111 年 國立成功大學地球科學研究所乙組《普通化學》

此題考查原子結構的基本概念，包括質子數、中子數與電子數的判斷。

原子符號 $^{31}$P 中的數字 31 代表質量數 (mass number)，質子數 P 的符號代表原子序 (atomic number)。

1. 質子數 (Protons): 磷 (P) 的原子序是 15，所以原子核中有 15 個質子。質子數決定了元素的種類。

此題考查有機化合物中的共價鍵，特別是單鍵、雙鍵和三鍵的結構，以及 $\sigma$ 鍵與 $\pi$ 鍵的區別。

首先，我們需要畫出每個選項的結構式，並判斷其中包含的鍵結類型：

(A) C$_2$H$_6$ (乙烷, Ethane): 結構為 CH$_3$-CH$_3$。兩個碳原子之間是單鍵，每個碳原子與三個氫原子之間也是單鍵。總共 7 個 $\sigma$ 鍵，0 個 $\pi$ 鍵。

(B) C$_2$H$_4$ (乙烯, Ethene): 結構為 CH$_2$=CH$_2$。兩個碳原子之間是雙鍵，每個碳原子與兩個氫原子之間是單鍵。雙鍵包含一個 $\sigma$ 鍵和一個 $\pi$ 鍵。總共 5 個 $\sigma$ 鍵，1 個 $\pi$ 鍵。

此題考查實驗式 (empirical formula) 與分子式 (molecular formula) 的關係，以及摩爾質量的計算。

1. 計算實驗式的摩爾質量 (Molar mass of empirical formula):
   實驗式為 CH。
   碳 (C) 的原子量約為 12.01 g/mol。
   氫 (H) 的原子量約為 1.008 g/mol。
   實驗式的摩爾質量 = 12.01 + 1.008 = 13.018 g/mol。

此題考查吉布斯自由能變 ($\Delta G$) 的概念，以及反應自發性與溫度、焓變 ($\Delta H$) 和熵變 ($\Delta S$) 的關係。

吉布斯自由能變的公式為：
$\Delta G = \Delta H - T\Delta S$

一個反應在特定溫度下是自發的 (spontaneous)，當且僅當 $\Delta G < 0$。

我們要找的條件是反應在「所有溫度」下都必須是自發的，也就是說，無論溫度 T 是多少 (T > 0 K)，$\Delta G$ 都必須小於 0。

我們逐一分析選項：

(A) $\Delta H > 0$, $\Delta S > 0$:
$\Delta G = (\text{正}) - T(\text{正})$。
如果 $T\Delta S$ 的值很小 (低溫)，則 $\Delta G$ 可能為正，反應非自發。
如果 $T\Delta S$ 的值很大 (高溫)，則 $\Delta G$ 可能為負，反應自發。
所以此情況下，自發性與溫度有關。

(B) $\Delta H = 0$, $\Delta S < 0$:
$\Delta G = 0 - T(\text{負}) = -T(\text{負}) = T(\text{正})$。
因為 T 永遠是正的，所以 $\Delta G$ 永遠是正的。反應永遠不會自發。

核心觀念

本題考查路易斯結構、共振結構與 VSEPR（價電子對互斥理論）對分子形狀的判斷。

硝酸根離子 $\mathrm{NO_3^-}$ 的中心原子為氮，周圍連接三個氧原子。中心氮周圍共有三個成鍵電子區域，且沒有孤電子對，因此電子區域幾何與分子幾何皆為平面三角形（trigonal planar）。

解題方法

先計算 $\mathrm{NO_3^-}$ 的總價電子數：

• 氮：$5$ 個價電子
• 三個氧：$3\times 6=18$ 個價電子
• 負電荷：多 $1$ 個電子

因此總價電子數為

$$5+18+1=24$$

以氮為中心，與三個氧形成三條 $\mathrm{N-O}$ 鍵，使用 $6$ 個電子。其餘電子配置於氧原子的孤電子對，並使各氧盡量符合八隅體。

硝酸根的路易斯結構具有共振：

$$\mathrm{[O-N(=O)-O]^-}$$

雙鍵可位於三個氧的任一位置，因此三個 $\mathrm{N-O}$ 鍵在實際離子中等效，鍵級約為

$$\frac{1+2+1}{3}=\frac{4}{3}$$

不過，判斷幾何形狀時，單鍵或雙鍵各自都只算作一個電子區域。因此中心氮周圍有：

• 三個 $\mathrm{N-O}$ 成鍵區域
• 零個孤電子對

VSEPR 型式為

$$\mathrm{AX_3}$$

三個電子區域會盡量彼此遠離，位於同一平面，鍵角約為

$$120^\circ$$

所以 $\mathrm{NO_3^-}$ 為平面三角形。

選項分析

核心觀念

本題考查配位化合物中的：

1. 中心金屬氧化數
2. 過渡金屬離子之 $d$ 電子組態
3. 四面體晶場分裂
4. 洪特規則與未成對電子數

未成對電子是指只佔據單一軌域、沒有另一個自旋相反電子配對的電子。

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解題方法

1. 求鉻的氧化數

在 $[\mathrm{CrBr}_4]^{2-}$ 中，每個 $\mathrm{Br^-}$ 的氧化數為 $-1$。設鉻的氧化數為 $x$：

$$x+4(-1)=-2$$ $$x=+2$$

因此中心金屬為 $\mathrm{Cr^{2+}}$。

2. 判斷 $\mathrm{Cr^{2+}}$ 的 $d$ 電子數

題目給出中性鉻原子的電子組態：

$$\mathrm{Cr}:[\mathrm{Ar}]4s^23d^4$$

形成 $\mathrm{Cr^{2+}}$ 時，先移除能量較高的 $4s$ 電子：

$$\mathrm{Cr^{2+}}:[\mathrm{Ar}]3d^4$$

因此這是 $d^4$ 金屬離子。

3. 套用四面體晶場分裂

四面體配位的晶場分裂如下：

• 較低能量：$e$ 軌域，共 2 個
• 較高能量：$t_2$ 軌域，共 3 個

四面體晶場分裂能 $\Delta_t$ 通常較小，且溴離子屬於弱場配體，因此形成高自旋組態。

$d^4$ 電子的填入方式為：

$$e^2t_2^2$$

依照洪特規則，電子會先分占不同軌域，再進行配對：

此題考查熱力學中的狀態函數 (state function) 與路徑函數 (path function) 的概念。

狀態函數 (State Function): 其值僅取決於系統的目前狀態，而與系統從初始狀態到達目前狀態的路徑無關。例如：溫度 (T)、壓力 (P)、體積 (V)、內能 (U)、焓 (H)、熵 (S)、吉布斯自由能 (G)。

路徑函數 (Path Function): 其值取決於系統從初始狀態到達目前狀態的路徑。例如：功 (work, W) 和熱 (heat, q)。

我們逐一分析選項中的物理量：

• 焓 (Enthalpy, H): 是狀態函數。定義為 $H = U + PV$。
• 熵 (Entropy, S): 是狀態函數。描述系統的無序程度。
• 自由能 (Free energy, G): 是狀態函數。

此題考查熱力學第一定律，即能量守恆定律，用來計算系統內能的變化 ($\Delta E$)。

熱力學第一定律的公式為：
$\Delta E = q + w$

其中：

• $\Delta E$ 是系統內能的變化。
• $q$ 是系統吸收的熱量。
• $w$ 是系統對外做的功。

在定義符號時，有兩種常見約定：

1. 約定一 (常用於化學)：
   • 系統吸收熱量 ($q > 0$)，放熱 ($q < 0$)。
   • 系統對外做功 ($w < 0$)，外界對系統做功 ($w > 0$)。

核心觀念

本題考查氣體反應的體積比與化學方程式係數的關係。

在相同溫度、壓力下，依照亞佛加厥定律，氣體體積與物質的量成正比：

$$V \propto n$$

因此，氣體的體積比可以直接作為化學反應式中氣體的係數比。

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解題方法

已知反應物與生成物的體積為：

• 氧氣 $O_2$：$4.0\ \text{L}$
• 氮氣 $N_2$：$2.0\ \text{L}$
• 氣態生成物：$4.0\ \text{L}$

因此體積比為：

$$O_2:N_2:\text{生成物}=4.0:2.0:4.0=2:1:2$$

可寫出反應式的係數形式：

$$2O_2+N_2\rightarrow 2N_aO_b$$

進行原子守恆：

氮原子：

$$2=2a$$ $$a=1$$

氧原子：

$$2(2)=2b$$ $$b=2$$

所以生成物的化學式為：

$$NO_2$$

配平後的反應式為：

$$N_2+2O_2\rightarrow 2NO_2$$

其氣體體積比確實為：

$$1:2:2$$

放大兩倍即為題目給出的 $2.0:4.0:4.0$。

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選項分析

• (A) $NO_4$：錯誤。
  由原子守恆計算得到氧原子數為 $2$，不是 $4$。若生成物為 $NO_4$，無法符合題目中的體積比。

此題考查離子化合物的命名與化學式的書寫，特別是金屬氧化物的命名規則。

題目要求寫出 Mn(IV) 氧化物的化學式。
Mn(IV) 表示錳離子的氧化態為 +4。
氧化物 (oxide) 中的氧離子通常是 O$^{2-}$，其氧化態為 -2。

要形成一個電中性的化合物，正電荷總和必須等於負電荷總和。
設化學式為 Mn$_x$O$_y$。
其中，錳的氧化態是 +4，氧的氧化態是 -2。
(+4) $\times$ x + (-2) $\times$ y = 0
4x - 2y = 0
4x = 2y
2x = y

我們需要找到一組最小的整數 x 和 y 滿足這個關係。
如果 x = 1，那麼 y = 2。
這就得到化學式 Mn$_1$O$_2$，即 MnO$_2$。

我們檢查一下選項：
(A) Mn$_3$O$_4$: 錳的氧化態為 (3x + 4(-2))/3 = 0 => 3x - 8 = 0 => x = 8/3 (不是整數

核心觀念

本題考查極稀強酸溶液的 pH 計算，以及水的自解離不可忽略的情況。

雖然 HNO₃ 是強酸，可視為完全解離：

$$\mathrm{HNO_3 \rightarrow H^+ + NO_3^-}$$

但其濃度僅為 $2.0\times10^{-12}\ \mathrm{M}$，遠低於純水中由自解離產生的：

$$[\mathrm{H^+}]=[\mathrm{OH^-}]=1.0\times10^{-7}\ \mathrm{M}$$

因此不能直接使用 $[\mathrm{H^+}]=2.0\times10^{-12}\ \mathrm{M}$ 計算 pH，必須同時考慮水的自解離。

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解題方法

設溶液中的氫離子濃度為 $x$：

$$[\mathrm{H^+}]=x$$

硝酸完全解離，因此：

$$[\mathrm{NO_3^-}]=2.0\times10^{-12}\ \mathrm{M}$$

由水的離子積：

$$K_w=[\mathrm{H^+}][\mathrm{OH^-}]=1.0\times10^{-14}$$

可得：

$$[\mathrm{OH^-}]=\frac{1.0\times10^{-14}}{x}$$

溶液必須符合電荷平衡：

$$[\mathrm{H^+}]=[\mathrm{NO_3^-}]+[\mathrm{OH^-}]$$

代入各濃度：

$$x=2.0\times10^{-12}+\frac{1.0\times10^{-14}}{x}$$

兩邊乘以 $x$：

$$x^2-2.0\times10^{-12}x-1.0\times10^{-14}=0$$

解二次方程式，取正根：

$$x=\frac{2.0\times10^{-12} +\sqrt{(2.0\times10^{-12})^2+4(1.0\times10^{-14})}}{2}$$

計算得：

$$[\mathrm{H^+}]\approx1.01\times10^{-7}\ \mathrm{M}$$

所以：

$$\mathrm{pH}=-\log[\mathrm{H^+}]$$

此題考查氣體密度與其摩爾質量的關係。在相同的溫度和壓力下，氣體的密度與其摩爾質量成正比。

根據理想氣體定律 $PV = nRT$。
氣體密度 ($\rho$) 定義為質量 (m) 除以體積 (V)，$\rho = m/V$。
莫耳數 (n) 可以表示為質量 (m) 除以摩爾質量 (M)，$n = m/M$。
將 $n$ 代入理想氣體定律：
$PV = (m/M)RT$
重新整理得到 $\rho = m/V$:
$m/V = PM/RT$
所以，$\rho = PM/RT$。

在相同的溫度 (T) 和壓力 (P) 下，$\rho \propto M$。
因此，摩爾質量 (M) 最大的氣體，其密度也最大。

我們需要計算或查找各選項中氣體的摩爾質量：
(A) He (氦): 原子量 $\approx$ 4.00 g/mol。摩爾質量 $\approx$ 4.00 g/mol。

核心觀念

本題考查芳香族化合物的「位置異構物」與苯環的對稱性。

Tetramethylbenzene 是苯環上有四個相同的甲基，因此苯環上剩下兩個氫原子。只要兩個氫原子的相對位置不同，就會形成不同的 tetramethylbenzene。

苯環具有旋轉與鏡射對稱性，因此不能直接將兩個氫在六個位置上的排列全部視為不同，必須合併對稱後等價的結構。

解題方法

將苯環六個碳依序標為 $1$ 至 $6$，考慮兩個氫原子的位置。

兩個氫之間的相對距離只有三種：

1. 相鄰：間隔一個碳碳鍵

   例如氫位於 $1,2$ 位，其餘四個位置為甲基。此結構可命名為 $1,2,3,4$-tetramethylbenzene。

2. 間隔一個碳：

   例如氫位於 $1,3$ 位，其餘位置為甲基。此結構可命名為 $1,2,3,5$-tetramethylbenzene。

3. 位於對位：相隔三個位置

   例如氫位於 $1,4$ 位，其餘位置為甲基。此結構可命名為 $1,2,4,5$-tetramethylbenzene。

此題考查氧化還原反應中轉移的電子數計算。我們需要確定反應物和產物中元素的氧化態變化。

反應式：
Cr$_2$O$_7^{2-}$ + 14H$^+$ + 6Cl$^-$ $\rightarrow$ 2Cr$^{3+}$ + 3Cl$_2$ + 7H$_2$O

1. 確定反應物中元素的氧化態：

   • Cr$_2$O$_7^{2-}$:
     氧 (O) 的氧化態通常是 -2。
     設鉻 (Cr) 的氧化態為 x。
     2x + 7(-2) = -2 (離子總電荷)
     2x - 14 = -2
     2x = 12
     x = +6。
     所以，Cr 在 Cr$_2$O$_7^{2-}$ 中的氧化態是 +6。

   • H$^+$:
     氫 (H) 的氧化態是 +1。

   • Cl$^-$:
     氯離子 (Cl$^-$) 的氧化態是 -1。

2. 確定產物中元素的氧化態：

   • Cr$^{3+}$:
     鉻離子 (Cr$^{3+}$) 的氧化態是 +3。

   • Cl$_2$:
     單質狀態的氯 (Cl$_2$) 的氧化態是 0。

   • H$_2$O:
     氫 (H) 的氧化態是 +1，氧 (O) 的氧化態是 -2。

此題考查還原劑和氧化劑的相對強弱，以及標準還原電位 (standard reduction potential, E$^\circ$) 的應用。

還原劑 (Reducing Agent): 能夠使其自身被氧化，並使其他物質被還原的物質。還原劑本身會失去電子。
氧化劑 (Oxidizing Agent): 能夠使其自身被還原，並使其他物質被氧化的物質。氧化劑本身會得到電子。

還原劑的強弱與其氧化態升高的難易程度有關，或者說，與其失去電子的難易程度有關。
氧化劑的強弱與其氧化態降低的難易程度有關，或者說，與其得到電子的難易程度有關。

標準還原電位 (E$^\circ$) 衡量的是物質得到電子的傾向。

• E$^\circ$ 值越高，表示該物質越容易被還原，也就是說，其對應的氧化態越高的物質是越強的氧化劑。
• E$^\circ$ 值越低 (越負)，表示該物質越難被還原，或者說，其對應的還原態是越強的還原劑。

我們有三個半反應及其標準還原電位：

1. Cl$_2$ + 2e$^-$ $\rightarrow$ 2Cl$^-$ E$^\circ$ = +1.36 V
   這個反應表示 Cl$_2$ 容易得到電子被還原成 Cl$^-$。所以 Cl$_2$ 是強氧化劑，Cl$^-$ 是弱還原劑。

2. Mg$^{2+}$ + 2e$^-$ $\rightarrow$ Mg E$^\circ$ = -2.37 V
   這個反應表示 Mg$^{2+}$ 難以得到電子被還原成 Mg。
   反過來，Mg $\rightarrow$ Mg$^{2+}$ + 2e$^-$ (氧化反應) E$^\circ_{ox}$ = +2.37 V。
   這表示 Mg 很容易失去電子被氧化成 Mg$^{2+}$。所以 Mg 是強還原劑，Mg$^{2+}$ 是弱氧化劑。

此題考查原子光譜，特別是電子從高能階躍遷到低能階時釋放光子的能量與波長的關係。

電子躍遷時釋放的光子的能量 ($\Delta E$) 等於兩個能階之間的能量差。
$\Delta E = E_{high} - E_{low}$

光子的能量與其波長 ($\lambda$) 成反比：
$\Delta E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$
其中 h 是普朗克常數，c 是光速。

要使釋放的光子波長最長，則其能量必須最小。
也就是說，我們需要找能階之間的能量差最小的躍遷。

對於氫原子，能階的能量由主量子數 n 決定：$E_n = -\frac{R_H}{n^2}$，其中 R$_H$ 是里德伯常數。
能階的能量隨著 n 的增加而增加 (越來越接近 0)。
$E_1 < E_2 < E_3 < E_4 < ...$

因此，能階之間的能量差由能階的 n 值決定。
能量差越大，對應的波長越短。
能量差越小，對應的波長越長。

我們計算或比較各選項的能量差（或能階差）：
(A) n = 4 to n = 3: $\Delta E_{4 \rightarrow 3}$
(B) n = 4 to n = 2: $\Delta E_{4 \rightarrow 2}$
(C) n = 4 to n = 1: $\Delta E_{4 \rightarrow 1}$
(D) n = 3 to n = 2: $\Delta E_{3 \rightarrow 2}$
(E) n = 2 to n = 1: $\Delta E_{2 \rightarrow 1}$

能量差越大，躍遷的 n 值之間的差距越大，或者說，從越高的能階躍遷到越低的能階。
反之，能量差越小，躍遷的 n 值之間的差距越小，或者說，從較高的能階躍遷到較近的低能階。

比較能階差：

• $\Delta E_{4 \rightarrow 1}$ 涉及 n=4 到 n=1，是最大的能階差，對應最短波長。
• $\Delta E_{4 \rightarrow 2}$ 涉及 n=4 到 n=2。
• $\Delta E_{3 \rightarrow 2}$ 涉及 n=3 到 n=2，是較小的能階差。
• $\Delta E_{2 \rightarrow 1}$ 涉及 n=2 到 n=1，是較大的能階差。
• $\Delta E_{4 \rightarrow 3}$ 涉及 n=4 到 n=3，是最小的能階差。

此題考查量子力學中的粒子在箱子裡 (particle in a box) 模型，以及激發能的計算。

在一個一維箱子模型中，粒子的能量是量子化的，其能量值由下式給出：
$E_n = \frac{n^2h^2}{8mL^2}$
其中：

• $n$ 是主量子數，取值為 1, 2, 3, ...
• $h$ 是普朗克常數
• $m$ 是粒子的質量
• $L$ 是箱子的長度

基態 (ground state) 對應於 $n=1$。此時的能量為：
$E_1 = \frac{1^2h^2}{8mL^2} = \frac{h^2}{8mL^2}$

此題考查分子的極性 (dipole moment)，這與分子的幾何結構和鍵的極性有關。

一個分子的偶極矩 (dipole moment) 是非零的，當滿足以下兩個條件：

1. 分子中存在極性鍵 (polar bonds)。
2. 分子的幾何結構不對稱，使得各個鍵的偶極矩向量無法相互抵消。

我們逐一分析選項：

(A) CH$_4$ (甲烷):
* 鍵的極性：C-H 鍵的極性很小，因為 C 和 H 的電負度差異不大。
* 幾何結構：四面體 (tetrahedral)。這是對稱的結構。
* 結論：即使 C-H 鍵有微弱極性，由於結構對稱，鍵偶極矩會相互抵消，總偶極矩為零。CH$_4$ 是非極性分子。

(B) SO$_3$ (三氧化硫):
* 鍵的極性：S-O 鍵是極性的，因為 O 的電負度遠大於 S。
* 幾何結構：三角平面 (trigonal planar)。這是對稱的結構。
* 結論：三個 S=O 鍵的偶極矩指向 O 原子，由於結構對稱，它們在同一平面上以 120° 角分佈，向量和為零。SO$_3$ 是非極性分子。

此題考查分子軌域理論 (Molecular Orbital Theory) 中，分子的磁性判斷。

• 順磁性 (Paramagnetic): 分子中含有未成對電子，會被磁場吸引。
• 抗磁性 (Diamagnetic): 分子中所有電子都成對，不會被磁場吸引，反而會被微弱排斥。

我們需要繪製各選項中分子的分子軌域圖，並檢查是否有未成對電子。
分子軌域的填寫順序對於 $N_2$ 和 $O_2$ 及其之前的分子略有不同。
對於 $O_2$ 和 $F_2$ (以及 $Ne_2$)，分子軌域的能量順序為：
$\sigma_{1s} < \sigma^*_{1s} < \sigma_{2s} < \sigma^*_{2s} < \sigma_{2p} < \pi_{2p} < \pi^*_{2p} < \sigma^*_{2p}$

對於 $B_2$, $C_2$, $N_2$ (以及 $CO$, $NO$), 由於 s-p 軌域的混合 (mixing)，$\pi_{2p}$ 的能量會低於 $\sigma_{2p}$。
能量順序為：
$\sigma_{1s} < \sigma^*_{1s} < \sigma_{2s} < \sigma^*_{2s} < \pi_{2p} < \sigma_{2p} < \pi^*_{2p} < \sigma^*_{2p}$

我們逐一分析選項：

(A) O$_2$ (氧氣):
總電子數 = 8 (O) + 8 (O) = 16。
填入分子軌域：
$(\sigma_{1s})^2 (\sigma^*_{1s})^2 (\sigma_{2s})^2 (\sigma^*_{2s})^2 (\sigma_{2p})^2 (\pi_{2p})^4 (\pi^*_{2p})^2$
$(\pi^*_{2p})$ 軌域有 2 個電子，這兩個電子會分別填入兩個簡併的 $\pi^*_{2p}$ 軌域中，每個軌域有一個電子。
所以，O$_2$ 有 2 個未成對電子。O$_2$ 是順磁性的。
注意：題目選項 (A) 和 (E) 都是 O$_2$。

此題考查固體材料的性質與其化學鍵結類型的關係。我們要根據題目給予的性質來判斷物質的類型。

題目給予的性質：

1. 非常堅硬 (very hard): 表示材料的機械強度很高。
2. 高熔點 (high melting point): 表示需要很高的能量才能破壞其內部結構。
3. 除非熔化，否則不導電 (nonconducting unless melted): 表示在固態時電子或離子無法自由移動，但在熔融狀態下可以。

我們分析各選項的類型：

(A) Graphite (石墨):
* 結構：由碳原子組成的平面層狀結構，層內碳原子以共價鍵結合，層間以凡得瓦力結合。
* 硬度：層內碳碳鍵很強，但層間凡得瓦力弱，所以石墨是軟的，易於滑動，可用作潤滑劑。
* 熔點：非常高。
* 導電性：層內的 $\pi$ 電子可以自由移動，所以石墨是導電的（在平面方向上）。
* 結論：與題目描述的「非常堅硬」和「固態不導電」不符。

(B) Diamond (鑽石):
* 結構：由碳原子構成的巨大共價網絡結構 (covalent network solid)。每個碳原子與四個其他碳原子形成強的共價鍵，形成一個三維的立體結構。
* 硬度：由於強而密集的共價鍵，鑽石是已知最硬的天然物質之一。
* 熔點：非常高（超過 3550 °C）。

核心觀念

本題考查非揮發性溶質造成的蒸氣壓下降，以及溶液蒸發時組成的變化。

對含有非揮發性溶質的稀溶液，依拉午耳定律：

$$P_{\text{solution}}=X_{\text{solvent}}P^\circ_{\text{solvent}}$$

其中：

• $P_{\text{solution}}$：溶液上方溶劑蒸氣的蒸氣壓
• $X_{\text{solvent}}$：溶劑的莫耳分率
• $P^\circ_{\text{solvent}}$：純溶劑在該溫度下的蒸氣壓

鹽類通常視為非揮發性溶質，不會大量進入氣相；主要蒸發的是水等溶劑。

解題方法

燒杯是開放系統，溶劑會持續逸散到空氣中。因為鹽不易揮發，溶劑減少而鹽的量近似不變，因此溶液中鹽的濃度增加，溶劑的莫耳分率降低：

$$X_{\text{solvent}}=\frac{n_{\text{solvent}}}{n_{\text{solvent}}+n_{\text{solute}}}$$

當 $n_{\text{solvent}}$ 隨時間減少時，$X_{\text{solvent}}$ 也會降低。由拉午耳定律：

$$P_{\text{solution}}=X_{\text{solvent}}P^\circ_{\text{solvent}}$$

在溫度固定時，$P^\circ_{\text{solvent}}$ 不變，因此 $X_{\text{solvent}}$ 降低會使溶液的蒸氣壓降低。

所以蒸氣壓會隨時間下降。

選項分析

(A) increases over time

此題考查滲透作用 (osmosis)，即水分子通過半透膜從低溶質濃度區域向高溶質濃度區域移動的現象。

• 滲透作用: 水分子會從水勢 (water potential) 高的地方流向水勢低的地方。水勢高通常意味著溶質濃度低，而水勢低意味著溶質濃度高。
• 半透膜 (Semipermeable membrane): 允許溶劑 (水) 通過，但不允許溶質 (鹽) 通過的膜。細胞膜就是一個半透膜。
• 濃縮鹽溶液: 溶質 (鹽) 的濃度很高。
• 黃瓜 (Cucumber): 其細胞含有水分和溶質，細胞膜是半透膜。

當黃瓜 (細胞是半透膜) 放入濃縮鹽溶液中時：

• 黃瓜內部 (細胞內) 的鹽濃度相對較低。
• 外部的濃縮鹽溶液的鹽濃度很高。

此題考查硬水 (hard water) 的概念以及其對清潔劑 (detergents) 作用的影響。

硬水 (Hard Water): 指的是水中含有較高濃度的二價陽離子，主要是鈣離子 (Ca$^{2+}$) 和鎂離子 (Mg$^{2+}$)。有時也可能含有少量其他金屬離子，如鐵離子 (Fe$^{2+}$)。

清潔劑 (Detergents): 現代清潔劑通常是合成的表面活性劑，其分子結構包含一個親水頭部和一個疏水尾部。它們通過降低水的表面張力，並與污垢形成膠束來達到清潔效果。

硬水對清潔劑的影響：
當清潔劑 (特別是肥皂，肥皂的主要成分是長鏈脂肪酸鈉鹽) 與硬水中的二價陽離子 (Ca$^{2+}$ 和 Mg$^{2+}$) 接觸時，會發生化學反應，生成不溶於水的沉澱物，即「皂垢 (soap scum)」。
例如，硬脂酸鈉 (肥皂的主要成分) 與 Ca$^{2+}$ 反應：
2 RCOONa(aq) + Ca$^{2+}$(aq) $\rightarrow$ (RCOO)$_2$Ca(s) + 2Na$^+$(aq)
同樣，與 Mg$^{2+}$ 也會反應生成不溶物。

此題考查地殼中元素的豐度。題目詢問的是「地球上」最豐富的金屬，這通常是指地殼 (Earth's crust) 中元素的豐度。

地殼中元素的豐度排名（按質量百分比）：

1. 氧 (O) - 約 46.6%
2. 矽 (Si) - 約 27.7%
3. 鋁 (Al) - 約 8.1%
4. 鐵 (Fe) - 約 5.0%
5. 鈣 (Ca) - 約 3.6%
6. 鈉 (Na) - 約 2.8%
7. 鉀 (K) - 約 2.6%
8. 鎂 (Mg) - 約 2.1%

此題考查配位化學中，晶體場理論 (Crystal Field Theory, CFT) 對錯合物磁性的預測，特別是弱場配體的影響。

1. 確定中心金屬離子的氧化態 (Determine the oxidation state of the central metal ion):
   錯離子為 [CrF$_6$]$^{3-}$。
   氟離子 (F$^-$) 的電荷是 -1。
   設鉻 (Cr) 的氧化態為 x。
   x + 6(-1) = -3
   x - 6 = -3
   x = +3
   所以中心金屬離子是 Cr$^{3+}$。

2. 確定 Cr$^{3+}$ 的電子組態 (Determine the electron configuration of Cr$^{3+}$):
   鉻 (Cr) 的原子序為 24。其基態電子組態為 [Ar]4s$^1$3d$^5$。
   Cr$^{3+}$ 離子失去 3 個電子。這 3 個電子會優先從 4s 軌域失去 1 個，再從 3d 軌域失去 2 個。
   因此，Cr$^{3+}$ 的電子組態為 [Ar]3d$^3$。
   注意：題目給的 Cr 原子組態 [Ar]4s$^2$3d$^4$ 是錯誤的。但 Cr$^{3+}$ 的 d 電子數是 3。

3. 確定錯合物的幾何構型 (Determine the geometry of the complex):
   錯合物是 [CrF$_6$]$^{3-}$，配位數是 6。
   配位數為 6 的錯合物通常具有八面體 (octahedral) 結構。

4. 確定配體 (ligand) 的強弱：
   題目指出，氟離子 (F$^-$) 在光譜化學級 (spectrochemical series) 中排名較低，產生弱晶體場。

此題為一記憶性問題，考查維生素 B12 的化學組成。

維生素 B12 (Vitamin B12)，也稱為鈷胺素 (cobalamin)，是一種含有鈷 (Cobalt, Co) 的複雜分子。
它是人體必需的維生素，對神經系統功能、紅血球形成和 DNA 合成至關重要。

維生素 B12 的核心結構是一個環狀的咕啉環 (corrin ring)，其中央有一個鈷離子。

此題考查核反應中的衰變類型及其對原子序的影響。原子序 (atomic number, Z) 是原子核中質子的數量，它決定了元素的種類。

我們需要分析每個選項的核反應，以及它們如何改變原子序。

(A) gamma-ray production (γ射線產生):
γ射線是高能電磁輻射，不帶質量也不帶電荷。
核反應：$^A_Z X \rightarrow ^A_Z X^* + \gamma$
原子序 (Z) 和質量數 (A) 均不改變。

(B) alpha production (α衰變):
α粒子是氦-4 原子核 ($^4_2$He)。
核反應：$^A_Z X \rightarrow ^{A-4}_{Z-2} Y + ^4_2\text{He}$
原子序 (Z) 減少 2。

(C) neutron-particle production (中子產生):
這通常指核反應中釋放出中子，例如核分裂或某些核反應。
核反應：$^A_Z X + \text{particle} \rightarrow ^A_Z X + ^1_0n$ (釋放中子)
如果一個原子核吸收一個粒子並釋放出一個中子，例如：$^A_Z X + ^1_0n \rightarrow ^{A+1}_Z X + \text{energy}$
無論是釋放還是吸收中子，都不會改變原子序 (Z)。

(D) beta-particle production (β衰變):
β粒子是電子 ($e^-$ 或 $^0_{-1}\beta$)。
β衰變有兩種：
* β$^-$ 衰變: 原子核中的一個中子轉變為一個質子，並釋放一個電子和一個反微中子。

此題考查核反應中的衰變過程，特別是利用質量數和原子序的守恆來計算衰變次數。

已知：

• 起始核種：Uranium-238 ($^{238}$U)。U 的原子序是 92。
• 最終核種：Lead-206 ($^{206}$Pb)。Pb 的原子序是 82。
• 衰變方式：α 衰變和 β 衰變。

α 衰變的特點：

• 每次 α 衰變，原子核會釋放一個 α 粒子 ($^4_2$He)。
• 質量數 (A) 減少 4。
• 原子序 (Z) 減少 2。

β 衰變的特點 (通常指 β$^-$ 衰變，因為 U 衰變系列是 β$^-$ 衰變)：

• 每次 β$^-$ 衰變，原子核會釋放一個 β 粒子 ($^0_{-1}$e)。
• 質量數 (A) 不變。
• 原子序 (Z) 增加 1。

設 α 衰變的次數為 $n_\alpha$，β 衰變的次數為 $n_\beta$。

質量數守恆：
起始質量數 = 最終質量數 + 每次 α 衰變減少的質量數 $\times n_\alpha$ + 每次 β 衰變減少的質量數 $\times n_\beta$
$238 = 206 + 4 \times n_\alpha + 0 \times n_\beta$
$238 = 206 + 4n_\alpha$
$4n_\alpha = 238 - 206$
$4n_\alpha = 32$
$n_\alpha = \frac{32}{4}$
$n_\alpha = 8$

原子序守恆：
起始原子序 = 最終原子序 + 每次 α 衰變減少的原子序 $\times n_\alpha$ + 每次 β 衰變增加的原子序 $\times n_\beta$
$92 = 82 + 2 \times n_\alpha + 1 \times n_\beta$
$92 = 82 + 2n_\alpha + n_\beta$
$10 = 2n_\alpha + n_\beta$

我們已經從質量數守恆計算出 $n_\alpha = 8$。
將 $n_\alpha = 8$ 代入原子序守恆方程式：
$10 = 2(8) + n_\beta$
$10 = 16 + n_\beta$
$n_\beta = 10 - 16$
$n_\beta = -6$

這個結果 $n_\beta = -6$ 是不合理的，因為衰變次數不能是負數。
這意味著我們對 β 衰變的理解可能有誤，或者題目有其他假設。

Uranium-238 衰變系列 (Uranium series) 的標準衰變途徑：
$^{238}$U $\xrightarrow{\alpha}$ $^{234}$Th $\xrightarrow{\beta^-}$ $^{234}$Pa

此題考查有機化學中醇的氧化反應。

醇 (alcohols) 的氧化產物取決於醇的類型：

• 醇的類型:

  • 醇的碳原子連接一個烷基和一個氫原子 (或兩個烷基和一個氫原子)，且連接的碳原子上還有兩個氫原子。
    伯醇 (Primary alcohol): R-CH$_2$-OH。連接 OH 的碳原子只連接一個烷基 (R) 和兩個氫原子。
  • 醇的碳原子連接兩個烷基和一個氫原子。
    仲醇 (Secondary alcohol): R$_1$-CH(R$_2$)-OH。連接 OH 的碳原子連接兩個烷基 (R$_1$, R$_2$) 和一個氫原子。
  • 醇的碳原子連接三個烷基。
    叔醇 (Tertiary alcohol): R$_1$-C(R$_2$)(R$_3$)-OH。連接 OH 的碳原子連接三個烷基 (R$_1$, R$_2$, R$_3$)，沒有氫原子。

• 氧化反應:

  • 伯醇的氧化:
    溫和氧化 (例如使用 PCC, Pyridinium chlorochromate) 得到醛 (aldehyde)。
    R-CH$_2$-OH $\xrightarrow{\text{mild oxidizer}}$ R-CHO

此題考查勒沙特列原理 (Le Chatelier's Principle) 在化學平衡中的應用，特別是溫度和壓力對平衡常數 (K) 的影響。

反應式：2H$_2$(g) + O$_2$(g) $\rightleftharpoons$ 2H$_2$O(g)
這是一個放熱反應 ($\Delta H < 0$)，因為生成水 (H$_2$O) 的過程是放熱的。

1. 溫度對平衡常數 K 的影響：
根據范特霍夫方程式 (van't Hoff equation)：
$\frac{d(\ln K)}{dT} = \frac{\Delta H}{RT^2}$
其中 R 是氣體常數。

• 對於放熱反應 ($\Delta H < 0$)：
  如果升高溫度 (T 增加)，則 $\frac{\Delta H}{RT^2}$ 是負值，$\ln K$ 會減小，所以 K 會減小。
  如果降低溫度 (T 減小)，則 $\frac{\Delta H}{RT^2}$ 是負值，$\ln K$ 會增大，所以 K 會增大。

  因此，要增加放熱反應的平衡常數 K，應該降低溫度。

此題考查原子結構的基本概念，包括質子數、中子數與電子數的判斷。

原子符號 $^{31}$P 中的數字 31 代表質量數 (mass number)，質子數 P 的符號代表原子序 (atomic number)。

1. 質子數 (Protons): 磷 (P) 的原子序是 15，所以原子核中有 15 個質子。質子數決定了元素的種類。

此題考查有機化合物中的共價鍵，特別是單鍵、雙鍵和三鍵的結構，以及 $\sigma$ 鍵與 $\pi$ 鍵的區別。

首先，我們需要畫出每個選項的結構式，並判斷其中包含的鍵結類型：

(A) C$_2$H$_6$ (乙烷, Ethane): 結構為 CH$_3$-CH$_3$。兩個碳原子之間是單鍵，每個碳原子與三個氫原子之間也是單鍵。總共 7 個 $\sigma$ 鍵，0 個 $\pi$ 鍵。

(B) C$_2$H$_4$ (乙烯, Ethene): 結構為 CH$_2$=CH$_2$。兩個碳原子之間是雙鍵，每個碳原子與兩個氫原子之間是單鍵。雙鍵包含一個 $\sigma$ 鍵和一個 $\pi$ 鍵。總共 5 個 $\sigma$ 鍵，1 個 $\pi$ 鍵。

此題考查實驗式 (empirical formula) 與分子式 (molecular formula) 的關係，以及摩爾質量的計算。

1. 計算實驗式的摩爾質量 (Molar mass of empirical formula):
   實驗式為 CH。
   碳 (C) 的原子量約為 12.01 g/mol。
   氫 (H) 的原子量約為 1.008 g/mol。
   實驗式的摩爾質量 = 12.01 + 1.008 = 13.018 g/mol。

此題考查吉布斯自由能變 ($\Delta G$) 的概念，以及反應自發性與溫度、焓變 ($\Delta H$) 和熵變 ($\Delta S$) 的關係。

吉布斯自由能變的公式為：
$\Delta G = \Delta H - T\Delta S$

一個反應在特定溫度下是自發的 (spontaneous)，當且僅當 $\Delta G < 0$。

我們要找的條件是反應在「所有溫度」下都必須是自發的，也就是說，無論溫度 T 是多少 (T > 0 K)，$\Delta G$ 都必須小於 0。

我們逐一分析選項：

(A) $\Delta H > 0$, $\Delta S > 0$:
$\Delta G = (\text{正}) - T(\text{正})$。
如果 $T\Delta S$ 的值很小 (低溫)，則 $\Delta G$ 可能為正，反應非自發。
如果 $T\Delta S$ 的值很大 (高溫)，則 $\Delta G$ 可能為負，反應自發。
所以此情況下，自發性與溫度有關。

(B) $\Delta H = 0$, $\Delta S < 0$:
$\Delta G = 0 - T(\text{負}) = -T(\text{負}) = T(\text{正})$。
因為 T 永遠是正的，所以 $\Delta G$ 永遠是正的。反應永遠不會自發。

核心觀念

本題考查路易斯結構、共振結構與 VSEPR（價電子對互斥理論）對分子形狀的判斷。

硝酸根離子 $\mathrm{NO_3^-}$ 的中心原子為氮，周圍連接三個氧原子。中心氮周圍共有三個成鍵電子區域，且沒有孤電子對，因此電子區域幾何與分子幾何皆為平面三角形（trigonal planar）。

解題方法

先計算 $\mathrm{NO_3^-}$ 的總價電子數：

• 氮：$5$ 個價電子
• 三個氧：$3\times 6=18$ 個價電子
• 負電荷：多 $1$ 個電子

因此總價電子數為

$$5+18+1=24$$

以氮為中心，與三個氧形成三條 $\mathrm{N-O}$ 鍵，使用 $6$ 個電子。其餘電子配置於氧原子的孤電子對，並使各氧盡量符合八隅體。

硝酸根的路易斯結構具有共振：

$$\mathrm{[O-N(=O)-O]^-}$$

雙鍵可位於三個氧的任一位置，因此三個 $\mathrm{N-O}$ 鍵在實際離子中等效，鍵級約為

$$\frac{1+2+1}{3}=\frac{4}{3}$$

不過，判斷幾何形狀時，單鍵或雙鍵各自都只算作一個電子區域。因此中心氮周圍有：

• 三個 $\mathrm{N-O}$ 成鍵區域
• 零個孤電子對

VSEPR 型式為

$$\mathrm{AX_3}$$

三個電子區域會盡量彼此遠離，位於同一平面，鍵角約為

$$120^\circ$$

所以 $\mathrm{NO_3^-}$ 為平面三角形。

選項分析

核心觀念

本題考查配位化合物中的：

1. 中心金屬氧化數
2. 過渡金屬離子之 $d$ 電子組態
3. 四面體晶場分裂
4. 洪特規則與未成對電子數

未成對電子是指只佔據單一軌域、沒有另一個自旋相反電子配對的電子。

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解題方法

1. 求鉻的氧化數

在 $[\mathrm{CrBr}_4]^{2-}$ 中，每個 $\mathrm{Br^-}$ 的氧化數為 $-1$。設鉻的氧化數為 $x$：

$$x+4(-1)=-2$$ $$x=+2$$

因此中心金屬為 $\mathrm{Cr^{2+}}$。

2. 判斷 $\mathrm{Cr^{2+}}$ 的 $d$ 電子數

題目給出中性鉻原子的電子組態：

$$\mathrm{Cr}:[\mathrm{Ar}]4s^23d^4$$

形成 $\mathrm{Cr^{2+}}$ 時，先移除能量較高的 $4s$ 電子：

$$\mathrm{Cr^{2+}}:[\mathrm{Ar}]3d^4$$

因此這是 $d^4$ 金屬離子。

3. 套用四面體晶場分裂

四面體配位的晶場分裂如下：

• 較低能量：$e$ 軌域，共 2 個
• 較高能量：$t_2$ 軌域，共 3 個

四面體晶場分裂能 $\Delta_t$ 通常較小，且溴離子屬於弱場配體，因此形成高自旋組態。

$d^4$ 電子的填入方式為：

$$e^2t_2^2$$

依照洪特規則，電子會先分占不同軌域，再進行配對：