109 年 國立臺灣大學工程科學及海洋工程學系碩士班甲組《流體力學（E）》

此題考查靜止流體作用在曲面上的壓力分佈與合力計算。

核心觀念：

1. 靜止流體對浸沒表面的壓力作用是垂直於表面的。
2. 作用在曲面上的合力可以分解為水平分力與垂直分力。
3. 水平分力等於作用在曲面投影到垂直方向（即 y-z 平面）上的平面上的靜水壓力合力。
4. 垂直分力等於作用在曲面投影到水平方向（即 x-y 平面）上的平面上的靜水壓力合力，其大小等於曲面上方與曲面頂部之間的水柱所受的重力。

解題步驟：
設曲面 AB 的長度為 1 m（沿 z 方向）。
水深為 $h = 5.5 \, \text{m}$。
曲面 AB 的寬度（沿 y 方向）為 $b = 1.8 \, \text{m}$。
曲面 AB 的頂部高度為 $y_{top} = 5.5 \, \text{m}$，底部高度為 $y_{bottom} = 0 \, \text{m}$。

(a) 水平分力 $F_x$：
水平分力 $F_x$ 等於作用在曲面 AB 在 x 方向上的投影（即一個面積為 $b \times h$ 的矩形平面）上的靜水壓力合力。此投影位於 $y=0$ 到 $y=5.5 \, \text{m}$ 的範圍。
作用在深度 $y$ 處的壓力為 $p = \rho g y$。
作用在寬度 $b$、深度 $y$、厚度 $dy$ 的微小面積上的水平力為 $dF_x = p dA_x = (\rho g y) (b \, dy)$。
總水平分力為：
$F_x = \int_{0}^{h} \rho g y b \, dy = \rho g b \int_{0}^{h} y \, dy = \rho g b \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{h} = \frac{1}{2} \rho g b h^2$

核心觀念

本題考查：

• 伯努力方程式求各出口流速。
• 連續方程式：水位固定表示流入量等於兩股流出量。
• 線性動量方程式：由兩股水流的水平動量通量，求水箱所受的反作用力。
• 出口皆排至大氣，故出口表壓為零；忽略損失。

由圖得：

• 左側出口面積：$A_L=1250\ \text{mm}^2$
• 右側出口面積：$A_R=625\ \text{mm}^2$
• 左側出口距自由液面：$h_L=1\ \text{m}$
• 右側出口距自由液面：$h_R=2\ \text{m}$

解題方法

取水箱內部水體及兩出口附近水流為控制體，水箱為定常狀態，且進水管為垂直方向，因此進水沒有水平動量。

由自由液面至各出口套用伯努力方程式：

$$V_L=\sqrt{2gh_L}=\sqrt{2g(1)}$$ $$V_R=\sqrt{2gh_R}=\sqrt{2g(2)}$$

出口方向為：

• 左側水流向左，水平速度為 $-V_L$
• 右側水流向右，水平速度為 $+V_R$

以向右為正方向，水平動量方程式為

此題考查在特定條件下（穩態、不可壓縮、層流、零壓力梯度、只有重力為體力）的 Navier-Stokes 方程式應用，以推導兩平行板間的流體速度分佈。

核心觀念：

1. Navier-Stokes 方程式：描述牛頓流體動量守恆的微分方程式。
2. 穩態流動：流場的時變率為零。
3. 不可壓縮流體：密度為常數。
4. 層流：流體質點沿著平行的流線運動，無湍流。
5. 體力：只有重力作用在 y 方向。
6. 無壓力梯度：$\frac{\partial p}{\partial x} = 0$。
7. 平行板流：速度分佈只與垂直於流動方向的座標有關。

解題步驟：
考慮一個無限長的平行板流，板間距離為 $b$。
上板以速度 $U_1$ 向右移動，下板以速度 $U_2$ 向左移動。
流體是不可壓縮、黏滯的。
我們採用一個座標系，使得 x 軸沿著流動方向，y 軸垂直於板面向上，z 軸垂直於紙面。
由於板是無限長的，且流動方向是 x 方向，速度分佈僅取決於 y 座標，即 $u = u(y)$。
由於是穩態流動，所有時間偏導數均為零。
由於是不可壓縮流體，連續性方程式為 $\nabla \cdot \mathbf{v} = 0$。

Navier-Stokes 方程式（向量形式）：
$\rho \left( \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{v} + \rho \mathbf{g}$
其中 $\mathbf{v} = (u, v, w)$ 是速度向量，$p$ 是壓力，$\rho$ 是密度，$\mu$ 是動力黏滯係數，$\mathbf{g}$ 是重力加速度向量。

在此問題中：

• 穩態流動：$\frac{\partial}{\partial t} = 0$。
• 速度向量：$\mathbf{v} = (u(y), 0, 0)$，因為只有 x 方向的速度 $u$，且 $u$ 只依賴於 $y$。 $v=0, w=0$。
• 體力：$\mathbf{g} = (0, -g, 0)$，其中 $g$ 是重力加速度的大小，方向為負 y 方向。
• 壓力梯度：$\frac{\partial p}{\partial x} = 0$。由於流動是單向的，且無外力或邊界條件改變壓力分佈，可以假設 $\frac{\partial p}{\partial y} = 0$。因此，壓力 $p$ 是一個常數，或者說壓力梯度為零。但題目明確給出 $\frac{\partial p}{\partial x} = 0$，我們將以此為準。

展開 Navier-Stokes 方程式的各分量：

1. x 方向動量方程式：
   $\rho \left( \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} + w \frac{\partial u}{\partial z} \right) = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \right) + \rho g_x$
   代入已知條件：$\frac{\partial u}{\partial t} = 0$, $u=u(y)$, $v=0$, $w=0$, $\frac{\partial u}{\partial x} = 0$, $\frac{\partial u}{\partial z} = 0$, $\frac{\partial p}{\partial x} = 0$, $\mu$ 為常數，$\nabla^2 u = \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$ (因為 $u$ 只依賴於 $y$)， $g_x = 0$。

核心觀念

本題考查：

1. Buckingham $\Pi$ 定理：由變數的量綱建立無因次群。
2. 模型與原型的相似律：模型試驗須保持各無因次群相同。
3. 幾何相似：模型長度尺度為原型的 $1/10$。

已知

$$L=f(H,D,V,\gamma,\mu)$$

其中：

• $L,H,D$：長度，量綱為 $[L]$
• $V$：速度，量綱為 $[LT^{-1}]$
• $\gamma$：粒子單位重，量綱為 $[ML^{-2}T^{-2}]$
• $\mu$：流體動力黏度，量綱為 $[ML^{-1}T^{-1}]$

共有 $6$ 個變數、$3$ 個基本量綱，因此可建立 $6-3=3$ 個無因次群。

(a) 無因次群

選取 $H,V,\mu$ 為重複變數。

第一個無因次群：

$$\Pi_1=\frac{L}{H}$$

第二個無因次群：

$$\Pi_2=\frac{D}{H}$$

第三個無因次群可由 $\gamma H V^a\mu^b$ 建立。令其量綱為無因次：

$$[\gamma H V^a\mu^b] = M^{1+b}L^{-1+a-b}T^{-2-a-b}$$

比較各基本量綱得：

$$1+b=0,\qquad -2-a-b=0$$

因此

$$b=-1,\qquad a=1$$

故

$$\Pi_3=\frac{\gamma HV}{\mu}$$

此結果量綱並非無因次，表示上式的速度次方推導需修正。正確比較長度次方：

$$-2+a-b=0$$

搭配 $b=-1$ 與時間次方方程：

$$-2-a-b=0$$

可得

$$a=1,\qquad b=-1$$

因此無因次群為

$$\Pi_3=\frac{\gamma H}{\mu V}$$

檢查其量綱：

$$\frac{(ML^{-2}T^{-2})(L)} {(ML^{-1}T^{-1})(LT^{-1})}=1$$

所以相似關係可寫成

$$\frac{L}{H} = \Phi\left( \frac{D}{H}, \frac{\gamma H}{\mu V} \right)$$

等價的無因次群組合亦可寫成