108 年 國立臺灣大學工程科學及海洋工程學系碩士班甲組《熱工學》

核心觀念

本題考查剛性絕熱容器的非定常充填過程，需使用：

1. 理想氣體狀態方程：
   $PV=mRT$

2. 理想氣體比氣體常數：
   $R=\frac{R_u}{M}$

3. 非定常控制體能量平衡。容器剛性且絕熱，因此：
   $Q=0,\qquad W=0$

4. 理想氣體內能與焓：
   $u=c_vT,\qquad h=c_pT$

5. 熵平衡：
   $S_{\mathrm{gen}}=\Delta S_{\mathrm{CV}}-\sum m_{\mathrm{in}}s_{\mathrm{in}}$

題目所給的熱傳導係數、放射率與史蒂芬–波茲曼常數，在「well-insulated」條件下不參與本題計算。

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已知資料與比氣體常數

空氣的比氣體常數為

$$R=\frac{R_u}{M} =\frac{8.314}{28.97} =0.28699\ \text{kJ/(kg·K)}$$

因為

$$c_p=1.025\ \text{kJ/(kg·K)}$$

所以

$$c_v=c_p-R =1.025-0.28699 =0.73801\ \text{kJ/(kg·K)}$$

各狀態如下：

• 初始狀態：$T_1=400\ \text{K}$，$P_1=0.5\ \text{bar}=50\ \text{kPa}$，$V=2\ \text{m}^3$
• 流入空氣：$T_{\mathrm{in}}=450\ \text{K}$，$P_{\mathrm{in}}=1.5\ \text{bar}=150\ \text{kPa}$
• 最終狀態：$T_2=500\ \text{K}$

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(a) 初始空氣質量

對初始狀態使用理想氣體方程：

$$m_1=\frac{P_1V}{RT_1}$$

代入：

$$m_1= \frac{(50)(2)} {(0.28699)(400)} =0.871\ \text{kg}$$

因此，

$$\boxed{m_1=0.871\ \text{kg}}$$

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(b) 流入容器的空氣總質量

能量平衡

將容器內空氣視為控制體。非定常能量方程為

$$Q-W+\sum m_{\mathrm{in}}h_{\mathrm{in}} = U_2-U_1$$

由於容器絕熱且剛性：

$$Q=0,\qquad W=0$$

因此

$$m_{\mathrm{in}}h_{\mathrm{in}} = m_2u_2-m_1u_1$$

其中

$$m_2=m_1+m_{\mathrm{in}}$$

代入理想氣體的內能與焓：

$$m_{\mathrm{in}}c_pT_{\mathrm{in}} = (m_1+m_{\mathrm{in}})c_vT_2-m_1c_vT_1$$

整理得：

$$m_{\mathrm{in}}c_pT_{\mathrm{in}} = m_1c_v(T_2-T_1)+m_{\mathrm{in}}c_vT_2$$

也可直接整理為

$$m_{\mathrm{in}} = \frac{m_1c_v(T_2-T_1)} {c_pT_{\mathrm{in}}-c_vT_2}$$

代入數值：

$$m_{\mathrm{in}} = \frac{(0.871)(0.73801)(500-400)} {(1.025)(450)-(0.73801)(500)}$$ $$m_{\mathrm{in}} = \frac{64.28}{92.51} =0.695\ \text{kg}$$

因此，流入空氣的總質量為

$$\boxed{m_{\mathrm{in}}=0.695\ \text{kg}}$$

最終容器內總質量為

$$m_2=m_1+m_{\mathrm{in}} =0.871+0.695 =1.566\ \text{kg}$$

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(c) 最終容器壓力

使用最終狀態的理想氣體方程：

$$P_2=\frac{m_2RT_2}{V}$$

代入：

本題主要考驗濕空氣的基本性質、質量與能量守恆在穩態流動系統中的應用。

首先，我們需要將給定的單位統一，並查閱或計算相關的濕空氣性質。
環境條件：$T_{amb} = 30^\circ\text{C}$, $P_{amb} = 1$ bar $= 10^5$ Pa.
進口總質量流率：$\dot{m}_{inlet, total} = 12$ tons/day $= 12000$ kg/day.
出口條件：$T_{out} = 35^\circ\text{C}$, $P_{out} = 1.05$ bar $= 1.05 \times 10^5$ Pa.
冷凝水流率：$\dot{m}_{condensate} = 10$ kg/day at $T_{condensate} = 15^\circ\text{C}$.

我們需要濕空氣的性質，包括飽和水蒸氣壓、水的焓、水的比熱等。
水的飽和蒸氣壓 ($P_{sat}$) 與溫度（T）的關係，可由近似公式或查表得到。
近似公式 (Antoine equation): $\log_{10} P_{sat} = A - \frac{B}{T+C}$ (P in mmHg, T in °C)。
或使用更精確的公式，或者查表。
查表可知：
在 $30^\circ\text{C}$ 時，$P_{sat, 30^\circ C} \approx 4.246$ kPa $= 0.04246$ bar.
在 $35^\circ\text{C}$ 時，$P_{sat, 35^\circ C} \approx 5.628$ kPa $= 0.05628$ bar.
在 $15^\circ\text{C}$ 時，$P_{sat, 15^\circ C} \approx 1.706$ kPa $= 0.01706$ bar.

水的焓：$h_l(T)$ (液態水) 和 $h_g(T)$ (水蒸氣)。
水的比熱 $c_{p, water} \approx 4.18$ kJ/kg·K.
空氣的比熱 $c_{p, air} \approx 1.005$ kJ/kg·K.
空氣的氣體常數 $R_{air} \approx 0.287$ kJ/kg·K.
水的汽化焓 $h_{fg}(T) \approx 2500$ kJ/kg (在常溫下近似值)。

(a) 進口水蒸氣質量流率 (Mass flow rate of water vapor at the inlet)

進口總質量流率 $\dot{m}_{inlet, total} = 12000$ kg/day 包含乾燥空氣和水蒸氣。
我們需要知道進口時的空氣組成。
進口空氣狀態：$T_{inlet} = 30^\circ\text{C}$, $P_{inlet} = 1$ bar. 相對濕度 $\phi_{inlet} = 95\%$.
水蒸氣的分壓 $p_{v, inlet} = \phi_{inlet} \times P_{sat, 30^\circ C} = 0.95 \times 0.04246$ bar $= 0.04034$ bar.
乾燥空氣的分壓 $p_{a, inlet} = P_{inlet} - p_{v, inlet} = 1 - 0.04034 = 0.95966$ bar.

利用理想氣體定律計算乾燥空氣的質量流率 $\dot{m}_a$。
空氣的分子量約為 $28.97$ kg/kmol。水的分子量約為 $18.015$ kg/kmol。
濕空氣的氣體常數 $R_{humid\_air} = \frac{R}{M_{humid\_air}}$。
或者，我們可以先計算乾燥空氣的質量流率。
假設乾燥空氣的質量流率為 $\dot{m}_a$.
則進口總質量流率 $\dot{m}_{inlet, total} = \dot{m}_a + \dot{m}_{v, inlet}$.
水的質量比 $w = \frac{M_w P_v}{M_a P_a} = \frac{18.015 \times p_{v, inlet}}{28.97 \times p_{a, inlet}}$.
$w_{inlet} = \frac{18.015 \times 0.04034 \text{ bar}}{28.97 \times 0.95966 \text{ bar}} \approx \frac{0.7267}{27.78} \approx 0.02616$.
水的質量比定義為水蒸氣質量與乾燥空氣質量的比值：$w = \frac{\dot{m}_v}{\dot{m}_a}$.
所以，$\dot{m}_{inlet, total} = \dot{m}_a + w_{inlet} \dot{m}_a = \dot{m}_a (1 + w_{inlet})$.
$\dot{m}_a = \frac{\dot{m}_{inlet, total}}{1 + w_{inlet}} = \frac{12000 \text{ kg/day}}{1 + 0.02616} \approx \frac{12000}{1.02616} \approx 11694.2$ kg/day.
進口水蒸氣質量流率 $\dot{m}_{v, inlet} = w_{inlet} \times \dot{m}_a = 0.02616 \times 11694.2 \approx 306.2$ kg/day.

(b) 出口空氣的相對濕度 (Relative humidity of exiting air)

出口空氣狀態：$T_{out} = 35^\circ\text{C}$, $P_{out} = 1.05$ bar.
出口的總質量流率 $\dot{m}_{out, total}$。
根據質量守恆，進入系統的總質量等於離開系統的總質量。
進入系統的有：進口空氣。
離開系統的有：出口空氣、冷凝水。
$\dot{m}_{inlet, total} = \dot{m}_{out, total} + \dot{m}_{condensate}$.
$\dot{m}_{out, total} = \dot{m}_{inlet, total} - \dot{m}_{condensate} = 12000 \text{ kg/day} - 10 \text{ kg/day} = 11990$ kg/day.

出口空氣的總壓為 $P_{out} = 1.05$ bar.
出口空氣包含乾燥空氣和水蒸氣。
乾燥空氣的質量流率在系統中保持不變（假設沒有漏氣等），所以 $\dot{m}_{a, out} = \dot{m}_{a, inlet} = 11694.2$ kg/day.
出口的總質量流率 $\dot{m}_{out, total} = \dot{m}_{a, out} + \dot{m}_{v, out}$.
出口水蒸氣質量流率 $\dot{m}_{v, out} = \dot{m}_{out, total} - \dot{m}_{a, out} = 11990 - 11694.2 = 295.8$ kg/day.

出口的水蒸氣質量比 $w_{out} = \frac{\dot{m}_{v, out}}{\dot{m}_{a, out}} = \frac{295.8 \text{ kg/day}}{11694.2 \text{ kg/day}} \approx 0.02530$.

出口水蒸氣的分壓 $p_{v, out} = w_{out} \frac{P_{out}}{1 + w_{out}} = 0.02530 \times \frac{1.05 \text{ bar}}{1 + 0.02530} \approx 0.02530 \times \frac{1.05}{1.02530} \approx 0.02587$ bar.
或者使用 $p_{v, out} = \frac{M_w p_{v, out}}{M_a P_a}$.
$p_{v, out} = w_{out} \frac{P_{out}}{1+w_{out}}$ is incorrect.
The correct relation between partial pressure and mass fraction for a binary mixture is $p_i = \frac{m_i}{m_{total}} P_{total} \frac{R_i}{R_{mix}}$. For ideal gases, $p_i = y_i P_{total}$. $y_i = \frac{n_i}{n_{total}}$.
$y_v = \frac{\dot{m}_{v,out}/\dot{M}_w}{\dot{m}_{v,out}/\dot{M}_w + \dot{m}_{a,out}/\dot{M}_a} = \frac{w_{out}/\dot{M}_w}{w_{out}/\dot{M}_w + 1/\dot{M}_a} = \frac{w_{out}\dot{M}_a}{w_{out}\dot{M}_a + \dot{M}_w}$.
$p_{v, out} = y_v P_{out} = \frac{w_{out}\dot{M}_a}{w_{out}\dot{M}_a + \dot{M}_w} P_{out}$.
$p_{v, out} = \frac{0.02530 \times 28.97}{0.02530 \times 28.97 + 18.015} \times 1.05 \text{ bar} = \frac{0.7331}{0.7331 + 18.015} \times 1.05 \approx \frac{0.7331}{18.748} \times 1.05 \approx 0.03910 \times 1.05 \approx 0.04105$ bar.

Now, calculate the relative humidity $\phi_{out}$.
$\phi_{out} = \frac{p_{v, out}}{P_{sat, 35^\circ C}}$.
$P_{sat, 35^\circ C} \approx 0.05628$ bar.
$\phi_{out} = \frac{0.04105 \text{ bar}}{0.05628 \text{ bar}} \approx 0.7294$.
所以，出口空氣的相對濕度約為 $72.94\%$.

(c) 操作除濕機所需的功率 (Power required to operate the dehumidifier)

我們需要應用能量守恆定律。
系統：除濕機。
穩態操作，能量守恆方程式為：
$\dot{E}_{in} = \dot{E}_{out}$.
$\dot{Q}_{in} + \dot{W}_{in} + \dot{H}_{inlet} = \dot{Q}_{out} + \dot{W}_{out} + \dot{H}_{out}$.
這裡 $\dot{W}_{in}$ 是輸入的電功率。
$\dot{Q}_{out}$ 是散失到周圍環境的熱量，即 $10\%$ 的電功率。
$\dot{H}$ 是焓流率。

$\dot{H} = \dot{m}_a h_a + \dot{m}_v h_v + \dot{m}_l h_l$.
其中 $h_a$ 是乾燥空氣的焓，$h_v$ 是水蒸氣的焓，$h_l$ 是液態水的焓。
空氣焓：$h_a(T) = c_{p, air} T$ (相對於 $0^\circ\text{C}$ 或 $0$ K)。我們取 $0^\circ\text{C}$ 作為參考點，則 $h_a(T) = c_{p, air} (T - T_{ref})$.

本題主要考驗穩態熱傳導與對流、輻射的計算，以及能量效率的概念。

首先，我們需要釐清題目給予的資訊。
圓柱體尺寸：長度 $L = 6$ m，直徑 $D = 180$ mm $= 0.18$ m。
圓柱體溫度 $T_{cyl} = 1200^\circ\text{C} = 1473.15$ K。
環境空氣溫度 $T_{amb} = 50^\circ\text{C} = 323.15$ K。
感應加熱器功率 $P_{input} = 1$ MW $= 1 \times 10^6$ W。
感應加熱器效率 $\eta = 65.36\% = 0.6536$.

感應加熱器提供的有效功率 $P_{heater} = P_{input} \times \eta = 1 \times 10^6 \text{ W} \times 0.6536 = 653600$ W.
這部分功率是提供給圓柱體加熱的。

假設圓柱體達到均勻溫度 $T_{cyl}$ 後，進入穩態。在穩態下，加熱功率等於散失的熱功率。
散失的熱量主要透過對流和輻射傳遞給環境。
總散熱功率 $Q_{loss} = Q_{conv} + Q_{rad}$.
$Q_{loss} = P_{heater} = 653600$ W.

(a) 圓柱體對流傳熱係數 (Heat transfer coefficient of the cylinder)

對流傳熱功率 $Q_{conv} = h A (T_{cyl} - T_{amb})$.
其中 $h$ 是對流傳熱係數， $A$ 是圓柱體的表面積。
表面積 $A = \pi D L = \pi \times 0.18 \text{ m} \times 6 \text{ m} = 3.393$ m².

輻射傳熱功率 $Q_{rad} = \epsilon \sigma A (T_{cyl}^4 - T_{amb}^4)$.
其中 $\epsilon$ 是不鏽鋼的放射率 (emissivity)， $\sigma$ 是史特凡-波茲曼常數。
題目給了不鏽鋼的放射率 $\epsilon = 0.7$.
史特凡-波茲曼常數 $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}$ W/m²K⁴.

我們有 $Q_{conv} + Q_{rad} = 653600$ W.
$h A (T_{cyl} - T_{amb}) + \epsilon \sigma A (T_{cyl}^4 - T_{amb}^4) = 653600$.

我們需要先計算輻射傳熱功率 $Q_{rad}$。
$T_{cyl} = 1473.15$ K.
$T_{amb} = 323.15$ K.
$T_{cyl}^4 = (1473.15)^4 \approx 4.717 \times 10^{12}$ K⁴.
$T_{amb}^4 = (323.15)^4 \approx 1.082 \times 10^{10}$ K⁴.
$T_{cyl}^4 - T_{amb}^4 \approx 4.717 \times 10^{12} - 0.01082 \times 10^{12} \approx 4.706 \times 10^{12}$ K⁴.

$Q_{rad} = 0.7 \times (5.67 \times 10^{-8} \text{ W/m²K}^4) \times (3.393 \text{ m}^2) \times (4.706 \times 10^{12} \text{ K}^4)$.
$Q_{rad} \approx 0.7 \times 5.67 \times 3.393 \times 4.706 \times 10^4$ W.
$Q_{rad} \approx 557700$ W.

核心觀念

本題考查臨界點條件與壓縮因子定義。

對狀態方程

$$p=\frac{RT}{v}+\frac{a}{v^2}+\frac{b}{v^3}+\frac{c}{v^4}$$

在臨界點 $(T_c,v_c,p_c)$，等溫 $p-v$ 曲線具有水平反曲點，因此滿足

$$\left(\frac{\partial p}{\partial v}\right)_{T_c}=0$$

以及

$$\left(\frac{\partial^2p}{\partial v^2}\right)_{T_c}=0$$

壓縮因子定義為

$$Z=\frac{pv}{RT}$$

故臨界點給定

$$Z_c=\frac{p_cv_c}{RT_c}=\frac{2}{7}$$

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解題方法

直接對狀態方程微分。先求一階導數：

$$\left(\frac{\partial p}{\partial v}\right)_T = -\frac{RT}{v^2} -\frac{2a}{v^3} -\frac{3b}{v^4} -\frac{4c}{v^5}$$

在臨界點令其為零，乘上 $-v_c^2$ 得

$$RT_c+\frac{2a}{v_c}+\frac{3b}{v_c^2}+\frac{4c}{v_c^3}=0 \tag{1}$$

二階導數為

$$\left(\frac{\partial^2p}{\partial v^2}\right)_T = \frac{2RT}{v^3} +\frac{6a}{v^4} +\frac{12b}{v^5} +\frac{20c}{v^6}$$

在臨界點令其為零，乘上 $\dfrac{v_c^3}{2}$，可得

$$RT_c+\frac{3a}{v_c}+\frac{6b}{v_c^2}+\frac{10c}{v_c^3}=0 \tag{2}$$

定義無因次量

$$X=\frac{a}{RT_cv_c},\qquad Y=\frac{b}{RT_cv_c^2},\qquad W=\frac{c}{RT_cv_c^3}$$

將式 $(1)$ 除以 $RT_c$：

$$1+2X+3Y+4W=0 \tag{3}$$

將式 $(2)$ 除以 $RT_c$：

$$1+3X+6Y+10W=0 \tag{4}$$

臨界壓縮因子為

$$Z_c = \frac{p_cv_c}{RT_c} = 1+X+Y+W = \frac{2}{7} \tag{5}$$

由式 $(4)$ 減去式 $(3)$：