114 年 國立清華大學動力機械工程學系碩士班丙組《材料力學》

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第 1.1 題15 分

1.1. [15 Points] Refer to Fig. 1. The points A, B, and C are located in a beam subjected to the vertical load FF, and the points D and E are located in a thin-wall pressure vessel subjected to the internal pressure pp. The state of stress of each point is represented by a Mohr's cycle with the principal stresses σ1≥σ2≥σ3\sigma_1 \geq \sigma_2 \geq \sigma_3. Answer the following questions:

(1) Identify the Mohr's circle (No.1 - No.6) that represents the state of stress at point A.
(2) Identify the Mohr's circle (No.1 - No.6) that represents the state of stress at point B.
(3) Identify the Mohr's circle (No.1 - No.6) that represents the state of stress at point C.
(4) Identify the Mohr's circle (No.1 - No.6) that represents the state of stress at point D.
(5) Identify the Mohr's circle (No.1 - No.6) that represents the state of stress at point E.

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核心觀念

本題考查三維應力狀態與 Mohr 圓的判讀。依主應力排序：

σ1≥σ2≥σ3\sigma_1\geq \sigma_2\geq \sigma_3

各圖所代表的應力狀態如下：

  • No.1：σ1>σ2>σ3=0\sigma_1>\sigma_2>\sigma_3=0，兩個方向為拉應力。
  • No.2：σ1>0=σ2>σ3\sigma_1>0=\sigma_2>\sigma_3，純剪應力狀態。
  • No.3：σ1>0=σ2=σ3\sigma_1>0=\sigma_2=\sigma_3，單軸拉應力。
  • No.4：0=σ1>σ2=σ30=\sigma_1>\sigma_2=\sigma_3，雙軸等值壓應力。
  • No.5：σ1=σ2>0=σ3\sigma_1=\sigma_2>0=\sigma_3，雙軸等值拉應力。
  • No.6：0=σ1=σ2>σ30=\sigma_1=\sigma_2>\sigma_3，單軸壓應力。

解題方法

A、B、C：懸臂梁彎曲

梁受右端向下的集中力 FF，因此產生彎曲正應力與中性軸上的剪應力。

彎曲正應力為

σx=−MyI\sigma_x=-\frac{My}{I}

其中 yy 為距離中性軸的距離。

  • A 位於中性軸上方，為拉應力。
  • B 位於中性軸，彎曲正應力為零，但仍有橫向剪應力。
  • C 位於中性軸下方，為壓應力。

A 點

A 點只有單軸拉應力：

σ1>0,σ2=σ3=0\sigma_1>0,\qquad \sigma_2=\sigma_3=0

所以對應 No.3。

B 點

B 位於中性軸，故

σx=0\sigma_x=0

但剪應力 τ\tau 不為零，應力狀態可視為純剪應力。其主應力為

σ1=τ,σ2=0,σ3=−τ\sigma_1=\tau,\qquad \sigma_2=0,\qquad \sigma_3=-\tau

因此對應 No.2。

C 點

C 點只有單軸壓應力：

σ1=σ2=0,σ3<0\sigma_1=\sigma_2=0,\qquad \sigma_3<0

所以對應 No.6。

D、E：薄壁壓力容器

薄壁圓筒受內壓 pp 時，圓筒壁上的環向應力與縱向應力分別為

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第 1.2 題10 分

1.2. [10 Points] The roof beams of a warehouse are supported by pipe columns, as shown in Fig. 2. Each pipe column has a diameter DD, a length LL, Young's modulus EE, and a fixed support at the base. Determine the critical buckling load for one of these columns under the following assumptions: (a) the upper end is pinned and the beam prevents horizontal displacement; (b) the upper end is fixed against rotation and the beam prevents horizontal displacement; (c) the upper end is pinned but the beam is free to move horizontally; (d) the upper end is fixed against rotation but the beam is free to move horizontally. Answer the following questions:

(1) Which assumption ((a)-(d)) results in the greatest critical buckling load?
(2) Which assumption ((a)-(d)) results in the second greatest critical buckling load?
(3) Which assumption ((a)-(d)) results in the third greatest critical buckling load?
(4) Which assumption ((a)-(d)) results in the smallest critical buckling load?

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核心觀念

柱的彈性挫屈臨界載重由 Euler 公式決定：

Pcr=π2EI(KL)2P_{\mathrm{cr}}=\frac{\pi^2EI}{(KL)^2}

其中 KK 是有效長度因數。四種情況的柱長 LL、材料彈性模數 EE 與截面二次矩 II 相同，因此臨界載重大小只需比較 KK：KK 越小，PcrP_{\mathrm{cr}} 越大。

解題方法

柱底皆為固定端，再依柱頂的轉動與水平位移限制判定有效長度因數：

假設柱頂條件有效長度因數 KK
(a)鉸接，且禁止水平位移約 0.6990.699
(b)固定，且禁止水平位移0.50.5
(c)鉸接，且可水平移動22
(d)固定轉動，且可水平移動11

因此，四種情況的臨界載重依序為：

Pb>Pa>Pd>PcP_b>P_a>P_d>P_c

若寫出各載重與共同基準 π2EI/L2\pi^2EI/L^2 的關係：

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第 2 題25 分

  1. [25 Points] Refer to Fig. 3. The assembly consists of three simply supported beams for which the bottom of the top beam rests on the top of the bottom two. If a uniform load of 3 kN/m is applied to the top beam, determine the vertical reactions at each of the supports (A, B, C, D, E, F). The flexural rigidity EIEI is constant.

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核心觀念

本題考查「連續接觸梁的相容條件」與「簡支梁撓度」。三根梁的 EIEI 相同，且上梁的下表面放置於下方兩根梁的上表面，因此接觸點的位移必須一致：

δ上梁=δ下梁\delta_{\text{上梁}}=\delta_{\text{下梁}}

先利用靜力平衡求出上梁兩端支承反力，再將其視為作用在下方兩梁上的集中力，最後以撓度相容條件求出各接觸反力。

由圖可知：

  • 上梁：AB=6 mAB=6\,\text{m}，均佈載重 w=3 kN/mw=3\,\text{kN/m}。
  • 下方兩梁的長度皆為 4 m4\,\text{m}。
  • 上梁與下方梁的接觸位置，距各下梁左端 2 m2\,\text{m}。
  • 接觸點在上梁上分別位於距 AA 點 2 m2\,\text{m} 與 4 m4\,\text{m} 處。

設上梁傳給下方兩梁的接觸力分別為 P1P_1、P2P_2。

解題方法一：上梁的反力

上梁承受總均佈載重

W=wL=3(6)=18 kNW=wL=3(6)=18\,\text{kN}

由於載重與幾何配置對稱，因此

RA=RB=182=9 kNR_A=R_B=\frac{18}{2}=9\,\text{kN}

上梁在兩個接觸點承受下方梁的向上反力 P1P_1、P2P_2。由對稱性：

P1=P2=PP_1=P_2=P

對上梁取彎矩或利用對稱性可知，兩端支承反力各承擔一半載重，而兩個接觸力總和為

2P=18−9−92P=18-9-9

因此

P=0P=0

這表示上梁本身的支承位置與接觸位置必須依照實際梁的相對位置建立撓度相容方程；不能僅以整體靜力平衡直接判定接觸力。正確做法如下。

上梁撓度方程

取上梁左端 AA 為 x=0x=0，右端 BB 為 x=6x=6。上梁受到均佈載重 ww，並在 x=2x=2、x=4x=4 受到下方梁的向上接觸力 PP。

由對稱性，兩個接觸力相等。上梁在跨中 x=3x=3 的撓度為

δ上=5wL4384EI−Pab(3L2−4a2)48EI\delta_{\text{上}}= \frac{5wL^4}{384EI} -\frac{Pab(3L^2-4a^2)}{48EI}

其中 L=6 mL=6\,\text{m}，接觸力位置距左端 a=2 ma=2\,\text{m}、距右端 b=4 mb=4\,\text{m}。代入得

δ上=5(3)(64)384EI−P(2)(4)[3(62)−4(22)]48EI\delta_{\text{上}} = \frac{5(3)(6^4)}{384EI} -\frac{P(2)(4)\left[3(6^2)-4(2^2)\right]}{48EI}

整理：

δ上=50.625−17648PEI=50.625−3.6667PEI\delta_{\text{上}} = \frac{50.625- \frac{176}{48}P}{EI} = \frac{50.625-3.6667P}{EI}
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第 3 題25 分

  1. [25 Points] A simply supported beam, as shown in Fig. 4, is 12 m long and supported by a pin joint at B and a roller joint at D. Based on the given loads, develop the shear force (unit: N) and bending moment (unit: N·m) diagrams for the beam. Indicate the numerical values at points A to F, as well as the maximum and minimum values, on both the shear force and bending moment diagrams, respectively.

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核心觀念

本題考查：

  • 支承反力的平衡方程式：
    ∑Fy=0,∑M=0\sum F_y=0,\qquad \sum M=0
  • 剪力圖與彎矩圖的關係：
    dVdx=−w(x),dMdx=V(x)\frac{dV}{dx}=-w(x),\qquad \frac{dM}{dx}=V(x)
  • 集中力會造成剪力圖跳躍，集中偶矩會造成彎矩圖跳躍，但不影響剪力。
  • 自由端若無外加偶矩，彎矩必須為 00。

依圖示，位置為

A=0,B=2,C=4,D=6,E=9,F=12 mA=0,\quad B=2,\quad C=4,\quad D=6,\quad E=9,\quad F=12\ \text{m}

並取向上剪力為正、下凹彎矩為正；EE 點之 200 N⋅m200\ \text{N}\cdot\text{m} 偶矩為逆時針。

一、等效載重與支承反力

1. ABAB 段均佈載重

W1=50(2)=100 NW_1=50(2)=100\ \text{N}

作用於 x=1 mx=1\ \text{m}。

2. BCBC 段三角形載重

三角形載重最大值為 50 N/m50\ \text{N/m}，底長為 2 m2\ \text{m}：

W2=12(2)(50)=50 NW_2=\frac12(2)(50)=50\ \text{N}

因為 BB 端載重最大，合力作用於距離 BB 點 2/3 m2/3\ \text{m} 處：

xW2=2+23=83 mx_{W_2}=2+\frac23=\frac83\ \text{m}

3. 垂直力平衡

RB+RD=100+50+100+50=300 NR_B+R_D=100+50+100+50=300\ \text{N}

4. 以 BB 點取矩

逆時針為正：

4RD+100−(50)(23)−(100)(2)−(50)(10)+200=04R_D+100-\left(50\right)\left(\frac23\right) -(100)(2)-(50)(10)+200=0

因此

RD=108.333 NR_D=108.333\ \text{N}

RB=300−108.333=191.667 NR_B=300-108.333=191.667\ \text{N}

二、剪力圖

AA 至 BB

ABAB 段均佈載重為 50 N/m50\ \text{N/m}：

VA=0V_A=0

VB−=0−50(2)=−100 NV_{B^-}=0-50(2)=-100\ \text{N}

通過 BB 點支承反力後：

VB+=−100+191.667=91.667 NV_{B^+}=-100+191.667=91.667\ \text{N}

BB 至 CC

令 s=x−2s=x-2，其中 0≤s≤20\le s\le2。三角形載重為

w(s)=50−25sw(s)=50-25s

因此

V(s)=91.667−∫0s(50−25u) duV(s)=91.667-\int_0^s(50-25u)\,du V(s)=91.667−50s+12.5s2V(s)=91.667-50s+12.5s^2

在 CC 點左側：

VC−=91.667−50+50=41.667 NV_{C^-}=91.667-50+50=41.667\ \text{N}

CC 點有向下 100 N100\ \text{N} 集中力：

VC+=41.667−100=−58.333 NV_{C^+}=41.667-100=-58.333\ \text{N}

CC 至 DD

無分布載重，因此剪力保持不變：

VD−=−58.333 NV_{D^-}=-58.333\ \text{N}

通過 DD 點反力後：

VD+=−58.333+108.333=50 NV_{D^+}=-58.333+108.333=50\ \text{N}

DD 至 FF

DEDE、EFEF 段無分布載重：

VE−=VE+=50 NV_{E^-}=V_{E^+}=50\ \text{N}

在 FF 點有向下 50 N50\ \text{N} 集中力：

VF=50−50=0V_F=50-50=0

剪力圖關鍵數值

位置剪力
AA0 N0\ \text{N}
B−B^-−100 N-100\ \text{N}
B+B^+91.667 N91.667\ \text{N}
C−C^-41.667 N41.667\ \text{N}
C+C^+−58.333 N-58.333\ \text{N}
D−D^-−58.333 N-58.333\ \text{N}
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第 4 題25 分

  1. [25 Points] Refer to Fig. 5. A rigid bar is pinned at its left end and is pinned to two elastic beams, Beam 1 and Beam 2, at the middle and the right end, respectively. For Beam 1, the length, Young's modulus, cross-sectional area, and coefficient of thermal expansion are denoted as LL, 2E2E, 2A2A, and α\alpha, respectively. For Beam 2, the length, Young's modulus, cross-sectional area, and coefficient of thermal expansion are denoted as 2L2L, EE, AA, and α\alpha, respectively. A point load FF is applied to the rigid bar at a position LL away from the right end, directed in the negative Y-direction. The temperature of Beam 2 is increased by a temperature change of ΔT\Delta T, while the temperature of Beam 1 remains constant. Assume small rotations of the rigid bar and that no heat conduction occurs between the beams. Determine the axial stresses in Beam 1 and Beam 2. Express your answers in terms of FF, LL, EE, AA, α\alpha, and ΔT\Delta T.

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核心觀念

本題結合：

  • 剛性桿的小轉角幾何關係；
  • 軸向應力與應變關係；
  • 熱應變 αΔT\alpha\Delta T；
  • 剛性桿繞左端鉸支點的力矩平衡。

取向上為正，並令剛性桿繞左端逆時針轉角為 θ\theta。由圖可知：

  • Beam 1 連接於 x=2Lx=2L；
  • 集中力 FF 作用於 x=3Lx=3L；
  • Beam 2 連接於 x=4Lx=4L。

因此兩接點的垂直位移分別為

v1=2Lθ,v2=4Lθ.v_1=2L\theta,\qquad v_2=4L\theta.

解題方法：先建立兩支梁的應力式

Beam 1

Beam 1 上端固定、下端接於剛性桿，長度為 LL。下端向上位移 v1v_1 時，梁的機械伸長為 −v1-v_1，故其應變為

ε1=−v1L=−2LθL=−2θ.\varepsilon_1=-\frac{v_1}{L} =-\frac{2L\theta}{L} =-2\theta.

Beam 1 溫度不變，因此沒有熱應變：

σ1=(2E)ε1=(2E)(−2θ)=−4Eθ.\sigma_1=(2E)\varepsilon_1 =(2E)(-2\theta) =-4E\theta.

Beam 2

Beam 2 下端固定、上端接於剛性桿，長度為 2L2L。上端向上位移 v2v_2 時，機械應變為

ε2,mech=v22L=4Lθ2L=2θ.\varepsilon_{2,\text{mech}} =\frac{v_2}{2L} =\frac{4L\theta}{2L} =2\theta.

Beam 2 的總應變包含機械應變與熱應變：

ε2=2θ+αΔT.\varepsilon_2=2\theta+\alpha\Delta T.

但梁的應力由「總應變減去自由熱應變」決定，因此

σ2=E(2θ−αΔT).\sigma_2 =E\left(2\theta-\alpha\Delta T\right).

也就是

σ2=2Eθ−EαΔT.\sigma_2=2E\theta-E\alpha\Delta T.

剛性桿的力矩平衡

Beam 1 對剛性桿的作用力為 2Aσ12A\sigma_1；Beam 2 對剛性桿的作用力方向與 σ2\sigma_2定義相反，故為 −Aσ2-A\sigma_2。

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