111 年 國立臺北大學都市計劃研究所甲組《統計學》

本題主要在考察資料視覺化（Data Visualization）的應用，以及不同圖表類型適合呈現的資料特性與關係。

核心觀念：

1. 單變數視覺化：如何呈現單一變數的分布或特徵。
2. 多變數視覺化：如何呈現兩個或多個變數之間的關係。
3. 變數類型：定性變數（如 location, balcony）與定量變數（如 distance, floor size, housing price）的視覺化方法。

題目分析與解題思路：

我們需要根據每個子題所要視覺化的變數類型及其個數，來選擇最適合的圖表。

變數說明：

• Housing Price: 定量 (連續)
• Location: 定性 (三個類別：metropolitan area, urban, suburban)
• Floor Size: 定量 (連續)
• Distance to metro station: 定量 (連續)
• Number of bathrooms: 定性 (三個類別：1, 2, 3)
• Having balcony: 定性 (兩個類別：yes, no)

圖表類型判斷：

• 長條圖 (Bar Chart)：適合呈現定性變數的頻率分布，或離散定量變數的分布。圖 (A) 似乎是長條圖。
• 盒鬚圖 (Box Plot)：適合呈現定量變數的分布摘要（中位數、四分位數、離群值），常用於比較不同群組間的分布。圖 (B) 可能是盒鬚圖。
• 直方圖 (Histogram)：適合呈現定量變數的頻率分布。圖 (C) 似乎是直方圖。
• 散點圖 (Scatter Plot)：適合呈現兩個定量變數之間的關係。圖 (D) 似乎是散點圖。
• 折線圖 (Line Chart)：通常用於顯示隨時間變化的趨勢，或兩個定量變數的關係，尤其當其中一個變數（如 X 軸）是連續且有序時。圖 (E), (F), (G) 可能是折線圖或類似圖表。
• 圓餅圖 (Pie Chart)：適合呈現定性變數各類別的比例，但通常不如長條圖清晰。圖 (H) 可能是圓餅圖。
• 散點圖矩陣 (Scatter Plot Matrix)：顯示多個變數對兩兩之間的散點圖。圖 (I) 可能是某種多變數圖。

詳細解答：

(i) Write down the appropriate figures for visualizing distance to the metro station.
「Distance to the metro station」是一個單一的定量變數。適合用來呈現單一定量變數分布的圖表有直方圖和盒鬚圖。

• 直方圖 (Histogram)：顯示數值的分布情況，例如集中趨勢、離散程度、偏態等。
• 盒鬚圖 (Box Plot)：顯示中位數、四分位數、極端值等統計摘要，適合觀察分布的集中趨勢、離散程度和潛在的離群值。

因此，圖 (C)（直方圖）和圖 (B)（盒鬚圖）都是適合的。
【答案】(C), (B)

(ii) Write down the appropriate figures for visualizing location.
「Location」是一個定性變數（metropolitan area, urban, suburban）。

本題主要在考察敘述統計學（Descriptive Statistics）中，用來描述資料集中趨勢、離散程度及分布形狀的各種統計量。

核心觀念：

1. 集中趨勢 (Centrality)：描述資料的主要數值在哪裡。
2. 離散趨勢 (Variability/Dispersion)：描述資料的散布範圍或變異程度。
3. 分布形狀 (Shape)：描述資料的偏態（Skewness）和峰態（Kurtosis）。
4. 變數類型：不同的統計量適用於不同類型的變數（定量 vs. 定性）。

題目分析與解題思路：

我們需要根據子題所問的「描述目的」以及「變數類型」，來選擇最適合的敘述統計量。

變數說明：

• Distance to the metro station: 定量 (連續)。
• Location: 定性 (三個類別：metropolitan area, urban, suburban)。

統計量列表：

• 集中趨勢: Mean (E), Median (F), Mode (H), Minimum (G), Percent (I - in some contexts, like percentiles)
• 離散趨勢: Standard deviation (K), Variance (L), Interquartile range (C)
• 分布形狀: Kurtosis (D), Skewness (J)
• 其他: Frequency (B) - for counts, Correlation (A) - for relationship between two quantitative variables.

詳細解答：

(i) Write down the appropriate summary statistics for describing the centrality of the distance to the metro station.
「Distance to the metro station」是一個定量變數。描述集中趨勢的統計量主要有：

• Mean (E)：平均值，是最常見的集中趨勢指標。
• Median (F)：中位數，對離群值較不敏感。
• Mode (H)：眾數，指出現次數最多的數值，在連續數據中較少單獨使用，但若數據分組則可出現。
• Minimum (G)：最小值，雖然是極端值，但也可視為集中趨勢的一個極端點。

因此，Mean, Median, Mode 都是描述集中趨勢的統計量。
【答案】(E), (F), (H)

本題主要在考察如何選擇適當的統計檢定方法，來分析不同變數類型之間的關聯性（bivariate association）。

核心觀念：

1. 變數類型與檢定方法：
   • 定量 vs. 定量：相關分析 (Correlation)、迴歸分析 (Regression)。
   • 定量 vs. 定性（兩組）：獨立樣本 t 檢定 (Independent samples t-test)。
   • 定量 vs. 定性（多組）：單因子變異數分析 (One-way ANOVA)。
   • 定性 vs. 定性：卡方檢定 (Chi-square test)。
2. 檢定目的：是檢定「關聯性」還是「差異性」。

題目分析與解題思路：

我們需要根據子題所要檢定的兩個變數的類型，來選擇最適合的檢定統計量。

變數說明：

• Housing Price: 定量 (連續)
• Location: 定性 (三個類別：metropolitan area, urban, suburban)
• Floor Size: 定量 (連續)
• Having balcony: 定性 (兩個類別：yes, no)

常見檢定方法對應的變數類型：

• (A) One-Way ANOVA：用於檢定一個定性變數（多於兩組）與一個定量變數之間是否存在顯著差異。
• (B) Correlation：用於檢定兩個定量變數之間是否存在線性關聯。
• (C) Chi-square test：用於檢定兩個定性變數之間是否存在關聯。
• (D) McNemar test：用於檢定配對樣本的兩個定性變數之間是否存在關聯（常用於前後測或配對設計）。
• (E) Paired T test：用於檢定配對樣本的兩個定量變數之間是否存在顯著差異。
• (F) Simple linear regression：用於建立一個定量變數（應變數）與一個定量變數（自變數）之間的線性模型，並檢定自變數的顯著性。
• (G) Two independent sample T test：用於檢定兩個獨立樣本（或一個定性變數兩組）與一個定量變數之間是否存在顯著差異。
• (H) Wilcoxon rank sum test：獨立樣本 t 檢定的非參數版本，用於檢定兩個獨立樣本（或一個定性變數兩組）與一個定量變數之間是否存在顯著差異。

詳細解答：

(i) Write down the appropriate test statistics for testing the association between the housing price and location.

• Housing Price：定量
• Location：定性（三個類別：metropolitan area, urban, suburban）

我們要檢定的是一個「多組定性變數」與「一個定量變數」之間的關聯性。

• One-Way ANOVA (A)：正是用於檢定一個分組變數（多於兩組）與一個定量反應變數之間是否存在顯著差異。
• Correlation (B)：不適用，因為 Location 是定性變數。
• Chi-square test (C)：不適用，因為 Housing Price 是定量變數。

本題主要在考察常態分布的機率計算以及樣本大小的決定。

核心觀念：

1. 常態分布機率計算：利用標準化（Z-score）將常態分布轉換為標準常態分布，再利用標準常態分布表（或軟體）查詢機率。
2. 樣本大小決定：根據預期的誤差範圍 (margin of error) 和信心水準 (confidence level)，計算出所需的最小樣本大小。

題目分析與解題思路：

(i) Find the probability that the housing price exceeds 90 millions.
已知：

• $X \sim N(\mu, \sigma^2)$
• $\mu = 75$ 百萬
• $\sigma = 100$ 百萬
• 求 $P(X > 90)$

解題步驟：

1. 標準化：將 $X$ 轉換為標準常態變數 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$。
   $Z = \frac{90 - 75}{100} = \frac{15}{100} = 0.15$
2. 計算機率：求 $P(X > 90) = P(Z > 0.15)$。
   由於標準常態分布表通常給出 $P(Z \le z)$，我們利用機率的互補性：
   $P(Z > 0.15) = 1 - P(Z \le 0.15)$
3. 查表：查標準常態分布表，找到 $z = 0.15$ 對應的累積機率 $P(Z \le 0.15)$。
   從提供的標準常態分布表（Page 4）中，當 $z = 0.15$ 時，$P(Z \le 0.15) \approx 0.5594$ (查 0.1 行, 0.05 列)。

計算：
$P(X > 90) = P(Z > 0.15) = 1 - P(Z \le 0.15) = 1 - 0.5594 = 0.4406$

【答案】$P(X > 90) \approx 0.4406$

本題主要考察二項分布（Binomial Distribution）的機率計算、期望值與變異數。

核心觀念：

1. 二項分布的條件：
   • 試驗次數固定 ($n$)。
   • 每次試驗只有兩種結果（成功/失敗）。
   • 每次試驗的成功機率 ($p$) 相同。
   • 各次試驗之間相互獨立。
2. 二項分布機率公式：$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$
3. 二項分布的期望值：$E(X) = np$
4. 二項分布的變異數：$Var(X) = np(1-p)$

題目分析與解題思路：

題目描述了一個抽樣情境，我們需要判斷其是否符合二項分布，並進行相關計算。

變數定義：

• 我們關注的「事件」（成功）是「 condo price exceeds 150 thousand dollars」。
• 已知「成功」的機率 $p = 0.1$。
• 樣本大小 $n = 30$ (抽樣 30 個 condo)。
• $X$ 是在 30 個 condo 中，價格超過 15 萬美元的 condo 的數量。

此情境符合二項分布的條件：

• 試驗次數固定：$n=30$。
• 結果兩種：超過 15 萬美元 (成功) 或不超過 (失敗)。
• 成功機率固定：$p=0.1$。
• 假設抽樣是獨立的。

因此，$X \sim Binomial(n=30, p=0.1)$。

詳細解答：

本題主要在考察假設檢定（Hypothesis Testing）的應用，特別是關於平均數的檢定，以及如何根據信賴區間來判斷檢定結果。

核心觀念：

1. 假設檢定步驟：
   • 建立虛無假設 ($H_0$) 與對立假設 ($H_1$)。
   • 選擇統計檢定方法與顯著水準 ($\alpha$)。
   • 計算檢定統計量。
   • 決定檢定區域（拒絕域）。
   • 根據檢定統計量做出決策（拒絕或不拒絕 $H_0$）。
2. 信賴區間與假設檢定關係：
   • 如果一個值（例如，虛無假設中的母體參數值）落在給定的信賴區間內，則在對應的顯著水準下，我們不拒絕虛無假設。
   • 反之，如果該值落在信賴區間外，則我們拒絕虛無假設。

題目分析與解題思路：

題目給了一個信賴區間，並要求進行假設檢定。這是典型的「信賴區間法」應用。

已知資訊：

• 抽樣對象：Palo Alto 的房屋。
• 樣本大小：$n = 50$。
• 假設：房屋價格服從常態分布。
• 95% 信賴區間：$[0.91, 1.08]$ 百萬美元。
• 欲檢定的值：平均價格 $\mu$ 是否等於 1.2 百萬美元。
• 顯著水準：$\alpha = 5\% = 0.05$。

詳細解答：

(i) Write down the hypotheses.
我們要檢定的是「Palo Alto 的平均房屋價格 $\mu$ 是否不同於 1.2 百萬美元」。

• 虛無假設 ($H_0$)：代表沒有改變或沒有差異，即平均價格等於 1.2 百萬美元。

本題主要考察比例（Proportion）的點估計與區間估計。

核心觀念：

1. 比例的點估計：樣本比例 $\hat{p}$ 是母體比例 $p$ 的最佳點估計。
2. 比例的信賴區間：當樣本量足夠大時，母體比例的信賴區間可以用近似常態分布的方法計算。
   信賴區間公式：$\hat{p} \pm Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$
   其中 $Z_{\alpha/2}$ 是對應於所選信心水準的標準常態值。

題目分析與解題思路：

題目給了一個抽樣調查的結果，要求估計總體的比例並建構信賴區間。

已知資訊：

• 總樣本數：$n = 210$。
• 表示願意搭乘渡輪的樣本數：$x = 146$。
• 信心水準：95%。
• 顯著水準：$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$。

詳細解答：

(i) Estimate the population p of commuters from the two cities who would prefer the ferry service.
母體比例 $p$ 的點估計是樣本比例 $\hat{p}$。
$\hat{p} = \frac{\text{成功次數}}{\text{總樣本數}} = \frac{x}{n}$

代入數值：
$\hat{p} = \frac{146}{210}$

計算 $\hat{p}$：
$\hat{p} \approx 0.695238$

因此，估計的母體比例約為 0.6952。

【答案】$\hat{p} \approx 0.6952$

(ii) Construct a 95% confidence interval for p.
我們需要建立一個 95% 的信賴區間。首先，我們需要計算對應於 95% 信心水準的 $Z_{\alpha/2}$ 值。

• $\alpha = 0.05$
• $\alpha/2 = 0.025$
• $Z_{0.025} = 1.96$ (從標準常態分布表中查得)