108 年 國立成功大學企業管理研究所乙組《統計學》

這題考驗對平均數定義的理解，以及如何因單一數據點的修正而影響平均數。

已知數據集有 20 個觀察值，其平均數為 18。
平均數的計算公式為：$\text{Average} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$
其中 $n$ 是觀察值的總數，$\sum_{i=1}^{n} x_i$ 是所有觀察值的總和。

根據題目，我們有：
$18 = \frac{\sum_{i=1}^{20} x_i}{20}$
因此，原始數據的總和為：$\sum_{i=1}^{20} x_i = 18 \times 20 = 360$

這題考驗對機率分布圖形、偏態（skewness）以及眾數（mode）、中位數（median）、平均數（average）之間關係的理解。

首先，我們需要分析圖形 1 和圖形 2 的特性：

• 圖形 1: 顯示一個向右（右側）延伸較長的曲線，這表示正偏態（positive skewness）或右偏態（right skewness）。在正偏態分佈中，平均數會被右側的極端值拉高，因此通常有：平均數 > 中位數 > 眾數。
• 圖形 2: 顯示一個向左（左側）延伸較長的曲線，這表示負偏態（negative skewness）或左偏態（left skewness）。在負偏態分佈中，平均數會被左側的極端值拉低，因此通常有：眾數 > 中位數 > 平均數。

接著，我們逐一檢視選項：
(a) figure 1: positive skewness or right skewness, mode > median > average

核心觀念

本題考查條件機率與貝氏定理。

令：

• $S$：學生有獎學金
• $F$：學生為女性

題目給定：

$$P(S)=0.20,\qquad P(S^c)=0.80$$

獎學金學生中，一半為女性：

$$P(F\mid S)=0.50$$

沒有獎學金的學生中，$45\%$ 為女性：

$$P(F\mid S^c)=0.45$$

要求的是「所有女性中，有獎學金的比例」，即：

$$P(S\mid F)$$

解題方法

使用貝氏定理：

$$P(S\mid F)=\frac{P(S\cap F)}{P(F)}$$

先計算女性且有獎學金的聯合機率：

$$P(S\cap F)=P(S)P(F\mid S) =0.20\times 0.50 =0.10$$

再利用全機率公式計算女性比例：

$$\begin{aligned} P(F) &=P(S\cap F)+P(S^c\cap F)\\ &=P(S)P(F\mid S)+P(S^c)P(F\mid S^c)\\ &=0.20\times0.50+0.80\times0.45\\ &=0.10+0.36\\ &=0.46 \end{aligned}$$

因此：

$$P(S\mid F)=\frac{0.10}{0.46} =\frac{10}{46} \approx 0.2174$$

換算為百分比：

$$P(S\mid F)\approx 21.74\%$$

所以所有女性中，約有 $21.7\%$ 擁有獎學金。

選項分析

• (a) $30.8\%$：錯誤。
  正確的條件機率為：

這題考驗機率密度函數（PDF）的積分計算，以及函數轉換後機率的求解。

首先，我們需要理解題目給定的機率密度函數 $f(x)$。
$f(x) = 2x-6$ for $3 < x \le 4$。
我們需要確認這是一個有效的 PDF，即其在定義域上的積分是否為 1。
$\int_{3}^{4} (2x-6) dx = [x^2 - 6x]_{3}^{4} = (4^2 - 6 \times 4) - (3^2 - 6 \times 3) = (16 - 24) - (9 - 18) = -8 - (-9) = -8 + 9 = 1$。
PDF 是有效的。

接下來，我們看利潤函數 $h(X) = 12-2X$。
題目要求計算「每個錶將帶來大於 5 美元的利潤」的機率，即 $P(h(X) > 5)$。
我們先將不等式 $h(X) > 5$ 轉換成關於 $X$ 的不等式：
$12 - 2X > 5$
$-2X > 5 - 12$
$-2X > -7$
$2X < 7$

這題考驗期望值和變異數的線性性質，以及標準差與變異數的關係。

題目給定了兩個條件：

1. $E(2X+6) = 12$
2. $E[(2X+6)^2] = 468$

我們需要計算 $X$ 的標準差 $\sigma_X$。
首先，利用期望值的線性性質：$E(aX+b) = aE(X) + b$。
從條件 1：
$E(2X+6) = 2E(X) + 6 = 12$
$2E(X) = 12 - 6$
$2E(X) = 6$
$E(X) = 3$

接下來，我們需要計算 $X$ 的變異數 $\text{Var}(X)$。
變異數的定義是 $\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$。
我們知道 $E(X)=3$，所以 $[E(X)]^2 = 3^2 = 9$。
我們還需要找到 $E(X^2)$。

從條件 2，我們有 $E[(2X+6)^2] = 468$。
我們知道 $(2X+6)^2 = (2X)^2 + 2(2X)(6) + 6^2 = 4X^2 + 24X + 36$。

這題考驗聯合機率分佈的計算，以及隨機變數轉換和獨立性判斷。

首先，我們需要計算 $Z=X+Y$ 的機率分佈。
$X$ 和 $Y$ 的可能取值為：$X \in \{0, 1\}$，$Y \in \{0, 1, 2\}$。
$Z$ 的可能取值為 $X+Y$ 的組合：

• $Z=0+0=0$
• $Z=0+1=1$
• $Z=0+2=2$
• $Z=1+0=1$
• $Z=1+1=2$
• $Z=1+2=3$
  所以，$Z$ 的可能取值為 $\{0, 1, 2, 3\}$。

接下來，我們計算 $Z$ 各個取值的機率：

• $P(Z=0)$: 只有一種組合，即 $X=0, Y=0$。
  $P(Z=0) = f_{X,Y}(0,0) = 1/6$。

• $P(Z=1)$: 有兩種組合，即 $(X=0, Y=1)$ 或 $(X=1, Y=0)$。
  $P(Z=1) = f_{X,Y}(0,1) + f_{X,Y}(1,0) = 2/6 + 0 = 2/6 = 1/3$。
  選項 (a) Pr(Z=1)=1/3 是正確的。

• $P(Z=2)$: 有兩種組合，即 $(X=0, Y=2)$ 或 $(X=1, Y=1)$。
  $P(Z=2) = f_{X,Y}(0,2) + f_{X,Y}(1,1) = 0 + 2/6 = 2/6 = 1/3$。
  選項 (b) Pr (Z=2)= 1/6 是錯誤的。
  根據計算，$P(Z=2) = 1/3$。

• $P(Z=3)$: 只有一種組合，即 $X=1, Y=2$。
  $P(Z=3) = f_{X,Y}(1,2) = 1/6$。
  選項 (c) Pr (Z=3)= 1/6 是正確的。

• $P(Z=4)$: 在 $X \in \{0, 1\}$ 和 $Y \in \{0, 1, 2\}$ 的組合下，無法得到 $X+Y=4$。
  $P(Z=4) = 0$。
  選項 (d) Pr (Z=4)=0 是正確的。

這題考驗協方差矩陣（Covariance Matrix）與相關係數矩陣（Correlation Coefficient Matrix）之間的轉換關係。

對於兩個隨機變數 $U$ 和 $V$，它們之間的相關係數 $\rho_{UV}$ 可以由它們的協方差 $\text{Cov}(U,V)$ 和它們各自的標準差 $\sigma_U, \sigma_V$ 計算得出：
$\rho_{UV} = \frac{\text{Cov}(U,V)}{\sigma_U \sigma_V}$

在題目中，矩陣 $A$ 是協方差矩陣，矩陣 $B$ 是相關係數矩陣。
協方差矩陣 $A$ 的對角線元素是各變數的變異數，非對角線元素是變數之間的協方差。
相關係數矩陣 $B$ 的對角線元素恆為 1，非對角線元素是變數之間的相關係數。

從矩陣 $A$ 中，我們可以讀出：

• $\text{Var}(X) = \sigma_X^2 = 144$
• $\text{Var}(Y) = \sigma_Y^2 = 256$
• $\text{Var}(Z) = \sigma_Z^2 = 196$
• $\text{Cov}(X,Y) = 96$
• $\text{Cov}(X,Z) = 126$
• $\text{Cov}(Y,Z) = 56$

從矩陣 $B$ 中，我們可以讀出：

• $\rho_{XY} = d$
• $\rho_{XZ} = e$
• $\rho_{YZ} = f$

核心觀念

本題考查卜瓦松分配（Poisson distribution）及其平均發生率的按比例調整。

若單位長度內缺陷發生率固定，且缺陷彼此獨立，則長度為 $L$ 的範圍內缺陷數 $X$ 服從卜瓦松分配：

$$X\sim \operatorname{Poisson}(\lambda)$$

其機率質量函數為：

$$P(X=x)=\frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}, \qquad x=0,1,2,\ldots$$

其中 $\lambda$ 同時代表該範圍內缺陷數的平均值。

解題方法

題目給定每 $200$ 英尺平均發生 $1$ 個缺陷，因此每英尺的平均缺陷數為：

$$\frac{1}{200}$$

對於 $1000$ 英尺的卡式錄音帶，平均缺陷數為：

$$\lambda =1000\times \frac{1}{200} =5$$

因此：

$$X\sim \operatorname{Poisson}(5)$$

代入卜瓦松分配的機率質量函數：

$$P(X=x)=\frac{5^x e^{-5}}{x!}, \qquad x=0,1,2,\ldots$$

所以正確選項為 $(e)$。

選項分析

(a) $\displaystyle f(x)=\frac{0.2x e^{-5}}{x!}$

錯誤。卜瓦松分配的分子應為 $\lambda^x e^{-\lambda}$。本題 $\lambda=5$，應為 $5^x e^{-5}$；選項中的 $0.2x$ 並非正確形式。

(b) $\displaystyle f(x)=\frac{0.2^x e^{-0.2}}{x!}$

這題是接續上一題，考驗 Poisson 分佈的機率計算，以及累積機率的應用。

從上一題我們知道，1000 英尺錄音帶捲上的瑕疵數量 $X$ 服從參數為 $\lambda=5$ 的 Poisson 分佈，其機率質量函數為 $P(X=x) = \frac{5^x e^{-5}}{x!}$。
題目提供了 $e^{-5} \approx 0.007$。

計算 P1：無瑕疵的機率 (flaw-free)
無瑕疵表示 $X=0$。
$P(X=0) = \frac{5^0 e^{-5}}{0!} = \frac{1 \times e^{-5}}{1} = e^{-5}$。
根據題目提供的數值，$e^{-5} \approx 0.007$。
所以，$P1 = P(X=0) \approx 0.007$。

計算 P2：三個或更多瑕疵的機率
三個或更多瑕疵表示 $X \ge 3$。
$P(X \ge 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$。
我們已經知道 $P(X=0) \approx 0.007$。
計算 $P(X=1)$：
$P(X=1) = \frac{5^1 e^{-5}}{1!} = 5 \times e^{-5} \approx 5 \times 0.007 = 0.035$。
計算 $P(X=2)$：

這題考驗中央極限定理（Central Limit Theorem, CLT）的應用，以及常態分佈機率的計算。

題目給定：

• 電梯安全載重上限：600 kg。
• 單一人的平均體重：$\mu = 65$ kg。
• 單一人的體重標準差：$\sigma = 10$ kg。
• 電梯內有 9 個人。

我們需要計算這 9 個人的總體重超過 600 kg 的機率。
讓 $X_i$ 表示第 $i$ 個人（$i=1, \dots, 9$）的體重。
總體重 $S_9 = X_1 + X_2 + \dots + X_9$。
根據中央極限定理，即使個別人的體重分佈不是常態分佈，當樣本數 $n$足夠大時（這裡 $n=9$，雖然不是很大，但在許多情況下可近似），樣本平均值的抽樣分佈會趨近於常態分佈。
更直接地，如果個別體重 $X_i$ 服從常態分佈（題目中說「roughly normally distributed」），那麼它們的總和 $S_9$ 也服從常態分佈。

計算總體重 $S_9$ 的平均值和標準差：

• 平均值：$E(S_9) = E(\sum_{i=1}^9 X_i) = \sum_{i=1}^9 E(X_i) = 9 \times \mu = 9 \times 65 = 585$ kg。
• 標準差：由於假設各人的體重是獨立的，變異數會相加。

這題是接續上一題，考驗常態分佈機率反算的應用。

從上一題我們知道，9 個人的總體重 $S_9$ 服從平均值 $\mu_{S_9} = 585$ kg，標準差 $\sigma_{S_9} = 30$ kg 的常態分佈。
現在，電梯的警報設定為當總體重超過某個安全載重上限時觸發，且這個警報觸發的機率為 2.5%（即 0.025）。
我們需要找出這個新的安全載重上限。

設新的安全載重上限為 $W$。
題目意思是，當總體重 $S_9 > W$ 時，警報會響，且 $P(S_9 > W) = 0.025$。

我們將 $W$ 標準化為 Z 分數：
$Z = \frac{W - \mu_{S_9}}{\sigma_{S_9}} = \frac{W - 585}{30}$。

所以，$P(Z > \frac{W - 585}{30}) = 0.025$。
這表示，在標準常態分佈中，有一個 Z 值，其右尾機率為 0.025。
我們需要找到這個 Z 值。

核心觀念

本題考查 $F$ 分配與 $t$ 分配、卡方分配之間的關係。

若 $X\sim\chi^2(\nu_1)$、$Y\sim\chi^2(\nu_2)$，且 $X,Y$ 相互獨立，則

$$\frac{X/\nu_1}{Y/\nu_2}\sim F(\nu_1,\nu_2).$$

因此，

$$F(1,\nu)=\frac{\chi^2(1)/1}{\chi^2(\nu)/\nu}.$$

此外，若 $T\sim t(\nu)$，則

$$T^2\sim F(1,\nu).$$

若 $F_{\alpha}(1,\nu)$ 表示右尾面積為 $\alpha$ 的 $F$ 分配臨界值，則

$$F_{\alpha}(1,\nu)=\left[t_{\alpha/2}(\nu)\right]^2.$$

其中 $t_{\alpha/2}(\nu)$ 表示右尾面積為 $\alpha/2$ 的 $t$ 分配臨界值。

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解題方法

由 $T\sim t(\nu)$ 可知，$T^2\sim F(1,\nu)$。因此若 $t_{\alpha/2}(\nu)$ 滿足

$$P\left(T>t_{\alpha/2}(\nu)\right)=\frac{\alpha}{2},$$

則

$$P\left(T^2>\left[t_{\alpha/2}(\nu)\right]^2\right)=\alpha.$$

所以 $F(1,\nu)$ 的右尾臨界值為

$$F_{\alpha}(1,\nu)=\left[t_{\alpha/2}(\nu)\right]^2.$$

題目選項中沒有寫出這個完整關係，因此正確答案為 $(e)$。

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選項分析

(a) $F_{1-\alpha}(\nu,1)$

錯誤。$F$ 分配具有倒數關係：

$$F_{\alpha}(\nu_1,\nu_2) = \frac{1}{F_{1-\alpha}(\nu_2,\nu_1)}.$$

因此正確應為

這題考驗對 Type I 錯誤（第一類錯誤）和 Type II 錯誤（第二類錯誤）的理解，並將其應用於情境分析。

首先，我們需要將題目中的情境對應到假設檢定的框架：

• 虛無假設 ($H_0$): B 說的是實話（B is telling the truth）。
• 對立假設 ($H_1$): B 在說謊（B is lying）。

根據題目描述：

• A 認為 B 在說謊，這相當於 A 決定「拒絕 $H_0$」（Reject $H_0$）。
• 事後證明，B 確實是在說實話，這意味著虛無假設 $H_0$ 實際上是「真實的」（$H_0$ is true）。

現在，我們對照假設檢定的錯誤定義表：

• 當 $H_0$ 為真時，我們卻拒絕了 $H_0$（Reject $H_0$），這種情況就稱為 Type I error。

這題考驗如何根據敘述設定虛無假設 ($H_0$) 和對立假設 ($H_1$)。

題目中，零食製造商的聲明是：「平均重量不低於 500 克」。
「不低於」的意思是「大於或等於」。
所以，製造商的聲明可以表示為 $\mu \ge 500$。

在假設檢定中，虛無假設 ($H_0$) 通常包含「等於」的符號，並且代表「現狀」、「無顯著差異」或「聲稱者提出的主張」。對立假設 ($H_1$) 則代表我們要試圖證明或推翻的。

製造商的聲明是 $\mu \ge 500$。
通常，我們將聲稱者提出的主張放在虛無假設 $H_0$ 中。
如果製造商聲稱 $\mu \ge 500$，那麼：

• $H_0: \mu \ge 500$

我們進行檢定是為了「測試這個聲稱是否可以被接受」。如果我們能夠證明 $\mu < 500$，那麼我們就可以拒絕製造商的聲稱。

核心觀念

本題考查標準常態分配下的 $Z$ 統計量與 $p$-value 判定。給定 $Z=2$ 時，由標準常態分配表可得：

$$P(Z\leq 2)=0.9772$$

因此：

• 右尾機率：$P(Z\geq 2)=1-0.9772=0.0228$
• 左尾機率：$P(Z\leq 2)=0.9772$
• 雙尾機率：$2P(Z\geq 2)=2(0.0228)=0.0456$

$p$-value 必須依據對立假設的方向決定，不能只由 $Z$ 統計量單獨判斷。

解題方法

若檢定統計量為 $Z=2$：

1. 左尾檢定 $H_1:\mu<\mu_0$

   $p\text{-value}=P(Z\leq 2)=0.9772$

2. 右尾檢定 $H_1:\mu>\mu_0$

   $p\text{-value}=P(Z\geq 2)=1-0.9772=0.0228$

3. 雙尾檢定 $H_1:\mu\ne\mu_0$

   $p\text{-value}=2P(Z\geq |2|)=2(0.0228)=0.0456$

若檢定統計量為 $Z=-2$，則左尾與右尾的判斷方向相反：

• 左尾 $p$ 值為 $0.0228$
• 右尾 $p$ 值為 $0.9772$
• 雙尾 $p$ 值仍為 $0.0456$

本題提供的題幹不完整，缺少原假設、對立假設或檢定方向。因此，嚴格而言無法僅依選項唯一決定 $p$-value。若依研究所統計學最常見的雙尾檢定假設作答，則應選擇 $Z= -2$、雙尾 $p$-value $=0.0456$ 的選項。

選項分析

(a) $Z$-statistic $=2$，$p$-value $=0.9772$

此數值組合在「左尾檢定」且 $Z=2$ 時成立，因為：

$P(Z\leq 2)=0.9772$

核心觀念

本題考查「單尾信賴區間與假設檢定的關係」。

依題目前文資料，虛無假設為

$$H_0:\mu\le 500$$

對立假設為

$$H_1:\mu>500$$

因為是右尾檢定，所以 $95\%$ 單尾信賴區間使用

$$z_{0.95}=1.645$$

而非雙尾信賴區間使用的 $z_{0.975}=1.96$。

若 $H_0$ 的主張值 $500$ 落在信賴區間內，表示沒有足夠證據拒絕 $H_0$；若 $500$ 不在信賴區間內，才拒絕 $H_0$。

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解題方法

依前題資料，$95\%$ 單尾信賴區間的下限為

$$\bar{x}-z_{0.95}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} =500.8-1.645(0.5) =499.980$$

因此

$$95\%\ \text{CI of }\mu=[499.980,\infty)$$

檢查虛無假設的主張值：

$$500\in[499.980,\infty)$$

所以樣本結果未顯示母體平均數顯著大於 $500$，應「不拒絕」$H_0$。選擇題通常將此表述為「接受 $H_0$」。

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選項分析

(a) 正確

$$95\%\ \text{CI of }\mu=[499.980,\infty)$$

且

$$500\in[499.980,\infty)$$

核心觀念

本題考查「具有重複觀測的二因子變異數分析（two-way ANOVA with replication）」。

因素如下：

• 因素 $A$：3 個水準
• 因素 $B$：2 個水準
• 每個 $A \times B$ 組合有 $3$ 筆觀測
• 總觀測數：$3 \times 2 \times 3=18$

變異來源包括：

1. 因素 $A$
2. 因素 $B$
3. 交互作用 $A*B$
4. 誤差
5. 總變異

各平方和公式為：

$$SS_T=\sum y_{ijk}^2-\frac{T^2}{N}$$ $$SS_A=\frac{\sum A_i^2}{bn}-\frac{T^2}{N}$$ $$SS_B=\frac{\sum B_j^2}{an}-\frac{T^2}{N}$$ $$SS_{AB}=\frac{\sum (AB)_{ij}^2}{n} -\frac{\sum A_i^2}{bn} -\frac{\sum B_j^2}{an} +\frac{T^2}{N}$$ $$SS_E=SS_T-SS_A-SS_B-SS_{AB}$$

其中：

• $a=3$
• $b=2$
• $n=3$
• $N=18$
• 總和 $T=172$

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解題方法與平方和計算

1. 總平方和

題目給出：

$$\sum y_{ijk}^2=2064$$

且：

$$\frac{172^2}{18}=1643.556$$

因此：

$$SS_T=2064-1643.556=420.444$$

所以：

$$(e)=420.444$$

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2. 因素 $A$ 的平方和

因素 $A$ 各水準總和為：

$$41,\quad 72,\quad 59$$

每個 $A$ 水準包含 $b n=2 \times 3=6$ 筆觀測，因此：

$$SS_A =\frac{41^2+72^2+59^2}{6}-1643.556$$

題目給出：

$$41^2+72^2+59^2=10346$$

故：

$$SS_A=\frac{10346}{6}-1643.556 =1724.333-1643.556 =80.778$$

因此：

$$(a)=80.778$$

自由度為：

$$df_A=a-1=3-1=2$$

因此：

$$(f)=2$$

均方為：

$$MS_A=\frac{SS_A}{df_A} =\frac{80.778}{2} =40.389$$

因此：

$$(k)=40.389$$

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3. 因素 $B$ 的平方和

因素 $B$ 各水準總和為：

$$60,\quad 112$$

每個 $B$ 水準包含 $a n=3 \times 3=9$ 筆觀測，因此：

$$SS_B =\frac{60^2+112^2}{9}-1643.556$$

題目給出：

$$60^2+112^2=16144$$

所以：

$$SS_B=\frac{16144}{9}-1643.556 =1793.778-1643.556 =150.222$$

因此：

$$(b)=150.222$$

自由度為：

$$df_B=b-1=2-1=1$$

因此：

$$(g)=1$$

均方為：

$$MS_B=\frac{150.222}{1}=150.222$$

因此：

$$(l)=150.222$$

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4. 交互作用 $A*B$ 的平方和

六個細胞總和為：

$$10,\quad 22,\quad 28,\quad 31,\quad 37,\quad 44$$

題目給出：

$$10^2+22^2+28^2+31^2+37^2+44^2=5634$$

因此，細胞總和平方和為：

$$\frac{5634}{3}=1878$$

交互作用平方和為：

$$SS_{AB} =1878-1643.556-80.778-150.222 =3.444$$

因此：

$$(c)=3.444$$

這題考驗單因子變異數分析（One-Way ANOVA）中，因子 A 的虛無假設與對立假設的設定，以及如何根據 p-value 和顯著水準 $\alpha$ 來做結論。

1. 虛無假設 ($H_0$) 與對立假設 ($H_1$) 的設定：

• 虛無假設 ($H_0$)：所有水準的平均值都相等。這表示因子 A 對結果沒有顯著影響。
  $H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3$
• 對立假設 ($H_1$)：至少有一個水準的平均值與其他不同。這表示因子 A 對結果有顯著影響。
  $H_1:$ At least one $\mu_i$ is different. (或寫成 $H_1:$ Not all $\mu_i$ are equal.)

這題考驗對迴歸模型中判定係數 (Coefficient of Determination, $R^2$) 的理解。

判定係數 $R^2$ 的定義是：
$R^2 = \frac{SSR}{SST} = 1 - \frac{SSE}{SST}$
其中：

• $SSR$ (Sum of Squares due to Regression)：迴歸模型解釋的變異量。
• $SST$ (Total Sum of Squares)：總變異量 ($SS_{Total}$)。
• $SSE$ (Sum of Squared Errors / Residuals)：模型未能解釋的變異量，即誤差平方和 ($SS_{Error}$)。