112 年 國立成功大學自然災害減災及管理國際碩士學位學程《土壤力學》

本題主要在測試土壤基本物理性質的定義與表示方法。

(a) 土壤元素體積與重量的繪製：
土壤可視為由固體顆粒 (solid, s)、水 (water, w) 和空氣 (air, a) 三相組成。在繪製土壤元素體積與重量時，我們通常假設一個代表性的土壤塊，並標示出各相的體積與相對重量。

體積表示：
總體積 $V = V_s + V_v = V_s + V_w + V_a$
其中 $V_s$ 為固體顆粒體積，$V_v$ 為孔隙體積，$V_w$ 為水體積，$V_a$ 為空氣體積。

重量表示：
總重量 $W = W_s + W_w$ (假設空氣重量可忽略)
其中 $W_s$ 為固體顆粒重量，$W_w$ 為水重量。
$W_s = G_s \cdot \gamma_w \cdot V_s$ (其中 $G_s$ 為固體比重，$\gamma_w$ 為水的單位重)
$W_w = \gamma_w \cdot V_w$

繪製示意圖：
可繪製一個立方體或任意形狀的土壤塊，並將其分割成固體、水和空氣三部分，標示出各部分的體積符號。

本題主要在測試土壤飽和度、水分含量、固體比重、孔隙比、乾單位重及飽和單位重之間的關係推導。

推導這些公式的基礎是土壤的三相關係：固體 (s)、水 (w) 和空氣 (a)。我們常假設一個代表性的土壤體積 $V$。

(a) 導出 $S e = w G_s$：
定義：
飽和度 $S = \frac{V_w}{V_v}$
水分含量 $w = \frac{W_w}{W_s}$
固體比重 $G_s = \frac{\rho_s}{\rho_w} = \frac{\gamma_s}{\gamma_w}$ (其中 $\rho_s$ 或 $\gamma_s$ 為固體顆粒密度或單位重，$\rho_w$ 或 $\gamma_w$ 為水密度或單位重)

推導步驟：
我們知道水的重量 $W_w = \gamma_w V_w$。
固體顆粒的重量 $W_s = G_s \gamma_w V_s$。
由水分含量定義 $w = \frac{W_w}{W_s} = \frac{\gamma_w V_w}{G_s \gamma_w V_s} = \frac{V_w}{G_s V_s}$。
整理得到 $V_w = w G_s V_s$。

由飽和度定義 $S = \frac{V_w}{V_v}$，可得 $V_w = S V_v$。
將上述兩式聯立，並考慮 $V_v = e V_s$ (孔隙比定義)，我們有：
$S V_v = w G_s V_s$
$S (e V_s) = w G_s V_s$
約去 $V_s$ (假設 $V_s \neq 0$)，即得：
$S e = w G_s$

(b) 導出 $\gamma_d = \frac{\gamma_s}{1+e}$：
定義：
乾單位重 $\gamma_d = \frac{W_s}{V}$
孔隙比 $e = \frac{V_v}{V_s}$，因此 $V_v = e V_s$，且總體積 $V = V_s + V_v = V_s + e V_s = V_s (1+e)$。
固體顆粒單位重 $\gamma_s = \frac{W_s}{V_s}$，因此 $W_s = \gamma_s V_s$。

本題考查土壤滲流的達西定律及其在不同土壤類型中的試驗方法。

(a) 達西定律 (Darcy's Law) 的解釋：
達西定律是描述多孔介質中液體滲流速度與壓力梯度之間關係的基本定律。對於土壤而言，它描述了水通過土壤的流動速率。

定律內容：
在層流狀態下，單位時間內通過多孔介質某截面的滲流量 $Q$ 與該截面成正比，與水力坡度 $i$ 成正比，與滲流方向上的兩點間距離 $L$ 成反比。
更常見的表達形式是滲流速度 $v$ (單位時間內水通過單位截面的體積，或稱為滲流速率) 與水力坡度 $i$ 的關係：
$v = k i$
其中：
$v$ 為滲流速度 (seepage velocity)，單位為長度/時間 (e.g., m/s)。
$k$ 為滲透係數 (coefficient of permeability)，是土壤的固有性質，取決於土壤顆粒的性質、孔隙的大小和連通性。單位為長度/時間 (e.g., m/s)。
$i$ 為水力坡度 (hydraulic gradient)，是水頭損失 $\Delta h$ 與滲流路徑長度 $L$ 之比，即 $i = \frac{\Delta h}{L}$。水力坡度為無因次量。

達西定律的適用條件：

1. 滲流必須是層流 (laminar flow)，而非紊流 (turbulent flow)。在大多數土力學應用中，滲流速度較慢，通常滿足層流條件。
2. 土壤必須是均質且各向同性 (homogeneous and isotropic) 的多孔介質。
3. 滲流是穩定狀態 (steady flow)，即在任一點的流量不隨時間變化。
4. 流體（水）的性質（密度、黏度）保持恆定。

(b) 測定砂土和黏土滲透係數的試驗：
滲透試驗的目的是測定土壤的滲透係數 $k$。根據土壤的滲透性（砂土滲透性高，黏土滲透性低），選擇合適的試驗方法非常重要。

本題考查土石壩心層材料的選擇原則以及土壤壓實試驗的應用。

(a) 土石壩心層材料的選擇：
土石壩的心層 (core) 是壩體中對防滲要求最高的部分，因此需要選用滲透性最低、密實度最高的材料。
在所列的選項中：

• 砂 (Sand) 和 礫石 (Gravel)：這些 are 粗顆粒土，滲透性高，容易透水，不適合做防滲心層。它們通常用於壩體的坡腳或過濾層。
• 黏土 (Clay)：黏土顆粒細小，在適當的含水量下壓實後，其滲透性非常低，具有良好的防滲性能，是土石壩心層最理想的材料。
• 粉土 (Silt)：粉土的滲透性介於砂土和黏土之間，其穩定性不如黏土，且在乾濕循環下可能產生裂縫，因此通常不單獨作為心層材料，但可與黏土混合使用。
• 泥炭 (Peat)：泥炭是有機質含量高的土壤，壓縮性大，強度低，不穩定，且易於腐爛，絕對不適合用於壩體結構。

因此，最適合用於土石壩心層的材料是 黏土 (Clay)。

(b) 根據 Proctor 試驗結果確定最適合的心層含水量：
Proctor 試驗（標準壓實試驗或改良壓實試驗）是確定土壤最佳含水量 (Optimum Moisture Content, OMC) 和最大乾密度 (Maximum Dry Density, MDD) 的試驗。試驗結果通常繪製成乾密度對含水量的曲線，如圖 1 所示。

圖 1 顯示了乾密度 ($\gamma_d$) 與含水量 ($w$) 的關係曲線。曲線的最高點對應著土壤的最大乾密度 (MDD)，而此時的含水量即為最佳含水量 (OMC)。

本題考查地基應力分佈的壓力球概念以及工程設計前的場址調查深度。

(a) 壓力球 (Pressure Bulb) 的定義：
壓力球是指在均質、彈性、各向同性的半無限大土壤介質中，由於地表承受集中力或均佈荷載作用，而導致的內部應力（尤其是垂直應力）在空間上的分佈區域。當荷載作用在土體表面時，應力會向土體內部傳遞和擴散。在距離荷載作用點較近的土體內，應力較大，隨著距離的增加，應力逐漸減小。壓力球就是描述這種應力隨深度和水平距離增加而衰減的分佈形態。

壓力球的特點：

• 形狀：壓力球通常近似於一個倒置的燈泡狀或橢球體。在垂直方向上，應力最大值通常出現在荷載下方某個深度，然後隨深度增加而減小。在水平方向上，應力也隨距離荷載中心點的水平距離增加而減小。
• 最大應力點：對於集中荷載，最大垂直應力出現在荷載作用點下方某個深度。對於寬底的均佈荷載，最大垂直應力可能出現在荷載底面。
• 應力衰減：應力隨距離的增加而衰減，在足夠遠的距離處，應力可以忽略不計。
• 應用：壓力球的概念對於分析基礎的沉降、穩定性和地基承載力非常重要。它幫助工程師了解荷載對土體的影響範圍和應力分佈規律，從而選擇合適的基礎形式和確定安全參數。

(b) 確定海堤 (Breakwater) 工程設計前場址調查的深度：
海堤是構築在海岸邊，用於抵禦海浪侵蝕、保護海岸線的工程結構。其設計需要考慮結構本身的重量、波浪的衝擊力、以及海堤下方土體的承載力、穩定性和潛在的沉降問題。

確定場址調查深度（勘探深度）的原則：
勘探深度應能涵蓋荷載在土體中產生的主要影響範圍。一般而言，勘探深度應至少達到：

本題考查土壤力學中的幾個重要名詞解釋：超固結比、壓縮指數和二次壓縮沉降。

(a) 超固結比 (Over-consolidation Ratio, OCR)：
超固結比是描述過去最大豎向壓力與當前豎向應力之比。它反映了土體在歷史上承受的最大壓力與目前所承受壓力之間的關係，是判斷土體應力歷史和壓縮潛能的重要參數。
定義：
$OCR = \frac{\sigma'_{vm}}{\sigma'_v}$
其中：
$\sigma'_{vm}$ 是土體經歷過的歷史最大豎向有效應力 (preconsolidation pressure)。
$\sigma'_v$ 是目前土體承受的豎向有效應力 (current vertical effective stress)。

意義：

• OCR = 1：表示土體處於正常固結狀態 (normally consolidated, NC)，即目前承受的壓力等於或小於歷史上經歷的最大壓力。
• OCR > 1：表示土體處於超固結狀態 (over-consolidated, OC)，即目前承受的壓力小於歷史上經歷的最大壓力。這通常發生在過去地表有較厚土層被移除，或地下水位下降導致有效應力增加的情況。超固結土的壓縮性較小，承載力較高。
• OCR < 1：理論上不可能，因為目前的應力不可能超過歷史最大應力。

(b) 壓縮指數 (Compression Index, $C_c$)：
壓縮指數是描述正常 કonsolidated 黏土在固結過程中，其孔隙比 (e) 與豎向有效應力 ($\sigma'_v$) 的對數之間關係的參數。它反映了黏土在加載時的壓縮潛能。
定義：
在正常 કonsolidated 黏土的 $e \sim \log \sigma'_v$ 曲線上，加載階段的直線段斜率定義為壓縮指數 $C_c$。
$C_c = - \frac{\Delta e}{\Delta (\log \sigma'_v)} = \frac{e_1 - e_2}{\log(\sigma'_{v2}/\sigma'_{v1})}$
其中：
$e_1, e_2$ 分別是兩種不同的豎向有效應力 $\sigma'_{v1}, \sigma'_{v2}$ 下對應的孔隙比。

核心觀念

本題考查飽和土中之有效應力、靜止土壓係數 $K_0$ 與 Mohr 圓。

由圖可知地下水位位於地表，故深度 $10\text{ m}$ 的土元素為飽和土。靜止土壓係數定義為

$$K_0=\frac{\sigma'_h}{\sigma'_v}$$

其中：

• $\sigma'_v$：垂直有效應力
• $\sigma'_h$：水平有效應力

由於土體處於靜止狀態，元素無剪應力，垂直與水平有效應力即為兩個主有效應力。

解題方法與計算

飽和單位重為

$$\gamma_{\mathrm{sat}} = \frac{G_s+e}{1+e}\gamma_w$$

代入題目數據：

$$\gamma_{\mathrm{sat}} = \frac{2.65+0.7}{1+0.7}(10) = 19.71\ \text{kN/m}^3$$

10 m 深處的總垂直應力：

$$\sigma_v = \gamma_{\mathrm{sat}}z = 19.71(10) = 197.06\ \text{kPa}$$

孔隙水壓為

$$u=\gamma_w z=10(10)=100\ \text{kPa}$$

因此垂直有效應力：

$$\sigma'_v = \sigma_v-u = 197.06-100 = 97.06\ \text{kPa}$$

由 $K_0=0.4$：

$$\sigma'_h = K_0\sigma'_v = 0.4(97.06) = 38.82\ \text{kPa}$$

故兩個主有效應力為

$$\sigma'_1=97.06\ \text{kPa}$$ $$\sigma'_3=38.82\ \text{kPa}$$

Mohr 圓

Mohr 圓圓心：

$$C=\frac{\sigma'_1+\sigma'_3}{2} = \frac{97.06+38.82}{2} = 67.94\ \text{kPa}$$

Mohr 圓半徑：