109 年 國立中央警察大學交通管理研究所《交通統計》

核心觀念

本題評量重點為單一母體比例的大樣本單尾假設檢定與型 II 誤差（Type II Error, $\beta$）的統計意義與計算：

1. 單一母體比例檢定（Large Sample Test for Population Proportion）：
   當樣本數 $n$ 夠大（滿足 $np_0 \ge 5$ 且 $n(1-p_0) \ge 5$）時，由中央極限定理（CLT），樣本比例 $\hat{p} = \frac{X}{n}$ 之抽樣分配近似於常態分配： $$\hat{p} \sim N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right)$$ 在虛無假設成立下，檢定統計量為： $$Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}} \sim N(0, 1)$$
2. 型 II 誤差（$\beta$）：
   • 統計意義：當對立假設 $H_1$ 為真（母體真實比例確實小於 $p_0$），檢定結果卻未能拒絕虛無假設 $H_0$ 的機率，即「不拒絕錯誤的 $H_0$」。
   • 數值計算：給定特定的對立假設數值 $p_1 = 0.20$，型 II 誤差機率為： $$\beta = P(\text{未落入拒絕域} \mid p = p_1)$$

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解題方法

(一) 假設檢定步驟

1. 建立假說：
   設 $p$ 為加裝安全氣囊後車禍乘客的死亡率。研究機構指稱加裝安全氣囊可「減少」死亡率，已知基準死亡率為 $p_0 = 0.25$。建立單尾（左尾）檢定：

   $$H_0: p \ge 0.25 \quad (\text{加裝安全氣囊未減少死亡率})$$ $$H_1: p < 0.25 \quad (\text{加裝安全氣囊可減少死亡率})$$

2. 給定條件與樣本統計量：

   • 基準比例 $p_0 = 0.25$
   • 樣本數 $n = 200$
   • 死亡人數 $X = 44$
   • 樣本死亡率： $$\hat{p} = \frac{44}{200} = 0.22$$
   • 檢定顯著水準 $\alpha = 0.05$

3. 檢驗大樣本條件：

   $$np_0 = 200 \times 0.25 = 50 \ge 5$$ $$n(1-p_0) = 200 \times 0.75 = 150 \ge 5$$

   滿足常態近似條件。

4. 計算檢定統計量：

   $$Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}} = \frac{0.22 - 0.25}{\sqrt{\frac{0.25 \times 0.75}{200}}} = \frac{-0.03}{\sqrt{\frac{0.1875}{200}}} = \frac{-0.03}{\sqrt{0.0009375}} \approx \frac{-0.03}{0.030619} \approx -0.98$$

5. 決定拒絕域與統計決策：

   • 在顯著水準 $\alpha = 0.05$ 下，左尾檢定的臨界值為 $-Z_{0.05} = -1.645$。
   • 拒絕域為：$\{Z \mid Z < -1.645\}$。
   • 因為計算所得之檢定統計量 $Z = -0.98 > -1.645$，未落入拒絕域。

6. 統計結論：
   在顯著水準 $\alpha = 0.05$ 下，沒有充分的統計證據足以拒絕虛無假設 $H_0$。亦即，根據現有資料，無法證明加裝安全氣囊可顯著減少車禍死亡率。

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(二) 型 II 誤差之意義與計算

本題主要考驗對平均數信賴區間的計算，以及變異數信賴區間的計算方法。

核心觀念：

1. 當母體標準差未知但母體呈常態分配，且樣本數不大時，應使用 t 分配計算平均數的信賴區間。
2. 當母體標準差未知但母體呈常態分配，應使用 Chi-square 分配計算變異數的信賴區間。

數據整理：
樣本數 $n=10$。
樣本數據：63, 64, 52, 60, 58, 62, 55, 59, 62, 61 (單位: 公里/小時)。

首先，計算樣本平均數 ($\bar{x}$) 和樣本標準差 ($s$)。

1. 計算樣本平均數 ($\bar{x}$):
   $\bar{x} = \frac{63+64+52+60+58+62+55+59+62+61}{10} = \frac{596}{10} = 59.6$ 公里/小時。

2. 計算樣本變異數 ($s^2$) 和樣本標準差 ($s$):
   首先計算離差平方和 $\sum (x_i - \bar{x})^2$。
   $x_i - \bar{x}$:
   63 - 59.6 = 3.4
   64 - 59.6 = 4.4
   52 - 59.6 = -7.6
   60 - 59.6 = 0.4
   58 - 59.6 = -1.6
   62 - 59.6 = 2.4
   55 - 59.6 = -4.6
   59 - 59.6 = -0.6
   62 - 59.6 = 2.4
   61 - 59.6 = 1.4

   $(x_i - \bar{x})^2$:
   3.4² = 11.56
   4.4² = 19.36
   (-7.6)² = 57.76
   0.4² = 0.16
   (-1.6)² = 2.56
   2.4² = 5.76
   (-4.6)² = 21.16
   (-0.6)² = 0.36
   2.4² = 5.76
   1.4² = 1.96

   $\sum (x_i - \bar{x})^2 = 11.56 + 19.36 + 57.76 + 0.16 + 2.56 + 5.76 + 21.16 + 0.36 + 5.76 + 1.96 = 126.4$

   樣本變異數 $s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1} = \frac{126.4}{10-1} = \frac{126.4}{9} \approx 14.0444$。
   樣本標準差 $s = \sqrt{s^2} = \sqrt{14.0444} \approx 3.7476$。

(一) 此路段汽車平均車速的95%信賴區間。

核心觀念： 平均數的信賴區間（母體標準差未知，使用 t 分配）。
信賴區間公式：
$\bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \left( \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$
其中：

• $\bar{x} = 59.6$ (樣本平均數)
• $n = 10$ (樣本數)
• $n-1 = 9$ (自由度)
• $s \approx 3.7476$ (樣本標準差)
• $95\%$ 信賴區間，表示 $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$。
• $\alpha/2 = 0.025$。
• $t_{\alpha/2, n-1} = t_{0.025, 9}$。

尋找 $t_{0.025, 9}$：
查 t 分配表，自由度為 9，右尾機率為 0.025 的 t 值，約為 $2.262$。

計算標準誤 (Standard Error, SE)：
$SE = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{3.7476}{\sqrt{10}} = \frac{3.7476}{3.1623} \approx 1.1851$。

計算邊際誤差 (Margin of Error, ME)：
$ME = t_{\alpha/2, n-1} \times SE = 2.262 \times 1.1851 \approx 2.6804$。

計算信賴區間：
信賴區間 = $\bar{x} \pm ME = 59.6 \pm 2.6804$。
下限：$59.6 - 2.6804 = 56.9196$
上限：$59.6 + 2.6804 = 62.2804$

結論：
此路段汽車平均車速的 95% 信賴區間約為 $(56.92, 62.28)$ 公里/小時。

注意： 題目給的註記是 Z 值，而不是 t 值。這是一個陷阱。當母體標準差未知且樣本數小時（通常 $n<30$），應使用 t 分配。如果題目堅持使用 Z 值，則表示它假設母體標準差已知，或者樣本數足夠大（但這裡 $n=10$ 不算大）。
如果題目「強行」要求使用 Z 值（例如，題目敘述中提到母體標準差已知，或者暗示使用 Z 分配），那麼我們應該用 $Z_{\alpha/2}$。
在此題中，雖然給了 Z 值，但「平均車速呈常態分配」且「經測速10輛汽車」是典型的 t 分配情境。
如果題目就是要我們用 Z 值，那麼：
$Z_{\alpha/2} = Z_{0.025} = 1.96$。
$SE = 1.1851$。

核心觀念

本題採用「二因子無重複觀測值變異數分析」，其中：

• $A$ 因子：工作日別，共 $a=6$ 個水準（星期一至星期六）。
• $B$ 因子：時段別，共 $b=12$ 個水準（上午6時至下午6時）。
• 每一個「工作日 × 時段」組合只有一筆觀測值，因此沒有辦法單獨估計交互作用，通常採加法模式分析。

模型可表示為：

$$Y_{ij}=\mu+\alpha_i+\beta_j+\varepsilon_{ij}$$

其中：

• $\mu$：總平均數；
• $\alpha_i$：第 $i$ 個工作日的效果；
• $\beta_j$：第 $j$ 個時段的效果；
• $\varepsilon_{ij}$：隨機誤差。

變異數分析的目的，是判斷不同工作日或不同時段的平均過磅車輛數是否具有顯著差異。

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（一）ANOVA 的基本假設與分析目的

1. 基本假設

（1）觀測值具有獨立性

各工作日、各時段所得的觀測值彼此獨立，不能存在系統性的相互影響。

（2）誤差項服從常態分配

$$\varepsilon_{ij}\sim N(0,\sigma^2)$$

亦即誤差的平均數為 $0$，且呈常態分配。

（3）各組誤差具有相同變異數

$$\operatorname{Var}(\varepsilon_{ij})=\sigma^2$$

不同工作日與時段組合的誤差變異數應相同，此稱為變異數同質性。

（4）模型為加法模式

因每個「工作日 × 時段」只有一筆資料，無法獨立估計交互作用，因此假設工作日效果與時段效果可加總：

$$Y_{ij}=\mu+\alpha_i+\beta_j+\varepsilon_{ij}$$

2. 分析目的

分別檢定：

工作日別效果

$$H_{0A}:\mu_1=\mu_2=\cdots=\mu_6$$ $$H_{1A}:\text{至少有一個工作日平均數不同}$$

時段別效果

$$H_{0B}:\mu_1=\mu_2=\cdots=\mu_{12}$$ $$H_{1B}:\text{至少有一個時段平均數不同}$$

若拒絕虛無假設，表示該因子對過磅車輛數具有顯著影響。

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（二）完成變異數分析表

1. 總觀測值與自由度

共有：

$$N=6\times 12=72$$

因此總自由度為：

$$df_T=N-1=72-1=71$$

工作日別自由度：

$$df_A=a-1=6-1=5$$

時段別自由度：

$$df_B=b-1=12-1=11$$

隨機誤差自由度：

$$df_E=(a-1)(b-1)=5\times 11=55$$

驗算：

$$5+11+55=71$$

2. 計算時段別平方和

平方和必須滿足：

$$SS_T=SS_A+SS_B+SS_E$$

因此：

$$SS_B=SS_T-SS_A-SS_E$$

代入題目資料：

$$SS_B=153014-34705-45332$$ $$SS_B=82977$$

3. 計算各項平均平方和

工作日別平均平方和：

$$MS_A=\frac{SS_A}{df_A} =\frac{34705}{5} =6941.00$$

時段別平均平方和：

$$MS_B=\frac{SS_B}{df_B} =\frac{82977}{11} =7543.36$$

隨機誤差平均平方和：

$$MS_E=\frac{SS_E}{df_E} =\frac{45332}{55} =824.22$$

本題主要考驗對估計誤差、樣本大小決定，以及常態分配檢定的理解。

核心觀念：

1. 估計誤差 (Margin of Error, ME) 與信賴區間的關係。
2. 樣本大小 (n) 的決定，用於控制估計誤差。
3. 檢定常態分配的方法。

數據整理：

• 樣本數 $n = 100$
• 樣本平均數 $\bar{x} = 78.2$ kph
• 樣本標準差 $s = 7.8$ kph

(一) 若已蒐集有效樣本100筆,其平均數為78.2 kph,樣本標準差為7.8 kph,則平均自由車流速率之估計誤差為何?(8分)

核心觀念： 估計誤差 (Margin of Error, ME)。
在計算平均數的信賴區間時，估計誤差是指信賴區間的「半寬度」。
信賴區間的公式為：$\bar{x} \pm ME$。
估計誤差 (ME) 的計算公式為：
$ME = Z_{\alpha/2} \times SE$
其中：

• $SE$ 是標準誤 (Standard Error)，$SE = \frac{s}{\sqrt{n}}$。
• $Z_{\alpha/2}$ 是對應於所要求信賴水準的 Z 值。

題目沒有明確指定信賴水準，但通常在這種情境下，會使用 95% 信賴水準。
若使用 95% 信賴水準，則 $\alpha = 0.05$，$\alpha/2 = 0.025$。
根據題目給的 Hint， $Z_{0.025} = 1.96$。

步驟：

1. 計算標準誤 (SE)：
   $SE = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{7.8}{\sqrt{100}} = \frac{7.8}{10} = 0.78$ kph。

2. 計算估計誤差 (ME)：
   ME = $Z_{\alpha/2} \times SE = 1.96 \times 0.78$。
   ME = $1.5288$ kph。

結論：
平均自由車流速率的估計誤差（在 95% 信賴水準下）約為 1.53 kph。

注意： 題目問「估計誤差為何？」，沒有指定信賴水準。但通常估計誤差是與信賴區間相關的。如果題目沒有給信賴水準，最常用的就是 95%。如果題目意圖是其他信賴水準，例如 90% 或 99%，則 Z 值會不同。

• 若為 90% 信賴水準 ($\alpha=0.10, \alpha/2=0.05$)， $Z_{0.05} = 1.645$。ME = $1.645 \times 0.78 \approx 1.2831$。
• 若為 99% 信賴水準 ($\alpha=0.01, \alpha/2=0.005$)， $Z_{0.005} = 2.576$。ME = $2.576 \times 0.78 \approx 2.0093$。

基於 Hint 中同時給了 $Z_{0.05}$ 和 $Z_{0.025}$，且 $Z_{0.025}$ 是 95% 信賴區間的標準值，我們採用 95% 信賴水準。

答案：
(一) 平均自由車流速率的估計誤差（以 95% 信賴水準計算）約為 1.53 kph。
【答案】1.53 kph

(二) 依前題,若欲控制對於平均自由車流速率之估計誤差在1.0 kph之內?則至少共需要補充多少樣本?(8分)

核心觀念： 樣本大小的決定。
控制估計誤差 (ME) 在某個值 (E) 以內，需要足夠大的樣本數 (n)。
ME $\le E$
$Z_{\alpha/2} \times \frac{s}{\sqrt{n}} \le E$
$\frac{s}{\sqrt{n}} \le \frac{E}{Z_{\alpha/2}}$
$\sqrt{n} \ge \frac{Z_{\alpha/2} \times s}{E}$
$n \ge \left( \frac{Z_{\alpha/2} \times s}{E} \right)^2$

步驟：

1. 確定參數：

   • 目標估計誤差 $E = 1.0$ kph。
   • 樣本標準差 $s = 7.8$ kph (從前題使用)。
   • 信賴水準：假設與前題相同，為 95%，所以 $Z_{\alpha/2} = Z_{0.025} = 1.96$。

2. 計算所需的樣本數 n：
   $n \ge \left( \frac{1.96 \times 7.8}{1.0} \right)^2$
   $n \ge (1.96 \times 7.8)^2$
   $n \ge (15.288)^2$
   $n \ge 233.714144$

3. 向上取整：
   由於樣本數必須是整數，我們需要向上取整，以確保誤差在 1.0 kph 以內。
   $n = 234$。

4. 計算需要補充的樣本數：
   現有樣本數 $n_{current} = 100$。
   所需總樣本數 $n_{total} = 234$。
   需要補充的樣本數 = $n_{total} - n_{current} = 234 - 100 = 134$。

答案：
(二) 至少需要補充 134 個樣本。
【答案】134

(三) 若要探討所調查之速率樣本資料係呈現常態分配(Normal Distribution),該如何進行?(9分)