box plot (盒形圖)：適合顯示單一變數的分布（中位數、四分位數、離群值），通常用於連續性資料。
Dot plot (點圖)：適合顯示少量離散資料的分布，可以清楚看到每個資料點。

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Question 5

5. Which is the most appropriate statistical chart to display the data for the location (Urban and Rural) versus the type of housing (Apartment, Single house, Townhouse and Condo)? A. Bar chart B. Box plot C. Histogram D. Scatter plot E. Stem and leaf plot

Accepted Answer

本題要求選擇最適合顯示「地點（都市/鄉村）」與「房屋類型（公寓、透天厝、聯排別墅、公寓大廈）」這兩個類別變數之間關係的統計圖表。

Bar chart (長條圖)：適合顯示類別資料的頻率或比例，也可以用來比較不同類別之間的差異。當有兩個類別變數時，可以使用群組長條圖（grouped bar chart）或堆疊長條圖（stacked bar chart）來呈現。

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Question 6

6. Which is the most appropriate statistical chart to display the data for the location (Urban and Rural) versus house value (unit: thousand dollars)? A. Bar chart B. Box plot C. Histogram D. Scatter plot E. Stem and leaf plot

Accepted Answer

本題要求選擇最適合顯示「地點（都市/鄉村）」與「房屋價值（千元美金）」之間關係的統計圖表。

Bar chart (長條圖)：適合顯示類別資料的頻率或比例，或用於比較不同類別的平均值。雖然可以比較都市與鄉村的平均房屋價值，但無法完整呈現房屋價值的分布。
Box plot (盒形圖)：非常適合顯示連續性資料（房屋價值）在不同類別（都市/鄉村）下的分布情況，包括中位數、四分位數、範圍和離群值。

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Question 7

7. Which is the least appropriate statistical chart to display the data for house value (unit: thousand dollars)? A. Bar chart B. Box plot C. Histogram D. QQ plot E. Stem and leaf plot

Accepted Answer

本題探討哪種統計圖表最不適合用來顯示「房屋價值（千元美金）」這個連續性變數。 Bar chart (長條圖)：主要用於顯示類別資料的頻率或比例。雖然可以將房屋價值分組後繪製長條圖，但這實際上變成直方圖的一種形式，且通常不如直方圖來得適合連續資料的分布。直接用房屋價值作為長條圖的類別（例如，每個價值對應一個長條）在價值範圍很大的情況下非常不適用。 Box plot (盒形圖)：非常適合顯示連續性資料的分布摘要（中位數、四分位數、離群值）。

Question 8

8. Which is the most appropriate statistical chart to display the data for house value (unit: thousand dollars) versus income (unit: thousand dollars)? A. Bar chart B. Box plot C. Histogram D. Scatter plot E. Stem and leaf plot

Accepted Answer

本題要求選擇最適合顯示「房屋價值（千元美金）」與「收入（千元美金）」這兩個連續性變數之間關係的統計圖表。

Bar chart (長條圖)：適合類別資料，不適合顯示兩個連續變數的關係。
Box plot (盒形圖)：適合顯示單一連續變數的分布，或比較不同類別變數對連續變數的影響。

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Question 9

9. Which is the most appropriate statistic to summary the data for the type of housing such as apartment, single house, townhouse and condo? A. Interquartile B. Mean C. Median D. Range E. Relative frequency

Accepted Answer

本題要求選擇最適合用來總結「房屋類型」這類類別資料的統計量。房屋類型（公寓、透天厝、聯排別墅、公寓大廈）是名目尺度資料。

Interquartile (四分位距)：用於衡量連續數據的離散程度。
Mean (平均數)：用於衡量連續數據的集中趨勢。
Median (中位數)：用於衡量連續數據的集中趨勢，對離群值不敏感。

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Question 10

10. Which is the most appropriate statistical statistic to summary the location of the data for house value (unit: thousand dollars)? A. Correlation B. Interquartile C. Mean D. Relative frequency E. Skewness

Accepted Answer

本題要求選擇最適合用來總結「房屋價值（千元美金）」這個連續性資料的「位置」（集中趨勢）的統計量。

Correlation (相關係數)：衡量兩個連續變數之間的線性關係強度和方向。
Interquartile (四分位距)：衡量連續資料的離散程度。
Mean (平均數)：最常用的衡量數據集中趨勢（位置）的統計量。

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Question 11

11. Which is the lease appropriate statistic to summary the variability of the data for house value (unit: thousand dollars)? A. Correlation B. Interquartile C. Standard deviation D. Range E. Variance

Accepted Answer

本題要求選擇「最不適合」用來總結「房屋價值（千元美金）」這個連續性資料的「變異性」（離散程度）的統計量。

Correlation (相關係數)：衡量兩個連續變數之間的線性關係，與單一變數的變異性無關。
Interquartile (四分位距)：衡量數據的離散程度，特別是中間 50% 數據的範圍。

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Question 12

12. Which is the most appropriate statistic to summary the association between the data for house value (unit: thousand dollars) and income (unit: thousand dollars)? A. Correlation B. Interquartile C. Mean D. Relative frequency E. Skewness

Accepted Answer

本題要求選擇最適合用來總結「房屋價值（千元美金）」與「收入（千元美金）」這兩個連續性變數之間的「關聯性」（關聯性）的統計量。

Correlation (相關係數)：專門用來衡量兩個連續變數之間線性關聯的強度和方向。
Interquartile (四分位距)：衡量單一變數的離散程度。

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Question 13

13. In a particular city, 20% of the residents commute to work by cars, 30% of the residents commute to work by public transportations, 10% the residents uses both. Determine the probability of a resident from this city commute to work either by cars or public transportations. A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 E. 0.7

Accepted Answer

本題考驗機率的加法法則。我們需要計算通勤者選擇開車或搭乘大眾運輸的總機率。
設 A 為通勤者選擇開車的事件，B 為通勤者選擇搭乘大眾運輸的事件。
已知：
P(A) = 0.20 (20% 的居民開車通勤)
P(B) = 0.30 (30% 的居民搭乘大眾運輸通勤)
P(A ∩ B) = 0.10 (10% 的居民同時使用這兩種方式通勤)

Question 14

14. Many organizations require their employees to be screened for drugs. Some employees are concerned that a “false positive" may be recorded from the screening; that is, employees who are not drug abusers may incorrectly test positive. Assume that 10% of a certain population are drug abusers. Suppose that the probability of a "false positive" is .5% and that the probability of a correct positive on someone who is under the influence of certain drugs is 99.9%. What is the probability that a person who tests positive is really a drug user? A. 0.0045 B. 0.0999 C. 0.1000 D. 0.9569 E. 0.9990

Accepted Answer

本題考驗貝氏定理 (Bayes' Theorem)，用於計算在已知某事件發生後，另一事件發生的條件機率。
設：

D = 該人是藥物使用者 (Drug user)
D' = 該人不是藥物使用者 (Not a drug user)
- = 藥物篩檢結果為陽性 (Tests positive)
- = 藥物篩檢結果為陰性 (Tests negative)

已知資訊：

Population drug abusers: P(D) = 0.10 (10% 的人口是藥物使用者)
Population non-drug abusers: P(D') = 1 - P(D) = 1 - 0.10 = 0.90
Probability of a "false positive": P(+ | D') = 0.005 (0.5% 的非藥物使用者會測出陽性)

Question 15

15. A corporation produces electrical components utilizing three nonoverlapping work shifts. It is known that 50% of the components are produced during shift 1, 20% during shift 2, and 30% during shift 3. A further look at product quality reveals that 6% of the components produced during shift 1 are defective. The corresponding percentage for shift 2 is 8%. Shift 3, the late-night shift, produces a relatively large percentage, 15%, of defective components. Given that a defective component is found, what is the probability that it was produced during shift 3? A. 0.150 B. 0.176 C. 0.290 D. 0.330 E. 0.495

Accepted Answer

本題考驗貝氏定理 (Bayes' Theorem)，用於計算在已知某事件（發現不良品）發生後，另一事件（由某班次生產）發生的條件機率。
設：

S1 = 組件由班次 1 生產
S2 = 組件由班次 2 生產
S3 = 組件由班次 3 生產
D = 組件是瑕疵品 (Defective)

已知資訊：

各班次生產比例：
- P(S1) = 0.50
- P(S2) = 0.20
- P(S3) = 0.30
  (驗證：0.50 + 0.20 + 0.30 = 1.00)
各班次瑕疵品比例：
- P(D | S1) = 0.06 (班次 1 生產的組件中有 6% 是瑕疵品)
- P(D | S2) = 0.08 (班次 2 生產的組件中有 8% 是瑕疵品)
- P(D | S3) = 0.15 (班次 3 生產的組件中有 15% 是瑕疵品)

Question 16

16. An IRS auditor only has time to audit two of three tax returns. Suppose two of the tax returns show that the taxpayer owes the IRS. Assume that the IRS auditor is to randomly select two of the returns. Let R denote the event of refund and N denote the event of non-refund (owe). Define the random variable X to equal the number of tax returns among the two selected. What of the following statement is incorrect? A. The outcome of this experiment is RR, NR, NN. B. The possible outcome of X is 0, 1, 2. C. P[RR]=4/9 D. P[NR]=2/9 E. P[NN]=1/9

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： - 不放回抽樣的樣本空間 - 事件與隨機變數 - 超幾何分配的機率計算 三份考卷中，已知有兩份為欠款（$N$），一份為退費（$R$）。從中隨機選取兩份，且採「不放回抽樣」。 --- 解題方法 三份考卷可表示為： $$ \{R,N,N\} $$ 從三份中選取兩份，共有： $$ \binom{3}{2}=3 $$ 種等可能的選取方式： 1. 選到 $R,N$：共 $2$ 種 2. 選到 $N,N$：共 $1$ 種 3. 選到 $R,R$：因為只有一份 $R$，不可能發生 因此： $$ P(RR)=0 $$ $$ P(NR)=\frac{2}{3} $$ $$ P(NN)=\frac{1}{3} $$ 若隨機變數 $X$ 的原意是「兩份考卷中欠款考卷的數量」，則： - 選到 $NR$ 時，$X=1$ - 選到 $NN$ 時，$X=2$ 所以在本題給定條件下，$X$ 的實際可能值為： $$ X\in\{1,2\} $$ 題目英文所寫的「the number of tax returns among the two selected」若照字面解讀，則選出的考卷總數永遠是 $2$，此時 $X$ 只能取 $2$。 --- 選項分析 A. The outcome of this experiment is RR, NR, NN. 錯誤。 因為三份考卷中只有一份是 $R$，不可能同時選到兩份 $R$，故 $RR$ 是不可能事件。依本題實際條件，可能結果只有： $$ NR,\ NN $$ --- B. The possible outcome of $X$ is 0, 1, 2. 依題目原文，這個選項也不正確。

Question 17

17. Airline overbooking is a common practice. Many people make reservations on several flights due to uncertain plans and then cancel at the last minute or simply fail to show up. Eagle Air is a small commuter airline. Its planes hold only 15 people. Past records indicate that 20% of the people making a reservation do not show up for the flight. Let X denote the number of people making a reservation but do not show up for the flight out of 15 passengers. What of the following condition is not necessary for X to be a binomial random variable? A. A passenger is considered as a trial. B. Each trial has only two outcomes such as "show up" and "don't show up". C. Each trial has the same probability of passenger not showing up. D. Trials are uncorrelated. E. Trials are independent.

Accepted Answer

核心觀念 二項隨機變數 $X$ 必須符合以下四個條件： 1. 有固定的試驗次數 $n$。 2. 每次試驗只有兩種互斥結果。 3. 每次試驗成功的機率相同。 4. 各次試驗彼此獨立。 本題中，將每一位訂位乘客視為一次試驗，觀察其是否搭乘航班。令「未出現」為成功，則未出現的機率為 $$ p=0.2 $$ 共有 $15$ 位乘客，因此若符合二項分配條件： $$ X\sim\operatorname{Binomial}(15,0.2) $$ 其機率函數為 $$ P(X=x)=\binom{15}{x}(0.2)^x(0.8)^{15-x}, \quad x=0,1,\ldots,15 $$ 解題方法 直接對照二項隨機變數的定義，判斷各選項是否屬於必要條件。二項分配要求的是「獨立」，而不是僅僅「不相關」。 在一般具有有限變異數的情況下，若各試驗獨立，則必然不相關；但「不相關」本身不代表「獨立」。因此，不相關不是二項分配的必要條件。 選項分析 A. A passenger is considered as a trial. 正確。每位乘客是否出現可視為一次試驗，總共有 $15$ 次試驗，符合固定試驗次數的設定。

Question 18

18. Airline overbooking is a common practice. Many people make reservations on several flights due to uncertain plans and then cancel at the last minute or simply fail to show up. Eagle Air is a small commuter airline. Its planes hold only 15 people. Past records indicate that 20% of the people making a reservation do not show up for the flight. Let X denote the number of people making a reservation but do not show up for the flight out of 15 passengers. Assume X is a binomial random variable. What of the following statement is incorrect? A. On a given flight, the probability that all passengers have seats is 0.215. B. The mean number of people making a reservation but do not show up for the flight equals 3. C. The mean number of people making a reservation and show up for the flight equal…

Accepted Answer

核心觀念 設不出席人數為 $$ X\sim \operatorname{Binomial}(n=15,p=0.2) $$ 其中： - $n=15$：共有 15 位訂位者； - $p=0.2$：每位訂位者未出席的機率； - 出席機率為 $1-p=0.8$。 二項分配的重要公式為： $$ E(X)=np $$ $$ \operatorname{Var}(X)=np(1-p) $$ $$ \sigmaX=\sqrt{np(1-p)} $$ --- 解題方法 逐一利用二項分配的平均數、變異數與標準差公式判斷各選項。 出席人數可表示為 $$ Y=15-X $$ 因此： $$ E(Y)=15-E(X)=15-3=12 $$ --- 選項分析 A. On a given flight, the probability that all passengers have seats is 0.215. 飛機可容納 15 人，而本題設定最多有 15 位訂位者，因此實際出席人數為 $$ Y=15-X\leq 15 $$ 所有實際出席的乘客一定都有座位，所以機率應為 $$ P(Y\leq 15)=1 $$ 並非 $0.215$，故此選項錯誤。 若題意是指「15 位訂位者全部出席」，則其機率為 $$ P(X=0)=(0.8)^{15}\approx 0.0352 $$ 同樣不等於 $0.215$。 B. The mean number of people making a reservation but do not show up for the flight

Question 19

19. What of the following statement is incorrect for a normal random variable X? A. The area under a normal curve needs to be less than 1. B. The mean and median of X are equal. C. The mean and mode of X are equal. D. The normal curve is symmetry about mean. E. The probability above the mean and below the mean has to be equal.

Accepted Answer

本題考驗對常態分布 (Normal Distribution) 特性的理解。
常態分布的機率密度函數曲線具有以下特點：

鐘形曲線 (Bell-shaped curve)：整體外形像一個鐘。
對稱性 (Symmetry)：曲線關於其平均值 $\mu$ 完全對稱。
集中趨勢 (Central tendency)：平均值 ( $\mu$ )、中位數 (Median) 和眾數 (Mode) 都相等，且都位於曲線的最高點。
總面積為 1 (Total area under the curve is 1)：曲線下的總面積代表總機率，必定等於 1。
機率解釋 (Probability interpretation)：曲線下方介於兩個點之間的面積代表該範圍內隨機變數取值的機率。

我們逐一檢視選項：
A. The area under a normal curve needs to be less than 1.

Question 20

20. Assume the secondary fee (X) for a case for a real estate agency in a real estate agency follows a normal distribution with mean 66.2 thousand dollars and standard deviation 4.4 thousand dollars. Which of the following statement is incorrect? A. The probability of this real estate agency will receive at least 70 thousand dollars equals 0.1949. B. The probability of this real estate agency will receive exactly 74.82 thousand dollars equals 0.025. C. The probability of this real estate agency will receive less than 62.4 thousand dollars equals 0.1949. D. The probability of this real estate agency will receive less than 66.2 thousand dollars equals 0.5. E. The probability of this real estate agency will receive more than 62.4 thousand dollars and less than 70 equals 0.6102.

Accepted Answer

本題考驗對常態分布 (Normal Distribution) 的機率計算，需要標準化 (Z-score) 後利用標準常態分布表。
已知：

隨機變數 X 代表二次費用 (secondary fee)，單位為千元美金。
X 服從常態分布，X ~ N( $\mu=66.2$ , $\sigma=4.4$ )。

標準化公式： $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$

我們逐一檢驗每個選項：

A. The probability of this real estate agency will receive at least 70 thousand dollars equals 0.1949.
要求 $P(X \ge 70)$ 。
計算 Z 分數： $Z = \frac{70 - 66.2}{4.4} = \frac{3.8}{4.4} \approx 0.8636$ 。
$P(X \ge 70) = P(Z \ge 0.8636)$ 。
查標準常態分布表，P(Z $\le$ 0.86) $\approx$ 0.8051。
$P(Z \ge 0.8636) = 1 - P(Z < 0.8636) \approx 1 - P(Z \le 0.86)$ (近似查表)。
$1 - 0.8051 = 0.1949$ 。
這個敘述是正確的。

B. The probability of this real estate agency will receive exactly 74.82 thousand dollars equals 0.025.
對於連續型隨機變數，任一點的機率值為 0。
$P(X = 74.82) = 0$ 。
選項說機率是 0.025，這是錯誤的。
然而，有時候題目會問「落在某個區間的機率」，例如 P(74.82 - $\delta$ $\le$ X $\le$ 74.82 + $\delta$ )。
如果題目問的是 $P(X \ge 74.82)$ ：
$Z = \frac{74.82 - 66.2}{4.4} = \frac{8.62}{4.4} \approx 1.959$ 。
$P(X \ge 74.82) = P(Z \ge 1.959) \approx 1 - P(Z \le 1.96)$ 。
查表 P(Z $\le$ 1.96) $\approx$ 0.9750。
$P(X \ge 74.82) \approx 1 - 0.9750 = 0.0250$ 。
所以，如果題目問的是「至少收到 74.82 千元」的機率，那這個敘述是正確的。
由於題目問的是「exactly」，所以這個敘述是錯誤的。
在連續分布中，問「exactly」某個值的機率，答案永遠是 0。
所以，這個敘述是錯誤的。

C. **The probability of this real estate agency will receive less than 62.4 thousand dollars equals 0.1949.

Question 21

21. What of the following condition is not necessary for the Central Limit Theorem? A. Each observation has equal mean. B. Each observation has equal variance. C. Each observation has to have a normal distribution. D. Observations are independent. E. The sample size has to be large.

Accepted Answer

本題考驗中央極限定理 (Central Limit Theorem, CLT) 的條件。
中央極限定理說明，當樣本數 n 足夠大時，不論母體分布為何，樣本平均數 $\bar{X}$ 的抽樣分布會近似於一個常態分布。CLT 的主要條件包括：

獨立性 (Independence)：來自母體的各個樣本必須是獨立的。
有限的變異數 (Finite variance)：母體的變異數 $\sigma^2$ 必須是有限的。
足夠大的樣本數 (Large sample size)：通常 n $\ge$ 30 被認為足夠大。

我們來分析每個選項：
A. Each observation has equal mean.
CLT 的前提是從一個母體中抽取樣本，母體的平均值是固定的。每個觀測值本身不一定有「相等」的平均值，而是它們都來自具有相同平均值 $\mu$ 的母體。這不是 CLT 的直接條件。CLT 關注的是樣本平均數的分布，而不是個別觀測值的平均值。

B. Each observation has equal variance.
CLT 的前提是母體的變異數 $\sigma^2$ 必須是有限的。這意味著所有觀測值都具有相同的變異數 $\sigma^2$ (來自同一個母體)。所以，有限且相同的變異數是必需的。

C. Each observation has to have a normal distribution.
CLT 的一個關鍵點是，它不要求母體分布是常態分布。即使母體不是常態分布，當樣本數足夠大時，樣本平均數的分布也會近似常態分布。因此，母體不需為常態分布。

D. Observations are independent.
獨立性是 CLT 的核心條件之一。樣本必須是獨立抽取的。

Question 22

22. What of the following condition is not necessary for collecting the random samples? A. Each observation has equal mean. B. Each observation has equal variance. C. Each observation has the same distribution. D. Observations are independent. E. The sample size has to be large.

Accepted Answer

本題考驗隨機抽樣 (Random Sampling) 的基本原則，並與中央極限定理 (CLT) 的條件混淆。
隨機抽樣的基本要求是：

獨立性 (Independence)：每個樣本的抽取不應影響其他樣本的抽取。
等機率性 (Equal probability)：母體中的每個單元都有相等的機會被選入樣本。
相同母體 (Same population)：所有樣本都來自同一個母體。

我們來分析各選項：
A. Each observation has equal mean.
這句話的表述有些奇怪。如果指「母體的平均值是固定的」，那麼這是抽取樣本的前提。但如果指「每個觀測值都等於母體平均值」，那就不對了。在隨機抽樣中，觀測值會有變異。

B. Each observation has equal variance.
如果所有觀測值都來自同一個母體，那麼它們應該遵循母體的變異數。所以，母體的變異數是固定的（有限的），這也是 CLT 的條件之一。

C. Each observation has the same distribution.
如果所有樣本都來自同一個母體，那麼它們就遵循同一個母體分布。這是隨機抽樣的基本假設。

D. Observations are independent.
獨立性是隨機抽樣（特別是簡單隨機抽樣）的一個重要原則。

Question 23

23. What of the following properties is not true for the sample mean? A. It is often used to estimate the population mean. B. The distribution of the sample mean is approximately normal when the sample size is large. C. The mean of the sample mean equals the population mean. D. The variance of the sample mean equals the population variance. E. The observations used to compute the sample mean are independent.

Accepted Answer

本題考驗對樣本平均數 (Sample Mean) 的性質和其抽樣分布的理解。
假設我們從一個母體抽取樣本，母體的平均值為 $\mu$ ，變異數為 $\sigma^2$ 。我們抽取一個大小為 n 的樣本，樣本平均數為 $\bar{X}$ 。

以下是樣本平均數的性質：

估計量 (Estimator)：樣本平均數 $\bar{X}$ 是母體平均數 $\mu$ 的一個無偏估計量。
- 選項 A: "It is often used to estimate the population mean." 這是正確的。
抽樣分布 (Sampling Distribution)：
- 平均值 (Mean of the sample mean)：樣本平均數的期望值等於母體平均數，即 $E(\bar{X}) = \mu$ $E (\overset{ˉ}{X}) = μ$ 。
  - 選項 C: "The mean of the sample mean equals the population mean." 這是正確的。
- 變異數 (Variance of the sample mean)：如果母體變異數為 $\sigma^2$ ，且樣本是獨立抽取的（或無放回抽樣且樣本數遠小於母體數），則樣本平均數的變異數為 $Var(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$ 。

Question 24

24. What of the following properties is not true for the sample mean? A. It is often used to estimate the population mean. B. The distribution of the sample mean is approximately normal when the sample size is large. C. The mean of the sample mean equals the population mean. D. The variance of the sample mean equals the population variance. E. The observations used to compute the sample mean are independent.

Accepted Answer

本題與上一題 (Q23) 完全相同，考驗對樣本平均數 (Sample Mean) 的性質和其抽樣分布的理解。

假設我們從一個母體抽取樣本，母體的平均值為 $\mu$ ，變異數為 $\sigma^2$ 。我們抽取一個大小為 n 的樣本，樣本平均數為 $\bar{X}$ 。

以下是樣本平均數的性質：

估計量 (Estimator)：樣本平均數 $\bar{X}$ 是母體平均數 $\mu$ 的一個無偏估計量。
- 選項 A: "It is often used to estimate the population mean." 這是正確的。
抽樣分布 (Sampling Distribution)：
- 平均值 (Mean of the sample mean)：樣本平均數的期望值等於母體平均數，即 $E(\bar{X}) = \mu$ $E (\overset{ˉ}{X}) = μ$ 。
  - 選項 C: "The mean of the sample mean equals the population mean." 這是正確的。
- 變異數 (Variance of the sample mean)：如果母體變異數為 $\sigma^2$ ，且樣本是獨立抽取的（或無放回抽樣且樣本數遠小於母體數），則樣本平均數的變異數為 $Var(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$ 。

Question 25

25. The Tourism Bureau of Taiwan, would like to estimate the mean amount of money spent by a tourist to within $1000 with 95% confidence. If the amount of money spent by tourists is considered to be normally distributed with a standard deviation of $2000, what sample size would be necessary for the Chamber of Commerce to meet its objective in estimating this mean amount? A. 4 B. 6 C. 8 D. 11 E. 16

Accepted Answer

本題考驗樣本大小 (Sample Size) 的計算，用於估計母體平均值，且母體標準差已知。
我們需要估計母體平均數 $\mu$ ，要求估計的誤差範圍 (Margin of Error, ME) 不超過 $1000 美元，且信賴水準 (Confidence Level) 為 95%。
已知：

母體標準差 $\sigma = 2000$ 美元。
允許的最大誤差範圍 $ME = 1000$ 美元。
信賴水準 = 95%。

對於常態分布且母體標準差已知的母體，樣本平均數的抽樣分布是常態分布。
估計母體平均數時，誤差範圍的公式為：
$ME = Z_{\alpha/2} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
其中：

$Z_{\alpha/2}$ 是對應於信賴水準的標準常態分布的臨界值。
$\sigma

Question 26

26. What of the following properties is not true for the t distribution? A. As the degrees of freedom increase, the t distribution is nearly identical to the standard normal distribution. B. The mean of the t distribution equals 0. C. The t distribution is bell shaped. D. The t distribution is symmetric about 0. E. The t distribution has thinner tails than the standard normal distribution.

Accepted Answer

本題考驗對 t 分布 (t-distribution) 特性的理解。
t 分布是一種機率分布，用於在樣本標準差未知且母體標準差用樣本標準差估計時，進行假設檢定和信賴區間估計。t 分布的形狀取決於自由度 (degrees of freedom, df)。

t 分布的特性：

對稱性 (Symmetry)：t 分布是關於其平均值 0 對稱的。
- 選項 D: "The t distribution is symmetric about 0." 這是正確的。
平均值 (Mean)：t 分布的平均值為 0。
- 選項 B: "The mean of the t distribution equals 0." 這是正確的。
形狀 (Shape)：t 分布是鐘形曲線，但比標準常態分布更扁平，尾部更厚。
- 選項 C: "The t distribution is bell shaped." 這是正確的。

Question 27

27. What of the following properties is true for the confidence interval? A. As the confidence level gets larger, the length of confidence interval tends to be shorter. B. As the mean gets larger, the length of confidence interval tends to be shorter. C. As the sample size increases, the length of confidence interval tends to be shorter. D. As the variance gets larger, the length of confidence interval tends to be shorter. E. The confidence interval has the same length regardless of the random samples.

Accepted Answer

本題考驗對信賴區間 (Confidence Interval) 長度的影響因素的理解。
信賴區間的長度通常由以下公式決定（以估計母體平均值為例，母體標準差未知）：
Length = $2 \times t_{\alpha/2, n-1} \times \frac{s}{\sqrt{n}}$
其中：

$t_{\alpha/2, n-1}$ 是對應於信賴水準 $1-\alpha$ 和 $n-1$ 自由度的 t 分布臨界值。
s 是樣本標準差。
n 是樣本大小。

如果母體標準差 $\sigma$ 已知，則公式為：
Length = $2 \times Z_{\alpha/2} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

我們逐一分析各選項：

A. As the confidence level gets larger, the length of confidence interval tends to be shorter.
信賴水準越大， $\alpha$ 越小， $\alpha/2$ 越小。無論是 $Z_{\alpha/2}$ 還是 $t_{\alpha/2, n-1}$ ，其值都會越大。同時，分母 $\sqrt{n}$ 不變（如果樣本大小固定）。因此，臨界值越大，信賴區間的長度會變長，而不是變短。這個敘述是錯誤的。

B. As the mean gets larger, the length of confidence interval tends to be shorter.
信賴區間的長度公式中，不包含樣本平均值 $\bar{x}$ 或母體平均值 $\mu$ 。

Question 28

28. Which is the most appropriate statistical test to evaluate the association between the data for the location (Urban and Rural) and house value (unit: thousand dollars)? A. Chi-square test B. F test C. McNemar test D. Paired T test E. Two-independent sample T test

Accepted Answer

本題要求選擇最適合評估「地點（都市/鄉村）」與「房屋價值（千元美金）」之間關聯性的統計檢定方法。

地點 (Location)：這是一個類別變數 (Categorical Variable)，有兩個類別：都市 (Urban) 和鄉村 (Rural)。
房屋價值 (House value)：這是一個連續性變數 (Continuous Variable)。

我們需要檢定一個類別變數（有兩個類別）是否與一個連續性變數有關聯。

我們來分析各選項：
A. Chi-square test (卡方檢定)：主要用於檢定兩個類別變數之間是否存在關聯，或者檢定觀察頻率與期望頻率是否一致。不適用於類別變數與連續變數的關聯性檢定。
B. F test (F檢定)：通常用於比較兩個或多個群體的變異數是否相等（如 ANOVA 的一部分），或者用於迴歸分析中檢定迴歸模型的顯著性。雖然 ANOVA (Analysis of Variance) 可以用於比較不同類別群體的平均數，但 F 檢定本身不是直接檢定關聯性的名稱。

Question 29

29. What of the following condition is not required to construct a régression model? A. The mean value of each error term equals to 0. B. The observations are independent. C. The observations have the common variance. D. The response variable has a common normal distribution. E. The response variable has to be linear associated with the explanatory variable.

Accepted Answer

核心觀念 本題考察建立線性迴歸模型時的基本假設。一般線性迴歸模型可表示為 $$ Yi=\beta0+\beta1Xi+\varepsiloni, $$ 其中： - $Yi$：反應變數； - $Xi$：解釋變數； - $\beta0,\beta1$：迴歸係數； - $\varepsiloni$：誤差項。 常見的迴歸模型假設包括： $$ E(\varepsiloni)=0, $$ $$ \operatorname{Var}(\varepsiloni)=\sigma^2, $$ 且各誤差項彼此獨立。若要進行精確的小樣本統計推論，通常另加上誤差項服從常態分配： $$ \varepsiloni\sim N(0,\sigma^2). $$ 注意：常態性是針對誤差項或條件分配而言，不是指所有反應變數必須具有相同的常態分配。 解題方法 題目問「哪一項不是建立迴歸模型所需要的條件」，可逐一檢查各選項是否符合線性迴歸模型的基本假設。 在線性迴歸模型下，給定 $Xi=xi$ 時， $$ Yi\mid Xi=xi = \beta0+\beta1xi+\varepsiloni. $$ 若誤差項具有平均數 $0$ 與變異數 $\sigma^2$，則 $$ E(Yi\mid Xi=xi)=\beta0+\beta1xi, $$ $$ \operatorname{Var}(Yi\mid Xi=xi)=\sigma^2. $$ 因此，不同的 $xi$ 通常會對應不同的反應變數平均值；反應變數不必具有「共同的常態分配」。故不符合必要條件的是 D。 選項分析 A. The mean value of each error term equals to 0. 誤差項平均數為 $0$ 是迴歸模型的重要假設： $$ E(\varepsiloni)=0. $$ 這表示模型沒有系統性高估或低估。若誤差平均數不為 $0$，代表模型中仍存在未被納入的系統性因素，截距項或其他模型結構可能需要調整。 因此 A 是必要條件。 B. The observations are independent. 觀測值彼此獨立是標準迴歸模型假設之一。若觀測值之間存在相關性，例如時間序列資料具有自我相關，則一般最小平方法的標準誤、檢定與信賴區間可能失真。 因此 B 是必要條件。

Question 30

30. A real-estate agent would like to know whether renovation in an area would increase the house value. He randomly selects a sample of houses before renovation. He evaluates the house value before and after renovation. Which is the most appropriate statistical test to answer this question? A. Chi-square test B. F test C. McNemar test D. Paired T test E. Two-independent sample T test

Accepted Answer

本題要求選擇最適合檢定「房屋翻新是否會增加房屋價值」的統計檢定方法。
情境描述：

同一批房屋，在翻新前和翻新後分別進行價值評估。
這是對同一組對象進行兩次測量（翻新前 vs. 翻新後）。

我們需要比較翻新前後的房屋價值是否有顯著差異。由於是同一批房屋進行前後比較，這屬於配對樣本 (Paired Samples)。

我們來分析各選項：
A. Chi-square test (卡方檢定)：用於類別資料的關聯性檢定。不適用於連續變數（房屋價值）的比較。
B. F test (F檢定)：通常用於變異數比較或迴歸模型。與此情境不直接相關。

Question 31

31. Consider the problem of time use for housework for female and male. The time is reported by the average number of minutes per day spent on cooking and washing up. The following provides some summary statistics: Sample mean Sample standard deviation Women 733 Men 1219 37 23 16 32 95% CI for difference: (11.9, 16.1) Which of the following statement is the most appropriate statement? A. The average time use for women is significantly different than that for men. B. The average time use for women is significantly higher than that for men. C. The average time use for women is significantly lower than that for men. D. The average time use for women is similar to that for men. E. The information is not sufficient to make any inference.

Accepted Answer

本題要求根據提供的摘要統計資料和 95% 信賴區間，判斷關於女性和男性使用家務時間的敘述中最合適的是哪一個。
給定資料：

女性 (Women)：樣本數 $n_W = 733$ ，樣本平均數 $\bar{x}_W = 37$ 分鐘，樣本標準差 $s_W = 16$ 分鐘。
男性 (Men)：樣本數 $n_M = 1219$ ，樣本平均數 $\bar{x}_M = 23$ 分鐘，樣本標準差 $s_M = 32$ 分鐘。
女性與男性平均時間差異的 95% 信賴區間：CI for difference = (11.9, 16.1)。
這裡的「difference」通常是指 $\mu_W - \mu_M$ 或 $\mu_M - \mu_W$ 。
根據樣本平均數，女性的平均時間 (37) 高於男性的平均時間 (23)。
所以，這個信賴區間很可能是指 $\mu_W - \mu_M$ 的信賴區間。
即，女性平均家務時間減去男性平均家務時間的 95% 信賴區間是 (11.9, 16.1)。

現在我們來分析選項：

A. The average time use for women is significantly different than that for men.
信賴區間 (11.9, 16.1) 不包含 0。這表示母體平均時間的差異 $\mu_W - \mu_M$ 不等於 0。換句話說，女性和男性的平均家務時間有顯著差異。這個敘述是可能的。

B. The average time use for women is significantly higher than that for men.

Question 32

32. Suppose a potential customer would like to evaluate where there exist difference in house value (unit: thousand dollars) between urban and Rural areas. Let µ₁ and µ₂ denote the average house value for urban and Rural areas. Also, let x₁ and X₂ denote the sample mean of house value for urban and Rural areas. Which of the following statement is correct? A. Ηο: μ₁ ≥ μ₂ versus Ha: μ₁ < μ₂. B. Ηο: μ₁ = μ₂ versus Ha: μ₁ ≠ μ₂. C. Ho: X₁ = X₂ versus Ha: X₁ < X₂. D. Ho: X₁ = X₂ versus Ha: X₁ ≠ X₂. E. Ho: X₁ ≥ X₂ versus Ha: X₁ < X₂.

Accepted Answer

本題考驗建立統計檢定時，虛無假設 (Null Hypothesis, H₀) 和對立假設 (Alternative Hypothesis, Hₐ) 的正確表述。 研究問題：客戶想評估「都市」和「鄉村」地區房屋價值是否存在差異。 $\mu1$：都市地區的平均房屋價值。 $\mu2$：鄉村地區的平均房屋價值。 $\bar{x}1$：都市地區的樣本平均房屋價值。 $\bar{x}2$：鄉村地區的樣本平均房屋價值。 統計檢定的目標是判斷母體平均值之間是否存在差異。虛無假設通常代表「沒有差異」或「沒有效果」的狀態，而對立假設則代表研究者希望證明的情況。 我們要檢定的是「是否存在差異」，這意味著我們要檢定 $\mu1$ 和 $\mu2$ 是否相等。 因此，虛無假設 (H₀) 應該是 $\mu1 = \mu2$。 對立假設 (Hₐ) 則代表「存在差異」，即 $\mu1 
e \mu2$。 我們來分析各選項： A. H₀: μ₁ ≥ μ₂ versus Hₐ: μ₁ < μ₂. 這是單尾檢定，聲稱都市平均值小於鄉村平均值。這與「存在差異」的目標不完全一致，且虛無假設包含「等於」和「大於」。

Question 33

33. Which is the most appropriate test to evaluate the association for the data of the location (Urban and Rural) and the type of housing (Apartment, Single house, Townhouse and Condo)? A. Chi-square test B. F test C. McNemar test D. Paired T test E. Two-independent sample T test

Accepted Answer

本題要求選擇最適合評估「地點（都市/鄉村）」與「房屋類型（公寓、透天厝、聯排別墅、公寓大廈）」之間關聯性的統計檢定方法。

地點 (Location)：這是一個類別變數 (Categorical Variable)，有兩個類別：都市 (Urban) 和鄉村 (Rural)。
房屋類型 (Type of housing)：這也是一個類別變數 (Categorical Variable)，有多個類別：公寓 (Apartment)、透天厝 (Single house)、聯排別墅 (Townhouse)、公寓大廈 (Condo)。

我們需要檢定兩個類別變數之間是否存在關聯性。

Question 34

34. Which is the correct statement of the null hypothesis to evaluate the association for the data of the location (Urban and Rural) and the type of housing (Apartment, Single house, Townhouse and Condo)? A. Ho: Location and type of housing are associated. B. Ho: Location and type of housing are dependent. C. Ho: Location and type of housing are independent. D. Ho: Location and type of housing are uncorrelated. E. None of the above.

Accepted Answer

本題要求建立檢定「地點（都市/鄉村）」與「房屋類型」之間關聯性的虛無假設 (Null Hypothesis, H₀)。
我們知道，檢定兩個類別變數之間關聯性的標準方法是卡方檢定 (Chi-square test)。卡方檢定的虛無假設是兩個變數是獨立的，而對立假設是它們是相關的（或稱相依的）。

獨立 (Independent)：一個變數的發生不影響另一個變數的發生。
關聯/相依 (Associated/Dependent)：一個變數的發生會影響另一個變數的發生。

虛無假設 (H₀) 總是代表「沒有效果」、「沒有差異」或「沒有關聯」的狀態。
在此情境下，虛無假設應為「地點」和「房屋類型」之間沒有關聯。
「沒有關聯」可以用「獨立」來表達。

我們來分析各選項：
A. H₀: Location and type of housing are associated.
這是對立假設 (Hₐ) 的陳述，而不是虛無假設。

Question 35

35. When Ho is true in a given test with significance level 0.05, what is the most range for the p-value? A. Equals to 0.05. B. Greater than or equal to 0.95. C. Greater than or equal to 0.05. D. Less than 0.05. E. Less than 0.95.

Accepted Answer

核心觀念 假設檢定中，$p$ 值是： 在虛無假設 $H0$ 為真時，觀察到目前檢定統計量或更極端結果的機率。 以顯著水準 $\alpha=0.05$ 判斷： - 若 $p	ext{-value}<0.05$，拒絕 $H0$。 - 若 $p	ext{-value}\ge 0.05$，不拒絕 $H0$。 本題問在 $H0$ 為真、顯著水準為 $0.05$ 時，$p$ 值的合理範圍，依選項設計應判定為： $$ p	ext{-value}\ge 0.05 $$ 解題方法 直接利用 $p$ 值與顯著水準的判斷規則： $$ p	ext{-value}<\alpha \quad\Rightarrow\quad 	ext{拒絕 }H0 $$ $$ p	ext{-value}\ge \alpha \quad\Rightarrow\quad 	ext{不拒絕 }H0 $$ 題目指出 $H0$ 為真，因此依一般考試語境，應選擇不拒絕 $H0$ 的情況。代入 $\alpha=0.05$： $$ p	ext{-value}\ge 0.05 $$ 因此選項 C 正確。 嚴格而言，$H0$ 為真時，$p$ 值仍可能因抽樣誤差而小於 $0.05$；此時發生第一類錯誤，其機率為 $0.05$。但本題選項顯然是依「不拒絕真實虛無假設」的基本判斷規則命題，標準答案為 C。 選項分析 A. Equals to 0.05. 錯誤。$p$ 值不必恰好等於 $0.05$，它可能大於、等於或小於 $0.05$。顯著水準是事先設定的門檻，不是 $p$ 值固定的數值。 B. Greater than or equal to 0.95.

Question 36

36. Which of the following statement is correct? A. A 95% confidence interval for µ = population mean IQ is (96, 110). So, in the test of Ho: μ = 100 versus Ha: μ≠ 100, the p-value is greater than 0.05. B. For a fixed significance level a, the probability of a Type II error increases when the same size increases. C. If we reject Ho: µ = 0 in a study about change in weight on a new diet using a significance level of a = 0.05, then we also reject it using a = 0.01. D. P[Type II error]=1-P[Type I error] E. The p value is the probability that Ho is true.

Accepted Answer

這題主要考驗考生對信賴區間與 P 值之間關係、第二類錯誤的定義與影響因素、顯著水準與假設檢定結果的關聯性，以及 P 值的正確定義。 解題過程： 我們逐一檢視各個選項： 選項 A： 題目給定一個母體平均數 $\mu$（人口平均 IQ）的 95% 信賴區間為 (96, 110)。同時，我們進行虛無假說 $H0: \mu = 100$ 對立假說 $Ha: \mu 
eq 100$ 的檢定。 一個重要的觀念是：如果虛無假說中的母體參數值（在此為 $\mu = 100$）落在信賴區間內，則在對應的顯著水準 $\alpha$ 下，我們無法拒絕虛無假說。 在此，95% 信賴區間對應的顯著水準為 $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$。由於 100 落在信賴區間 (96, 110) 內，因此在 $\alpha = 0.05$ 的顯著水準下，我們無法拒絕 $H0$。 當我們無法拒絕 $H0$ 時，表示 P 值大於顯著水準 $\alpha$。也就是說，P 值 0.05。 因此，選項 A 的敘述是正確的。 選項 B： 第二類錯誤（Type II error）是指當虛無假說 $H0$ 為真時，我們卻未能拒絕 $H0$ 的情況。 在其他條件（如母體變異數、顯著水準 $\alpha$）固定下，樣本數增加（sample size increases）會使得抽樣分配的變異數變小，因此樣本統計量會更接近母體參數。這會使得檢定更具備偵測出真實差異的能力，也就是說，當對立假說 $Ha$ 為真時，我們拒絕 $H0$ 的機率（檢定力，power）會增加。 相對地，第二類錯誤的機率 $\beta$ 會減少。 因此，選項 B 的敘述是錯誤的。

Question 37

An industrial plant claims to discharge no more than 1000 gallons of wastewater per hour, on the average, into a neighboring lake. An environmental action group took some random samples from the lake over a period of time to analyze whether the true mean discharge of wastewater per hour exceeded the company claim of 1000 gallons. Consider a one-sided hypothesis test and use a significance level of $\alpha=0.05$ . Which of the following statements is correct?

(A) If the plant is not exceeding the limit, but actually $\mu=1000$ , there is only a 5% chance that we will conclude they are exceeding the limit.

(B) If the plant is exceeding the limit, there is only a 5% chance that we will conclude that they are not exceeding the limit.

(C) If we reject $H_0$ , the probability that it is actually true is 0.05.

(D) The probability that the sample mean equals exactly the observed value would equal 0.05 if $H_0$ were true.

(E) All of the above.

Accepted Answer

核心觀念 本題考單尾假設檢定中的顯著水準與第一類錯誤。依題意可設 $$ H0:\mu\le 1000,\qquad Ha:\mu1000 $$ 其中 $\mu$ 是每小時平均排放量。顯著水準 $\alpha=0.05$，表示在虛無假設為真時，錯誤拒絕 $H0$ 的機率至多為 $0.05$；在連續型檢定中，通常以邊界值 $\mu=1000$ 校準，使該機率等於 $0.05$。 解題方法 圖中第 37 題給的是工廠聲稱每小時平均排放量不超過 1000 加侖，環保團體抽樣檢驗真實平均排放量是否超過 1000，並指定單尾檢定與 $\alpha=0.05$。判斷各選項時，先把「拒絕 $H0$」視為判定工廠超標，再分清楚第一類錯誤、第二類錯誤與檢定的 $p$ 值。 當實際上 $\mu=1000$ 時，$H0$ 為真。若檢定規則的顯著水準為 $0.05$，則錯誤拒絕 $H0$、判定工廠超標的機率為 $0.05$。這正是選項 (A) 所述。 選項分析

Question 38

Suppose that a 99% confidence interval for the difference $p_1-p_2$ between the proportions of men and women in Taiwan who are alcoholics equals $(0.02, 0.09)$ .

(A) We are 99% confident that the proportion of alcoholics is between 0.02 and 0.09.

(B) We are 99% confident that the proportion of men in Taiwan who are alcoholics is between 0.02 and 0.09 larger than the proportion of women in Taiwan who are.

(C) We can conclude that the population proportions may be equal.

(D) We are 99% confident that a minority of Taiwan residents are alcoholics.

(E) Since the confidence interval does not contain 0, it is impossible that $p_1=p_2$ .

Accepted Answer

核心觀念 本題考的是兩母體比例差的信賴區間解讀。令 $p1$ 為台灣男性酒精成癮者的母體比例，$p2$ 為台灣女性酒精成癮者的母體比例。題目給出的 99% 信賴區間是 $$ p1-p2\in(0.02,\,0.09) $$ 區間下限與上限都大於 $0$，表示男性的酒精成癮比例高於女性；估計差距介於 $0.02$ 與 $0.09$ 之間，也就是 2 至 9 個百分點。 解題方法 先確認區間所估計的參數是 $p1-p2$，而不是單一比例 $p1$ 或 $p2$。因此，正確解讀必須同時說明： 1. 比較的是男性與女性的比例差。 2. 差值的範圍是 0.02 至 0.09。 3. 由於整個區間大於 $0$，方向是男性比例較高。 「99% 信賴」描述的是建構區間的方法：若在相同條件下反覆抽樣並建構區間，約 99% 的區間會涵蓋真實的 $p1-p2$。 選項分析 (A) 錯誤。 本題區間估計的是比例差 $p1-p2$，不是酒精成癮者的單一母體比例。因此不能把 $(0.02,0.09)$ 解讀成全體酒精成癮比例的範圍。

Question 39

Which of the following statements is true when the one-way ANOVA provides relatively more evidence that $H0:\mu1=\mu2=\cdots=\mug$ is rejected? (A) The smaller the between-groups variation. (B) The smaller the within-groups variation. (C) The larger the between-groups variation. (D) The larger the within-groups variation. (E) None of the above.

Accepted Answer

核心觀念 單因子變異數分析以 $F$ 統計量比較組間變異與組內變異： $$ F=\frac{MS{	ext{between}}}{MS{	ext{within}}} $$ 其中，$MS{	ext{between}}$ 是組間均方，反映各組平均數彼此的差異；$MS{	ext{within}}$ 是組內均方，反映各組內觀測值的分散程度。$F$ 越大，越有證據反對「各組母體平均數相等」的虛無假設。 解題方法 圖中第 39 題問：單因子變異數分析對拒絕 $H0:\mu1=\mu2=\cdots=\mug$ 提供較多證據時，哪個敘述正確？選項包含「組內變異較小」與「組間變異較大」。 由 $F$ 統計量可直接判斷：組間變異較大會使分子增大；組內變異較小會使分母減小。兩者都會讓 $F$ 增大，因此 (B) 與 (C) 都符合題意。

Question 40

Which of the following statements about the coefficient of determination $R^2$ is incorrect? (A) As the number of explanatory variables increases, $R^2$ may increase. (B) It provides the percentage of explained variance in the response variable using the regression model. (C) Its value must fall between 0 and 1. (D) The correlation coefficient must equal $R^2$. (E) When $R^2=1$, the response variable has an exact linear relationship with the explanatory variable in the simple regression model.

Accepted Answer

核心觀念 決定係數 $R^2$ 衡量迴歸模型解釋反應變數變異的程度。含截距項的最小平方法迴歸中， $$ R^2=1-\frac{\mathrm{SSE}}{\mathrm{SST}} =\frac{\mathrm{SSR}}{\mathrm{SST}}, $$ 其中 $\mathrm{SSE}$ 是殘差平方和、$\mathrm{SSR}$ 是迴歸平方和、$\mathrm{SST}$ 是總平方和。此設定下 $0\le R^2\le 1$。 在含截距項的簡單線性迴歸中，$R^2$ 等於樣本相關係數 $r{XY}$ 的平方： $$ R^2=r{XY}^2. $$ 因此，$R^2$ 不保留相關係數的正負方向。 解題方法 逐項檢查敘述是否符合 $R^2$ 的定義與性質。判斷關鍵在於區分「相關係數」與「相關係數的平方」：簡單線性迴歸中，相關係數通常不等於 $R^2$，而是 $R^2=r{XY}^2$。 選項分析

108 年 國立臺北大學都市計劃研究所乙組《統計學》

第 1 題

第 2 題

第 3 題

第 4 題

第 5 題

第 6 題

第 7 題

第 8 題

第 9 題

第 10 題

第 11 題

第 12 題

第 13 題

第 14 題

第 15 題

第 16 題

第 17 題

第 18 題

核心觀念

解題方法

選項分析

A. On a given flight, the probability that all passengers have seats is 0.215.

B. The mean number of people making a reservation but do not show up for the flight

第 19 題

第 20 題

第 21 題

第 22 題

第 23 題

第 24 題

第 25 題

第 26 題

第 27 題

第 28 題

第 29 題

核心觀念

解題方法

選項分析

A. The mean value of each error term equals to 0.

B. The observations are independent.

第 30 題

第 31 題

第 32 題

第 33 題

第 34 題

第 35 題

核心觀念

解題方法

選項分析

第 36 題

第 37 題

第 38 題

核心觀念

解題方法

選項分析

第 39 題

第 40 題

核心觀念

解題方法

選項分析

其他考古題

108 年臺北大學的其他科目

臺北大學《統計學》其他年度

其他學校的工程科學與其他考古題

108 年國立臺北大學都市計劃研究所乙組《統計學》