111 年 國立清華大學動力機械工程學系碩士班丙組《材料力學》

核心觀念

本題利用卡氏第二定理求力 $F_z$ 方向的位移：

$$\delta_B=\frac{\partial U}{\partial F_z}$$

其中總應變能 $U$ 包含：

• 軸向變形能；
• 彎曲變形能；
• 扭轉變形能。

題目僅忽略剪力造成的彎曲變形，並不忽略軸向變形與扭轉變形。

圓形截面的幾何性質為

$$A=\frac{\pi d^2}{4},\qquad I=\frac{\pi d^4}{64},\qquad J=\frac{\pi d^4}{32}=2I$$

且

$$G=\frac{E}{2(1+\nu)}$$

由圖中三段桿件互相垂直，可視為：

• $OA$：長度 $c$；
• $AC$：長度 $b$；
• $BC$：長度 $a$。

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解題方法

1. $OA$ 桿件的變形

外力 $F_z$ 與 $OA$ 軸線同向，因此 $OA$ 承受軸力 $F_z$。

由於力作用線與 $OA$ 相距 $a$、$b$，$OA$ 同時承受兩個彎矩分量：

$$M_1=F_z a,\qquad M_2=F_z b$$

因此 $OA$ 的應變能為

$$U_{OA} = \frac{F_z^2c}{2EA} + \frac{F_z^2c(a^2+b^2)}{2EI}$$

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2. $AC$ 桿件的變形

$AC$ 受到由 $BC$ 長度 $a$ 所造成的扭矩：

$$T_{AC}=F_z a$$

因此扭轉應變能為

$$U_{AC,t} = \frac{F_z^2a^2b}{2GJ}$$

此外，$AC$ 上的彎矩隨位置變化。於 $C$ 端彎矩為零，於 $A$ 端最大為 $F_zb$，故

$$U_{AC,b} = \int_0^b\frac{(F_zx)^2}{2EI}\,dx = \frac{F_z^2b^3}{6EI}$$

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3. $BC$ 桿件的變形

$BC$ 為受橫向力 $F_z$ 的懸臂桿，彎矩沿桿長呈線性變化：

$$U_{BC} = \frac{F_z^2a^3}{6EI}$$

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以卡氏定理求位移

總應變能為

$$U= \frac{F_z^2c}{2EA} + \frac{F_z^2c(a^2+b^2)}{2EI} + \frac{F_z^2a^2b}{2GJ} + \frac{F_z^2b^3}{6EI} + \frac{F_z^2a^3}{6EI}$$

本題考驗對承受軸向載重且具有自重的細長桿件（例如纜繩）的軸向伸長計算。

核心觀念：

1. 應力-應變關係 (Stress-Strain Relationship)：$\sigma = E \epsilon$。
2. 應力定義：$\sigma = \frac{P}{A}$，其中 $P$ 是該截面上的軸力。
3. 應變定義：$\epsilon = \frac{du}{dx}$，其中 $u$ 是軸向位移。
4. 虛功原理或直接積分：考慮纜繩的自重對伸長量的貢獻。

解題步驟：

1. 建立模型與座標系：
   假設纜繩沿 $x$ 軸方向放置，從頂部固定端 $x=0$ 到自由端 $x=L$。
   $A$ 為纜繩的橫截面積。
   $E$ 為纜繩的楊氏模數。
   $w$ 為纜繩單位長度的重量（力/長度）。
   $P$ 為自由端（$x=L$）承受的額外負載。

2. 分析任意截面上的軸力：
   考慮在距離頂端 $x$ 處的任意截面。
   作用在該截面上的總軸力 $P(x)$ 由兩部分組成：

   • 自由端承受的額外負載 $P$。
   • 截面 $x$ 以下（長度為 $L-x$）纜繩的自重。
     自重 $= (\text{長度}) \times (\text{單位長度重量}) = (L-x) \times w$。
     因此，截面 $x$ 處的總軸力為：
     $P(x) = P + w(L-x)$。
     （假設 $w$ 是單位長度的「重量」，即力，若 $w$ 是質量密度，則需乘以重力加速度 $g$）。

3. 計算任意截面上的應力：
   應力 $\sigma(x)$ 為該截面上的軸力除以截面積：
   $\sigma(x) = \frac{P(x)}{A} = \frac{P + w(L-x)}{A}$。

4. 計算任意截面上的應變：
   根據虎克定律，應變 $\epsilon(x)$ 為：
   $\epsilon(x) = \frac{\sigma(x)}{E} = \frac{P + w(L-x)}{AE}$。

本題考驗對複合材料梁的彎曲和剪力分析能力，特別是涉及膠合接縫的剪應力以及梁材料的彎曲應力。

核心觀念：

1. 梁的彎曲理論：彎曲應力公式 $\sigma = \frac{My}{I}$。
2. 梁的剪力理論：剪應力公式 $\tau = \frac{VQ}{Ib}$。
3. 疊加原理：將集中載重 $P$ 和梁自重造成的應力疊加起來。
4. 靜定梁分析：計算支反力和剪力、彎矩圖。
5. 複合材料的應力分析：膠合接縫的剪應力。

解題步驟：

1. 梁的幾何性質與材料參數：

• 梁由三條 10 mm × 30 mm 的帶狀材料組成，膠合在一起。
• 總寬度 $b = 30$ mm。
• 總高度 $h = 10 + 10 + 10 = 30$ mm。
• 梁的總重量 $W_{beam} = 3.2$ N。
• 梁的跨度 $L = 320$ mm $= 0.32$ m。
• 梁的自重是均勻分佈的，其線密度為 $\lambda = \frac{W_{beam}}{L} = \frac{3.2 \text{ N}}{0.32 \text{ m}} = 10$ N/m。
• 允許的膠合接縫剪應力 $\tau_{allowable} = 0.3$ MPa $= 0.3 \times 10^6$ Pa $= 0.3$ N/mm².
• 允許的塑料彎曲應力 $\sigma_{allowable} = 8$ MPa $= 8 \times 10^6$ Pa $= 8$ N/mm².

2. 計算梁的橫截面慣性矩 (Moment of Inertia)：
梁的橫截面是寬 $b=30$ mm，高 $h=30$ mm 的矩形。
慣性矩 $I = \frac{bh^3}{12} = \frac{30 \text{ mm} \times (30 \text{ mm})^3}{12} = \frac{30 \times 27000}{12} = 67500 \text{ mm}^4$。

3. 分析梁承受的彎矩和剪力：
梁承受兩種載重：

• 作用在梁中點的集中載重 $P$。
• 梁自身的均勻分佈自重 $w = \lambda = 10$ N/m。

a. 膠合接縫的剪應力分析：
膠合接縫位於頂部和中間條之間，以及中間和底部條之間。
我們需要找到膠合接縫處的最大剪應力。
剪應力公式為 $\tau = \frac{VQ}{Ib}$。
在膠合接縫處，我們需要計算 $Q$，即接縫以上（或以下）部分的面積對中性軸的靜力矩。
梁的寬度 $b = 30$ mm。
梁的高度 $h = 30$ mm。中性軸位於高度 $h/2 = 15$ mm 處。
膠合接縫位於 $y = 10$ mm 和 $y = -10$ mm 處（以中性軸為原點）。
考慮頂部兩條（總高度 20 mm，從 $y=10$ 到 $y=15$ 處的頂部，或者從 $y=10$ 到 $y=30$ 處的頂部）。
這裡的結構是三層 10mm 高的堆疊，所以總高是 30mm。
中性軸在 $15$mm 處。
膠合接縫在 $y = 10$ mm 和 $y = -10$ mm 處。

計算 $Q$：
考慮接縫以上（或以下）的面積。
我們以頂部接縫為例（$y = 10$ mm）。
接縫以上面積是高度 $30 - 10 = 20$ mm 的區域。
但更精確地說，頂部條高度 10 mm，中間條高度 10 mm。
膠合接縫在 10 mm 和 20 mm 處（從底部算起）。
中性軸在 15 mm 處。
我們計算接縫處（例如，中間條和頂部條之間的接縫，位於 $y=25$ mm 處，或底部條和中間條之間的接縫，位於 $y=5$ mm 處）。
假設膠合接縫在 $y = \pm 10$ mm 處。
考慮 $y=10$ mm 處的接縫。
接縫以上的面積是頂部 10 mm 的區域。
該區域的形心高度為 $15 + 5 = 20$ mm（從底部算起）。
該區域的面積 $A' = 30 \text{ mm} \times 10 \text{ mm} = 300 \text{ mm}^2$。
靜力矩 $Q = A' \bar{y} = 300 \text{ mm}^2 \times (15 + 5) \text{ mm} = 300 \times 20 = 6000 \text{ mm}^3$。
（如果我們以中性軸為 $y=0$，則接縫在 $y=\pm 10$ mm。考慮 $y=10$ mm 的接縫。接縫以上面積是 $30 \times 10$ mm，形心在 $10+5=15$ mm 處。 $Q = 30 \times 10 \times 15 = 4500$ mm³。
或者，考慮接縫以下面積。底部 10 mm 條，形心在 $-15$ mm 處。 $Q = 30 \times 10 \times (-15) = -4500$ mm³。
取絕對值 $Q=4500$ mm³。）
梁寬 $b = 30$ mm。
$I = 67500$ mm⁴。
$\tau = \frac{VQ}{Ib} = \frac{V \times 4500 \text{ mm}^3}{67500 \text{ mm}^4 \times 30 \text{ mm}} = \frac{V}{450} \text{ MPa}$。

最大剪力 $V_{max}$ 發生在哪裡？
梁是簡支梁，跨度 $L=320$ mm。
支點反力 $R_A = R_B = \frac{P}{2} + \frac{W_{beam}}{2} = \frac{P}{2} + \frac{3.2 \text{ N}}{2} = \frac{P}{2} + 1.6$ N。
在支點處，剪力最大。
$V_{max} = R_A = R_B = \frac{P}{2} + 1.6$ N。

允許的剪應力條件：
$\tau_{max} \le \tau_{allowable}$
$\frac{V_{max}}{450} \le 0.3 \text{ MPa}$
$V_{max} \le 0.3 \text{ MPa} \times 450 \text{ mm}^2 = 135$ N。
所以，$\frac{P}{2} + 1.6 \le 135$。
$\frac{P}{2} \le 133.4$。
$P \le 266.8$ N。

b. 梁的彎曲應力分析：
彎曲應力公式 $\sigma = \frac{My}{I}$。
最大彎曲應力發生在中性軸處彎矩最大，且距離中性軸最遠的位置。
中性軸位於高度 $y = \pm 15$ mm 處。
最大彎曲應力 $|\sigma_{max}| = \frac{|M_{max}| y_{max}}{I}$。
$y_{max} = 15$ mm。

最大彎矩 $M_{max}$ 發生在哪裡？
梁承受集中載重 $P$ 和均勻分佈載重 $w$。
由集中載重 $P$ 引起的中點彎矩為 $M_{P, max} = \frac{PL}{4} = \frac{P \times 320}{4} = 80P$ N-mm。
由均勻分佈載重 $w$ 引起的梁的彎矩圖是拋物線，最大彎矩發生在中點，大小為 $M_{w, max} = \frac{wL^2}{8}$。
$w = 10 \text{ N/m} = 0.01 \text{ N/mm}$。
$L = 320$ mm。
$M_{w, max} = \frac{0.01 \text{ N/mm} \times (320 \text{ mm})^2}{8} = \frac{0.01 \times 102400}{8} = 0.01 \times 12800 = 128$ N-mm。

核心觀念

本題考薄壁閉口圓管的扭轉。截面半徑沿管長改變，但內力矩 $T$ 不變，因此先求每一截面的扭轉率，再沿長度積分。

薄壁閉口圓管的扭轉常數為

$$J \approx 2\pi r_m^3t=\frac{\pi d^3t}{4}$$

其中 $r_m=d/2$ 是中線半徑，$d$ 是中線直徑。扭轉率與應變能分別為

$$\frac{d\theta}{dx}=\frac{T}{GJ}, \qquad U=\int_0^L\frac{T^2}{2GJ}\,dx$$

解題方法

依圖示，管徑沿長度線性變化。令 $x$ 自端點 $A$ 起算，則

$$d(x)=d_A+\frac{d_B-d_A}{L}x$$

將 $J(x)=\pi d(x)^3t/4$ 代入扭轉率，得

$$\theta_{A/B} =\int_0^L\frac{T}{GJ(x)}\,dx =\frac{4T}{\pi Gt}\int_0^L\frac{dx}{d(x)^3}$$

令 $k=(d_B-d_A)/L$，則 $d(x)=d_A+kx$。積分後：

核心觀念

本題是「撐桿懸臂梁」的超靜定問題：

• $A$ 點固定，$B$ 點為滾輪支承。
• 將 $R_B$ 視為冗餘力。
• 由 Castigliano 定理，以相容條件求 $R_B$：
  $\frac{\partial U}{\partial R_B}=0$
  因為 $B$ 點的垂直位移為零。
• 梁的彎曲應變能為
  $U=\int_0^L\frac{M^2}{2EI}\,dx$

取 $x$ 從固定端 $A$ 起算，並令正彎矩方向依一致號誌表示，截面彎矩可寫成

$$M(x)=R_B(L-x)-\frac{w}{2}(L-x)^2$$

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(a) 以 $R_B$ 表示彎曲應變能

代入應變能公式：

$$U=\frac{1}{2EI}\int_0^L \left[ R_B(L-x)-\frac{w}{2}(L-x)^2 \right]^2dx$$

令 $s=L-x$，則

$$U=\frac{1}{2EI}\int_0^L \left(R_Bs-\frac{w}{2}s^2\right)^2ds$$

展開後：

$$U=\frac{1}{2EI}\int_0^L \left( R_B^2s^2-R_Bws^3+\frac{w^2}{4}s^4 \right)ds$$

因此

$$U=\frac{1}{2EI} \left( \frac{R_B^2L^3}{3} -\frac{R_BwL^4}{4} +\frac{w^2L^5}{20} \right)$$ $$\boxed{ U= \frac{R_B^2L^3}{6EI} -\frac{R_BwL^4}{8EI} +\frac{w^2L^5}{40EI} }$$

題目給定 $L=2$、$w=1$、$EI=1$，故

$$\boxed{ U=\frac{4}{3}R_B^2-2R_B+\frac{4}{5} }$$

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(b) 使用 Castigliano 定理求 $R_B$

$B$ 點為支承點，垂直位移為零，因此

$$\frac{\partial U}{\partial R_B}=0$$

由一般式：

$$\frac{\partial U}{\partial R_B} = \frac{R_BL^3}{3EI} -\frac{wL^4}{8EI}=0$$

消去 $EI$：

$$\frac{R_BL^3}{3}=\frac{wL^4}{8}$$

得到

$$R_B=\frac{3wL}{8}$$

代入 $w=1$、$L=2$：

$$\boxed{R_B=\frac{3}{4}}$$

方向為向上。

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(c) 使用 Castigliano 定理求 $B$ 點轉角

在 $B$ 點施加一個輔助力矩 $M_B$。此時截面彎矩為

$$M(x)=R_B(L-x)-\frac{w}{2}(L-x)^2+M_B$$

由 Castigliano 定理：

$$\theta_B=\left.\frac{\partial U}{\partial M_B}\right|_{M_B=0}$$

因為

核心觀念

本題考查偏心受壓柱的二階效應與 Secant Formula。柱內任一截面的彎矩為

$$M(x)=P\,[e+v(x)]$$

其中：

• $P$：軸向壓力
• $e$：荷載作用線與截面幾何軸的偏心距
• $v(x)$：柱軸的水平側向位移
• $L=2.8\text{ m}=2800\text{ mm}$

截面為外徑 $D=120\text{ mm}$、厚度 $t=6\text{ mm}$ 的圓管，因此內徑為

$$d=D-2t=108\text{ mm}$$

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(a) 撓曲線推導

取 $x=0$ 於下端 $B$，$x=L$ 於上端 $A$。忽略斜率效應時，彎矩與曲率關係為

$$EI\frac{d^2v}{dx^2}=-P(e+v)$$

整理得

$$\frac{d^2v}{dx^2}+\frac{P}{EI}(e+v)=0$$

定義

$$\lambda=\sqrt{\frac{P}{EI}}$$

令

$$u=v+e$$

則

$$\frac{d^2u}{dx^2}+\lambda^2u=0$$

其通解為

$$u=C_1\sin(\lambda x)+C_2\cos(\lambda x)$$

因此

$$v=C_1\sin(\lambda x)+C_2\cos(\lambda x)-e$$

由下端邊界條件 $v(0)=0$：

$$C_2=e$$

故

$$v=C_1\sin(\lambda x)+e\cos(\lambda x)-e$$

再由上端邊界條件 $v(L)=0$：

$$C_1\sin(\lambda L)+e\cos(\lambda L)-e=0$$

所以

$$C_1 =e\frac{1-\cos(\lambda L)}{\sin(\lambda L)} =e\tan\left(\frac{\lambda L}{2}\right)$$

故柱的撓曲線為

$$\boxed{ v(x)=e\left[ \tan\left(\frac{\lambda L}{2}\right)\sin(\lambda x) +\cos(\lambda x)-1 \right] }$$

其中

$$\boxed{\lambda=\sqrt{\frac{P}{EI}}}$$

若將座標以無因次形式表示，正弦與餘弦的引數須同步定義為無因次量；本題採用 $x$ 為實際長度座標時，引數為 $\lambda x$。

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(b) 求荷載 $P$ 與最大應力

1. 由中點撓度求 $P$

柱形狀對中點 $C$ 對稱，因此令

$$x=\frac{L}{2}$$

則

$$v_C =e\left[ \tan\left(\frac{\lambda L}{2}\right) \sin\left(\frac{\lambda L}{2}\right) +\cos\left(\frac{\lambda L}{2}\right)-1 \right]$$

設

$$\theta=\frac{\lambda L}{2}$$

則

$$v_C=e\left(\tan\theta\sin\theta+\cos\theta-1\right)$$

由

$$\tan\theta\sin\theta =\frac{\sin^2\theta}{\cos\theta}$$

可得

$$v_C=e\left(\frac{1}{\cos\theta}-1\right) =e\left[\sec\theta-1\right]$$

題目給定

$$e=5\text{ mm},\qquad v_C=5\text{ mm}$$

因此

$$5=5(\sec\theta-1)$$ $$\sec\theta=2$$ $$\cos\theta=\frac12$$