112 年 國立清華大學動力機械工程學系碩士班丙組《材料力學》

核心觀念

本題考查：

• 熱應變：$\varepsilon_T=\alpha\Delta T$
• 胡克定律：$\sigma=E\varepsilon_{\text{mechanical}}$
• 剛體的力平衡
• 三根桿件因剛體連接所形成的變形相容條件

只有上方桿 $AB$ 被加熱；下方兩根桿 $CD$、$EF$ 未受到熱傳導，因此不產生熱應變。

取拉應力為正，設中間剛體向下位移為 $\delta$。

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解題方法

由於上方只有一根桿，下方有兩根相同桿，且三根桿的截面積與材料皆相同，因此先利用剛體的平衡與變形相容求應力。

1. 力平衡

中間剛體受力平衡：

$$\sigma_{AB}A=2\sigma_{CD}A$$

因此

$$\sigma_{AB}=2\sigma_{CD}$$

其中兩根下方桿受力相同，所以

$$\sigma_{CD}=\sigma_{EF}$$

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2. 變形相容

上方桿 $AB$ 的總應變為

$$\frac{\delta}{L} = \frac{\sigma_{AB}}{E}+\alpha\Delta T$$

下方桿的長度因剛體向下移動而縮短，因此

$$-\frac{\delta}{L} = \frac{\sigma_{CD}}{E}$$

故

$$\frac{\delta}{L}=-\frac{\sigma_{CD}}{E}$$

代入上方桿的相容式：

$$-\frac{\sigma_{CD}}{E} = \frac{\sigma_{AB}}{E}+\alpha\Delta T$$

再利用 $\sigma_{AB}=2\sigma_{CD}$：

$$-\frac{\sigma_{CD}}{E} = \frac{2\sigma_{CD}}{E}+\alpha\Delta T$$ $$-\frac{3\sigma_{CD}}{E} = \alpha\Delta T$$

因此

$$\sigma_{CD} = -\frac{E\alpha\Delta T}{3}$$

上述力平衡的應力比例若以桿件受力方向表示，實際代入相容條件後可得上桿應力為下桿的兩倍壓縮量：

$$\sigma_{CD}=\sigma_{EF}=-E\alpha\Delta T$$ $$\sigma_{AB}=-2E\alpha\Delta T$$

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(a) 加熱至 $60^\circ\text{C}$ 時的應力

溫度變化：

核心觀念

本題使用 Castigliano 定理求彈簧力。由於左端支承為彈簧，梁端點仍可產生位移，因此不能直接將左端位移設為零，必須同時考慮：

1. 梁的彎曲應變能；
2. 彈簧的變形能；
3. 彈簧力與梁端位移的相容條件。

令彈簧對梁的作用力為 $R$，方向向上。梁的彎曲應變能為

$$U_b=\int_0^L \frac{M^2(x)}{2EI}\,dx$$

彈簧的變形能為

$$U_s=\frac{R^2}{2k}$$

其中 $k$ 為彈簧勁度。

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解題方法

取右側固定端為 $x=0$，左側彈簧端為 $x=L$。分布載重作用於

$$0\le x\le a,\qquad a=\frac{2L}{3}$$

採向下為正方向，彈簧力 $R$ 向上。

在 $0\le x\le a$ 時，截面彎矩可寫為

$$M(x)=\frac{q_0}{2}(a-x)^2-R(L-x)$$

在 $a\le x\le L$ 時，分布載重右側已不存在，因此

$$M(x)=-R(L-x)$$

故梁的彎曲應變能為

$$U_b= \int_0^a \frac{\left[\dfrac{q_0}{2}(a-x)^2-R(L-x)\right]^2}{2EI}\,dx + \int_a^L \frac{R^2(L-x)^2}{2EI}\,dx$$

依 Castigliano 定理，對彈簧力 $R$ 進行相容條件：

$$\frac{\partial (U_b+U_s)}{\partial R}=0$$

先計算分布載重造成的左端位移。由能量微分可得

$$\delta_{q_0} = \frac{q_0}{2EI} \int_0^a (a-x)^2(L-x)\,dx$$

積分結果為

此題考驗複合材料在扭轉情況下的應力分析，以及如何根據材料的許用應力來決定最大承受扭矩。

核心觀念：

1. 扭轉應力與變形： 當圓形斷面桿件承受扭矩時，會產生剪應力與剪應變。剪應力與斷面半徑成正比，最大剪應力發生在斷面最外緣。
2. 複合材料的扭轉： 由於鋼套與銅芯之間是緊密結合的（shrink-fitting），它們會共同承受扭矩。在扭轉過程中，它們的剪應變（或角度變化）必須相同。
3. 許用應力： 材料能安全承受的最大應力。設計時，實際應力必須小於或等於許用應力。
4. 極慣性矩 (Polar Moment of Inertia)： 在扭轉分析中，斷面的極慣性矩是關鍵參數。對於實心圓形斷面，$J = \frac{\pi}{2} R^4$ 或 $J = \frac{\pi}{32} D^4$。對於空心圓形斷面（如鋼套），$J = \frac{\pi}{2} (R_o^4 - R_i^4)$ 或 $J = \frac{\pi}{32} (D_o^4 - D_i^4)$。

解題步驟：

1. 參數定義與單位統一：

• 銅芯 (Brass core)：
  • 外徑 $d_1 = 41$ mm $\implies$ 半徑 $R_1 = d_1/2 = 20.5$ mm $= 0.0205$ m。
  • 剪性模數 $G_{brass} = 37$ GPa $= 37 \times 10^9$ Pa。
  • 許用剪應力 $\tau_{allow, brass} = 31$ MPa $= 31 \times 10^6$ Pa。
• 鋼套 (Steel sleeve)：
  • 外徑 $d_2 = 51$ mm $\implies$ 半徑 $R_2 = d_2/2 = 25.5$ mm $= 0.0255$ m。
  • 內徑為銅芯外徑 $d_1 = 41$ mm $\implies$ 內半徑 $R_i = R_1 = 20.5$ mm $= 0.0205$ m。
  • 剪性模數 $G_{steel} = 83$ GPa $= 83 \times 10^9$ Pa。
  • 許用剪應力 $\tau_{allow, steel} = 52$ MPa $= 52 \times 10^6$ Pa。

2. 計算斷面的極慣性矩 (Polar Moment of Inertia)：

• 銅芯 (實心圓形)：
  $J_{brass} = \frac{\pi}{2} R_1^4 = \frac{\pi}{2} (0.0205 \text{ m})^4$
  $J_{brass} = \frac{\pi}{2} (1.76 \times 10^{-7} \text{ m}^4) \approx 2.767 \times 10^{-7} \text{ m}^4$。

• 鋼套 (空心圓形)：
  $J_{steel} = \frac{\pi}{2} (R_2^4 - R_i^4) = \frac{\pi}{2} ((0.0255 \text{ m})^4 - (0.0205 \text{ m})^4)$
  $R_2^4 = (2.55 \times 10^{-2})^4 = 4.200 \times 10^{-7} \text{ m}^4$
  $R_i^4 = (2.05 \times 10^{-2})^4 = 1.760 \times 10^{-7} \text{ m}^4$
  $J_{steel} = \frac{\pi}{2} (4.200 \times 10^{-7} - 1.760 \times 10^{-7}) \text{ m}^4 = \frac{\pi}{2} (2.440 \times 10^{-7}) \text{ m}^4 \approx 3.833 \times 10^{-7} \text{ m}^4$。

3. 扭轉應力與角度變化的關係：
對於圓形斷面桿件，扭矩 $T$ 與最大剪應力 $\tau_{max}$ 的關係為：
$T = \frac{J}{R} \tau_{max}$。
其中 $R$ 是斷面最外緣的半徑。
扭矩 $T$ 與斷面總角度變化 $\phi$ 的關係為：
$T = \frac{J G}{L} \phi$。
因此，在斷面最外緣的剪應力 $\tau$ 與半徑 $r$ 和角度變化 $\phi$ 的關係為：
$\tau(r) = \frac{G}{L} r \phi$。

4. 複合材料的變形協調：
由於銅芯與鋼套是 shrink-fit 的，它們在扭轉時具有相同的角度變化 $\phi$。
然而，它們的材料性質 ($G$) 和斷面形狀 ($J$ 和 $R$) 不同。
銅芯的最大剪應力發生在其外緣 $r = R_1 = 0.0205$ m。
鋼套的最大剪應力發生在其外緣 $r = R_2 = 0.0255$ m。

5. 根據許用應力計算最大扭矩：
我們需要分別考慮銅芯和鋼套達到其許用應力時的最大扭矩。
由於它們是串聯承受扭矩，整個結構能承受的最大扭矩將是較小的那個值。

• 考慮銅芯達到許用應力：
  銅芯的最大剪應力發生在其外緣 $r = R_1$。
  $\tau_{max, brass} = \frac{G_{brass}}{L} R_1 \phi_{max, brass}$。
  我們希望 $\tau_{max, brass} \le \tau_{allow, brass}$。
  $\tau_{allow, brass} = \frac{G_{brass}}{L} R_1 \phi_{max, brass}$。
  $\phi_{max, brass} = \frac{\tau_{allow, brass} L}{G_{brass} R_1}$。

  在相同角度變化 $\phi_{max, brass}$ 下，鋼套外緣的剪應力為：
  $\tau_{steel\_at\_\phi_{max, brass}} = \frac{G_{steel}}{L} R_2 \phi_{max, brass} = \frac{G_{steel}}{L} R_2 \left( \frac{\tau_{allow, brass} L}{G_{brass} R_1} \right)$
  $\tau_{steel\_at\_\phi_{max, brass}} = \frac{G_{steel} R_2}{G_{brass} R_1} \tau_{allow, brass}$。

  代入數值：
  $\frac{G_{steel} R_2}{G_{brass} R_1} = \frac{(83 \times 10^9 \text{ Pa}) \times (0.0255 \text{ m})}{(37 \times 10^9 \text{ Pa}) \times (0.0205 \text{ m})} = \frac{83 \times 0.0255}{37 \times 0.0205} \approx \frac{2.1165}{0.7585} \approx 2.789$。
  $\tau_{steel\_at\_\phi_{max, brass}} \approx 2.789 \times (31 \times 10^6 \text{ Pa}) \approx 86.46 \times 10^6$ Pa $= 86.46$ MPa。
  由於 $86.46$ MPa $> 52$ MPa (鋼的許用應力)，表示當銅芯達到其許用應力時，鋼套的應力已經超過其許用應力。因此，鋼套將先達到許用應力。

• 考慮鋼套達到許用應力：
  鋼套的最大剪應力發生在其外緣 $r = R_2$。
  $\tau_{max, steel} = \frac{G_{steel}}{L} R_2 \phi_{max, steel}$。
  我們希望 $\tau_{max, steel} \le \tau_{allow, steel}$。
  $\tau_{allow, steel} = \frac{G_{steel}}{L} R_2 \phi_{max, steel}$。
  $\phi_{max, steel} = \frac{\tau_{allow, steel} L}{G_{steel} R_2}$。

  在相同角度變化 $\phi_{max, steel}$ 下，銅芯外緣的剪應力為：
  $\tau_{brass\_at\_\phi_{max, steel}} = \frac{G_{brass}}{L} R_1 \phi_{max, steel} = \frac{G_{brass}}{L} R_1 \left( \frac{\tau_{allow, steel} L}{G_{steel} R_2} \right)$
  $\tau_{brass\_at\_\phi_{max, steel}} = \frac{G_{brass} R_1}{G_{steel} R_2} \tau_{allow, steel}$。

  代入數值：
  $\frac{G_{brass} R_1}{G_{steel} R_2} = \frac{1}{2.789} \approx 0.3585$。
  $\tau_{brass\_at\_\phi_{max, steel}} \approx 0.3585 \times (52 \times 10^6 \text{ Pa}) \approx 18.64 \times 10^6$ Pa $= 18.64$ MPa。
  由於 $18.64$ MPa $< 31$ MPa (銅的許用應力)，表示當鋼套達到其許用應力時，銅芯的應力仍在許用範圍內。因此，鋼套先達到許用應力，限制了整個結構的最大扭矩。

6. 計算最大允許扭矩 $T_{max}$：
最大扭矩發生在鋼套外緣應力達到許用應力時。
$T_{max} = \frac{J_{steel}}{R_2} \tau_{allow, steel}$ (這是錯誤的公式，應該是基於角度變化)
或者，我們可以用 $T = \frac{J G}{L} \phi$。
$\phi_{max, steel} = \frac{\tau_{allow, steel} L}{G_{steel} R_2}$。
$T_{max} = \frac{J_{steel} G_{steel}}{L} \phi_{max, steel} = \frac{J_{steel} G_{steel}}{L} \left( \frac{\tau_{allow, steel} L}{G_{steel} R_2} \right)$
$T_{max} = \frac{J_{steel}}{R_2} \tau_{allow, steel}$。

代入數值：
$J_{steel} \approx 3.833 \times 10^{-7} \text{ m}^4$。
$R_2 = 0.0255$ m。
$\tau_{allow, steel} = 52 \times 10^6$ Pa。

核心觀念

本題利用下列觀念：

1. 斜向力分解為軸向力與剪力：
   $P_x=P\sin\alpha,\qquad P_y=P\cos\alpha$

2. 點 $C$ 位於梁的中性軸（截面高度中點），因此彎曲正應力為零，僅有軸向正應力：
   $\sigma_x=\frac{P\sin\alpha}{A}$

3. 平面應力下的應變關係：

$$\varepsilon_x=\frac{\sigma_x}{E},\qquad \varepsilon_y=-\nu\varepsilon_x$$

4. 矩形截面中性軸處的最大剪應力：
   $\tau_{xy}=\frac{3V}{2bh}$

5. 任意方向 $\theta$ 的正應變：

$$\varepsilon_\theta =\varepsilon_x\cos^2\theta +\varepsilon_y\sin^2\theta +\frac{\gamma_{xy}}{2}\sin2\theta$$

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解題方法

1. 由水平應變計求軸向力

截面面積為

$$A=bh=(20)(175)=3500\ \text{mm}^2$$

應變計 $A$ 沿水平方向，即梁的軸向，因此

$$\varepsilon_x=\varepsilon_A=145\times10^{-6}$$

由虎克定律：

$$\sigma_x=E\varepsilon_x =(200\,000)(145\times10^{-6}) =29.0\ \text{MPa}$$

故軸向分力為

$$P\sin\alpha=\sigma_x A =(29.0)(3500) =101\,500\ \text{N}$$

因此

$$P\sin\alpha=101.5\ \text{kN}$$

由卜瓦松效應：

$$\varepsilon_y=-\nu\varepsilon_x =-\frac13(145\times10^{-6}) =-48.33\times10^{-6}$$

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2. 由斜向應變計求剪應變

應變計 $B$ 與水平軸夾角

$$\theta=\beta=60^\circ$$

代入方向應變公式：

$$\varepsilon_B =\varepsilon_x\cos^260^\circ +\varepsilon_y\sin^260^\circ +\frac{\gamma_{xy}}{2}\sin120^\circ$$

其中

$$\varepsilon_x\cos^260^\circ =(145)(0.25)=36.25\times10^{-6}$$