113 年 國立清華大學動力機械工程學系碩士班丙組《材料力學》

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第 1 題25 分

As shown in Figure 1, determine the maximum allowable intensity ww of the distributed load that can be applied to member BCBC without causing member ABAB to buckle. Assume that ABAB is made of steel (Est=200 GPaE_{st} = 200\,\text{GPa}, σY=360 MPa\sigma_Y = 360\,\text{MPa}) and is pinned at its ends for xx–xx axis buckling and fixed at its ends for yy–yy axis buckling. Use a factor of safety with respect to buckling of 3.

Note: member BCBC can be assumed rigid.

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

The cross-section of member ABAB is a hollow rectangular section with outer dimensions 30 mm×30 mm30\,\text{mm} \times 30\,\text{mm} and wall thickness 20 mm20\,\text{mm} (as shown in Figure 1). Member BCBC has length 1.5 m1.5\,\text{m} and member ABAB has length 2.5 m2.5\,\text{m}, with an offset of 0.5 m0.5\,\text{m} from the top.

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核心觀念

先利用剛性水平桿的力矩平衡，求出均佈載重 ww 與桿件 ABAB 壓縮軸力的關係，再比較 ABAB 沿兩個方向的挫屈臨界載重。

Euler 挫屈公式為

Pcr=π2EI(KL)2P_{\mathrm{cr}}=\frac{\pi^2EI}{(KL)^2}

其中 KK 為有效長度係數：兩端鉸支取 K=1K=1，兩端固定取 K=0.5K=0.5。安全係數為 33，故容許壓縮軸力為

Pallow=min⁡(Pcr,x,Pcr,y)3P_{\mathrm{allow}}=\frac{\min(P_{\mathrm{cr},x},P_{\mathrm{cr},y})}{3}

解題方法

1. 讀圖並求桿件軸力

圖中 AA、CC 為鉸支承，BB 為鉸接；ABAB 長 2.5 m2.5\,\mathrm{m}。水平桿從 CC 到右端的總長為 1.5 m1.5\,\mathrm{m}，BB 到右端的外伸段長 0.5 m0.5\,\mathrm{m}，因此 CB=1.0 mCB=1.0\,\mathrm{m}，向下的均佈載重作用於整段水平桿。

截面圖表示的是寬 30 mm30\,\mathrm{mm}、高 20 mm20\,\mathrm{mm} 的實心矩形；20 mm20\,\mathrm{mm} 是截面高度，並非中空截面的壁厚。挫屈端部條件依題目指定：繞 xx–xx 軸為兩端鉸支，繞 yy–yy 軸為兩端固定。

均佈載重的合力為

W=w(1.5 m)W=w(1.5\,\mathrm{m})

作用位置距離 CC 為 0.75 m0.75\,\mathrm{m}。受壓的 ABAB 對水平桿在 BB 點提供向上的力 PABP_{AB}，對 CC 點取力矩：

PAB(1.0 m)=w(1.5 m)(0.75 m)P_{AB}(1.0\,\mathrm{m}) =w(1.5\,\mathrm{m})(0.75\,\mathrm{m})

所以

PAB=(1.125 m)wP_{AB}=(1.125\,\mathrm{m})w

2. 計算兩軸的截面慣性矩

圖中 xx–xx 軸為截面的鉛直中心軸，yy–yy 軸為水平中心軸，因此

Ix=20(30)312=45 000 mm4I_x=\frac{20(30)^3}{12} =45\,000\,\mathrm{mm^4} Iy=30(20)312=20 000 mm4I_y=\frac{30(20)^3}{12} =20\,000\,\mathrm{mm^4}

取

E=200 000 N/mm2,L=2500 mmE=200\,000\,\mathrm{N/mm^2}, \qquad L=2500\,\mathrm{mm}
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第 2 題25 分

As shown in Figure 2, a cylindrical tank with closed ends contains compressed nitrogen gas at a gage pressure of P=20,000 psiP = 20{,}000\,\text{psi} and is subjected to a compressive axial force F=70,000 lbF = 70{,}000\,\text{lb}. The tank is with inner radius r=10 inr = 10\,\text{in} and thickness t=0.1 int = 0.1\,\text{in}, and material property Young's modulus E=30×106 psiE = 30 \times 10^6\,\text{psi} and Poisson's ratio ν=0.3\nu = 0.3. Answer the following questions:

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

(a) Obtain the normal stresses σx\sigma_x and σy\sigma_y of the stress element shown on the surface of the tank.

(b) Draw the Mohr circle of the given stress state.

(c) Determine the transformed stress state if the stress element is rotated 60°60° from the horizontal direction.

(d) Obtain the principal stresses and the maximum in-plane shear stress of the element.

(e) Obtain the absolute maximum shear stress of the element (assume plane stress condition).

(f) From the given stresses, determine the circumferential and the longitudinal strain.

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核心觀念

本題考查薄壁閉口圓筒的膜應力、平面應力轉換、莫耳圓、主應力與應變。

依圖中座標，xx 軸沿圓筒軸向，yy 軸沿圓周方向。內壓使圓筒產生軸向與環向拉應力；外加壓縮力 FF 則降低軸向應力。薄壁閉口圓筒的應力為

σx,內壓=Pr2t,σy=Prt,σx,F=−F2πrt.\sigma_{x,\text{內壓}}=\frac{Pr}{2t}, \qquad \sigma_y=\frac{Pr}{t}, \qquad \sigma_{x,F}=-\frac{F}{2\pi rt}.

表面上沒有切應力，因此 τxy=0\tau_{xy}=0；忽略徑向應力，視為平面應力狀態。

解題方法與應力計算

取拉應力為正，代入 P=20,000 psiP=20{,}000\,\text{psi}、r=10 inr=10\,\text{in}、t=0.1 int=0.1\,\text{in}：

σy=(20,000)(10)0.1=2,000,000 psi=2000 ksi.\sigma_y=\frac{(20{,}000)(10)}{0.1} =2{,}000{,}000\,\text{psi} =2000\,\text{ksi}.

圓筒內壓造成的軸向拉應力為

σx,內壓=(20,000)(10)2(0.1)=1,000,000 psi.\sigma_{x,\text{內壓}} =\frac{(20{,}000)(10)}{2(0.1)} =1{,}000{,}000\,\text{psi}.

薄壁圓筒承受軸力的截面積約為 A=2πrtA=2\pi rt，所以外加壓縮力造成的軸向應力為

σx,F=−70,0002π(10)(0.1)=−11,140.85 psi.\sigma_{x,F} =-\frac{70{,}000}{2\pi(10)(0.1)} =-11{,}140.85\,\text{psi}.

因此表面應力狀態為

σx=1,000,000−11,140.85=988,859.15 psi=988.86 ksi,σy=2000 ksi,τxy=0.\sigma_x=1{,}000{,}000-11{,}140.85 =988{,}859.15\,\text{psi} =988.86\,\text{ksi}, \qquad \sigma_y=2000\,\text{ksi}, \qquad \tau_{xy}=0.

(a) 莫耳圓

莫耳圓圓心與半徑為

C=σx+σy2=1494.43 ksi,R=(σx−σy2)2+τxy2=505.57 ksi.C=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} =1494.43\,\text{ksi}, \qquad R=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2} =505.57\,\text{ksi}.

圓上代表原始應力狀態的兩點為 (σx,τxy)=(988.86,0) ksi(\sigma_x,\tau_{xy})=(988.86,0)\,\text{ksi} 與 (σy,−τxy)=(2000,0) ksi(\sigma_y,-\tau_{xy})=(2000,0)\,\text{ksi}。莫耳圓與 σ\sigma 軸的交點就是主應力；圓的上下端則對應最大面內剪應力。

(b) 轉動 60∘60^\circ 後的應力

圖中 x′x' 軸由水平 xx 軸逆時針轉動 θ=60∘\theta=60^\circ。使用平面應力轉換式：

σx′=σx+σy2+σx−σy2cos⁡2θ,\sigma_{x'}= \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} +\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos 2\theta, σy′=σx+σy2−σx−σy2cos⁡2θ,τx′y′=−σx−σy2sin⁡2θ.\sigma_{y'}= \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} -\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos 2\theta, \qquad \tau_{x'y'}= -\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin 2\theta.

代入 cos⁡120∘=−0.5\cos 120^\circ=-0.5、sin⁡120∘=0.8660\sin 120^\circ=0.8660：

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第 3 題25 分

As shown in Figure 3, the 20-kg drum is suspended from the hook mounted on the wooden frame. Determine the states of stress at points EE and FF on the cross sections of the frame at sections aa–aa and bb–bb, respectively.

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

The frame geometry is as follows: member BCBC is inclined at 30°30° from the vertical. The horizontal distance from AA to the load application point is 1 m1\,\text{m}, with 0.5 m0.5\,\text{m} and 0.5 m0.5\,\text{m} offsets. The vertical members have lengths of 1 m1\,\text{m} each.

Cross-section dimensions:

  • Section aa–aa: 50 mm×75 mm50\,\text{mm} \times 75\,\text{mm} rectangular section; point EE is located 25 mm25\,\text{mm} from one edge.
  • Section bb–bb: 75 mm×75 mm75\,\text{mm} \times 75\,\text{mm} square section; point FF is located 25 mm25\,\text{mm} from one edge.
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原卷第 4 頁

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核心觀念

本題先以整體與各構件的平衡求出拉索及斜撐內力，再在 aa–aa、bb–bb 截面切開，求軸力、剪力與彎矩。截面正應力由軸力與彎矩疊加，剪應力則以 τ=VQ/(It)\tau=VQ/(It) 計算。

解題方法

原圖顯示：AA 為柱腳鉸支承，拉索 BDBD 與鉛直夾 30∘30^\circ；斜撐連接柱上距 BB 向下 1 m1\,\text{m} 處與梁上距 BB 向右 1 m1\,\text{m} 處，因此斜撐為 45∘45^\circ。梁 BCBC 水平，全長 2 m2\,\text{m}，鼓重作用於 CC；柱高 3 m3\,\text{m}，bb–bb 截面在 AA 上方 1 m1\,\text{m}。aa–aa 距 BB 為 0.5 m0.5\,\text{m}。圖上的 30∘30^\circ 是拉索與鉛直的夾角。

1. 求鼓重與拉索張力

鼓重為

W=mg=20(9.81)=196.2 NW=mg=20(9.81)=196.2\,\text{N}

以 AA 點取矩。拉索的水平分力為 TBDsin⁡30∘T_{BD}\sin30^\circ，作用高度為 3 m3\,\text{m}；鼓重距柱軸線 2 m2\,\text{m}：

3TBDsin⁡30∘−2W=03T_{BD}\sin30^\circ-2W=0 TBD=2(196.2)3sin⁡30∘=261.6 NT_{BD}=\frac{2(196.2)}{3\sin30^\circ}=261.6\,\text{N}

2. 求梁上的斜撐力及 aa–aa 內力

以 BB 點取梁 BCBC 的力矩，斜撐作用點距 BB 為 1 m1\,\text{m}：

Py(1)−196.2(2)=0P_y(1)-196.2(2)=0

因此斜撐的鉛直分力為 Py=392.4 NP_y=392.4\,\text{N}。斜撐為 45∘45^\circ，故其水平分力亦為 392.4 N392.4\,\text{N}；斜撐受壓，對梁的作用方向為右上。

在 aa–aa 右側切開梁，斜撐分力作用於距截面 0.5 m0.5\,\text{m} 處，CC 點距截面 1.5 m1.5\,\text{m}。平衡可得

Na=392.4 N(拉力),Va=392.4−196.2=196.2 NN_a=392.4\,\text{N}\quad(\text{拉力}),\qquad V_a=392.4-196.2=196.2\,\text{N} Ma=392.4(0.5)−196.2(1.5)=−98.1 N⋅mM_a=392.4(0.5)-196.2(1.5)=-98.1\,\text{N}\cdot\text{m}

負號表示此處為使梁上緣受拉的彎曲方向；彎矩大小為 98.1 N⋅m98.1\,\text{N}\cdot\text{m}。

aa–aa 截面尺寸為 50 mm×75 mm50\,\text{mm}\times75\,\text{mm}，EE 在上緣下方 25 mm25\,\text{mm}，故距中性軸

yE=37.5−25=12.5 mmy_E=37.5-25=12.5\,\text{mm}

截面面積及慣性矩為

Aa=50(75)=3750 mm2A_a=50(75)=3750\,\text{mm}^2 Ia=50(75)312=1,757,812.5 mm4I_a=\frac{50(75)^3}{12}=1{,}757{,}812.5\,\text{mm}^4

EE 點軸力與彎矩造成的正應力都為拉應力：

σE=NaAa+∣Ma∣yEIa=392.43750+(98.1×103)(12.5)1,757,812.5=0.802 MPa(拉)\sigma_E=\frac{N_a}{A_a}+\frac{|M_a|y_E}{I_a} =\frac{392.4}{3750} +\frac{(98.1\times10^3)(12.5)}{1{,}757{,}812.5} =0.802\,\text{MPa}\quad(\text{拉})

EE 位於上緣下方 25 mm25\,\text{mm}，其上方截面面積形心距中性軸 25 mm25\,\text{mm}，所以

QE=(50)(25)(25)=31,250 mm3Q_E=(50)(25)(25)=31{,}250\,\text{mm}^3
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第 4-(1) 題15 分

As shown in Figure 4, by using the moment-area method, determine the reactions at the supports.

Note: EIEI is constant. Support BB is a thrust bearing.

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

The beam ACAC has three supports: a fixed support at AA, a thrust bearing at BB, and a pin support at CC. A concentrated load PP is applied at the midpoint between BB and CC. The span from AA to BB is LL, and from BB to CC is LL (divided as L/2+L/2L/2 + L/2).

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核心觀念

三個支承使梁成為一次靜不定梁。各支承可轉動，因此 MA=MC=0M_A=M_C=0；以三彎矩定理求中間支承 BB 的彎矩，再由各跨的彎矩與平衡求支承反力。三彎矩定理是由彎矩面積法的轉角與切線偏移關係導出。

依圖示，BB 為推力軸承；題目沒有水平外力，因此水平反力為零。

解題方法

取向上反力為正，負號表示反力方向向下。跨距為 AB=BC=LAB=BC=L。三彎矩定理為

MAL+2MB(L+L)+MCL=−6(A1xˉ1L+A2xˉ2L)M_A L+2M_B(L+L)+M_C L =-6\left(\frac{A_1\bar{x}_1}{L}+\frac{A_2\bar{x}_2}{L}\right)

其中 A1,A2A_1,A_2 是各跨在簡支狀態下，由外力產生的彎矩圖面積；xˉ1,xˉ2\bar{x}_1,\bar{x}_2 分別為相應面積形心至支承的距離。ABAB 跨沒有外力，所以 A1=0A_1=0。BCBC 跨中央受力 PP，其簡支彎矩圖為三角形，面積與形心距離為

A2=12L(PL4)=PL28,xˉ2=L2A_2=\frac{1}{2}L\left(\frac{PL}{4}\right)=\frac{PL^2}{8}, \qquad \bar{x}_2=\frac{L}{2}

代入 MA=MC=0M_A=M_C=0：

4LMB=−6(PL28⋅L/2L)=−3PL284LM_B=-6\left(\frac{PL^2}{8}\cdot\frac{L/2}{L}\right) =-\frac{3PL^2}{8}

因此

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第 4-(2) 題10 分

Draw the shear and moment diagrams for the beam shown in Figure 4.

Note: EIEI is constant. Support BB is a thrust bearing.

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核心觀念

這是一根兩跨連續梁。支承反力不能只靠靜力平衡求出，還須用梁在中間支承處連續的變形條件，先求支承彎矩，再由剪力與彎矩的關係畫圖。採用正彎矩為下凹（跨中受拉側在下），並使用 V=dMdxV=\dfrac{dM}{dx}。

解題方法

圖中梁在 A、B、CA、B、C 三處有豎向支承，支承處可轉動；BB 為推力軸承。兩跨長度皆為 LL，集中力 PP 向下作用於 BCBC 跨中，距 B、CB、C 各為 L/2L/2；EIEI 為常數。

先用三彎矩定理求中間支承彎矩。令 MA=MC=0M_A=M_C=0。三彎矩定理為

MAL1+2MB(L1+L2)+MCL2=−6(A1xˉ1L1+A2xˉ2L2)M_A L_1+2M_B(L_1+L_2)+M_C L_2 =-6\left(\frac{A_1\bar{x}_1}{L_1} +\frac{A_2\bar{x}_2}{L_2}\right)

其中 AiA_i 是各跨只受外力時的簡支梁彎矩圖面積；xˉ1\bar{x}_1 從 AA 量起，xˉ2\bar{x}_2 從 CC 量起。

ABAB 跨沒有外力，因此 A1=0A_1=0。BCBC 跨在簡支狀態下的彎矩圖為三角形，最大值為 PL/4PL/4，面積為 A2=PL2/8A_2=PL^2/8，形心距 CC 為 L/2L/2。代入 L1=L2=LL_1=L_2=L：

4MBL=−6(PL28⋅L/2L)=−3PL284M_B L=-6\left(\frac{PL^2}{8}\cdot\frac{L/2}{L}\right) =-\frac{3PL^2}{8}

因此

MB=−3PL32M_B=-\frac{3PL}{32}

接著由 V=dMdxV=\dfrac{dM}{dx} 求各段剪力。ABAB 跨無分布荷重，剪力為常數：

VAB=MB−MAL=−3P32V_{AB}=\frac{M_B-M_A}{L}=-\frac{3P}{32}

故 RA=−3P/32R_A=-3P/32，方向向下。

在 BCBC 跨，令集中力左、右側剪力分別為 V1、V2V_1、V_2。跨中集中力使剪力向下跳躍 PP，所以 V2=V1−PV_2=V_1-P。由 BB 到 CC 的彎矩變化為

0=MC=MB+V1L2+V2L20=M_C=M_B+V_1\frac{L}{2}+V_2\frac{L}{2}

解得

V1=19P32,V2=−13P32V_1=\frac{19P}{32},\qquad V_2=-\frac{13P}{32}

剪力在支承處的跳躍量等於該處反力，因此

RB=VB+−VB−=19P32−(−3P32)=11P16R_B=V_{B+}-V_{B-} =\frac{19P}{32}-\left(-\frac{3P}{32}\right) =\frac{11P}{16} RC=0−VC−=13P32R_C=0-V_{C-}=\frac{13P}{32}
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