108 年 國立成功大學企業管理研究所丙組《微積分》

本題考驗對函數切線的理解。切線的斜率即為函數在切點的導數值，且切線必通過切點。

已知函數為 $f(x) = 5x^2 + 6x - 1$。
首先，我們計算函數的導數 $f'(x)$，它代表了函數在任意點的斜率。
$f'(x) = \frac{d}{dx}(5x^2 + 6x - 1) = 10x + 6$。

切線 $y = mx + b$ 通過點 $(-1,-2)$。
由於切線通過點 $(-1,-2)$，所以這個點必須滿足切線的方程式。
$-2 = m(-1) + b$
$-2 = -m + b$
$b = m - 2$ (Equation 1)

本題考驗對函數的單調性、相對極值和凹向的判斷，需要計算函數的一階導數和二階導數。

給定函數 $f(x) = x^4 + x^3 - 3x^2 + 1$。

首先，我們計算一階導數 $f'(x)$ 來判斷函數的增減性：
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 + x^3 - 3x^2 + 1) = 4x^3 + 3x^2 - 6x$。

接著，我們計算二階導數 $f''(x)$ 來判斷函數的凹向：
$f''(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 + 3x^2 - 6x) = 12x^2 + 6x - 6$。

現在，我們逐一檢查選項：

(a) $f(x)$ is increasing on $(-3, 0)$;
函數在某區間上是遞增的，代表其一階導數在此區間上大於或等於零 ($f'(x) \ge 0$)。
我們需要檢查 $f'(x) = 4x^3 + 3x^2 - 6x$ 在 $(-3, 0)$ 區間上的符號。
我們可以將 $f'(x)$ 因式分解：$f'(x) = x(4x^2 + 3x - 6)$。
令 $g(x) = 4x^2 + 3x - 6$。我們求 $g(x)$ 的根：
$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(4)(-6)}}{2(4)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 96}}{8} = \frac{-3 \pm \sqrt{105}}{8}$。
$\sqrt{105}$ 大約是 $10.25$。
所以根約為 $\frac{-3 \pm 10.25}{8}$，即 $x_1 \approx \frac{7.25}{8} \approx 0.9$ 和 $x_2 \approx \frac{-13.25}{8} \approx -1.65$。
因此，$g(x)$ 的根約為 $-1.65$ 和 $0.9$。
$f'(x) = x(4x^2 + 3x - 6)$。
在區間 $(-3, -1.65)$， $x < 0$ 且 $4x^2 + 3x - 6 > 0$，所以 $f'(x) < 0$。
在區間 $(-1.65, 0)$， $x < 0$ 且 $4x^2 + 3x - 6 < 0$，所以 $f'(x) > 0$。
因此，函數在 $(-3, 0)$ 區間並非全程遞增。例如，在 $(-3, -1.65)$ 區間是遞減的。
所以選項 (a) 是錯誤的。

核心觀念

本題考查：

• 代入指定點求未知係數。
• 多項式函數的函數值計算。
• 定積分的線性性：
  $\int_0^1\left[f(x)+g(x)\right]dx=\int_0^1f(x)dx+\int_0^1g(x)dx.$
• 三個點只能決定三個係數；含有 $t$ 的三次項在 $x=-1,0,1$ 時皆為 $0$，因此無法由已知三點求出 $t$。

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解題方法

將三個已知點分別代入 $p(x)$。

由 $p(-1)=5$ 求 $a$

當 $x=-1$ 時：

$$p(-1) =a(-1)(1-(-1)) +b(0)(2) +c\frac{(-1)(0)}{2} +t(-1)(0)(2).$$

因此

$$p(-1)=-2a=5,$$

得到

$$a=-\frac{5}{2}.$$

但題目選項寫的是 $a=5$，所以選項 (a) 錯誤。

注意：若原式第一項為 $a\cdot x(1-x)$，則確實有 $x(1-x)|_{x=-1}=-2$，不可直接把 $a$ 看成 $p(-1)$。

由 $p(0)=9$ 求 $b$

當 $x=0$ 時：

$$p(0) =a\cdot 0 +b(1)(1) +c\frac{0\cdot1}{2} +t\cdot0\cdot1\cdot1.$$

因此

$$p(0)=b=9.$$

所以選項 (b) 正確。

由 $p(1)=7$ 求 $c$

當 $x=1$ 時：

$$p(1) =a\cdot1\cdot0 +b\cdot2\cdot0 +c\frac{1\cdot2}{2} +t\cdot1\cdot2\cdot0.$$

因此

$$p(1)=c=7.$$

所以選項 (c) 正確。

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計算 $\displaystyle\int_0^1p(x)\,dx$

已知

$$a=-\frac52,\qquad b=9,\qquad c=7.$$

逐項積分：

$$\int_0^1 x(1-x)\,dx =\int_0^1(x-x^2)\,dx =\frac12-\frac13 =\frac16.$$ $$\int_0^1 (x+1)(1-x)\,dx =\int_0^1(1-x^2)\,dx =1-\frac13 =\frac23.$$

本題考驗對多元函數偏導數的計算以及函數定義域的判斷。

給定函數 $F(x,y) = \ln(x^2 + xy + y^2)$。

首先，我們判斷函數的定義域（選項 (c)）。
對數函數 $\ln(u)$ 的定義域要求 $u > 0$。
所以，我們需要 $x^2 + xy + y^2 > 0$。
我們來分析表達式 $x^2 + xy + y^2$。
這可以看作是一個關於 $x$ 的二次函數 $x^2 + (y)x + y^2$。
其判別式為 $\Delta = y^2 - 4(1)(y^2) = y^2 - 4y^2 = -3y^2$。
由於 $\Delta = -3y^2 \le 0$，且二次項係數 $1 > 0$，所以 $x^2 + xy + y^2$ 的值總是 $\ge 0$。
它等於 0 的情況僅發生在 $y=0$ 且 $\Delta=0$ 時，此時 $x^2=0$，即 $x=0$。
所以，$x^2 + xy + y^2 = 0$ 僅當 $(x,y) = (0,0)$ 時成立。
因此，$x^2 + xy + y^2 > 0$ 對於所有 $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ 除了 $(0,0)$ 之外都成立。
所以，函數 $F(x,y)$ 的定義域是 $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$。
選項 (c) 說定義域是 $\mathbb{R}^2$，這是錯誤的，因為 $(0,0)$ 點會使對數函數的參數為 0，導致函數無定義。

接下來，我們計算偏導數 $F_x$ 和 $F_y$。

計算 $F_x$:
將 $y$ 視為常數，對 $F(x,y)$ 對 $x$ 求導。
$F_x(x,y) = \frac{\partial}{\partial x} \ln(x^2 + xy + y^2)$

本題考驗對無窮級數收斂性的判斷，包括比較審斂法、比值審斂法、根值審斂法、p-級數等概念，以及泰勒級數的相關知識。

我們逐一分析每個選項：

(a) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{4n^2+3n+1}}$ is convergent,
我們使用比較審斂法來判斷級數的收斂性。
當 $n$ 很大時，級數的通項 $a_n = \frac{1}{\sqrt{4n^2+3n+1}}$ 近似於 $\frac{1}{\sqrt{4n^2}} = \frac{1}{2n}$。
考慮比較級數 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$。
這個比較級數是一個調和級數的常數倍，而調和級數是發散的。
我們使用極限比較審斂法：
$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{\sqrt{4n^2+3n+1}}}{\frac{1}{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n}{\sqrt{4n^2+3n+1}}$
$= \lim_{n \to \infty} \frac{2n}{\sqrt{n^2(4+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2})}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n}{n\sqrt{4+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}}$
$= \lim_{n \to \infty} \frac{2}{\sqrt{4+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}} = \frac{2}{\sqrt{4+0+0}} = \frac{2}{2} = 1$。
由於極限值 $1$ 是一個正的常數，且比較級數 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n}$ 發散，根據極限比較審斂法，原級數 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{4n^2+3n+1}}$ 也發散。
所以選項 (a) 是錯誤的。

(b) $1 + \frac{1}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{3\sqrt{3}} + \frac{1}{4\sqrt{4}} + \dots$ is a convergent series,
這個級數可以寫成 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\sqrt{n}}$。
級數的通項為 $a_n = \frac{1}{n\sqrt{n}} = \frac{1}{n^{3/2}}$。
這是一個 p-級數 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$，其中 $p = \frac{3}{2}$。
因為 $p = \frac{3}{2} > 1$，所以這個 p-級數是收斂的。
所以選項 (b) 是正確的。

(c) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{7n}{3n+1}$ is convergent.
我們首先檢查級數通項的極限：
$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{7n}{3n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{7}{3+\frac{1}{n}} = \frac{7}{3} \ne 0$。
根據級數的發散檢驗（或稱第 n 項測試），如果級數通項的極限不為零，則該級數必定發散。
所以選項 (c) 是錯誤的。

(d) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+1}x^{n+1}$ gives a Taylor's expansion series of $\ln(1+x)$ for $x \in (0,2)$.
我們知道 $\ln(1+x)$ 的泰勒級數展開式為：

本題是關於邏輯斯諦分佈函數及其機率密度函數的性質。需要進行微分、積分和對稱性驗證。

給定邏輯斯諦分佈函數 $F(x) = \frac{1}{1+e^{-(x-\mu)/\gamma}}$，其中 $\mu$ 和 $\gamma > 0$ 是常數。

(a) 計算機率密度函數 $f(x) = F'(x)$。
我們使用鏈式法則來微分 $F(x)$。
令 $u = 1+e^{-(x-\mu)/\gamma}$。則 $F(x) = u^{-1}$。
$F'(x) = \frac{dF}{du} \cdot \frac{du}{dx}$。
$\frac{dF}{du} = -u^{-2} = -\frac{1}{(1+e^{-(x-\mu)/\gamma})^2}$。
$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(1+e^{-(x-\mu)/\gamma}) = e^{-(x-\mu)/\gamma} \cdot \frac{d}{dx}(-\frac{x-\mu}{\gamma})$。
$\frac{d}{dx}(-\frac{x-\mu}{\gamma}) = -\frac{1}{\gamma} \frac{d}{dx}(x-\mu) = -\frac{1}{\gamma} \cdot 1 = -\frac{1}{\gamma}$。
所以，$\frac{du}{dx} = e^{-(x-\mu)/\gamma} \cdot (-\frac{1}{\gamma}) = -\frac{1}{\gamma} e^{-(x-\mu)/\gamma}$。

將它們組合起來：
$f(x) = F'(x) = -\frac{1}{(1+e^{-(x-\mu)/\gamma})^2} \cdot (-\frac{1}{\gamma} e^{-(x-\mu)/\gamma})$
$f(x) = \frac{e^{-(x-\mu)/\gamma}}{\gamma(1+e^{-(x-\mu)/\gamma})^2}$。
這證明了選項 (a) 的結果。

(b) 計算 $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx = 1$。
我們需要計算 $f(x)$ 在整個實數域上的積分。
$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-(x-\mu)/\gamma}}{\gamma(1+e^{-(x-\mu)/\gamma})^2} dx$。
我們進行變數代換。令 $u = e^{-(x-\mu)/\gamma}$。
則 $du = e^{-(x-\mu)/\gamma} \cdot (-\frac{1}{\gamma}) dx = -\frac{1}{\gamma} u dx$。
所以 $dx = -\gamma \frac{du}{u}$。
當 $x \to -\infty$ 時，$-(x-\mu)/\gamma \to \infty$（因為 $\gamma>0$），所以 $u = e^{-(x-\mu)/\gamma} \to \infty$。
當 $x \to \infty$ 時，$-(x-\mu)/\gamma \to -\infty$，所以 $u = e^{-(x-\mu)/\gamma} \to 0$。

積分變為：
$\int_{\infty}^{0} \frac{u}{\gamma(1+u)^2} (-\gamma \frac{du}{u}) = \int_{\infty}^{0} -\frac{1}{(1+u)^2} du$
$= \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(1+u)^2} du$。
這是一個標準的積分：
$\int_{0}^{\infty} (1+u)^{-2} du = \left[ -(1+u)^{-1} \right]_{0}^{\infty} = \left[ -\frac{1}{1+u} \right]_{0}^{\infty}$
$= \lim_{b \to \infty} (-\frac{1}{1+b}) - (-\frac{1}{1+0})$
$= 0 - (-1) = 1$。
因此，$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx = 1$。這證明了選項 (b) 的結果。

(c) 證明 $f(x)$ 的圖形關於直線 $x = \mu$ 對稱。
函數 $f(x)$ 關於 $x=\mu$ 對稱，意味著 $f(\mu+h) = f(\mu-h)$ 對於任意 $h$ 成立。

核心觀念

本題考查「連續收入流的現值」與「通貨膨脹折減」。

• $c(t)$ 表示第 $t$ 年時的連續收入率，單位為元／年。
• 未來第 $t$ 年收到的收入，換算成現在購買力時，須除以通膨累積因子 $e^{0.04t}$。
• 因此，連續收入流的現值公式為

$$PV=\int_0^4 c(t)e^{-0.04t}\,dt$$

其中 $0.04$ 為平均通膨率，積分上下限 $0$ 與 $4$ 表示未來四年。

解題方法

題目給定連續收入函數

$$c(t)=10000e^{0.05t}$$

將其代入現值公式：

$$PV=\int_0^4 10000e^{0.05t}e^{-0.04t}\,dt$$

合併指數：

$$PV=10000\int_0^4 e^{(0.05-0.04)t}\,dt =10000\int_0^4 e^{0.01t}\,dt$$

由於

$$\int e^{0.01t}\,dt=\frac{1}{0.01}e^{0.01t},$$

所以

核心觀念

本題考查：

• 對數乘法公式：$\ln(ab)=\ln a+\ln b$
• 冪次公式：$\ln(a^r)=r\ln a$
• 鏈鎖律
• 分部積分公式：
  $\int u\,dv=uv-\int v\,du$
• 基本積分公式：
  $\int \ln u\,du=u\ln u-u+C$

由於 $x>0$，故 $x+1>0$ 且 $2x+3>0$，對數函數均有定義。

解題方法

先將函數中的乘積與平方根拆開，再分別進行微分與積分：

$$f(x)=\ln\left((x+1)^2\sqrt{2x+3}\right)$$

利用對數公式：

$$f(x)=\ln (x+1)^2+\ln(2x+3)^{1/2}$$

因此

$$f(x)=2\ln(x+1)+\frac12\ln(2x+3)$$

(a) 求 $f'(x)$

對上式逐項微分：

$$\frac{d}{dx}\left[2\ln(x+1)\right] =\frac{2}{x+1}$$

而

$$\frac{d}{dx}\left[\frac12\ln(2x+3)\right] =\frac12\cdot\frac{2}{2x+3} =\frac{1}{2x+3}$$

所以

$$\boxed{f'(x)=\frac{2}{x+1}+\frac{1}{2x+3}}$$

合併亦可寫成：

$$f'(x) =\frac{2(2x+3)+(x+1)}{(x+1)(2x+3)} =\frac{5x+7}{(x+1)(2x+3)}$$

(b) 計算 $\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx$

由

$$f(x)=2\ln(x+1)+\frac12\ln(2x+3)$$

可得

$$\int_0^1 f(x)\,dx = 2\int_0^1\ln(x+1)\,dx +\frac12\int_0^1\ln(2x+3)\,dx$$

第一部分

利用

$$\int \ln u\,du=u\ln u-u$$

令 $u=x+1$，則

$$\int \ln(x+1)\,dx =(x+1)\ln(x+1)-(x+1)$$

因此

本題考驗利用拉格朗日乘數法求解帶約束條件的最值問題。

我們要求函數 $f(x,y,z) = 3x + 2y + z$ 在約束條件 $g(x,y,z) = 2x^2 + y^2 + z^2 - 6 = 0$ 下的最大值，且 $x, y, z > 0$。

根據拉格朗日乘數法，我們需要求解以下方程組：
$\nabla f = \lambda \nabla g$
$g(x,y,z) = 0$

計算梯度：
$\nabla f = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}) = (3, 2, 1)$
$\nabla g = (\frac{\partial g}{\partial x}, \frac{\partial g}{\partial y}, \frac{\partial g}{\partial z}) = (4x, 2y, 2z)$

聯立方程組為：

1. $3 = \lambda (4x)$
2. $2 = \lambda (2y)$
3. $1 = \lambda (2z)$
4. $2x^2 + y^2 + z^2 = 6$

從方程 (1), (2), (3) 中解出 $x, y, z$ 的表達式（假設 $\lambda \ne 0$）：
從 (1): $x = \frac{3}{4\lambda}$
從 (2): $y = \frac{2}{2\lambda} = \frac{1}{\lambda}$
從 (3): $z = \frac{1}{2\lambda}$

由於 $x, y, z > 0$，所以 $\lambda$ 必須是正數。

將這些表達式代入約束條件 (4)：
$2 \left(\frac{3}{4\lambda}\right)^2 + \left(\frac{1}{\lambda}\right)^2 + \left(\frac{1}{2\lambda}\right)^2 = 6$
$2 \left(\frac{9}{16\lambda^2}\right) + \frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{4\lambda^2} = 6$
$\frac{18}{16\lambda^2} + \frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{4\lambda^2} = 6$
$\frac{9}{8\lambda^2} + \frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{4\lambda^2} = 6$

為了合併分數，我們找公分母 $8\lambda^2$：
$\frac{9}{8\lambda^2} + \frac{8}{8\lambda^2} + \frac{2}{8\lambda^2} = 6$
$\frac{9 + 8 + 2}{8\lambda^2} = 6$
$\frac{19}{8\lambda^2} = 6$
$19 = 48\lambda^2$
$\lambda^2 = \frac{19}{48}$
$\lambda = \sqrt{\frac{19}{48}} = \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{48}} = \frac{\sqrt{19}}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{57}}{12}$ （因為 $\lambda > 0$）。

現在，我們求出 $x, y, z$ 的值：
$x = \frac{3}{4\lambda} = \frac{3}{4 \cdot \frac{\sqrt{57}}{12}} = \frac{3}{\frac{\sqrt{57}}{3}} = \frac{9}{\sqrt{57}} = \frac{9\sqrt{57}}{57} = \frac{3\sqrt{57}}{19}$。
$y = \frac{1}{\lambda} = \frac{12}{\sqrt{57}} = \frac{12\sqrt{57}}{57} = \frac{4\sqrt{57}}{19}$。
$z = \frac{1}{2\lambda} = \frac{1}{2 \cdot \frac{\sqrt{57}}{12}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{57}}{6}} = \frac{6}{\sqrt{57}} = \frac{6\sqrt{57}}{57} = \frac{2\sqrt{57}}{19}$。

我們驗證一下 $x, y, z > 0$。由於 $\sqrt{57} > 0$，它們都大於 0。
現在計算函數 $f(x,y,z)$ 的值：
$f(x,y,z) = 3x + 2y + z$
$= 3 \left(\frac{3\sqrt{57}}{19}\right) + 2 \left(\frac{4\sqrt{57}}{19}\right) + \frac{2\sqrt{57}}{19}$

本題考驗解一階線性微分方程。

給定的微分方程是：
$\frac{dA}{dt} = rA + P$
其中 $A(t)$ 是時間 $t$ 的函數，表示資金總額，$r$ 是年利率（連續複利），$P$ 是每年持續注入的金額。
初始條件是 $A(0) = 0$。

這個微分方程是一階線性微分方程，形式為 $\frac{dA}{dt} + p(t)A = q(t)$。
在這裡，$p(t) = -r$ 且 $q(t) = P$。

我們可以使用積分因子法來求解。
積分因子 $I(t)$ 為：
$I(t) = e^{\int p(t) dt} = e^{\int (-r) dt} = e^{-rt}$。

將微分方程兩邊乘以積分因子 $e^{-rt}$：
$e^{-rt} \frac{dA}{dt} - r e^{-rt} A = P e^{-rt}$。
左邊是 $\frac{d}{dt}(A e^{-rt})$ 的導數：
$\frac{d}{dt}(A e^{-rt}) = P e^{-rt}$。