108 年 國立中央警察大學交通管理研究所《交通統計》

本題主要在考驗對迴歸分析中 ANOVA 表的理解與基本計算能力。

（一）意義說明：

• F 值 (F-statistic)：在 ANOVA 表中，F 值是用來檢定整體迴歸模型的顯著性。它是迴歸模型的解釋變異量（Sum of Squares Regression, SSR）與未解釋變異量（Sum of Squares Residual, SSE）在各自自由度下的平均值之比。若 F 值很大，表示迴歸模型能夠顯著解釋因變數的變異。
• 顯著值 (Significance Value)：通常指 P 值。在統計學中，P 值是衡量觀察到的數據（或更極端數據）在虛無假設（Null Hypothesis）為真的情況下出現的機率。在迴歸分析中，虛無假設通常是所有迴歸係數（除了截距項）都為零，即模型對因變數沒有解釋力。
• P 值 (P-value)：與顯著值同義，表示在虛無假設成立的前提下，觀察到當前樣本統計量或更極端統計量的機率。若 P 值小於預設的顯著水準 $\alpha$（例如 0.05），則拒絕虛無假設，認為迴歸模型是顯著的。

（二）計算 A～E 的數值：

首先，我們需要理解 ANOVA 表的結構與關係。

	自由度 ($df$)	SS (Sum of Squares)	MS (Mean Square)	F 值	顯著值 (P-value)
迴歸	2	203	C	E	$6.23 \times 10^{-3}$
殘差	$\Delta$	12	D
總和	B	215

• 總和的自由度 (B)：總自由度等於迴歸自由度加上殘差自由度。
  $B = df_{Regression} + df_{Residual} = 2 + \Delta$
  同時，總自由度也等於觀察樣本數減 1。
  $B = N - 1 = 80 - 1 = 79$
  所以，$79 = 2 + \Delta$，解得 $\Delta = 77$。
  因此，B = 79。

• 殘差的自由度 ($\Delta$)：
  $\Delta = N - (\text{迴歸係數個數}) = 80 - 3 = 77$ (因為模型有 $a, b, c$ 三個係數，但 ANOVA 表的自由度計算通常是 $N-k-1$ 或是 $N-k$，此處 $df_{Regression}=2$，表示有兩個自變數的線性組合，加上一個二次項，總共有 3 個係數，故 $df_{Residual} = 80-3=77$)。
  所以，A = 77。

• 迴歸的均方 (C)：MS = SS / df
  $C = \frac{SS_{Regression}}{df_{Regression}} = \frac{203}{2} = 101.5$
  所以，C = 101.5。

本題主要考驗對描述性統計量、假設檢定（特別是平均數比較）的應用。

（一）探討設置前後平均速率是否有明顯改變的方法：

為了探討設置前後平均速率是否有明顯改變，我們可以採用以下步驟：

1. 描述性統計分析：

   • 分別計算設置「前」與設置「後」的平均速率 ($\mu$) 和標準差 ($\sigma$)。
   • 觀察平均速率的變化趨勢：設置後平均速率是否下降？
   • 觀察標準差的變化：設置前後標準差的變化趨勢？（例如，是否變小，表示速率較為一致）

2. 推論性統計分析（假設檢定）：

   • 設定虛無假設 ($H_0$) 與對立假設 ($H_1$)：
     • $H_0$: 設置前後的平均速率沒有顯著差異 ($\mu_{before} = \mu_{after}$)
     • $H_1$: 設置前後的平均速率有顯著差異 ($\mu_{before} \neq \mu_{after}$)。（或可設定為單尾檢定 $H_1: \mu_{before} > \mu_{after}$，若預期設置後速率會下降）
   • 選擇適當的統計檢定方法：
     • 配對樣本 t 檢定 (Paired t-test)：如果數據是配對的（例如，同一車輛在設置前後的測量），則應使用配對樣本 t 檢定。然而，此處的數據是不同樣本的彙總（樣本數不同），因此不能直接使用配對 t 檢定。
     • 獨立樣本 t 檢定 (Independent samples t-test)：由於我們比較的是兩組獨立的樣本（設置前與設置後），且樣本數可能不同，獨立樣本 t 檢定是合適的方法。我們需要比較「小車順時針」設置前平均速率 32.8 與設置後平均速率 19.2 是否有顯著差異，依此類推其他車輛類型。
     • 變異數分析 (ANOVA)：如果我們想一次性比較多組（例如，不同車種的設置前平均速率與設置後平均速率），可以使用 ANOVA。但在此題情境下，主要關心的是「設置前後」的比較，獨立樣本 t 檢定更直接。
   • 進行檢定：
     • 計算檢定統計量（如 t 值）。
     • 根據自由度計算 P 值。
     • 選擇一個顯著水準 $\alpha$（例如 0.05）。
   • 做出結論：
     • 如果 P 值小於 $\alpha$，則拒絕虛無假設 $H_0$，認為設置前後的平均速率有顯著差異。
     • 如果 P 值大於或等於 $\alpha$，則未能拒絕虛無假設 $H_0$，認為沒有足夠證據顯示設置前後的平均速率有顯著差異。

本題考驗對 Poisson 分配的理解與應用，包含計算機率以及不同時間尺度下的速率轉換。

核心觀念：Poisson 分佈用於描述在固定時間或空間間隔內，某事件獨立發生的次數。其機率質量函數 (PMF) 為 $P(X=x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$，其中 $\lambda$ 是平均發生率。

第一部分：今天發生車禍少於 5 件的機率

1. 確定參數 $\lambda$：
   題目給定「平均每天發生車禍 8 件」，所以對於「今天」這個時間單位，平均發生率 $\lambda = 8$。

2. 定義事件：
   我們要求的是「今天發生車禍少於 5 件」的機率，這表示車禍件數 $X$ 可以是 0, 1, 2, 3, 或 4 件。
   所以，我們需要計算 $P(X < 5) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)$。

3. 計算各項機率：
   使用 Poisson PMF $P(X=x) = \frac{e^{-8} 8^x}{x!}$：

   • $P(X=0) = \frac{e^{-8} 8^0}{0!} = e^{-8}$
   • $P(X=1) = \frac{e^{-8} 8^1}{1!} = 8e^{-8}$
   • $P(X=2) = \frac{e^{-8} 8^2}{2!} = \frac{64}{2}e^{-8} = 32e^{-8}$
   • $P(X=3) = \frac{e^{-8} 8^3}{3!} = \frac{512}{6}e^{-8} = \frac{256}{3}e^{-8}$
   • $P(X=4) = \frac{e^{-8} 8^4}{4!} = \frac{4096}{24}e^{-8} = \frac{512}{3}e^{-8}$

4. 加總機率：
   $P(X < 5) = e^{-8} \left( 1 + 8 + 32 + \frac{256}{3} + \frac{512}{3} \right)$

核心觀念

本題考查：

1. 樣本相關係數 $r$ 的計算。
2. 母體相關係數 $\rho=0$ 的假設檢定。
3. 簡單線性迴歸方程式 $\hat Y=b_0+b_1X$。
4. 直線迴歸模型的基本假設。

令

$$Y_i=\beta_0+\beta_1X_i+\varepsilon_i$$

其中 $X$ 為吐氣酒精濃度，$Y$ 為血液酒精濃度。

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解題方法與計算

先計算平均數：

$$\bar X=\frac{25+18+27+34+31+21}{6}=26$$ $$\bar Y=\frac{55+40+60+80+75+50}{6}=60$$

整理離均差如下：

$X_i-\bar X$	$Y_i-\bar Y$	$(X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y)$	$(X_i-\bar X)^2$	$(Y_i-\bar Y)^2$
$-1$	$-5$	$5$	$1$	$25$
$-8$	$-20$	$160$	$64$	$400$
$1$	$0$	$0$	$1$	$0$
$8$	$20$	$160$	$64$	$400$
$5$	$15$	$75$	$25$	$225$
$-5$	$-10$	$50$	$25$	$100$
合計		$450$	$180$	$1150$

因此：

$$S_{xy}=450,\qquad S_{xx}=180,\qquad S_{yy}=1150$$

（一）樣本相關係數與假設檢定

樣本相關係數為：

$$r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}$$

代入資料：

$$r=\frac{450}{\sqrt{180(1150)}} =\frac{450}{\sqrt{207000}} =\sqrt{\frac{45}{46}} \approx 0.9891$$

因此，$X$ 與 $Y$ 具有非常強的正線性相關。

設定顯著水準：

$$\alpha=0.01$$

假設為：

$$H_0:\rho=0$$ $$H_1:\rho\neq 0$$

檢定統計量為：

$$t=\frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}$$

本題 $n=6$，自由度為：

$$df=n-2=4$$

又因為：

$$r^2=\frac{45}{46},\qquad 1-r^2=\frac{1}{46}$$

所以：

$$t= \frac{\sqrt{\frac{45}{46}}\sqrt{4}} {\sqrt{\frac{1}{46}}} =2\sqrt{45} =6\sqrt{5} \approx 13.416$$

雙尾檢定在 $\alpha=0.01$ 下，臨界值為：

$$\pm t_{0.005}(4)=\pm 4.604$$

比較得：

$$|13.416|>4.604$$

故拒絕 $H_0$。

**檢定意義：**在 $1\%$ 顯著水準下，有充分統計證據認為吐氣酒精濃度與血液酒精濃度之間存在顯著的正線性相關。此結果表示兩者具有統計上的線性關聯，不代表單獨由相關係數即可證明因果關係。

（二）迴歸係數與迴歸方程式

斜率 $b_1$ 為：

$$b_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}} =\frac{450}{180} =2.5$$

截距 $b_0$ 為：