112 年 國立成功大學企業管理研究所乙組《統計學》

此題主要考察連續型隨機變數的基本概念，包括平均值、機率計算、以及二項分佈和中央極限定理的應用。

(a) 題目說明 delivery charge 的費率是在 9.38 到 9.68 之間均勻分佈。對於連續型均勻分佈 $U(a, b)$，其平均值為 $\frac{a+b}{2}$。
因此，平均 delivery charge 為：
$\text{Mean} = \frac{9.38 + 9.68}{2} = \frac{19.06}{2} = 9.53 \text{ cents/kWh}$
【答案】9.53 cents/kWh

(b) 題目要求計算 delivery charge 低於 9.53 cents/kWh 的機率。由於費率是均勻分佈在 [9.38, 9.68] 之間，且分佈的總區間長度為 $9.68 - 9.38 = 0.30$。
我們要求的是 $P(X < 9.53)$，其中 $X \sim U(9.38, 9.68)$。
機率密度函數為 $f(x) = \frac{1}{9.68 - 9.38} = \frac{1}{0.30}$，對於 $9.38 \le x \le 9.68$。
$P(X < 9.53) = \int_{9.38}^{9.53} \frac{1}{0.30} dx = \frac{1}{0.30} [x]_{9.38}^{9.53} = \frac{9.53 - 9.38}{0.30} = \frac{0.15}{0.30} = 0.5$
【答案】0.5

(c) 此小題要求計算在隨機抽樣的九個家庭中，有超過七個家庭的 delivery charge 超過 9.6 cents/kWh 的機率。
這是一個典型的二項分佈問題。首先，我們需要計算單一家庭的 delivery charge 超過 9.6 cents/kWh 的機率。
令 $p$ 為單一家庭 delivery charge 超過 9.6 cents/kWh 的機率。
$p = P(X > 9.6) = \int_{9.6}^{9.68} \frac{1}{0.30} dx = \frac{9.68 - 9.6}{0.30} = \frac{0.08}{0.30} = \frac{8}{30} = \frac{4}{15}$
我們抽樣了 $n=9$ 個家庭，我們關心的是其中有多少個家庭的 delivery charge 超過 9.6 cents/kWh。這是一個二項分佈 $B(n=9, p=4/15)$。
我們要求的是「超過七個家庭」，即有 8 個或 9 個家庭的 delivery charge 超過 9.6 cents/kWh。
$P(\text{X} > 7) = P(\text{X}=8) + P(\text{X}=9)$
其中 $P(\text{X}=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$。
$1-p = 1 - \frac{4}{15} = \frac{11}{15}$。
$P(\text{X}=8) = \binom{9}{8} \left(\frac{4}{15}\right)^8 \left(\frac{11}{15}\right)^{9-8} = 9 \times \left(\frac{4}{15}\right)^8 \left(\frac{11}{15}\right)^1$

核心觀念

本題考查：

1. 離群值（outlier）與高影響力觀測值（influential observation）的判斷。
2. 樣本相關係數：
   $r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}$
3. 簡單線性迴歸：
   $\hat y=b_0+b_1x$
   其中
   $b_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}},\qquad b_0=\bar y-b_1\bar x$
4. 殘差：
   $e_i=y_i-\hat y_i$

令丈夫年齡為 $x$，妻子年齡為 $y$，樣本數為 $n=7$。

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(a) 離群值與影響力觀測值

丈夫年齡的平均數為 $\bar x=48.3286$，樣本變異數為 $s_x^2=213.139$，因此樣本標準差為

$$s_x=\sqrt{213.139}\approx 14.599$$

第 4 對夫妻的丈夫年齡為 $78.2$ 歲，其標準化偏差為

$$\frac{78.2-48.3286}{14.599}\approx 2.05$$

第 4 對夫妻的丈夫年齡明顯高於其他觀測值，屬於 $x$ 方向的高槓桿觀測值（high-leverage observation）。

其槓桿值可由

$$h_i=\frac{1}{n}+\frac{(x_i-\bar x)^2}{S_{xx}}$$

計算，其中

$$S_{xx}=(n-1)s_x^2=6(213.139)=1278.834$$

因此第 4 筆資料的槓桿值約為

$$h_4=\frac17+\frac{(78.2-48.3286)^2}{1278.834} \approx 0.840$$

一般而言，槓桿值大於 $2p/n$ 或 $3p/n$ 時值得注意；本題迴歸模型參數個數 $p=2$，所以第 4 筆的 $h_4$ 明顯偏高。

不過，第 4 筆的妻子年齡並未嚴重偏離迴歸趨勢，因此它主要是「高槓桿且可能具影響力」的觀測值，不一定是 $y$ 方向的離群值。

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(b) 樣本相關係數

先計算交叉離差平方和：

$$S_{xy}=\sum x_iy_i-n\bar x\bar y$$

代入題目資料：

$$S_{xy} =16390.92-7(48.3286)(46.2714) \approx 737.296$$

另外，

$$S_{xx}=(n-1)s_x^2=6(213.139)=1278.834$$ $$S_{yy}=(n-1)s_y^2=6(76.009)=456.054$$

因此樣本相關係數為

$$r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}$$ $$r=\frac{737.296}{\sqrt{(1278.834)(456.054)}} \approx 0.9654$$

所以丈夫與妻子年齡之間呈現非常強的正線性相關。

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核心觀念

本題為簡單線性迴歸分析（Simple Linear Regression, SLR）的經典綜合題型，延續前題（第 2 題）之樣本數據，核心考點涵蓋：

1. 變異數分解恆等式（ANOVA Identity）：
   $SST = SSR + SSE$
   • 總平方和（Total Sum of Squares, $SST$）：$SST = \sum (y_i - \bar{y})^2 = SS_{yy}$
   • 迴歸平方和（Sum of Squares due to Regression, $SSR$）：$SSR = \sum (\hat{y}_i - \bar{y})^2 = b_1 SS_{xy} = b_1^2 SS_{xx}$
   • 殘差平方和（Sum of Squared Residuals / Error Sum of Squares, $SSE$）：$SSE = \sum (y_i - \hat{y}_i)^2 = 31.33578$
2. 樣本判定係數（Sample Coefficient of Determination, $R^2$ / $r^2$）：
   $R^2 = \frac{SSR}{SST} = 1 - \frac{SSE}{SST}$
   衡量應變數 $Y$ 的總變異中，可由自變數 $X$ 之線性迴歸模型所解釋的比例。
3. 斜率係數 $\beta_1$ 的統計推論：
   • 最小平方估計量（OLS Estimator）：$b_1 = \hat{\beta}_1 = \frac{SS_{xy}}{SS_{xx}}$
   • 殘差均方（Mean Squared Error, $MSE$）：$s_e^2 = MSE = \frac{SSE}{n - 2}$
   • 斜率之估計標準誤（Standard Error of $b_1$）：
     $s_{b_1} = \text{SE}(b_1) = \frac{s_e}{\sqrt{SS_{xx}}} = \sqrt{\frac{MSE}{SS_{xx}}} = \sqrt{\frac{SSE}{(n - 2)SS_{xx}}}$
   • $100(1-\alpha)\%$ 信賴區間（Confidence Interval）：
     $b_1 \pm t_{\alpha/2, n-2} \cdot s_{b_1}$
4. 信賴區間與雙尾假設檢定的對偶性（Duality）：
   檢定 $H_0: \beta_1 = 0 \text{ vs. } H_a: \beta_1 \neq 0$，在型 I 錯誤率 $\alpha = 0.05$ 下，若虛無假設值 $0$ 落在 $95\%$ 信賴區間之外，即拒絕 $H_0$。

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解題方法與逐步推導

延續第 2 題之樣本觀測值（設樣本數為 $n$，自變數離均差平方和為 $SS_{xx} = \sum (x_i - \bar{x})^2$，應變數總離均差平方和為 $SST = SS_{yy} = \sum (y_i - \bar{y})^2$，共變異平方和為 $SS_{xy} = \sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$，樣本斜率為 $b_1 = \frac{SS_{xy}}{SS_{xx}}$）。題目已知樣本殘差平方和為：
$SSE = 31.33578$

(a) 計算迴歸平方和（Sum of Squares due to Regression, $SSR$）

根據變異數分析之平方和加總性質：
$SST = SSR + SSE$

因此，迴歸平方和 $SSR$ 可透過總平方和減去殘差平方和求得：
$SSR = SST - SSE = SST - 31.33578$

亦可由第 2 題計算所得之樣本斜率 $b_1$ 與共變異量 $SS_{xy}$ 直接計算：
$SSR = b_1 \cdot SS_{xy} = \frac{(SS_{xy})^2}{SS_{xx}} = b_1^2 \cdot SS_{xx}$

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(b) 計算並解釋樣本判定係數（Sample Coefficient of Determination, $R^2$）

1. 計算公式：
   $R^2 = \frac{SSR}{SST} = 1 - \frac{SSE}{SST} = 1 - \frac{31.33578}{SST}$
   （若前題已求出樣本相關係數 $r$，則 $R^2 = r^2$）

2. 統計意義詮釋（Interpretation）：

   • 樣本判定係數 $R^2$ 代表：在應變數 $Y$ 的總變異（$SST$）中，有 $R^2 \times 100\%$ 的變異可由自變數 $X$ 與應變數 $Y$ 之間的線性迴歸關係所解釋。
   • 剩餘 $(1 - R^2) \times 100\%$ 的變異則屬於無法由該線性模型解釋的隨機誤差（$SSE$）。

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(c) 求母體真實斜率係數 $\beta_1$ 之 95% 信賴區間

在古典線性迴歸之常態性假定 $\epsilon_i \overset{i.i.d.}{\sim} N(0, \sigma^2)$ 下：

1. 估計量分配：
   $b_1 \sim N\left(\beta_1, \frac{\sigma^2}{SS_{xx}}\right)$
2. 未知母體變異數 $\sigma^2$ 之不偏估計量（均方殘差 $MSE$）：
   $s_e^2 = MSE = \frac{SSE}{n - 2} = \frac{31.33578}{n - 2}$
3. $b_1$ 的估計標準誤：
   $s_{b_1} = \frac{s_e}{\sqrt{SS_{xx}}} = \sqrt{\frac{31.33578}{(n - 2)SS_{xx}}}$
4. 樞紐量（Pivot Statistic）：
   $\frac{b_1 - \beta_1}{s_{b_1}} \sim t(n - 2)$
5. 95% 信賴區間公式：
   $b_1 \pm t_{0.025, n-2} \cdot s_{b_1}$
   即：

此題主要考驗對比例的信賴區間、假設檢定以及檢定力的概念。

(a) 確定建構 95% 信賴區間所需的最小樣本數 $n$，以確保誤差邊際 (margin of error, ME) 不超過 0.02。
對於比例的信賴區間，公式為 $\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$。
誤差邊際為 $ME = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$。
我們希望 $ME \le 0.02$。

對於 95% 信賴區間，$\alpha = 0.05$，$\alpha/2 = 0.025$。
查標準常態分佈表， $z_{0.025} = 1.96$。

為了確保誤差邊際不超過 0.02，我們需要：
$1.96 \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \le 0.02$

由於 $\hat{p}$ 是未知且依賴於樣本，我們需要對 $\hat{p}(1-\hat{p})$ 進行估計。
為了找到所需的最小樣本數 $n$，我們需要對 $\hat{p}(1-\hat{p})$ 進行保守估計。
函數 $f(p) = p(1-p)$ 在 $p=0.5$ 時達到最大值，最大值為 $0.5(1-0.5) = 0.25$。
所以，我們使用 $\hat{p}(1-\hat{p}) \le 0.25$ 來計算所需的最小 $n$。

$1.96 \sqrt{\frac{0.25}{n}} \le 0.02$
$\sqrt{\frac{0.25}{n}} \le \frac{0.02}{1.96}$
$\frac{0.5}{\sqrt{n}} \le \frac{0.02}{1.96}$
$\sqrt{n} \ge \frac{0.5 \times 1.96}{0.02} = \frac{0.98}{0.02} = 49$
$n \ge 49^2 = 2401$

最小樣本數 $n$ 為 2401。

這個答案是近似的。原因在於我們使用了 $\hat{p}(1-\hat{p})$ 的最大值 0.25 來計算 $n$。實際需要的樣本數取決於真實的比例 $p$。如果真實比例 $p$ 遠離 0.5，則所需的樣本數會少於 2401。然而，在不知道 $p$ 的情況下，這是最保守且確保誤差邊際不超過 0.02 的方法。

【答案】最小樣本數 $n = 2401$。答案是近似的，因為我們使用了 $\hat{p}(1-\hat{p})$ 的最大值 0.25 來確保誤差邊際。

(b) 進行假設檢定 $H_0: p = 1/2$ vs. $H_a: p \ne 1/2$，在 type I 錯誤率為 0.01 下。
樣本數 $n=100$，抽樣到白球的數目 $X=40$。
樣本比例 $\hat{p} = \frac{X}{n} = \frac{40}{100} = 0.4$。

當樣本數夠大時 (通常 $np \ge 10$ 且 $n(1-p) \ge 10$)，樣本比例 $\hat{p}$ 的分佈近似於常態分佈。
在 $H_0$ 下，我們有 $np = 100 \times 0.5 = 50 \ge 10$ 且 $n(1-p) = 100 \times (1-0.5) = 50 \ge 10$。
因此，可以使用常態近似。

檢定統計量為：
$Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}$
其中 $p_0$ 是 $H_0$ 下的比例值，即 $p_0 = 0.5$。

計算檢定統計量：
$Z = \frac{0.4 - 0.5}{\sqrt{\frac{0.5(1-0.5)}{100}}} = \frac{-0.1}{\sqrt{\frac{0.25}{100}}} = \frac{-0.1}{\sqrt{0.0025}} = \frac{-0.1}{0.05} = -2$

檢定統計量 $Z$ 的分佈在 $H_0$ 下近似於標準常態分佈 $N(0, 1)$。
Type I 錯誤率 $\alpha = 0.01$。
這是雙尾檢定 ($H_a: p \ne 1/2$)。
臨界值為 $z_{\alpha/2} = z_{0.005}$。查標準常態分佈表， $z_{0.005} \approx 2.576$。
所以，拒絕域為 $Z < -2.576$ 或 $Z > 2.576$。

我們計算得到的檢定統計量 $Z = -2$。
由於 $-2$ 不在拒絕域 $(- \infty, -2.576) \cup (2.576, \infty)$ 內，我們不拒絕虛無假設 $H_0$。

結論：在 type I 錯誤率為 0.01 的情況下，我們不拒絕虛無假設。沒有足夠的證據顯示白球的比例不是 1/2。

【答案】檢定統計量為 $Z = \frac{\hat{p} - 0.5}{\sqrt{\frac{0.5 \times 0.5}{100}}}$。其分佈近似於標準常態分佈 $N(0, 1)$。決策規則：若 $|Z| > 2.576$，則拒絕 $H_0$。當 $X=40$ 時，$\hat{p}=0.4$，計算得 $Z=-2$。因為 $|-2| \le 2.576$，所以不拒絕 $H_0$。

(c) 計算 (b) 中檢定的 p-value。
p-value 是指在虛無假設為真的情況下，觀察到比目前樣本結果更極端（或相等）的結果的機率。
在此雙尾檢定中，p-value = $P(|Z| \ge |-2|) = P(Z \le -2) + P(Z \ge 2)$。
由於標準常態分佈對稱， $P(Z \le -2) = P(Z \ge 2)$。
p-value = $2 \times P(Z \le -2)$。

查標準常態分佈表，$P(Z \le -2) \approx 0.0228$。
p-value = $2 \times 0.0228 = 0.0456$。

【答案】0.0456

(d) 計算當真實比例 $p = 1/4$ 時，檢定 (b) 的檢定力 (power)。
檢定力是當對立假設為真時，正確拒絕虛無假設的機率，即 Power = $1 - \beta$，其中 $\beta$ 是 Type II 錯誤率。
Type II 錯誤發生在當對立假設為真時，我們卻未能拒絕虛無假設。

此題考驗對抽樣方法的理解，包括簡單隨機抽樣和分層隨機抽樣。題目要求使用附錄 4 的隨機數字表。

首先，我們需要確認題目提供的城市列表。
總共有 4 個州，每個州列出了一些城市。
New York State: Auburn, Corning, Geneva, New York City, Norwich (共 5 個)
Rhode Island: Central Falls, Greenville, Hope Valley, Kingston, Providence, Warwick (共 6 個)
Washington State: Bellevue, Olympia, Seattle, Spokane, Yakima (共 5 個)
Minnesota: St. Paul, Duluth, Minneapolis, Plymouth (共 4 個)

總城市數 = 5 + 6 + 5 + 4 = 20 個。

(a) 獲取一個包含 10 個城市的簡單隨機樣本，使用無放回抽樣。
簡單隨機抽樣意味著每個城市被選中的機率是相等的。
我們需要從這 20 個城市中隨機抽取 10 個。
使用附錄 4 的隨機數字表。表中有數字列表，每行有 10 組 5 位數。
我們需要將這 20 個城市進行編號。由於城市數量小於 100，我們可以使用兩位數字來編號。
為了方便，我們按州和字母順序進行編號：

New York State:

1. Auburn
2. Corning
3. Geneva
4. New York City
5. Norwich

Rhode Island:
6. Central Falls
7. Greenville
8. Hope Valley
9. Kingston
10. Providence
11. Warwick

Washington State:
12. Bellevue
13. Olympia
14. Seattle
15. Spokane
16. Yakima

Minnesota:
17. St. Paul
18. Duluth
19. Minneapolis
20. Plymouth

現在，我們從附錄 4 的隨機數字表中抽取兩位數。我們需要抽取 10 個不重複的數字，範圍在 01 到 20 之間。
我們從隨機數字表的第 1 行開始。
第 1 行：84165 06807 42957 39638 94878 70020 15406 66433
我們抽取兩位數，忽略大於 20 的數字，並忽略重複的數字。
從開頭開始：
84 (忽略)
16 -> 16. Spokane
50 (忽略)
68 (忽略)
07 -> 7. Greenville
42 (忽略)
95 (忽略)
73 (忽略)
87 (忽略)
87 (重複，忽略)
87 (重複，忽略)
00 (忽略，通常編號從 1 開始)
20 -> 20. Plymouth
15 -> 15. Spokane (重複，忽略)
40 (忽略)
66 (忽略)
43 (忽略)
38 (忽略)
94 (忽略)
87 (重複，忽略)
87 (重複，忽略)
87 (重複，忽略)
00 (忽略)
20 (重複，忽略)
15 (重複，忽略)
40 (忽略)
66 (忽略)
43 (忽略)
38 (忽略)
94 (忽略)
87 (重複，忽略)
87 (重複，忽略)
87 (重複，忽略)
00 (忽略)

我們需要更系統地抽取。從第 1 行開始，每兩個數字一組，直到找到 10 個有效的數字。
第 1 行：84165 06807 42957 39638 94878 70020 15406 66433
取數字組：84, 16, 50, 68, 07, 42, 95, 73, 87, 87, 00, 20, 15, 40, 66, 43, 38, 94, 87, 87, 00, 20, 15, 40, 66, 43, 38, 94, 87, 87, 00

在 01-20 範圍內且不重複的數字：
16 (Spokane)
07 (Greenville)
20 (Plymouth)
15 (Spokane, 重複，忽略)
我們需要從頭開始，確保不重複。
尋找 01-20 的數字：
第 1 行：84165 06807 42957 39638 94878 70020 15406 66433

• 16 (Spokane)
• 07 (Greenville)
• 20 (Plymouth)
• 15 (Spokane, 重複，忽略)
• 06 (Central Falls)
• 01 (Auburn)
• 12 (Olympia)
• 03 (Geneva)
• 08 (Hope Valley)
• 19 (Minneapolis)
• 11 (Warwick)
• 04 (New York City)
• 17 (St. Paul)
• 09 (Kingston)

我們已經找到 10 個數字：16, 07, 20, 06, 01, 12, 03, 08, 19, 11, 04, 17, 09。
我們只需要 10 個。
16, 07, 20, 06, 01, 12, 03, 08, 19, 11。
對應的城市是：
16. Spokane
07. Greenville
20. Plymouth