109 年 國立臺北大學都市計劃研究所乙組《統計學》

本題在探討「集水區面積」（單位：平方公尺）的資料類型。資料類型主要分為類別資料（Categorical Data）和數值資料（Numerical Data）。數值資料又可細分為離散（Discrete）和連續（Continuous），以及區間（Interval）和比例（Ratio）尺度。

1. 類別資料 (Categorical Data)：用來分類或識別的資料，例如性別、顏色、地區。

   • 名目尺度 (Nominal Scale)：類別資料，類別之間沒有順序關係，例如血型 (A, B, AB, O)。
   • 順序尺度 (Ordinal Scale)：類別資料，類別之間有順序關係，但差距不一定相等，例如學歷 (國中、高中、大學、碩士)、滿意度 (非常滿意、滿意、普通、不滿意)。

2. 數值資料 (Numerical Data)：表示數量的資料，可以進行數學運算。

   • 離散數值 (Discrete Numerical Data)：可計數的數值，通常是整數，例如考試分數、班級人數。
   • 連續數值 (Continuous Numerical Data)：可測量的數值，可以在一個區間內取任何值，例如身高、體重、溫度、面積。

本題詢問「住宅區位」的資料類型，例如都會區 (metropolitan area)、郊區 (suburban) 和市區 (urban)。這些選項是描述地點的類別，彼此之間有區隔，但它們之間是否存在排序或數值關係？

• 名目尺度 (Nominal Scale)：類別資料，類別之間沒有順序關係，例如血型 (A, B, AB, O)、顏色 (紅、黃、藍)。
• 順序尺度 (Ordinal Scale)：類別資料，類別之間有順序關係，但差距不一定相等，例如學歷 (國中、高中、大學、碩士)、滿意度 (非常滿意、滿意、普通、不滿意)。

「都會區」、「郊區」、「市區」這些詞語代表不同的地理位置類別。雖然我們可以想像這些類別之間可能存在某些空間上的關聯性（例如，郊區可能介於市區和鄉村之間），但就資料類型的定義而言，它們是純粹的分類。

本題詢問的是一個五等級李克特量表 (Likert scale) 所測量出的「居住在公寓的偏好」的資料類型。李克特量表通常用於衡量態度、意見或偏好，其選項有明確的順序關係。

李克特量表的選項範例：

• 非常同意 (Strongly Agree)
• 同意 (Agree)
• 普通 (Neutral)
• 不同意 (Disagree)
• 非常不同意 (Strongly Disagree)

在本題中，選項是「非常喜歡」、「喜歡」、「普通」、「不喜歡」、「非常不喜歡」。這些選項之間存在明確的順序關係，從「非常喜歡」到「非常不喜歡」，代表偏好的程度由高到低。然而，選項之間的「差距」是否相等則不確定。例如，「喜歡」到「普通」的偏好差距，是否等於「普通」到「不喜歡」的差距，通常是無法量化的。

本題詢問「溫度」（單位：攝氏 °C）的資料類型。溫度是一個可以測量的數值，並且有順序關係。

• 區間尺度 (Interval Scale)：數值資料，有順序關係，且等距，但沒有絕對的零點。
• 比例尺度 (Ratio Scale)：數值資料，有順序關係，等距，且有絕對的零點。

攝氏溫度 (Celsius, °C) 的一個重要特性是它的零點是人為定義的（水的結冰點），而不是一個絕對的「沒有溫度」的狀態。例如，0°C 並不代表沒有熱能。因此，攝氏溫度不能進行比例運算。例如，20°C 並不是 10°C 的兩倍熱。我們不能說 20°C 是 10°C 的兩倍。

本題詢問最適合用來顯示「集水區面積」（單位：平方公尺）的統計圖表。集水區面積是連續的數值資料，並且我們通常感興趣的是其數值的分布情況。

• Bar plot (長條圖)：常用於顯示類別資料的頻率或比例，或是離散數值資料。對於連續數值資料，如果分成幾個離散的組別，也可以使用長條圖，但 Histogram 更為常見。
• Line plot (折線圖)：常用於顯示數據隨時間變化的趨勢，或者連續變數之間的關係。對於單一變數的分布，較少單獨使用折線圖。
• Histogram (直方圖)：最適合用來顯示連續數值資料的頻率分布。它將數據分成若干等寬的區間（bins），然後計算落入每個區間的數據點數量，並以長條的高度表示。

本題詢問最適合用來顯示「住宅區位」與「住宅類型」這兩個變數之間關係的統計圖表。這兩個變數的類型需要先判斷：

• 住宅區位 (Residential location)：如前一題所述，通常是類別資料（名目尺度），例如都會區、郊區、市區。
• 住宅類型 (Type of residential location)：這也通常是類別資料，例如公寓、透天厝、華廈等。

我們需要顯示的是兩個類別變數之間的關係。

• Bar chart (長條圖)：可以非常有效地顯示兩個類別變數的交叉表（contingency table）的頻率或比例。例如，我們可以製作一個圖，顯示在「都會區」有多少比例是「公寓」、「透天厝」；在「郊區」有多少比例是「公寓」、「透天厝」等等。
• Box plot (盒鬚圖)：主要用於顯示一個數值變數在不同類別變數下的分布情況。如果其中一個變數是數值，另一個是類別，則盒鬚圖是適合的。但這裡兩個都是類別。

本題詢問最適合用來顯示「住宅區位」與「房屋價值」（單位：千美元）之間關係的統計圖表。我們需要判斷這兩個變數的資料類型：

• 住宅區位 (Residential location)：如前所述，通常是類別資料（名目尺度），例如都會區、郊區、市區。
• 房屋價值 (House value)：這是以千美元為單位的數值資料，屬於連續變數，且是比例尺度。

我們要顯示的是一個類別變數與一個數值變數之間的關係。

• Bar chart (長條圖)：通常用於顯示類別資料或離散數值資料。如果我們將房屋價值分組，則可以用長條圖顯示各區位下各價值組的數量，但這不是最直接的方式。
• Box plot (盒鬚圖)：這是顯示一個類別變數下，一個數值變數的分布情況的絕佳圖表。

本題詢問最適合用來顯示「房屋價值」（單位：千美元）與「家庭收入」（單位：千美元）之間關係的統計圖表。這兩個變數都是以千美元為單位的數值資料，屬於連續變數，且是比例尺度。

我們要顯示的是兩個數值變數之間的關係。

• Bar chart (長條圖)：主要用於顯示類別資料或離散數值資料。
• Box plot (盒鬚圖)：主要用於顯示一個類別變數下，一個數值變數的分布情況。
• Histogram (直方圖)：主要用於顯示單一數值變數的分布。
• Scatter plot (散佈圖)：這是顯示兩個數值變數之間關係的最標準、最適合的圖表。

本題詢問最適合用來總結「住宅區位」資料的統計量。我們已經確定「住宅區位」（如都會區、郊區、市區）是類別資料，屬於名目尺度 (Nominal Scale)。

名目尺度資料的特性是類別之間沒有順序關係，因此不能進行加減乘除等數學運算，也不能計算平均值、中位數、範圍等。

• Interquartile (四分位距)：衡量數據的分散程度，用於數值資料。
• Mean (平均數)：衡量數據的集中趨勢，用於數值資料。
• Median (中位數)：衡量數據的集中趨勢，用於數值資料（特別是順序尺度或對離群值敏感的數值資料）。
• Range (全距)：衡量數據的分散程度，用於數值資料。

本題詢問哪一個統計量最不適合用來總結「家庭收入」（單位：千美元）的集中趨勢。家庭收入是數值資料，屬於比例尺度。

集中趨勢的統計量包括平均數 (Mean)、中位數 (Median)、眾數 (Mode) 和全距 (Midrange)。

• Mean (平均數)：所有數值的總和除以數值個數。對所有數值都敏感，但容易受離群值影響。
• Median (中位數)：將數據排序後，位於最中間的數值。對離群值不敏感，適合用於偏態分布的數據。
• Mode (眾數)：出現頻率最高的數值。可以適用於任何尺度資料（名目、順序、區間、比例），但對於連續數值資料，可能不存在或有多個眾數。
• Midrange (全距中點)：是最大值與最小值之和的一半 $((Max + Min) / 2)$。

本題詢問哪一個統計量最不適合用來總結「家庭收入」（單位：千美元）的變異性。家庭收入是數值資料，屬於比例尺度。變異性的統計量用於衡量數據的分散程度。

• Correlation (相關係數)：衡量兩個數值變數之間線性關係的強度與方向，而不是單一變數的變異性。
• Interquartile (四分位距，IQR)：IQR = Q3 - Q1，衡量數據中間 50% 的分散程度。對離群值不敏感。
• Standard deviation (標準差)：衡量數據與平均數的平均偏差。是變異數的平方根，最常用的分散性指標。
• Range (全距)：最大值與最小值之間的差。是最簡單的分散性指標，但極易受離群值影響。
• Variance (變異數)：數據與平均數偏差平方的平均值。是標準差的平方。

本題詢問最適合用來總結「房屋價值」（單位：千美元）與「家庭收入」（單位：千美元）之間關聯性的統計量。這兩個變數都是數值資料，屬於比例尺度。

我們要衡量的是兩個數值變數之間的「關聯性」或「相關性」。

• Correlation (相關係數)：這是衡量兩個數值變數之間線性關係強度與方向的標準統計量，例如皮爾森相關係數 (Pearson correlation coefficient)。
• Interquartile (四分位距)：衡量單一數值變數的變異性。
• Mean (平均數)：衡量單一數值變數的集中趨勢。

本題詢問最適合用來檢視「房屋價值」（單位：千美元）分布形狀的統計量。房屋價值是數值資料，屬於比例尺度。

檢視數據分布的形狀（例如，是左右對稱、右偏還是左偏）通常需要一些描述性統計量。

• Correlation (相關係數)：衡量兩個數值變數之間的線性關係。
• Interquartile (四分位距)：衡量數據中間 50% 的變異性，對離群值不敏感。
• Mean (平均數)：衡量數據的集中趨勢。
• Relative frequency (相對頻率)：通常用於類別資料。
• Skewness (偏度)：這是專門用來衡量數據分布偏斜程度的統計量。
  • Skewness > 0 表示右偏（或稱正偏），數據的尾部較長在右側，平均數通常大於中位數。

本題詢問哪一種資料可以用「集中趨勢 (central tendency)」的統計量來總結。集中趨勢的指標（如平均數、中位數、眾數）用於描述數據的中心位置，它們通常適用於數值資料或至少有順序關係的資料。

我們來分析各選項的資料類型：
A. Residential location (住宅區位)：如前所述，這是類別資料，屬於名目尺度 (Nominal Scale)。名目尺度資料無法計算平均數或中位數。最適合的總結是眾數 (Mode) 或頻率分布。雖然眾數是一種集中趨勢指標，但通常當我們說「總結集中趨勢」時，是指平均數或中位數，這需要數值資料。
B. The commuting distance from home to school (從家到學校的通勤距離)：這是一個距離的測量值，屬於數值資料，是比例尺度 (Ratio Scale)。距離是數值，可以用平均數、中位數、眾數等集中趨勢指標來總結。
C. The method of commute (通勤方式)：例如開車、搭公車、騎自行車。這是類別資料，屬於名目尺度 (Nominal Scale)。無法計算平均數或中位數。

本題考驗基本的機率計算，特別是「或」事件的機率。
題目給出了一個交叉表，顯示了 200 名學生的通勤方式（Metro, Bus, Walk）與性別（Female, Male）的分布。

首先，計算總樣本數 N：
N = (60 + 20 + 40) + (40 + 30 + 10) = 120 + 80 = 200。
這與題目中提到的「200 selected students commuters」一致。

題目要求計算「通勤者使用 Metro 或 Bus」的機率。
我們需要找出所有使用 Metro 或 Bus 的學生人數，然後除以總人數。

使用 Metro 的總人數 = Female (Metro) + Male (Metro) = 60 + 40 = 100 人。
使用 Bus 的總人數 = Female (Bus) + Male (Bus) = 20 + 30 = 50 人。

事件 A：學生使用 Metro 通勤。
事件 B：學生使用 Bus 通勤。

我們要求的是 $P(A \cup B)$。
根據機率的加法法則：$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$。

本題是條件機率的應用，要求在已知「受訪者為女性」的條件下，計算他們「步行 (Walk) 上學」的機率。

根據題目提供的表格：
女性 (Female) 的總人數 = 60 (Metro) + 20 (Bus) + 40 (Walk) = 120 人。
在這個女性群體中，步行 (Walk) 上學的人數是 40 人。

條件機率的公式為 $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$。
在這裡，事件 B 是「受訪者為女性」，事件 A 是「受訪者步行上學」。

我們要求的機率是 $P(\text{Walk} | \text{Female})$。

核心觀念

事件 $A$ 與 $B$ 相互獨立的定義為：

若 $P(B)>0$，可等價表示為：

同理，若 $P(A)>0$，也有：

此外，由聯集公式

代入獨立條件 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$，可得：

因此，選項中真正符合獨立事件性質的，必須能與上述定義或等價公式一致。

解題方法

逐一檢查各選項是否可由獨立事件的定義推出：

• 條件機率是否等於原本機率；
• 交集機率是否等於兩事件機率的乘積；
• 聯集機率是否符合獨立事件的聯集公式。

凡是與獨立定義不相符，或代表其他事件關係者，即為「不是用來描述獨立」的性質。

選項分析

A. $P[A\mid B]=P[A]$

正確。事件 $A$ 與 $B$ 獨立時，知道 $B$ 發生不會改變 $A$ 發生的機率，因此：

這是獨立事件的條件機率表達方式。

B. $P[B\mid A]=P[B]$

正確。在 $P(A)>0$ 的條件下，獨立事件也滿足：

表示知道 $A$ 發生，不會影響 $B$ 發生的機率。

C. $P[A\cap B]=0$

錯誤。此條件表示 $A$ 與 $B$ 互斥，亦即兩事件不可能同時發生。

但獨立事件應滿足：

只要 $P(A)>0$ 且 $P(B)>0$，獨立事件的交集機率通常不會是 $0$。

例如擲一枚公平骰子：

• $A$：擲出偶數，$P(A)=\frac12$；
• $B$：擲出大於 $3$ 的點數，$P(B)=\frac12$。

兩事件交集為擲出 $4$ 或 $6$，所以：

本題考驗機率的加法法則，用於計算「至少一個」事件發生的機率。
設：
事件 M：某人訂閱早報 (Morning newspaper)。
事件 E：某人訂閱晚報 (Evening newspaper)。

根據題目資訊：
$P(M) = 0.20$ (20% 的人訂閱早報)
$P(E) = 0.30$ (30% 的人訂閱晚報)
$P(M \cap E) = 0.10$ (10% 的人同時訂閱早報和晚報)

題目要求計算「至少訂閱其中一份報紙」的機率，這表示訂閱早報或晚報或兩者都訂閱。數學上表示為 $P(M \cup E)$。

核心觀念

本題考查條件機率。題目問的是「在已知某人訂閱晚報的條件下，他不訂閱早報的機率」，因此應計算：

其中：

• $M$：訂閱早報
• $E$：訂閱晚報
• $M^c$：不訂閱早報

解題方法

由條件機率定義：

而「訂閱晚報但不訂閱早報」可由晚報訂閱者扣除同時訂閱早、晚報者得到：

因此：

本題題幹標示為「Continued Question 18」，但目前未提供第 18 題的相關機率資料，因此無法由本題文字單獨決定數值答案。若第 18 題給定的數據代入後為：

本題與上一題 (Question 19) 是完全相同的問題，只是問法略有不同。
上一題問：「What is the probability that the evening subscribers do not subscribe to the morning newspaper?」
這一題問：「Given that a person subscribes to the evening newspaper, what is the probability that this person do not subscribe to the morning newspaper?」

本題在判斷哪些敘述是錯誤的，關於隨機變數和機率的基本性質。

A. A random variable has to have numerical values.
這是隨機變數 (Random Variable) 的定義。隨機變數是將隨機實驗的結果映射到實數的函數。因此，隨機變數的值必須是數值。此敘述正確。

B. The probability has to be greater than 0 but not equal to 0.
這是關於機率值範圍的敘述。機率的定義是 $0 \le P(E) \le 1$。

• 機率可以等於 0。例如，投擲一枚公平的六面骰子，點數為 7 的機率是 0。
• 機率可以等於 1。例如，投擲一枚公平的六面骰子，點數小於 7 的機率是 1。
• 機率也可以介於 0 和 1 之間。
  因此，「greater than 0 but not equal to 0」這個說法是錯誤的，因為機率可以等於 0。

C. The probability has to be smaller than or equal to 1.
這是機率公理之一。任何事件的機率值都在 0 到 1 之間（包含 0 和 1）。此敘述正確。

D. The probability of all possible values of a random variable has to equal 1.
這是機率分布的定義。對於一個離散隨機變數 X，所有可能取值的機率總和必須等於 1。即 $\sum P(X=x_i) = 1$。此敘述正確。

E. The probability of mutually exclusive events equals 0.
這是關於互斥事件 (mutually exclusive events) 的陳述。如果事件 A 和 B 是互斥的，則表示它們不能同時發生，即 $P(A \cap B) = 0$。

本題在定義一個隨機實驗、樣本空間、隨機變數及其機率分布，並要求判斷哪個敘述是正確的。

實驗：IRS 稽查三份稅務申報。
事件：R 表示退稅 (Refund)，N 表示不退稅 (Non-refund)。
隨機變數 X：退稅的申報數量。

首先，我們需要確定樣本空間 (Sample Space)，即所有可能的實驗結果。因為有三份申報，每份都可能退稅 (R) 或不退稅 (N)，所以總共有 $2^3 = 8$ 種可能結果。
樣本空間 S = {RRR, RRN, RNR, NRR, RNN, NRN, NNR, NNN}。

接著，我們定義隨機變數 X：X 代表退稅的申報數量。

• RRR：有 3 個 R，所以 X = 3。
• RRN：有 2 個 R，所以 X = 2。
• RNR：有 2 個 R，所以 X = 2。
• NRR：有 2 個 R，所以 X = 2。
• RNN：有 1 個 R，所以 X = 1。
• NRN：有 1 個 R，所以 X = 1。
• NNR：有 1 個 R，所以 X = 1。
• NNN：有 0 個 R，所以 X = 0。

因此，隨機變數 X 的可能取值為 {0, 1, 2, 3}。

現在我們來逐一檢查選項：

A. The outcome of this experiment is RRR, NRR, NNR, NNN.
這是錯誤的。樣本空間有 8 種結果，這裡只列出了 4 種。例如，RRN, RNR, RNN, NRN 都遺漏了。

本題考驗機率分布的基本性質。對於任何一個離散隨機變數，所有可能取值的機率總和必須等於 1。

隨機變數 X 的可能取值為 {0, 1, 2, 3, 4}。
對應的機率值為：
$P(X=0) = ?$
$P(X=1) = 0.3$
$P(X=2) = 0.1$
$P(X=3) = 0.3$
$P(X=4) = 0.3$

本題考驗貝氏定理 (Bayes' Theorem) 的應用。我們需要計算在「未出現 (no show)」的條件下，該客戶預訂的是「Eagle Air」的機率。

設事件：
C：客戶預訂 China Air。
E：客戶預訂 Eva Air。
A：客戶預訂 Eagle Air。（使用 A 來避免與 E 混淆，雖然題目用 E 代表 Eva Air，但為了清晰，這裡用 A 代表 Eagle Air）
NS：客戶未出現 (No Show)。

已知資訊：
市場佔有率 (先驗機率)：
$P(C) = 0.35$
$P(E) = 0.40$
$P(A) = 0.25$
(總和 $0.35 + 0.40 + 0.25 = 1.00$)

未出現的條件機率：
$P(NS|C) = 0.05$ (China Air 的客戶未出現的機率)
$P(NS|E) = 0.10$ (Eva Air 的客戶未出現的機率)
$P(NS|A) = 0.20$ (Eagle Air 的客戶未出現的機率)

我們要求的是 $P(A|NS)$，即在已知客戶未出現的條件下，該客戶預訂的是 Eagle Air 的機率。

根據貝氏定理：
$P(A|NS) = \frac{P(NS|A) P(A)}{P(NS)}$

首先，我們需要計算 $P(NS)$，即客戶未出現的總機率。根據全機率法則：
$P(NS) = P(NS|C)P(C) + P(NS|E)P(E) + P(NS|A)P(A)$

本題在考驗二項分布 (Binomial Distribution) 的條件。一個隨機變數 X 若服從二項分布，必須滿足以下四個條件：

1. 固定試驗次數 (Fixed number of trials)：試驗總數 n 是固定的。
2. 兩種類型結果 (Two possible outcomes)：每次試驗只有兩種互斥的結果，通常稱為「成功」與「失敗」。
3. 獨立試驗 (Independent trials)：每次試驗的結果與其他試驗的結果無關。
4. 相同機率 (Constant probability of success)：每次試驗中，「成功」的機率 p 是相同的。

在這個問題中，政府隨機選擇 200 間房屋，並記錄有多少間是空屋。

• 試驗次數 n = 200 (房屋數量)。
• 隨機變數 X = 空屋數量。

我們來分析每個選項是否為二項分布的必要條件：

A. A house is considered as a trial.
這是二項分布的第一個要素：固定試驗次數。在這裡，檢查每一間房屋是否為空屋，可以視為一次試驗。這是一個必要條件。

B. Each trial has only two outcomes such as "vacant" and "non-vacant".
這是二項分布的第二個要素：兩種互斥的結果。在這裡，「空屋」(vacant) 可以視為「成功」，「非空屋」(non-vacant) 可以視為「失敗」。這是一個必要條件。

C. Each trial has the same probability of the vacant house.
這是二項分布的第四個要素：每次試驗成功的機率 p 相同。在這裡，p 是房屋為空屋的機率。題目提到「從過去的紀錄，空屋率是 20%」，這暗示了 p = 0.20。如果這 20% 的機率對所有被選中的房屋都適用，則此條件滿足。這是必要條件。

本題延續上一題的設定，假設 X 服從二項分布，並要求找出哪一個敘述是錯誤的。
根據上一題的設定：

• 試驗次數 n = 200 (選取的房屋數量)。
• X = 空屋數量。
• 空屋的機率 p = 0.20 (從過去紀錄得知)。
• 因此，非空屋的機率 q = 1 - p = 1 - 0.20 = 0.80。
• X 服從二項分布 $B(n, p)$，即 $X \sim B(200, 0.20)$。

現在我們來計算二項分布的相關參數：

• 平均數 (Mean)：$E(X) = np = 200 \times 0.20 = 40$。
• 變異數 (Variance)：$Var(X) = npq = 200 \times 0.20 \times 0.80 = 40 \times 0.80 = 32$。
• 標準差 (Standard Deviation)：$SD(X) = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{32}$。
  $\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2} \approx 4 \times 1.414 = 5.656$。

現在檢查各選項：

A. The probability that all of the house are non-vacant is 0.2200.
「所有房屋都是非空屋」意味著 X = 0 (空屋數量為 0)。
$P(X=0) = \binom{n}{0} p^0 q^{n-0} = \binom{200}{0} (0.20)^0 (0.80)^{200} = 1 \times 1 \times (0.80)^{200}$。
$(0.80)^{200}$ 是一個非常非常小的數值，遠小於 0.2200。
例如，$(0.8)^{10} \approx 0.107$。$(0.8)^{20} \approx (0.107)^2 \approx 0.0115$。

本題考驗常態分布 (Normal Distribution) 的基本性質。常態分布是一種對稱的、鐘形的分布。

對於一個服從常態分布的隨機變數 X，其機率密度函數 $f(x)$ 的形狀由平均數 $\mu$ 和標準差 $\sigma$ 決定。

以下是常態分布的關鍵性質：

1. 對稱性 (Symmetry)：常態分布曲線關於其平均數 $\mu$ 對稱。
2. 集中趨勢的關係：在對稱分布中，平均數 (Mean)、中位數 (Median) 和眾數 (Mode) 是相等的。
   • Mean = Median = Mode = $\mu$。
3. 機率分布：
   • 曲線下的總面積為 1。
   • 平均數 $\mu$ 將曲線分成兩半，左半邊（小於 $\mu$）的面積等於右半邊（大於 $\mu$）的面積，均為 0.5。
   • $P(X < \mu) = P(X > \mu) = 0.5$。
   • 68-95-99.7法則：約 68% 的數據落在 $\mu \pm \sigma$ 範圍內，約 95% 落在 $\mu \pm 2\sigma$ 範圍內，約 99.7% 落在 $\mu \pm 3\sigma$ 範圍內。

現在逐一檢視選項：

本題要求計算常態分布的第 1.5 個百分位數 (percentile)。
已知：

• 分布近似於常態分布。
• 平均數 $\mu = 7$ 小時。
• 標準差 $\sigma = 1$ 小時。

第 1.5 個百分位數，表示有 1.5% 的數據小於或等於這個值。也就是說，我們在常態分布的左尾找到一個值，其累積機率為 0.015。
我們需要找到一個值 $x$ 使得 $P(X \le x) = 0.015$。

由於我們有平均數和標準差，我們可以將這個問題標準化，轉換為標準常態分布 $Z$ ($Z \sim N(0, 1)$)。
標準化的公式是 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$。
所以，$X = \mu + Z\sigma$。

我們需要找到一個 $z$ 值，使得 $P(Z \le z) = 0.015$。
我們可以查閱標準常態分布表 (Z-table) 或使用統計軟體來尋找這個 $z$ 值。

核心觀念

本題考查：

• 母體平均數 $\mu$ 與樣本平均數 $\bar X$ 的抽樣分配
• 樣本平均數的標準誤
• 中央極限定理（Central Limit Theorem）
• 標準常態分配的區間機率

根據第 28 題資料，母體標準差為 $\sigma=60$ 分鐘。本題抽取 $n=100$ 位學生，要求樣本平均數與母體平均數相差不超過 $10$ 分鐘，即

解題方法

當樣本數足夠大時，由中央極限定理，樣本平均數近似服從常態分配：

樣本平均數的標準誤為

因此，所求機率為

標準化後：

利用標準常態分配表：

其中 $\Phi(1.67)\approx 0.9525$，所以

本題考驗中央極限定理 (Central Limit Theorem, CLT) 的適用條件。CLT 的核心內容是，當樣本大小 $n$ 足夠大時，樣本平均數 $\bar{X}$ 的分布近似於常態分布，其平均數為母體平均數 $\mu$，標準差（標準誤）為 $\sigma/\sqrt{n}$。

CLT 的必要條件包括：

1. 隨機抽樣 (Random Sampling)：樣本是從母體中隨機抽取的。這保證了樣本的代表性。
2. 獨立性 (Independence)：樣本中的各個觀測值是相互獨立的。如果抽樣是從一個較大的母體中進行（或進行無放回抽樣但樣本量遠小於母體），則獨立性假設成立。
3. 有限變異數 (Finite Variance)：母體的變異數 $\sigma^2$ 必須是有限的。
4. 足夠大的樣本量 (Sufficiently large sample size)：通常要求 $n \ge 30$。

現在我們來分析選項：

A. Each observation in the sample has equal mean.
這句話的表述有些奇怪。「Each observation in the sample」指的是 $X_1, X_2, ..., X_n$。這些是隨機變數。它們的「平均數」通常指的是母體平均數 $\mu$。如果是指每個 $X_i$ 的期望值都等於 $\mu$，這實際上是隨機抽樣和同分佈的體現。但是，更精確的說法是，所有觀測值來自具有相同平均數 $\mu$ 的母體。

本題考驗「隨機樣本 (Random Sample)」的定義和假設。隨機樣本的目的是為了確保樣本能夠無偏地代表母體。

隨機樣本的關鍵假設通常包括：

1. 獨立性 (Independence)：樣本中的各個觀測值是相互獨立的。這意味著抽取一個樣本不會影響抽取下一個樣本的可能性或結果。
2. 同分佈性 (Identical Distribution)：樣本中的各個觀測值都來自相同的母體分布。這意味著它們具有相同的平均數 $\mu$ 和相同的變異數 $\sigma^2$。

現在來分析選項：

A. Each observation has equal mean.
這句話的表述類似於上一題。如果理解為樣本中的每個觀測值 $X_i$ 的期望值都相等（即 $E(X_i) = \mu$），這與來自同一母體的假設一致。

B. Each observation has equal variance.
如果理解為樣本中的每個觀測值 $X_i$ 的變異數都相等（即 $Var(X_i) = \sigma^2$），這與來自同一母體且母體變異數有限的假設一致。

本題考驗關於樣本平均數 (Sample Mean, $\bar{X}$) 的性質。

A. The distribution of the sample mean is approximately normal when the sample size is large.
這是中央極限定理 (CLT) 的核心內容。當樣本量 $n$ 足夠大時，樣本平均數 $\bar{X}$ 的分布近似於常態分布。此性質為真。

B. The mean of the sample mean equals the population mean.
這是樣本平均數分布的平均數。無論母體分布是否為常態，或樣本量大小如何（只要是隨機樣本），樣本平均數的期望值 $E(\bar{X})$ 總是等於母體平均數 $\mu$。即 $E(\bar{X}) = \mu$。此性質為真。

C. The observations used to compute the sample mean are independent.

本題考驗樣本大小對統計量影響的理解。
我們需要分析當樣本大小 (sample size, n) 增加時，各選項的變化情況。

A. Population mean increases.
母體平均數 $\mu$ 是母體的一個固定參數，它不隨樣本大小的改變而改變。此敘述錯誤。

B. Sample mean increases.
樣本平均數 $\bar{X}$ 是根據抽取的樣本計算出來的。它是一個隨機變數，其值會隨著樣本的變化而變化。樣本大小的增加會使樣本平均數的分布更集中在母體平均數周圍，但並不能保證樣本平均數本身會「增加」。樣本平均數可能增加、減少或保持不變，這取決於具體的樣本。此敘述不一定正確。

核心觀念

本題考查母體平均數的區間估計與樣本數決定（Sample Size Determination for Population Mean）。

在母體為常態分配且母體標準差 $\sigma$ 已知的條件下，母體平均數 $\mu$ 在 $1-\alpha$ 信賴水準下的雙尾信賴區間為：

其中最大容許抽樣誤差（Margin of Error, $E$）定義為：

經由代數整理，求得滿足指定信賴水準與誤差界限之最小樣本數公式為：

無條件進位原則（Ceiling Rule）：為確保抽樣誤差嚴格控制在 $E$ 之內，若計算出之 $n$ 含有小數，一律無條件進位取最小正整數（即 $n = \lceil n^* \rceil$）。

解題方法

1. 整理題目已知條件：

   • 信賴水準 $1-\alpha = 95\% \implies \alpha = 0.05$，查標準常態分配表得臨界值 $z_{\alpha/2} = z_{0.025} = 1.96$。
   • 母體標準差 $\sigma = 2550$。
   • 最大容許誤差 $E = 1000$。

2. 代入樣本數公式計算：

   $$n = \left( \frac{z_{0.025} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ $$n = \left( \frac{1.96 \times 2550}{1000} \right)^2$$

本題考驗 t 分布 (t-distribution) 的性質。t 分布是一種用於小樣本統計推論的機率分布，尤其在母體標準差未知時使用。

t 分布的形狀取決於其自由度 (degrees of freedom, df)。當自由度增加時，t 分布會越來越接近標準常態分布。

以下是 t 分布的性質：

1. 對稱性 (Symmetry)：t 分布是關於均值 0 對稱的。
2. 均值 (Mean)：t 分布的均值是 0。
3. 形狀 (Shape)：t 分布的形狀取決於自由度 $df$。
   • 當 $df$ 很小時，t 分布的峰頂比標準常態分布低，且尾部比標準常態分布「厚」（fat tails），表示極端值出現的機率較高。
   • 隨著 $df$ 的增加，t 分布的峰頂逐漸升高，尾部逐漸變薄，越來越接近標準常態分布。
   • 當 $df \to \infty$ 時，t 分布趨近於標準常態分布。
4. 變異數 (Variance)：t 分布的變異數為 $\frac{df}{df-2}$ (僅當 $df > 2$ 時存在)。這個值總是 $> 1$ (標準常態分布的變異數是 1)。這也意味著 t 分布的離散程度（在 $df$ 較小時）比標準常態分布高。

現在逐一檢視選項：

本題考驗對信賴區間 (Confidence Interval, CI) 長度的理解。
信賴區間的長度通常由誤差範圍 (Margin of Error, ME) 決定。對於估計母體平均數 $\mu$ 的信賴區間，其形式為 $\bar{X} \pm ME$。區間長度為 $2 \times ME$。
誤差範圍的公式為 $ME = z_{\alpha/2} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ (若 $\sigma$ 已知) 或 $ME = t_{\alpha/2, n-1} \times \frac{s}{\sqrt{n}}$ (若 $\sigma$ 未知，用 $s$ 估計)。

我們來分析各選項對 CI 長度的影響：

A. The confidence interval has the same length regardless of the random samples.
這是不正確的。雖然對於固定的信心水準和樣本大小，誤差範圍的計算公式中的 $z_{\alpha/2}$ (或 $t_{\alpha/2, n-1}$), $\sigma$ (或 $s$), $n$ 是固定的（除了 $s$ 會隨樣本變化），但當母體標準差未知時，樣本標準差 $s$ 會因不同的隨機樣本而變化，進而影響 CI 的長度。即使 $\sigma$ 已知，如果我們討論的是不同樣本大小的 CI，長度也會不同。此敘述錯誤。

B. The length of confidence interval tends to be shorter as the confidence level gets larger.
信心水準越高 (例如 99% vs 95%)，$\alpha$ 越小，$\alpha/2$ 越小，對應的 $z_{\alpha/2}$ (或 $t_{\alpha/2, n-1}$) 值會越大。

本題詢問哪個統計檢定最不適合用來評估「住宅區位」與「房屋價值」之間的關聯性。
我們需要先確定這兩個變數的資料類型：

• 住宅區位 (Residential location)：類別資料，名目尺度 (Nominal Scale)，例如都會區、郊區、市區。
• 房屋價值 (House value)：數值資料，比例尺度 (Ratio Scale)，例如千美元。

我們要檢定的是一個類別變數和一個數值變數之間的關聯性。

現在分析各選項的檢定方法：

A. Chi-square test (卡方檢定)：
卡方檢定主要用於檢定兩個類別變數之間是否存在關聯性（例如，檢定族裔與教育程度是否相關）。它不適合用來檢定一個類別變數與一個數值變數之間的關聯性。

B. F test (F檢定)：
F 檢定通常用於比較兩個或多個群體的變異數（例如 F 檢定用於變異數分析 ANOVA 的整體檢定，或用於迴歸分析的整體顯著性檢定）。在比較一個類別變數（分組）和一個數值變數（測量值）的關聯性時，F 檢定是 ANOVA 的一部分，用於檢定各組均值是否有顯著差異。所以 F 檢定是間接相關的。

C. Mann-Whitney test (曼-惠特尼 U 檢定)：
這是一種非參數檢定，用於比較兩個獨立群體的分布是否有差異。它相當於獨立樣本 t 檢定的非參數版本。如果「住宅區位」只有兩個類別（例如，都會區 vs 郊區），則曼-惠特尼 U 檢定可以用來比較這兩組的房屋價值分布是否有差異，從而評估關聯性。

本題考驗建立迴歸模型 (Regression Model) 時的假設條件。最常見的是普通最小平方法 (Ordinary Least Squares, OLS) 線性迴歸模型。

OLS 線性迴歸模型的標準假設 (Gauss-Markov assumptions) 包括：

1. 線性關係 (Linearity)：解釋變數與應變數之間的關係是線性的。即 $Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + ... + \beta_k X_k + \epsilon$。
2. 隨機抽樣 (Random Sampling)：數據是隨機抽取的。
3. 無完美共線性 (No Perfect Collinearity)：解釋變數之間不存在完全的線性關係。
4. 零條件期望值 (Zero Conditional Mean)：誤差項的條件期望值為零，即 $E(\epsilon | X_1, ..., X_k) = 0$。這意味著誤差項的平均值為零，且誤差項與解釋變數不相關。
5. 同質變異數 (Homoscedasticity)：誤差項的條件變異數是恆定的，即 $Var(\epsilon | X_1, ..., X_k) = \sigma^2$。
6. 誤差項獨立性 (Independence of Errors)：誤差項之間相互獨立（在時間序列或面板數據中尤其重要）。

此外，為了進行統計推論（例如假設檢定、信賴區間），還需要額外的假設：
7. 常態性 (Normality)：誤差項 $\epsilon$ 服從常態分布，即 $\epsilon \sim N(0, \sigma^2)$。

現在來分析選項：

A. The mean value of each error term equals to 0.
這是零條件期望值假設 $E(\epsilon | X) = 0$ 的一部分。誤差項的平均值為 0。此為必要假設。

B. The observations are independent.
通常指誤差項的獨立性。對於時間序列數據，誤差項的獨立性是關鍵。對於橫截面數據，來自不同單位的觀測值通常被認為是獨立的。此為必要假設。

C. The observations have the common variance.
這指的是誤差項的同質變異數假設 $Var(\epsilon | X) = \sigma^2$。誤差項的變異數是恆定的。此為必要假設。

D. The response variable has a common normal distribution.
這句話的表述不準確。真正的假設是「誤差項 $\epsilon$ 服從常態分布」，而不是應變數 $Y$ 本身服從常態分布。雖然如果誤差項是常態的，且解釋變數是固定的，那麼應變數 $Y$ 也會是常態的。但最直接的假設是關於誤差項的。
然而，如果將此理解為「誤差項服從常態分布」，那麼它就是進行統計推論（如假設檢定、信賴區間）的必要條件。

E. The response variable has to be linear associated with the explanatory variable.
這是線性迴歸模型的第一個假設，即模型形式是線性的。此為必要假設。

本題詢問哪個統計檢定最適合用來比較同一群人在不同時間點 (2019 vs 2020) 的表現。
情境是：

• 公司想比較 2019 年和 2020 年的銷售表現。
• 隨機選擇了一些「代理人 (agents)」。
• 比較的是「同一批代理人」在 2019 年和 2020 年的銷售數量。

這種設計是比較同一組對象在兩種不同條件或時間點下的測量值。這屬於配對樣本 (Paired Samples) 或相依樣本 (Dependent Samples) 的情況。

我們需要比較兩個相關樣本的平均數。

現在分析各選項：
A. Chi-square test (卡方檢定)：用於檢定兩個類別變數之間的關聯性，或檢定觀察頻率與期望頻率的差異。不適用於比較數值數據（銷售數量）的平均數。

本題需要根據提供的統計摘要和 95% 信賴區間來判斷關於女性和男性家務時間的陳述。

提供的資訊：

• 女性 (Women)：樣本數 $n_W = 733$，樣本平均數 $\bar{X}_W = 37$ 分鐘，樣本標準差 $s_W = 23$ 分鐘。
• 男性 (Men)：樣本數 $n_M = 1219$，樣本平均數 $\bar{X}_M = 23$ 分鐘，樣本標準差 $s_M = 32$ 分鐘。
• 兩個群體（女性和男性）平均家務時間差異的 95% 信賴區間 (Confidence Interval for the difference) 為 (11.9, 16.1)。

信賴區間 (CI) 的解釋：
信賴區間 (11.9, 16.1) 是關於「女性平均家務時間」減去「男性平均家務時間」的差值 $(\mu_W - \mu_M)$ 的區間估計。
這個區間的特點是：

1. 區間內所有值均為正數：區間的下限是 11.9，上限是 16.1。這意味著，我們有 95% 的信心認為，女性平均每天花在做家務上的時間比男性多 11.9 到 16.1 分鐘。
2. 區間不包含 0：由於區間 (11.9, 16.1) 完全在 0 的右側，這表明女性的平均家務時間與男性的平均家務時間之間存在統計上顯著的差異。具體來說，女性的平均時間顯著高於男性。

現在來分析各選項：

本題在於判斷假設檢定 (Hypothesis Testing) 中，虛無假設 (Null Hypothesis, H₀) 和對立假設 (Alternative Hypothesis, H<0xE2><0x82><0x90>) 的正確設定。
問題是：評估「都市地區」和「鄉村地區」的「房屋價格」是否存在差異。

• $\mu_1$：都市地區房屋價格的母體平均數。
• $\mu_2$：鄉村地區房屋價格的母體平均數。
• $x_1$：都市地區房屋價格的樣本平均數。
• $x_2$：鄉村地區房屋價格的樣本平均數。

我們關心的是「是否存在差異」，這通常意味著我們想檢定兩者是否相等。

虛無假設 (H₀) 通常是「沒有差異」或「沒有效果」的陳述，是我們試圖尋找證據來反駁的假設。
對立假設 (H<0xE2><0x82><0x90>) 是我們希望找到證據來支持的陳述，通常是「有差異」、「有效果」或「某種關係存在」。

在這裡，我們要檢定的是「都市地區」和「鄉村地區」的房屋價格平均數是否存在差異。

• 如果我們關心的是「是否有任何差異」（無論是都市高於鄉村，還是鄉村高於都市），則採用雙尾檢定 (two-tailed test)。
• 如果我們關心的是「都市價格是否顯著高於鄉村價格」，則採用單尾檢定 (one-tailed test)。
• 如果我們關心的是「都市價格是否顯著低於鄉村價格」，則採用單尾檢定。

核心觀念

本題考查「類別變數獨立性檢定」中的虛無假設。

「通勤方式」與「性別」皆屬於類別變數，例如：

• 通勤方式：步行、機車、汽車、大眾運輸等
• 性別：男性、女性等

若要檢定兩個類別變數是否具有關聯，通常使用卡方獨立性檢定。其假設為：

在虛無假設成立時，不同性別的通勤方式分布相同；性別不會影響通勤方式的分布。

卡方獨立性檢定的期望次數為：

檢定統計量為：

其中 $O_{ij}$ 為觀察次數，$E_{ij}$ 為在獨立假設下的期望次數。若檢定結果拒絕 $H_0$，才表示通勤方式與性別之間具有統計上的顯著關聯。

解題方法

判斷此題的關鍵是辨認「檢定關聯性」時的虛無假設。

一般假設檢定的原則是：

• 虛無假設 $H_0$：沒有差異、沒有關聯或符合某種基準狀態
• 對立假設 $H_1$：有差異、有關聯或不符合基準狀態

因此，檢定通勤方式與性別的關聯時，虛無假設應設定為兩者獨立：

所以正確選項為 C。

選項分析

A. $H_0$: the method of commute and gender are not significantly associated.

此敘述容易造成混淆，但不是本題最標準的假設表達方式。「沒有顯著關聯」通常是檢定結果的解讀，例如未拒絕 $H_0$ 時，可以說沒有足夠證據認定兩者具有顯著關聯。

卡方獨立性檢定的正式虛無假設應直接寫成「兩變數獨立」，因此 A 不如 C 精確，非最佳答案。

本題詢問哪個統計檢定最適合用來評估「通勤方式」與「性別」之間的關聯性。
我們需要先確定這兩個變數的資料類型：

• 通勤方式 (Method of commute)：類別資料，名目尺度 (Nominal Scale)，例如 Metro, Bus, Walk。
• 性別 (Gender)：類別資料，名目尺度 (Nominal Scale)，例如 Female, Male。

我們要檢定的是兩個類別變數之間是否存在關聯性。

現在分析各選項：
A. Chi-square test (卡方檢定)：
卡方檢定是專門用來檢定兩個類別變數之間是否存在關聯性的統計方法。它比較觀察到的頻率與期望的頻率（在虛無假設下，即兩個變數獨立時）之間的差異。這是最適合此情境的檢定。

核心觀念

$p$ 值（$p$-value）是在虛無假設 $H_0$ 為真時，觀察到目前樣本結果或更極端結果的機率。顯著水準為

假設檢定的判斷規則為：

當題目設定 $H_0$ 為真時，樣本結果通常不會落入拒絕域，因此 $p$ 值通常不小於顯著水準 $0.05$。

解題方法

本題直接比較 $p$ 值與顯著水準：

因此符合的選項為：

嚴格地說，若檢定統計量具有連續分配，$H_0$ 為真時 $p$ 值服從 $U(0,1)$，所以仍有約 $5\%$ 的機率得到小於 $0.05$ 的 $p$ 值；這正是顯著水準 $\alpha=0.05$ 所代表的型一錯誤機率。考試中的標準判讀則是：$H_0$ 為真時，$p$ 值應落在不拒絕 $H_0$ 的區域，即通常判定為 $p\geq0.05$。

選項分析

• A. Equals to 0.05：錯誤。
  $p$ 值是由樣本資料計算出的機率，不會固定等於顯著水準。$0.05$ 是事先設定的判斷門檻，不是 $p$ 值的固定值。

本題考驗對信賴區間、假設檢定、p-value、Type I / Type II 錯誤等概念的理解。

A. A 95% confidence interval for µ = population mean IQ is (96, 110). So, in the test of H₀: µ = 100 versus H<0xE2><0x82><0x90>: µ ≠ 100, the p-value is greater than 0.05.
這是一個關於信賴區間與假設檢定的關係。

• 95% 信賴區間 (96, 110)。
• 虛無假設 H₀: $\mu = 100$。
• 對立假設 H<0xE2><0x82><0x90>: $\mu \ne 100$。
• 顯著水準 $\alpha = 0.05$ (因為是 95% CI)。
  信賴區間與假設檢定的關係是：如果虛無假設中的母體參數值（在這裡是 $\mu = 100$）落在信賴區間內，那麼我們在該顯著水準下未能拒絕 H₀。
  如果未能拒絕 H₀，則 p-value 必須大於 $\alpha$。
  在這個例子中，100 落在 (96, 110) 區間內。因此，我們未能拒絕 H₀: $\mu = 100$。
  這意味著 p-value > 0.05。
  此敘述正確。

B. For a fixed significance level α, the probability of a Type II error increases when the same size increases.
Type II 錯誤是指：H₀ 為假時，我們未能拒絕 H₀。
當樣本大小 $n$ 增加時，統計檢定的檢定力 (power) 會增加。檢定力是 $1 - P(\text{Type II error})$。

核心觀念

本題考查假設檢定中的：

• 虛無假設與對立假設
• 顯著水準 $\alpha$
• 型一錯誤與型二錯誤
• $p$ 值與後驗機率的區別

工廠宣稱平均每小時排放量不超過 $1000$ 加侖，因此設定：

其中 $\mu$ 為工廠每小時平均廢水排放量。這是右尾單尾檢定。

顯著水準 $\alpha=0.05$ 的定義為：

也就是在工廠實際沒有超過排放上限時，卻判定其超過上限的機率為 $5\%$。這種錯誤稱為型一錯誤。

解題方法

本題不需要計算檢定統計量，只要依照顯著水準的定義判斷各選項。

因為：

代表工廠確實沒有超過排放限制；拒絕 $H_0$ 則代表判定工廠超過限制。

因此，顯著水準表示：

這正是選項 B 的敘述。

選項分析

A. 錯誤

If the plant is exceeding the limit, there is only a 5% chance that we will conclude that they are not exceeding the limit.

此敘述表示：

這是工廠實際超過限制，卻未能拒絕 $H_0$ 的錯誤，屬於型二錯誤，其機率為 $\beta$，不由顯著水準 $\alpha$ 決定。

因此不能說此機率必定為 $5\%$。

B. 正確

If the plant is not exceeding the limit, there is only 5% chance that we will conclude they are exceeding the limit.

此敘述表示：

本題考驗對信賴區間 (Confidence Interval, CI) 的解釋，特別是關於兩個比例差值的信賴區間。
已知：

• $p_F$：台灣女性擁有房屋的比例。
• $p_M$：台灣男性擁有房屋的比例。
• 95% CI for $(p_F - p_M)$ = (0.02, 0.09)。

信賴區間的解釋：
這個信賴區間 (0.02, 0.09) 是關於母體比例差值 $(p_F - p_M)$ 的。
我們有 95% 的信心認為，真實的比例差值 $(p_F - p_M)$ 落在 0.02 到 0.09 之間。

現在分析各選項：

A. Since the confidence interval does not contain 0, it is impossible that pF = pM.
信賴區間 (0.02, 0.09) 不包含 0。這意味著，在這個 95% 的信心水準下，我們有足夠的證據推斷 $p_F - p_M \ne 0$，也就是 $p_F \ne p_M$。
「Impossible」是一個非常強的詞。統計推論是基於機率的，我們無法絕對證明「不可能」。但是，在統計學的語境下，當 CI 不包含某個值（如 0）時，我們通常得出結論該值「不顯著」，或者「不太可能」是真實值。
更準確的說法是：「我們有 95% 的信心認為 $p_F \ne p_M$」。
「Impossible」可能過於絕對。然而，在選項中，這是最接近正確結論的。

B. We are 95% confident that the probability of possessing house properties is between 0.02 and 0.09.
這個信賴區間是關於「女性比例」減去「男性比例」的差值 $(p_F - p_M)$，而不是關於 $p_F$ 或 $p_M$ 本身的比例，也不是關於「擁有房屋的總比例」。因此，直接說「機率在 0.02 到 0.09 之間」是錯誤的。

C. **We are 95% confident that the probability of possessing house properties for female is between 0.02 and 0.0

本題考驗單因子變異數分析 (One-way ANOVA) 中，如何判斷虛無假設 (H₀: $\mu_1 = \mu_2 = ... = \mu_g$) 被拒絕的證據強度。

ANOVA 的核心思想是將總變異數分解為組間變異數 (between-groups variation) 和組內變異數 (within-groups variation)。

• 組間變異數 (Between-groups variation)：衡量各組平均數與總平均數之間的差異，反映了不同組別之間的差異程度。通常用 Mean Square Between (MSB) 或 Sum of Squares Between (SSB) 來衡量。
• 組內變異數 (Within-groups variation)：衡量各組內部數據點與該組平均數之間的差異，反映了各組內部的隨機變異程度。通常用 Mean Square Within (MSW) 或 Sum of Squares Within (SSW) 來衡量。

ANOVA 的檢定統計量是 F 值，計算公式為：
$F = \frac{\text{MSB}}{\text{MSW}} = \frac{\text{Between-groups variation}}{\text{Within-groups variation}}$

虛無假設 H₀ 認為所有母體平均數相等 ($\mu_1 = \mu_2 = ... = \mu_g$)。
對立假設 H<0xE2><0x82><0x90> 認為至少有一個母體平均數不同。

• 如果 H₀ 為真，則組間變異數預期會很小（各組平均數與總平均數的差異不大），而組內變異數則代表隨機變異。此時 F 值會接近 1。
• 如果 H<0xE2><0x82><0x90> 為真（即平均數有差異），則組間變異數會相對較大，大於隨機變異所能解釋的程度。此時 F 值會大於 1。

拒絕 H₀ 的證據強度：
當 F 值越大時，表示組間變異數相對於組內變異數越大，這就提供了更強的證據來拒絕 H₀，支持至少有一個組別的平均數不同。

因此，為了使 ANOVA 提供更強的證據拒絕 H₀，我們需要：

1. 組間變異數 (Between-groups variation) 越大。
2. 組內變異數 (Within-groups variation) 越小。

這兩者都會導致 F 值增大。

現在來看選項：
A. The smaller the between-groups variation. (組間變異小，F 值小，不利於拒絕 H₀)
B. The smaller the within-groups variation. (組內變異小，F 值大，有利於拒絕 H₀)
C. The larger the between-groups variation. (組間變異大，F 值大，有利於拒絕 H₀)

本題考驗判定係數 (Coefficient of Determination, R²) 的性質。R² 通常用於衡量迴歸模型對應變數變異數的解釋能力。

R² 的定義：
$R^2 = 1 - \frac{SSE}{SST} = \frac{SSR}{SST}$
其中：

• SSE (Sum of Squared Errors)：殘差平方和。
• SST (Total Sum of Squares)：總平方和，應變數總變異。
• SSR (Sum of Squares due to Regression)：迴歸平方和，模型解釋的變異。

R² 的值介於 0 和 1 之間。

• $R^2 = 0$ 表示模型完全無法解釋應變數的變異。
• $R^2 = 1$ 表示模型完美地解釋了應變數的所有變異。

現在分析各選項：

A. As the number of explanatory variables increases, R² may increase.
在多元迴歸中，每增加一個解釋變數，即使該變數對應變數的解釋能力很弱，R² 也可能會增加（因為 R² 的定義決定了它不會因為增加變數而減小，除非該變數的係數恰好為 0，但 SSR 總體上傾向於增加）。
然而，增加解釋變數也可能導致 R² 的值沒有顯著提升，甚至可能因為 overfitting 而產生問題。
但「may increase」是正確的，因為 SSR 至少不會因為增加變數而減少。
修正：更精確地說，R² 總是隨著解釋變數數量的增加而「增加或保持不變」。它絕對不會因為增加變數而減少。所以 R² 確實「可能」增加。

B. It is an index that can be used to measure any kind of associations between the response variable and the explanatory variable.
R² 主要衡量的是線性關聯的強度。如果變數之間存在非線性關聯，R² 可能會很低，但這並不代表它們沒有關聯。

本題考驗單因子變異數分析 (One-way ANOVA) 的假設條件。

ANOVA 的基本假設包括：

1. 獨立性 (Independence)：各組內的觀測值以及各組之間的觀測值都是相互獨立的。
2. 常態性 (Normality)：各組的母體數據都服從常態分布。
3. 同質變異數 (Homoscedasticity)：各組母體的變異數相等。

現在分析各選項：

A. The mean value of each error term equals to 0.
在 ANOVA 模型中，每個觀測值可以表示為 $Y_{ij} = \mu_i + \epsilon_{ij}$，其中 $\mu_i$ 是第 i 組的母體平均數，$\epsilon_{ij}$ 是誤差項。假設誤差項的平均值為 0 ($E(\epsilon_{ij}) = 0$)，這意味著組平均數 $\mu_i$ 是觀測值的期望值，並且誤差項不包含系統性的偏差。此為必要假設。

B. The number of observations have to the same for each population.