108 年 國立臺灣大學工程科學及海洋工程學系碩士班甲組《流體力學（E）》

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第 1 題25 分

  1. An incompressible, inviscid liquid is placed in a vertical, constant diameter U-tube. When released from the non-equilibrium position, the liquid column will oscillate at a specific frequency. Determine this frequency. Hint: the unsteady form of the Bernoulli equation is (where V is the local velocity along the streamline)
    p1+12ρV12+ρgz1=p2+12ρV22+ρgz2+∫s1s2∂V∂tdsp_1 + \frac{1}{2}\rho V_1^2 + \rho g z_1 = p_2 + \frac{1}{2}\rho V_2^2 + \rho g z_2 + \int_{s_1}^{s_2} \frac{\partial V}{\partial t} ds
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核心觀念

本題考查垂直等截面 U 形管中液柱的自由振盪。使用：

  • 不可壓縮流體的連續方程式
  • 非定常 Bernoulli 方程式
  • 簡諧運動方程式

設液柱總長度（沿 U 形管中心線量測）為 LL，右側自由液面相對平衡位置上升 z(t)z(t)。由體積守恆，左側液面下降同樣的距離，因此兩自由液面的高度差為

z2−z1=2z.z_2-z_1=2z.

圖中未標示 LL 的數值，因此頻率以液柱總長度 LL 表示。

解題方法

取流動方向由左側自由液面 1 指向右側自由液面 2，液體速度為 VV。由於管徑固定且液體不可壓縮，各處速度大小相同：

V1=V2=V.V_1=V_2=V.

兩端皆為開口自由液面，所以

p1=p2=patm.p_1=p_2=p_{\text{atm}}.

沿整段液柱套用非定常 Bernoulli 方程式：

p1+12ρV12+ρgz1=p2+12ρV22+ρgz2+∫s1s2∂V∂t ds.p_1+\frac{1}{2}\rho V_1^2+\rho g z_1 = p_2+\frac{1}{2}\rho V_2^2+\rho g z_2 +\int_{s_1}^{s_2}\frac{\partial V}{\partial t}\,ds.

由於 p1=p2p_1=p_2 且 V1=V2V_1=V_2，壓力項與動能項互相抵消；又因速度沿等截面管內相同，

∫s1s2∂V∂t ds=LdVdt.\int_{s_1}^{s_2}\frac{\partial V}{\partial t}\,ds = L\frac{dV}{dt}.

因此

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第 2 題25 分

  1. Water flows through a horizontal, 180-degree pipe bend. The cross-sectional area is 0.01m20.01m^2 through the bend. The flow velocity in the bend is axial and 15m/s15 m/s. The absolute pressure at the entrance and exit of the bend are 207kPa207 kPa and 165kPa165 kPa, respectively. Calculate the horizontal (x and y) components of the force required to hold the bend in place.
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核心觀念

本題使用控制體動量方程式：

∑F⃗=m˙(V⃗2−V⃗1)\sum \vec F=\dot m(\vec V_2-\vec V_1)

由圖可知流體在水平面內通過 180∘180^\circ 彎管，入口與出口速度大小皆為 15 m/s15\ \mathrm{m/s}、方向相反。由於彎管截面相同，質量流率為

m˙=ρAV=(1000)(0.01)(15)=150 kg/s\dot m=\rho AV =(1000)(0.01)(15) =150\ \mathrm{kg/s}

題目給的是絕對壓力，因此需扣除大氣壓。取

patm=101.3 kPap_{\mathrm{atm}}=101.3\ \mathrm{kPa}

故入口、出口錶壓分別為

p1g=207−101.3=105.7 kPap_{1g}=207-101.3=105.7\ \mathrm{kPa} p2g=165−101.3=63.7 kPap_{2g}=165-101.3=63.7\ \mathrm{kPa}

解題方法

依圖中座標，+y+y 軸向右，入口流速為 +y+y 方向，出口流速為 −y-y 方向；xx 軸為另一個水平方向。

壓力作用力在 +y+y 方向：

Fp=(p1g+p2g)AF_p=(p_{1g}+p_{2g})A Fp=(105.7+63.7)×103(0.01)=1694 NF_p=(105.7+63.7)\times10^3(0.01) =1694\ \mathrm{N}

動量改變量為

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第 3 題25 分

  1. A long object (prototype) has an elliptical cross section. When a steady wind (air) blows past this object, vortices develop regularly at some frequency. For the prototype, D=0.1mD = 0.1m, H=0.3mH = 0.3m, and the wind velocity is V=50km/hourV = 50km/hour. The density of air is ρair=1.23kg/m3\rho_{air} = 1.23 kg/m^3 and the dynamic viscosity of air is μair=1.79×10−5kg/(m⋅s)\mu_{air} = 1.79 \times 10^{-5} kg/(m \cdot s). The frequency at which vortices develop is determined through a small-scale model tested in a water tunnel. For the model, Dm=20mmD_m = 20mm and the density of water is ρwater=998kg/m3\rho_{water} = 998 kg/m^3 and the dynamic viscosity of water is μwater=1×10−3kg/(m⋅s)\mu_{water} = 1 \times 10^{-3} kg/(m \cdot s). Determine the model dimension HmH_m and the velocity VmV_m at which the test should be performed? If the shedding frequency for the model is fm=49.9Hzf_m = 49.9Hz, what is the corresponding frequency for the prototype?
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本題考查相似性原理中的運動相似性，應用雷諾數 (Reynolds number) 和史勞哈數 (Strouhal number) 來分析模型試驗與原型之間的關聯，以預測原型在特定條件下的流動行為。

核心觀念：

  1. 相似性原理 (Principle of Similitude)：模型試驗的結果要能正確預測原型的行為，必須滿足幾何相似、運動相似和動力相似。
  2. 運動相似 (Kinematic Similitude)：流場的運動狀態相似。對於此問題，主要與流速和尺寸有關。
  3. 動力相似 (Dynamic Similitude)：流場中的力（慣性力、黏性力、壓力等）之間的比值相似。
  4. 無因次參數 (Dimensionless Parameters)：
    • 雷諾數 (Reynolds number, Re)：表示慣性力與黏性力的比值，是判斷流動狀態（層流或紊流）的重要參數。Re=ρVLμRe = \frac{\rho V L}{\mu}，其中 LL 為特徵長度。
    • 史勞哈數 (Strouhal number, St)：表示流動的頻率與流速、特徵長度之間的關係，常用於週期性流動（如渦旋脫落）。St=fLVSt = \frac{f L}{V}，其中 ff 為頻率。

解題步驟：

  1. 定義原型 (Prototype) 和模型 (Model) 的參數：

    原型 (Prototype)：

    • 流體：空氣 (Air)
    • 特徵長度 (垂直於流動方向)：D=0.1 mD = 0.1 \, m (圓形截面直徑，對於橢圓截面，通常取較小的尺寸作為特徵長度，這裡題目給了 D 和 H，我們暫時假設 D 是主要特徵長度，因為渦旋脫落通常與迎風面寬度有關。題目給了 D=0.1mD=0.1m, H=0.3mH=0.3m。對於橢圓截面，通常取寬度 DD 作為特徵長度。然而，如果渦旋脫落的頻率與 HH 也有關，則需要考慮 HH。但題目說 "long object (prototype) has an elliptical cross section"，通常渦旋脫落的史勞哈數 StSt 是基於迎風面寬度 DD 來定義的。我們暫時以 DD 作為特徵長度。)
    • 流速：V=50 km/hV = 50 \, km/h。需轉換為 m/sm/s：V=50×1000 m3600 s=50036 m/s≈13.89 m/sV = 50 \times \frac{1000 \, m}{3600 \, s} = \frac{500}{36} \, m/s \approx 13.89 \, m/s。
    • 空氣密度：ρair=1.23 kg/m3\rho_{air} = 1.23 \, kg/m^3。
    • 空氣動態黏度：μair=1.79×10−5 kg/(m⋅s)\mu_{air} = 1.79 \times 10^{-5} \, kg/(m \cdot s)。
    • 渦旋脫落頻率：fairf_{air} (待求)。

    模型 (Model)：

    • 流體：水 (Water)
    • 特徵長度 (垂直於流動方向)：Dm=20 mm=0.02 mD_m = 20 \, mm = 0.02 \, m。
    • 模型尺寸：HmH_m (待求)。
    • 模型流速：VmV_m (待求)。
    • 水密度：ρwater=998 kg/m3\rho_{water} = 998 \, kg/m^3。
    • 水動態黏度：μwater=1×10−3 kg/(m⋅s)\mu_{water} = 1 \times 10^{-3} \, kg/(m \cdot s)。
    • 渦旋脫落頻率：fm=49.9 Hzf_m = 49.9 \, Hz。

  2. 應用運動相似性條件：
    為了使模型試驗能正確預測原型行為，必須確保流動的相似性。通常，這意味著關鍵的無因次參數必須在模型和原型之間相等。對於渦旋脫落問題，兩個重要的無因次參數是雷諾數 (Re) 和史勞哈數 (St)。

    • 雷諾數相似性：Remodel=ReprototypeRe_{model} = Re_{prototype}
      ρwaterVmDmμwater=ρairVairDairμair\frac{\rho_{water} V_m D_m}{\mu_{water}} = \frac{\rho_{air} V_{air} D_{air}}{\mu_{air}}
      這裡，我們需要確定特徵長度。對於渦旋脫落，通常使用迎風面寬度作為特徵長度 LL。對於長橢圓柱，迎風面寬度是 DD。
      所以，我們使用 DD 和 DmD_m 作為特徵長度。
      ρwaterVmDmμwater=ρairVairDμair\frac{\rho_{water} V_m D_m}{\mu_{water}} = \frac{\rho_{air} V_{air} D}{\mu_{air}}
      (998 kg/m3)Vm(0.02 m)1×10−3 kg/(m⋅s)=(1.23 kg/m3)(13.89 m/s)(0.1 m)1.79×10−5 kg/(m⋅s)\frac{(998 \, kg/m^3) V_m (0.02 \, m)}{1 \times 10^{-3} \, kg/(m \cdot s)} = \frac{(1.23 \, kg/m^3) (13.89 \, m/s) (0.1 \, m)}{1.79 \times 10^{-5} \, kg/(m \cdot s)}

      計算右側 (原型 Re)：
      Reprototype=1.23×13.89×0.11.79×10−5≈1.708471.79×10−5≈95445Re_{prototype} = \frac{1.23 \times 13.89 \times 0.1}{1.79 \times 10^{-5}} \approx \frac{1.70847}{1.79 \times 10^{-5}} \approx 95445

      計算左側 (模型 Re)：
      Remodel=998×Vm×0.021×10−3=19960×VmRe_{model} = \frac{998 \times V_m \times 0.02}{1 \times 10^{-3}} = 19960 \times V_m

      令 Remodel=ReprototypeRe_{model} = Re_{prototype}：
      19960×Vm=9544519960 \times V_m = 95445
      Vm=9544519960≈4.78 m/sV_m = \frac{95445}{19960} \approx 4.78 \, m/s

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第 4 題25 分

  1. Two immiscible, incompressible, viscous fluids having the same densities but different viscosities are contained between two infinite, horizontal, parallel plates as shown. The bottom plate is fixed and the upper plate moves at the constant velocity U. Determine the velocity at the interface. Express your answer in terms of U, μ1\mu_1, μ2\mu_2. The motion of the fluid is caused by the upper plate and no pressure gradient exists in the x direction. The velocity and shear are continuous across the interface and the flow is laminar.
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核心觀念

本題考查兩層不同黏度流體的平面 Couette 流。因為流動為穩態、層流，且 xx 方向無壓力梯度，兩層流體的速度剖面皆為線性。

界面需滿足：

  1. 速度連續：u1=u2=uIu_1=u_2=u_I
  2. 剪應力連續：τxy,1=τxy,2\tau_{xy,1}=\tau_{xy,2}

依圖設上層流體黏度為 μ1\mu_1、下層流體黏度為 μ2\mu_2，且兩層厚度皆為 hh。

解題方法

取 yy 軸向上，固定下板位於 y=0y=0，流體界面位於 y=hy=h，移動上板位於 y=2hy=2h。

在各流體內，

ddy(μiduidy)=0\frac{d}{dy}\left(\mu_i\frac{du_i}{dy}\right)=0

由於 μi\mu_i 為常數，因此速度梯度為常數。

下層流體的邊界條件為

u2(0)=0,u2(h)=uIu_2(0)=0,\qquad u_2(h)=u_I

故界面下方的速度梯度為

du2dy=uIh\frac{du_2}{dy}=\frac{u_I}{h}

上層流體的邊界條件為

u1(h)=uI,u1(2h)=Uu_1(h)=u_I,\qquad u_1(2h)=U

故界面上方的速度梯度為

du1dy=U−uIh\frac{du_1}{dy}=\frac{U-u_I}{h}

界面剪應力連續：

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