109 年 國立臺灣大學工程科學及海洋工程學系碩士班甲組《熱工學》

本題考驗水蒸氣之相平衡、理想氣體定律應用、第一類與第二類系統分析，以及熵產生計算。

首先，我們需要利用水的性質表來求解。題目給予水的初態條件為壓力 $P_1 = 0.2$ MPa，品質 $x_1 = 0.5$。

(a) 水混合物的質量 (Mass of water mixture)

由水的性質表，在 $P_1 = 0.2$ MPa 下，查得飽和液體的比體積 $v_f = 0.001061$ m³/kg，飽和蒸氣的比體積 $v_g = 0.8857$ m³/kg。
混合物的比體積 $v_1$ 可由以下公式計算：
$v_1 = v_f + x_1 (v_g - v_f)$
$v_1 = 0.001061 + 0.5 \times (0.8857 - 0.001061)$
$v_1 = 0.001061 + 0.5 \times 0.884639$
$v_1 = 0.001061 + 0.4423195$
$v_1 = 0.4433805$ m³/kg

系統的總體積 $V = 3$ m³。質量 $m$ 可由總體積除以比體積得到：
$m = \frac{V}{v_1} = \frac{3 \text{ m³}}{0.4433805 \text{ m³/kg}}$
$m \approx 6.765$ kg

(b) 最終壓力 (Final pressure)

系統是密閉且絕熱的（well-isolated box），且加熱是透過內部電熱器進行，代表系統的體積固定，且沒有質量進出。最終狀態是飽和蒸氣。
從水的性質表，在 $P = 0.2$ MPa 下，飽和蒸氣的比體積 $v_g = 0.8857$ m³/kg。
由於最終狀態是飽和蒸氣，且我們要求的是最終壓力，我們可以利用水的性質表，在表格中尋找比體積接近 $v_g$ 的壓力值。
然而，題目並沒有直接給出最終狀態的性質，只說轉變成飽和蒸氣。這意味著最終狀態的壓力應該就是該溫度下的飽和壓力。
由於題目沒有給最終溫度，我們需要從水的性質表尋找比體積等於 $v_g$ 的壓力。
在水的性質表中，當 $P = 0.2$ MPa 時，飽和蒸氣的 $v_g = 0.8857$ m³/kg。
由於系統的體積固定為 $V=3$ m³，且質量為 $m=6.765$ kg，最終的比體積為 $v_2 = V/m = 3/6.765 \approx 0.44338$ m³/kg。
這個比體積 $0.44338$ m³/kg 是小於 $0.8857$ m³/kg 的，表示最終狀態並非在 $P=0.2$ MPa 的飽和蒸氣。
題目描述「transform the water mixture to a saturated vapor state」，這意味著最終狀態是飽和蒸氣。
若最終狀態是飽和蒸氣，則其比體積 $v_2$ 應為該壓力下的飽和蒸氣比體積 $v_g(P_2)$。
所以，$v_2 = V/m = 3/6.765 = 0.44338$ m³/kg。
我們需要在水的性質表中尋找一個壓力 $P_2$，使得在此壓力下的飽和蒸氣比體積 $v_g(P_2)$ 等於 $0.44338$ m³/kg。
查閱水的性質表 (例如，在 200°C 附近)：
在 $P=0.2$ MPa， $v_g = 0.8857$ m³/kg。
在 $P=0.4$ MPa， $v_g = 0.4624$ m³/kg。
在 $P=0.5$ MPa， $v_g = 0.3748$ m³/kg。
我們需要的值 $0.44338$ m³/kg 介於 $0.4$ MPa 和 $0.5$ MPa 之間。
透過內插法，我們可以找到對應的壓力。
然而，題目敘述「transform the water mixture to a saturated vapor state」，這表示最終狀態的品質 $x_2=1$。
我們由第一部分的計算得到 $m = 6.765$ kg， $V = 3$ m³，所以 $v_2 = V/m = 3/6.765 = 0.44338$ m³/kg。
我們需要在水的性質表中尋找壓力 $P_2$ 使得 $v_g(P_2) = 0.44338$ m³/kg。
查表可知，在 $P = 0.4$ MPa 時，$v_g = 0.4624$ m³/kg。
在 $P = 0.5$ MPa 時，$v_2 = 0.3748$ m³/kg。
因此，最終壓力 $P_2$ 應介於 $0.4$ MPa 和 $0.5$ MPa 之間。
使用內插法：
$\frac{P_2 - 0.4}{0.5 - 0.4} = \frac{0.44338 - 0.4624}{0.3748 - 0.4624}$
$\frac{P_2 - 0.4}{0.1} = \frac{-0.01902}{-0.0876}$
$P_2 - 0.4 = 0.1 \times \frac{0.01902}{0.0876}$
$P_2 - 0.4 \approx 0.1 \times 0.2171$
$P_2 \approx 0.4 + 0.02171 = 0.42171$ MPa

題目要求壓力單位為 bar， $1$ MPa $= 10$ bar。
$P_2 \approx 0.42171 \times 10 = 4.2171$ bar。

(c) 加熱器所需的功 (Work required by the heater)

系統是絕熱的，所以沒有熱量傳遞給外界。內部加熱器提供的電功是系統的輸入。
根據能量守恆定律（第一類系統）：
$Q_{in} - W_{out} = \Delta U$
由於系統是絕熱的， $Q_{in} = 0$ (因為題目說 well-isolated box, 這裡的 $Q_{in}$ 指的是與外界的熱交換)。
但是，題目提到「An electric power is given to the heater」，這代表有功的輸入，即電功 $W_{elec}$。
系統的能量變化為：
$m(u_2 - u_1) = Q_{in} - W_{out} + W_{elec}$
這裡的 $Q_{in}$ 指的是與外界的熱交換，為 0。
$W_{out}$ 是系統對外做的功，在此情況下，系統是固定體積，所以 $W_{out} = 0$。
因此，能量守恆方程變為：
$m(u_2 - u_1) = W_{elec}$
題目要求的是「work required by the heater」，這就是電功 $W_{elec}$。

我們需要找到初態和終態的內能 $u_1$ 和 $u_2$。
初態：$P_1 = 0.2$ MPa, $x_1 = 0.5$。
由水的性質表，在 $P_1 = 0.2$ MPa 下，查得飽和液體內能 $u_f = 508.71$ kJ/kg，飽和蒸氣內能 $u_g = 2505.2$ kJ/kg。
$u_1 = u_f + x_1 (u_g - u_f)$

核心觀念

本題考查：

1. 理想氣體狀態方程：
   $PV=mRT$
2. 非穩態充填過程的質量與能量平衡。
3. 剛性容器沒有邊界功，且題目指定絕熱、忽略動能與位能。
4. 熵平衡與熵生成：
   $S_{\mathrm{gen}}=\Delta S_{\mathrm{CV}}-\sum m_{\mathrm{in}}s_{\mathrm{in}}$

取空氣性質為

$R=0.287\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},\qquad c_p=1.005\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},\qquad c_v=0.718\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$

溫度換算為絕對溫度：

$T_{1}=27+273.15=300.15\ \mathrm{K}$

$T_{\mathrm{in}}=17+273.15=290.15\ \mathrm{K}$

$T_{2}=23+273.15=296.15\ \mathrm{K}$

壓力採用 kPa：

$P_1=100\ \mathrm{kPa},\qquad P_2=P_{\mathrm{in}}=1000\ \mathrm{kPa}$

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解題方法

分析範圍取「渦輪機＋剛性儲槽」整體控制體積。外界只有來自大型容器的進流，沒有出口。

令：

• 狀態 1：儲槽初始狀態
• 狀態 2：儲槽最終狀態
• 狀態 in：大型容器供應空氣狀態

大型容器足夠大，因此進入渦輪機的空氣始終維持在 $1\ \mathrm{MPa}$、$17^\circ\mathrm{C}$。

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(a) 儲槽內初始質量

儲槽體積為

$V=1.5\ \mathrm{m^3}$

由理想氣體方程：

$m_1=\frac{P_1V}{RT_1}$

代入：

$$m_1 =\frac{(100)(1.5)}{(0.287)(300.15)} =1.741\ \mathrm{kg}$$

因此，

$\boxed{m_1=1.74\ \mathrm{kg}}$

為後續計算，也求出最終質量：

$m_2=\frac{P_2V}{RT_2}$

$$m_2 =\frac{(1000)(1.5)}{(0.287)(296.15)} =17.648\ \mathrm{kg}$$

進入系統的空氣質量為

$$m_{\mathrm{in}}=m_2-m_1 =17.648-1.741 =15.907\ \mathrm{kg}$$

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(b) 渦輪機產生的功

能量平衡

對「渦輪機＋儲槽」使用非穩態能量方程：

$$E_2-E_1=Q-W+\sum m_{\mathrm{in}}h_{\mathrm{in}}$$

題目指定絕熱，因此 $Q=0$；控制體積內沒有初始動能與位能變化，且儲槽為剛性容器，不產生邊界功。

因此：

$$U_2-U_1 = -W_t+m_{\mathrm{in}}h_{\mathrm{in}}$$

整理得渦輪機輸出功：

$$W_t = m_{\mathrm{in}}h_{\mathrm{in}}-(U_2-U_1)$$

以「系統輸出功為正」表示，也可寫成：

$$W_t = m_{\mathrm{in}}h_{\mathrm{in}} - \left(m_2u_2-m_1u_1\right)$$

對理想氣體：

$$h=c_pT,\qquad u=c_vT$$

所以：

$$W_t = m_{\mathrm{in}}c_pT_{\mathrm{in}} - c_v(m_2T_2-m_1T_1)$$

先計算內能增加量：

$$\Delta U =c_v(m_2T_2-m_1T_1)$$ $$\Delta U =0.718\left[(17.648)(296.15)-(1.741)(300.15)\right]$$

核心觀念

本題考查理想氣體混合物在多變過程中的狀態關係、邊界功及熱力學第一定律。

對固定成分的理想氣體混合物：

1. 多變過程定義：

$$PV^n=\text{常數}$$

2. 理想氣體狀態方程：

$$PV=mR_{\text{mix}}T$$

3. 多變過程的溫度—體積關係：

$$TV^{n-1}=\text{常數}$$

4. 熱力學第一定律：

$$Q=\Delta U+W$$

其中 $W$ 為系統對外所作的功。壓縮時系統對外作功為負，因此壓縮所需輸入功為 $-W$。

CO 與 $O_2$ 均可視為雙原子理想氣體，取

$$k=\frac{c_p}{c_v}=1.4$$

因此

$$c_v=\frac{R}{k-1}=2.5R$$

且本題的多變指數 $n=1.4$，與氣體比熱比相同。

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解題方法

已知

$$m_{\mathrm{CO}}=0.45\ \mathrm{kg}$$ $$m_{\mathrm{O_2}}=0.75\ \mathrm{kg}$$ $$m=0.45+0.75=1.20\ \mathrm{kg}$$ $$P_1=3\ \mathrm{bar},\qquad T_1=350\ \mathrm{K},\qquad T_2=500\ \mathrm{K}$$ $$n=1.4$$

1. 混合氣體的氣體常數

採用分子量

$$M_{\mathrm{CO}}=28\ \mathrm{kg/kmol},\qquad M_{\mathrm{O_2}}=32\ \mathrm{kg/kmol}$$

各成分莫耳數為

$$N_{\mathrm{CO}}=\frac{0.45}{28}=0.016071\ \mathrm{kmol}$$ $$N_{\mathrm{O_2}}=\frac{0.75}{32}=0.023438\ \mathrm{kmol}$$

總莫耳數：

$$N=0.016071+0.023438=0.039509\ \mathrm{kmol}$$

混合氣體平均分子量：

$$M_{\text{mix}}=\frac{m}{N} =\frac{1.20}{0.039509} =30.37\ \mathrm{kg/kmol}$$

因此混合氣體的氣體常數為

$$R_{\text{mix}}=\frac{R_u}{M_{\text{mix}}} =\frac{8.314}{30.37} =0.2737\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$$

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2. 最終壓力

由多變過程：

$$P_1V_1^n=P_2V_2^n$$

又因為理想氣體方程式 $V\propto T/P$，可得

$$\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{1-n}$$

整理後：

$$\frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{\frac{n}{n-1}}$$

代入數值：

本題考驗濕空氣處理過程，特別是蒸發冷卻器，涉及濕空氣的熱力學性質、質量平衡與能量平衡。

基本參數：
壓力 $P = 1$ bar $= 100$ kPa。
空氣的性質：分子量 $MW_{air} = 28.97$ kg/kmol， $R_{air} = 0.287$ kJ/kg·K。
水的性質：在 40°C 時，飽和蒸汽壓 $P_{g,40} = 7.384$ kPa。
在 25°C 時，飽和蒸汽壓 $P_{g,25} = 3.169$ kPa。
在 20°C 時，飽和蒸汽壓 $P_{g,20} = 2.339$ kPa。
水的汽化潛熱 $\Delta h_{fg}$ 在 25°C 時約為 2442 kJ/kg。

初始狀態 (State 1, Inlet Moist Air):
溫度 $T_1 = 40^\circ\text{C} = 313.15$ K。
體積流量 $\dot{V}_1 = 7200$ m³/hr。
濕度比 $\omega_1 = 0.01$ kg $H_2O$/kg dry air。

最終狀態 (State 2, Outlet Moist Air):
溫度 $T_2 = 25^\circ\text{C} = 298.15$ K。
壓力 $P_2 = P_1 = 1$ bar。

蒸發冷卻器加入水的狀態：
水溫 $T_{water} = 20^\circ\text{C}$。
假設加入的水完全蒸發。
過程是絕熱的（Heat transfer to the surroundings is negligible）。

(a) 加入水的質量流量 (Mass flow rate of water)

首先，計算初始狀態的空氣性質。
濕度比 $\omega = \frac{m_v}{m_a} = 0.622 \frac{P_v}{P - P_v}$。
由 $\omega_1 = 0.01$，可求得初始水蒸氣分壓 $P_{v1}$：
$0.01 = 0.622 \frac{P_{v1}}{100 - P_{v1}}$
$0.01 (100 - P_{v1}) = 0.622 P_{v1}$
$1 - 0.01 P_{v1} = 0.622 P_{v1}$
$1 = 0.632 P_{v1}$
$P_{v1} = \frac{1}{0.632} \approx 1.582$ kPa。

由於 $P_{v1} = 1.582$ kPa，而 40°C 時的飽和蒸汽壓 $P_{g,40} = 7.384$ kPa，所以空氣在 40°C 時並未飽和。
初始狀態的乾空氣質量流量 $\dot{m}_{a1}$：
乾空氣的體積流量 $\dot{V}_{a1} = \dot{V}_1 \frac{P_{a1}}{P_1} = \dot{V}_1 \frac{P - P_{v1}}{P_1}$。
這裡的 $\dot{V}_1$ 是濕空氣的體積流量。
濕空氣的比體積 $v_{mix} = \frac{R_{mix} T}{P}$。
$R_{mix} = R_{air} (1 + 1.608 \omega)$ -- 這是一個近似公式。
更準確的計算：
乾空氣的體積流量 $\dot{V}_{a} = \dot{m}_a v_a$。
濕空氣的比體積 $v_{mix} = v_a + \omega v_v$。
$\dot{V}_1 = \dot{m}_{a1} v_{mix,1}$。
$v_{mix,1} \approx \frac{R_{air} T_1}{P} (1 + \frac{1.608 \omega_1 P_1}{P})$ -- 這個公式也不對。

直接計算乾空氣質量流量：
在 40°C (313.15 K) 和 1 bar (100 kPa) 下，假設空氣為乾空氣，其比體積為：
$v_{a1} = \frac{R_{air} T_1}{P} = \frac{0.287 \text{ kJ/kg·K} \times 313.15 \text{ K}}{100 \text{ kPa}} = 0.8987$ m³/kg。
濕空氣的體積流量 $\dot{V}_1 = 7200$ m³/hr。
濕空氣的比體積 $v_{mix,1}$。
$v_{mix,1} = v_{a1} + \omega_1 v_{v1}$ -- 這是近似。
更精確的計算：
$v_{mix} = \frac{R_{air} T}{P - P_v} + \frac{R_v T}{P_v}$ -- 這是針對濕空氣的。
$v_{mix} = \frac{R_{air} T}{P(1-y_v)} + \frac{R_v T}{Py_v}$ -- 這裡 $y_v = P_v/P$ 是體積莫耳分數。
$v_{mix} = \frac{R_{mix} T}{P}$ -- 這裡 $R_{mix} = y_a R_a + y_v R_v$。
$y_a = \frac{P_{a}}{P}$, $y_v = \frac{P_{v}}{P}$。
$R_{mix} = \frac{P_a}{P} R_a + \frac{P_v}{P} R_v$ -- 這是莫耳比。
濕空氣的摩爾質量 $M_{mix} = y_a M_a + y_v M_v$。
$R_{mix} = R_u / M_{mix}$。

乾空氣質量流量 $\dot{m}_{a1}$：
$\dot{V}_1 = \dot{m}_{a1} v_{mix,1}$。
$v_{mix,1} = v_{a1} (1 + \omega_1) = \frac{R_{air} T_1}{P - P_{v1}} (1 + \omega_1)$ -- 這個公式是錯的。

核心觀念

本題考查理想複合循環：

1. 燃氣輪機採理想 Brayton cycle：
   • 壓縮機與燃氣渦輪皆為等熵裝置。
   • 空氣視為理想氣體，使用理想氣體空氣表。
2. 蒸汽循環採理想 Rankine cycle：
   • 幫浦與蒸汽渦輪皆為等熵裝置。
   • 冷凝器出口為 $0.1\ \text{bar}$ 飽和液體。
3. 熱回收蒸汽產生器效率為 $100\%$，因此燃氣放出的熱量等於水蒸氣吸收的熱量。
4. 全系統淨功率為 $50\ \text{MW}$。

由圖及表格：

• 燃氣側：$p_1=p_4=p_5=1\ \text{bar}$，$p_2=p_3=13\ \text{bar}$
• 蒸汽側：$p_6=p_7=10\ \text{bar}$，$p_8=p_9=0.1\ \text{bar}$
• $T_1=290\ \text{K}$，$T_3=1550\ \text{K}$，$T_5=350\ \text{K}$，$T_7=500\ \text{K}$

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解題方法

1. 壓縮機出口溫度 $T_2$

理想氣體等熵關係為

$$\frac{p_2}{p_1}=\frac{Pr_2}{Pr_1}$$

由空氣表，$T_1=290\ \text{K}$ 時：

$$Pr_1=1.231$$

因此

$$Pr_2=13(1.231)=16.00$$

查表內插可得

$$\boxed{T_2\approx 603\ \text{K}}$$

同時由空氣表取得

$$h_1=290.16\ \text{kJ/kg},\qquad h_2\approx 610.7\ \text{kJ/kg}$$

壓縮機比功為

$$w_c=h_2-h_1$$ $$w_c=610.7-290.16 \approx 320.5\ \text{kJ/kg}$$

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2. 燃氣渦輪出口溫度 $T_4$

燃氣渦輪為等熵膨脹：

$$\frac{p_4}{p_3}=\frac{Pr_4}{Pr_3}$$

由 $T_3=1550\ \text{K}$ 的空氣表資料，內插得

$$Pr_3\approx 691.5$$

因此

$$Pr_4=691.5\left(\frac{1}{13}\right) \approx 53.2$$

查空氣表可得

$$\boxed{T_4\approx 821\ \text{K}}$$

由表查得約

$$h_3\approx 1696.5\ \text{kJ/kg},\qquad h_4\approx 846\ \text{kJ/kg}$$

燃氣渦輪比功為

$$w_{t,g}=h_3-h_4 \approx 1696.5-846 =850.5\ \text{kJ/kg}$$

燃氣循環淨比功：

$$w_{g,\text{net}}=w_{t,g}-w_c$$ $$w_{g,\text{net}} =850.5-320.5 \approx 530.0\ \text{kJ/kg}$$

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3. 幫浦出口溫度 $T_6$

狀態 9 為 $0.1\ \text{bar}$ 飽和液體，其飽和溫度為

$$T_9=T_{\text{sat},\,0.1\text{ bar}} \approx 45.8^\circ\text{C} =318.95\ \text{K}$$

液體經理想幫浦升壓至 $10\ \text{bar}$，溫度變化極小，因此

$$\boxed{T_6\approx 319\ \text{K}}$$

幫浦比功以不可壓縮液體近似：

$$w_p=v_f(p_6-p_9)$$

取 $v_f\approx 0.00101\ \text{m}^3/\text{kg}$：

$$w_p \approx 0.00101(1000-10) \approx 1.0\ \text{kJ/kg}$$

於是

$$h_6\approx h_9+w_p$$

由 $0.1\ \text{bar}$ 飽和水表：

$$h_9=h_f\approx 191.8\ \text{kJ/kg}$$

所以

$$h_6\approx 192.8\ \text{kJ/kg}$$

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4. 蒸汽渦輪出口溫度 $T_8$

狀態 7 為

$$p_7=10\ \text{bar},\qquad T_7=500\ \text{K}$$

查過熱蒸汽表：

$$h_7\approx 2891\ \text{kJ/kg},\qquad s_7\approx 6.825\ \text{kJ/(kg·K)}$$

蒸汽渦輪等熵膨脹，因此

$$s_8=s_7$$

在 $0.1\ \text{bar}$ 飽和表中：

$$s_f\approx 0.649,\qquad s_{fg}\approx 7.501$$

品質為

$$x_8=\frac{s_8-s_f}{s_{fg}} =\frac{6.825-0.649}{7.501} \approx 0.823$$

由於狀態 8 位於 $0.1\ \text{bar}$ 的兩相區，其溫度等於飽和溫度：

$$\boxed{T_8\approx 319\ \text{K}}$$

狀態 8 焓值：

$$h_8=h_f+x_8h_{fg}$$

取