108 年 國立成功大學交通管理研究所乙組《微積分》

本題考查不定積分與定積分的計算。
(a) 這是定積分，變數為 $x$。我們可以使用變數代換法來計算。
令 $u = 4t+1$，則 $du = 4 dt$，即 $dt = \frac{1}{4} du$。
當 $t=0$ 時，$u = 4(0)+1 = 1$。
當 $t=x$ 時，$u = 4x+1$。
原積分式變為：
$\int_1^{4x+1} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{4} du = \frac{1}{4} \int_1^{4x+1} u^{-\frac{1}{2}} du$

本題考查微分方程的求解，包含變數可分離型與初始值問題。

(a) 這是一個變數可分離的微分方程。
$\frac{dy}{dx} = (x+1)y^2$
將 $y^2$ 移到等號左邊，將 $dx$ 移到等號右邊：
$\frac{1}{y^2} dy = (x+1) dx$
兩邊同時積分：
$\int \frac{1}{y^2} dy = \int (x+1) dx$
$- \frac{1}{y} = \frac{1}{2} x^2 + x + C$
我們使用初始條件 $y=1$ 當 $x=2$ 來求解常數 $C$：
$- \frac{1}{1} = \frac{1}{2} (2)^2 + 2 + C$
$-1 = \frac{1}{2}(4) + 2 + C$
$-1 = 2 + 2 + C$
$-1 = 4 + C$
$C = -5$
將 $C$ 代回原方程式：
$- \frac{1}{y} = \frac{1}{2} x^2 + x - 5$
$\frac{1}{y} = - \frac{1}{2} x^2 - x + 5$
$y = \frac{1}{- \frac{1}{2} x^2 - x + 5} = \frac{2}{-x^2 - 2x + 10}$

【答案】$y = \frac{2}{-x^2 - 2x + 10}$

(b) 這也是一個變數可分離的微分方程。
$\frac{dy}{dt} = \frac{\sin(2t)}{y^2}$
將 $y^2$ 移到等號左邊，將 $dt$ 移到等號右邊：

本題考查最佳化問題，需要建立成本函數並對其進行最小化。

設圓柱的半徑為 $r$ 公分，高為 $h$ 公分。
圓柱的體積 $V$ 為 $V = \pi r^2 h$。
已知體積為 $8\pi$ cm³，所以 $\pi r^2 h = 8\pi$，這給了我們一個約束條件：$r^2 h = 8$。
我們可以將 $h$ 表示為 $h = \frac{8}{r^2}$。

設製造紙板側面的單位面積成本為 $k$ (單位：元/cm²)。
則製造金屬頂蓋和底部的單位面積成本為 $3k$ (單位：元/cm²)。

圓柱的表面積包含頂蓋、底蓋和側面。
頂蓋面積為 $\pi r^2$。
底蓋面積為 $\pi r^2$。
側面面積為 $2\pi r h$。

總成本 $C$ 可以表示為：
$C = (\text{頂蓋成本}) + (\text{底蓋成本}) + (\text{側面成本})$
$C = (3k)(\pi r^2) + (3k)(\pi r^2) + (k)(2\pi r h)$
$C = 6k\pi r^2 + 2k\pi r h$

我們想要最小化成本 $C$。由於 $k$ 是一個常數，我們可以最小化 $C/k$。
令 $C' = \frac{C}{k} = 6\pi r^2 + 2\pi r h$。

現在，我們將約束條件 $h = \frac{8}{r^2}$ 代入 $C'$ 中，以消除 $h$：
$C'(r) = 6\pi r^2 + 2\pi r \left(\frac{8}{r^2}\right)$
$C'(r) = 6\pi r^2 + \frac{16\pi}{r}$

為了找到成本最小的尺寸，我們需要對 $C'(r)$ 關於 $r$ 求導，並令其等於零。
$\frac{dC'}{dr} = \frac{d}{dr} (6\pi r^2 + 16\pi r^{-1})$
$\frac{dC'}{dr} = 12\pi r - 16\pi r^{-2}$
$\frac{dC'}{dr} = 12\pi r - \frac{16\pi}{r^2}$

令 $\frac{dC'}{dr} = 0$：
$12\pi r - \frac{16\pi}{r^2} = 0$
$12\pi r = \frac{16\pi}{r^2}$
$12 r^3 = 16$
$r^3 = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$
$r = \left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{1}{3}}$

接下來，我們需要驗證這是一個最小值。我們可以計算二階導數：
$\frac{d^2C'}{dr^2} = \frac{d}{dr} \left(12\pi r - 16\pi r^{-2}\right)$
$\frac{d^2C'}{dr^2} = 12\pi - 16\pi (-2) r^{-3}$
$\frac{d^2C'}{dr^2} = 12\pi + \frac{32\pi}{r^3}$
當 $r = \left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{1}{3}} > 0$ 時，$r^3 = \frac{4}{3}$，所以 $\frac{d^2C'}{dr^2} = 12\pi + \frac{32\pi}{4/3} = 12\pi + 32\pi \cdot \frac{3}{4} = 12\pi + 24\pi = 36\pi > 0$。
由於二階導數大於零，所以這是一個局部最小值。

現在我們找到最佳的半徑 $r$，接著計算對應的高度 $h$：
$h = \frac{8}{r^2} = \frac{8}{(\frac{4}{3})^{\frac{2}{3}}}$

本題考查機率與二次方程根的判別式。

二次方程 $x^2+bx+c=0$ 有實根的條件是其判別式 $\Delta \ge 0$。
判別式 $\Delta = b^2 - 4ac$。在此方程中，$a=1$，所以 $\Delta = b^2 - 4c$。
因此，有實根的條件是 $b^2 - 4c \ge 0$，即 $b^2 \ge 4c$。

題目給定的條件是 $|b| \le 1$ 和 $|c| \le 1$。
這意味著 $-1 \le b \le 1$ 和 $-1 \le c \le 1$。

我們需要計算在給定的條件範圍內，$b^2 \ge 4c$ 的機率。
這是一個幾何機率問題。我們考慮一個二維的樣本空間，由變數 $b$ 和 $c$ 組成。
樣本空間是一個正方形區域，其頂點為 $(-1,-1), (1,-1), (1,1), (-1,1)$。
這個正方形的面積為 $(1 - (-1)) \times (1 - (-1)) = 2 \times 2 = 4$。

我們需要在這個區域內找出滿足 $b^2 \ge 4c$ 的點。
將不等式改寫為 $c \le \frac{b^2}{4}$。

我們要在這個邊長為 2 的正方形區域內，尋找曲線 $c = \frac{b^2}{4}$ 下方的區域。
曲線 $c = \frac{b^2}{4}$ 是一個開口向上的拋物線。
當 $b=0$ 時，$c=0$。
當 $b=1$ 時，$c=1/4$。
當 $b=-1$ 時，$c=1/4$。

我們需要計算滿足 $-1 \le b \le 1$ 且 $-1 \le c \le \frac{b^2}{4}$ 的區域面積。
這個區域的面積可以通過積分計算：
面積 $A = \int_{-1}^{1} (\text{上界} - \text{下界}) db$
在我們的問題中，對於給定的 $b$，我們需要滿足 $-1 \le c \le 1$ 且 $c \le \frac{b^2}{4}$。
因此，對於給定的 $b$，$c$ 的有效範圍是 $-1 \le c \le \min(1, \frac{b^2}{4})$。

由於 $|b| \le 1$，所以 $0 \le b^2 \le 1$。
因此，$\frac{b^2}{4} \le \frac{1}{4}$。

本題考查函數圖形的繪製，特別是利用二階導數來判斷函數的凹凸性與極值。

首先，我們計算函數的一階導數 $f'(x)$ 和二階導數 $f''(x)$。
$f(x) = 2x^4 - 4x^2 - 3$

一階導數：
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^4 - 4x^2 - 3) = 8x^3 - 8x$

令 $f'(x) = 0$ 來尋找駐點：
$8x^3 - 8x = 0$
$8x(x^2 - 1) = 0$
$8x(x-1)(x+1) = 0$
駐點為 $x = 0, x = 1, x = -1$。

接下來，我們計算二階導數：
$f''(x) = \frac{d}{dx}(8x^3 - 8x) = 24x^2 - 8$

利用二階導數測試來判斷駐點的性質：

1. 當 $x = -1$:
   $f''(-1) = 24(-1)^2 - 8 = 24 - 8 = 16$
   因為 $f''(-1) > 0$，所以在 $x = -1$ 處有一個局部最小值。
   $f(-1) = 2(-1)^4 - 4(-1)^2 - 3 = 2(1) - 4(1) - 3 = 2 - 4 - 3 = -5$。
   所以，局部最小值點為 $(-1, -5)$。

2. 當 $x = 0$:
   $f''(0) = 24(0)^2 - 8 = -8$
   因為 $f''(0) < 0$，所以在 $x = 0$ 處有一個局部最大值。
   $f(0) = 2(0)^4 - 4(0)^2 - 3 = -3$。
   所以，局部最大值點為 $(0, -3)$。

3. 當 $x = 1$:
   $f''(1) = 24(1)^2 - 8 = 24 - 8 = 16$
   因為 $f''(1) > 0$，所以在 $x = 1$ 處有一個局部最小值。
   $f(1) = 2(1)^4 - 4(1)^2 - 3 = 2(1) - 4(1) - 3 = 2 - 4 - 3 = -5$。
   所以，局部最小值點為 $(1, -5)$。

現在我們來分析函數的凹凸性。
$f''(x) = 24x^2 - 8$
令 $f''(x) = 0$ 來尋找反曲點：
$24x^2 - 8 = 0$
$24x^2 = 8$
$x^2 = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$
$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$。
反曲點約為 $x \approx \pm 0.577$。

我們分析 $f''(x)$ 的符號：

• 當 $x < -\frac{\sqrt{3}}{3}$ (例如 $x=-1$)， $f''(x) > 0$，函數是凹口向上 (concave up)。
  -當 $-\frac{\sqrt{3}}{3} < x < \frac{\sqrt{3}}{3}$ (例如 $x=0$)， $f''(x) < 0$，函數是凹口向下 (concave down)。
  -當 $x > \frac{\sqrt{3}}{3}$ (例如 $x=1$)， $f''(x) > 0$，函數是凹口向上 (concave up)。

反曲點的函數值：
$f\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^4 - 4\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 - 3$