115 年 國立成功大學企業管理研究所丙組《微積分》

本題在考驗極限的性質，特別是關於除法、加法以及極限不存在時的相關判斷。

(A) 如果分子極限為非零常數，分母極限為零，則此分數的極限通常不存在，可能趨近於正無窮大、負無窮大或不存在。但這裡題目說「does not exist」，這句話本身是正確的，因為它涵蓋了趨近無窮大或震盪不定的情況。因此，此敘述為真。

(B) 如果分子和分母的極限都是零（即 $\frac{0}{0}$ 型不定式），則 $\lim_{x\to 3} [f(x)/g(x)]$ 可能存在，也可能不存在。例如，若 $f(x) = x-3$ 且 $g(x) = x-3$，則 $\lim_{x\to 3} [f(x)/g(x)] = \lim_{x\to 3} 1 = 1$。若 $f(x) = x-3$ 且 $g(x) = (x-3)^2$，則 $\lim_{x\to 3} [f(x)/g(x)] = \lim_{x\to 3} \frac{1}{x-3}$，此極限不存在。因此，不能斷言此極限「一定」不存在。此敘述為假。

(C) 如果兩個函數的極限都不存在，它們的和的極限也可能存在。例如，令 $f(x) = \frac{1}{x-a}$ 且 $g(x) = -\frac{1}{x-a}$。

核心觀念

本題考查：

1. 反曲點的判定：$f''(a)=0$只是可能是反曲點的必要條件之一，還必須確認曲線在該點左右兩側的凹凸性發生改變。
2. 拉格朗日中值定理：若函數在區間上連續、開區間內可微，則存在 $c$ 使
   $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$
3. 一階、二階導數與函數圖形的關係：
   • $f'(x)>0$：函數遞增。
   • $f'(x)<0$：函數遞減。
   • $f''(x)>0$：圖形向上凹。
   • $f''(x)<0$：圖形向下凹。

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選項分析

（A）錯誤

題目聲稱若 $f''(3)=0$，則 $(3,f(3))$必為反曲點。

反曲點的定義是：曲線在該點左右兩側的凹凸性發生改變。因此，$f''(3)=0$並不足以保證是反曲點。

例如令

$$f(x)=(x-3)^4.$$

則

$$f''(x)=12(x-3)^2,$$

所以

$$f''(3)=0.$$

但是對於 $x\neq 3$，皆有

$$f''(x)>0,$$

曲線左右兩側始終向上凹，凹凸性沒有改變，因此 $(3,f(3))$不是反曲點。

故（A）錯誤。

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（B）錯誤

已知

$$f(3)=-3,\qquad f(6)=0.$$

若 $f$ 在 $[3,6]$ 連續且在 $(3,6)$ 可微，依拉格朗日中值定理，存在某個 $c\in(3,6)$，使得

$$f'(c)=\frac{f(6)-f(3)}{6-3}.$$

代入數值：

$$f'(c)=\frac{0-(-3)}{3}=1.$$

但是題目要求對所有 $x$ 皆有

$$f'(x)>1,$$

本題考驗定積分的換元積分法 (u-substitution)。

我們需要計算 $\int_{b/3}^{a/3} g(3x) dx$。
令 $u = 3x$。
則 $du = 3 dx$，即 $dx = \frac{1}{3} du$。

接下來，我們需要改變積分的上下限。
當 $x = b/3$ 時，$u = 3(b/3) = b$。
當 $x = a/3$ 時，$u = 3(a/3) = a$。

將這些代入原積分式：
$\int_{b/3}^{a/3} g(3x) dx = \int_{b}^{a} g(u) \left(\frac{1}{3} du\right)$

本題考驗對幾何級數和泰勒級數的應用，以及收斂區間的判斷。

首先，我們將函數 $\frac{1}{x+2}$ 變形，使其能夠利用幾何級數的公式 $\frac{1}{1-r} = \sum_{n=0}^{\infty} r^n$，其中 $|r| < 1$。
$\frac{1}{x+2} = \frac{1}{2+x} = \frac{1}{2(1 + x/2)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - (-x/2)}$
令 $r = -x/2$。則此級數的展開為：
$\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \left(-\frac{x}{2}\right)^n = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{2^n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{2^{n+1}}$
這個級數是以 0 為中心的冪級數。

接下來，我們需要判斷其收斂區間。幾何級數的收斂條件是 $|r| < 1$。
所以，我們需要 $|-x/2| < 1$。
$\left|-\frac{x}{2}\right| < 1$
$\frac{|x|}{2} < 1$
$|x| < 2$
這表示 $-2 < x < 2$。

現在我們需要檢查區間的端點 $x = -2$ 和 $x = 2$。
當 $x = 2$ 時，級數變為：
$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (2)^n}{2^{n+1}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^n}{2 \cdot 2^n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2} = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n$
此級數為 $\frac{1}{2}(1 - 1 + 1 - 1 + \dots)$，是發散的（震盪）。

當 $x = -2$ 時，級數變為：
$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (-2)^n}{2^{n+1}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (-1)^n 2^n}{2 \cdot 2^n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{2n} 2^n}{2 \cdot 2^n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2}$
此級數為 $\frac{1}{2}(1 + 1 + 1 + \dots)$，是發散的。

本題考驗隱函數微分求切線斜率，以及切線方程式的應用。

首先，我們需要找到曲線 $x^2 + 2xy + 4y^2 = 12$ 在點 $(2, 1)$ 的切線斜率 $a$。
我們對曲線方程式進行隱函數微分，對 $x$ 微分：
$\frac{d}{dx}(x^2 + 2xy + 4y^2) = \frac{d}{dx}(12)$
$2x + (2y + 2x \frac{dy}{dx}) + 8y \frac{dy}{dx} = 0$
將已知點 $(x, y) = (2, 1)$ 和 $\frac{dy}{dx} = a$ 代入：
$2(2) + (2(1) + 2(2) a) + 8(1) a = 0$
$4 + (2 + 4a) + 8a = 0$

本題考驗相關變化率 (Related Rates) 的應用。

設汽車離開交叉點的時間為 $t$。
設第一輛車（向東）的位置為 $x(t)$，第二輛車（向南）的位置為 $y(t)$。
兩車之間的距離為 $z(t)$。

我們已知：
$\frac{dx}{dt} = 40$ mph (第一輛車向東的速度)
$\frac{dy}{dt} = 30$ mph (第二輛車向南的速度)

兩車離開交叉點，我們可以將交叉點視為原點 $(0,0)$。
第一輛車向東，所以它的位置是 $(x(t), 0)$。
第二輛車向南，所以它的位置是 $(0, -y(t))$ (如果我們定義向北為正，向南為負)。
或者，我們可以將向南的速度視為正的，所以位置是 $(0, y(t))$，但這時 $y(t)$ 代表距離。

我們使用畢氏定理來建立距離 $z$ 和位置 $x, y$ 的關係。
由於兩車一個向東，一個向南，它們的運動路徑垂直。
我們可以將它們的位置想像成直角三角形的兩股，而它們之間的距離是斜邊。
$z(t)^2 = x(t)^2 + y(t)^2$

我們要求的是當第一輛車距離交叉點 120 英里時，兩車之間距離的變化率，即 $\frac{dz}{dt}$，此時 $x(t) = 120$ 英里。

首先，我們需要知道當 $x(t) = 120$ 時，$y(t)$ 是多少。
由於 $\frac{dx}{dt} = 40$ mph，則 $x(t) = 40t$。
當 $x(t) = 120$ 時，$120 = 40t \implies t = 3$ 小時。
在 $t = 3$ 小時時，第二輛車行駛的距離為 $y(t) = \frac{dy}{dt} \cdot t = 30 \cdot 3 = 90$ 英里。
所以，當第一輛車是 120 英里時，第二輛車是 90 英里。

本題考驗泰勒多項式 (Taylor Polynomial) 的定義與應用。

一個函數 $f(x)$ 在 $x=a$ 點的 $n$ 階泰勒多項式 $P_n(x)$ 的定義為：
$P_n(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$
$P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$
其中 $f^{(k)}(a)$ 表示函數 $f$ 在 $a$ 點的 $k$ 階導數。

在本題中，我們需要尋找 $f(x)$ 在 $x = 0$ 點的三階泰勒多項式，即 $n=3$ 且 $a=0$。
我們已知以下資訊：
$f(0) = 1$
$f'(0) = 6$

本題考驗不定積分與定積分的計算，包括分部積分法、瑕積分的判斷與計算。

(A) $\int \ln(2x) dx$
這是第一個不定積分，我們可以使用分部積分法。
令 $u = \ln(2x)$ 且 $dv = dx$。
則 $du = \frac{1}{2x} \cdot 2 dx = \frac{1}{x} dx$ 且 $v = x$。
根據分部積分公式 $\int u dv = uv - \int v du$：
$\int \ln(2x) dx = x \ln(2x) - \int x \cdot \frac{1}{x} dx$
$= x \ln(2x) - \int 1 dx$
$= x \ln(2x) - x + C$
其中 $C$ 是積分常數。

【答案】$x \ln(2x) - x + C$

(B) $\int x^3 e^x dx$
這是一個多項式乘以指數函數的不定積分，需要多次使用分部積分法。
令 $u = x^3$, $dv = e^x dx \implies du = 3x^2 dx$, $v = e^x$。
$\int x^3 e^x dx = x^3 e^x - \int 3x^2 e^x dx$
對 $\int 3x^2 e^x dx$ 再次使用分部積分法：令 $u = 3x^2$, $dv = e^x dx \implies du = 6x dx$, $v = e^x$。
$\int 3x^2 e^x dx = 3x^2 e^x - \int 6x e^x dx$
所以，
$\int x^3 e^x dx = x^3 e^x - (3x^2 e^x - \int 6x e^x dx) = x^3 e^x - 3x^2 e^x + \int 6x e^x dx$
對 $\int 6x e^x dx$ 再次使用分部積分法：令 $u = 6x$, $dv = e^x dx \implies du = 6 dx$, $v = e^x$。
$\int 6x e^x dx = 6x e^x - \int 6 e^x dx$
$= 6x e^x - 6e^x$
將結果代回：
$\int x^3 e^x dx = x^3 e^x - 3x^2 e^x + (6x e^x - 6e^x) + C$
$= e^x (x^3 - 3x^2 + 6x - 6) + C$

另一種系統性的方法是使用表格法 (Tabular Integration by Parts)。

符號	微分 (u)	積分 (dv)
+	$x^3$	$e^x$
-	$3x^2$	$e^x$
+	$6x$	$e^x$
-	$6$	$e^x$
+	$0$	$e^x$

將對角線上的乘積相加（並考慮符號）：
$\int x^3 e^x dx = + x^3 e^x - 3x^2 e^x + 6x e^x - 6e^x + C$
$= e^x (x^3 - 3x^2 + 6x - 6) + C$

本題考驗線性近似 (Linear Approximation) 的應用。

線性近似的公式為：
$f(x) \approx P_1(x) = f(a) + f'(a)(x-a)$
其中 $P_1(x)$ 是函數 $f(x)$ 在點 $a$ 處的一階泰勒多項式，也稱為線性近似。

在本題中，我們有函數 $f(x) = x^3$，並且我們要在 $a = 5$ 處進行線性近似。
首先，我們需要計算 $f(a)$ 和 $f'(a)$。
$f(a) = f(5) = 5^3 = 125$。
接著，計算 $f'(x)$：
$f'(x) = 3x^2$。
然後，計算 $f'(a) = f'(5)$：
$f'(5) = 3(5^2) = 3(25) = 75$。

現在，我們可以使用線性近似公式來近似 $(5.2)^3$。
我們希望近似 $f(5.2)$。在這裡，$x = 5.2$。

本題考驗二重積分的計算。觀察積分區域，$\sqrt{4-x^2}$ 提示我們可能可以轉換為極座標。

首先，我們分析積分區域。
外層積分是關於 $x$ 從 $0$ 到 $2$。
內層積分是關於 $y$ 從 $0$ 到 $\sqrt{4-x^2}$。
$y = \sqrt{4-x^2}$ 表示一個圓的上半部。
$y^2 = 4 - x^2 \implies x^2 + y^2 = 4$。
這是一個以原點為圓心，半徑為 $2$ 的圓。
由於 $x$ 的範圍是 $0 \le x \le 2$，且 $y$ 的範圍是 $0 \le y \le \sqrt{4-x^2}$，這表示積分區域是在第一象限內，由 $x$-軸、$y$-軸以及圓 $x^2+y^2=4$ 所圍成的扇形區域。這個區域是一個四分之一圓。

我們可以通過兩種方式計算這個積分：

1. 直接使用直角座標計算。
2. 轉換為極座標計算。

方法一：直接計算（可能較複雜）
$\int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-x^2}} x y \, dy \, dx$
先對 $y$ 積分：
$\int_{0}^{\sqrt{4-x^2}} x y \, dy = x \left[\frac{y^2}{2}\right]_{0}^{\sqrt{4-x^2}}$
$= x \left(\frac{(\sqrt{4-x^2})^2}{2} - \frac{0^2}{2}\right)$
$= x \left(\frac{4-x^2}{2}\right) = \frac{1}{2} (4x - x^3)$
現在對 $x$ 積分：
$\int_{0}^{2} \frac{1}{2} (4x - x^3) dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} (4x - x^3) dx$
$= \frac{1}{2} \left[ 4\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2}$
$= \frac{1}{2} \left[ 2x^2 - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2}$
$= \frac{1}{2} \left( (2(2^2) - \frac{2^4}{4}) - (2(0^2) - \frac{0^4}{4}) \right)$
$= \frac{1}{2} \left( (2(4) - \frac{16}{4}) - 0 \right)$
$= \frac{1}{2} (8 - 4)$
$= \frac{1}{2} (4) = 2$

本題考驗多元函數的相對極值 (Relative Extrema) 的求法，需要用到偏導數和二階偏導數檢驗。

步驟 1：求一階偏導數並令其為零，找出駐點 (Critical Points)。
函數為 $f(x, y) = x^3 - 3x - y^2 + 4y$。
一階偏導數：
$\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 - 3$
$\frac{\partial f}{\partial y} = -2y + 4$

令一階偏導數為零：
$3x^2 - 3 = 0 \implies 3x^2 = 3 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$
$-2y + 4 = 0 \implies -2y = -4 \implies y = 2$

所以，駐點有兩個：$(1, 2)$ 和 $(-1, 2)$。

步驟 2：求二階偏導數。
$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 6x$
$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -2$
$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 0$

本題是一個一階線性微分方程的初值問題 (Initial-Value Problem)。

觀察微分方程 $\frac{dy}{dx} = x^3 - xy$，我們可以將其整理成標準的一階線性微分方程形式：
$\frac{dy}{dx} + xy = x^3$
這是一個形如 $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ 的微分方程，其中 $P(x) = x$ 且 $Q(x) = x^3$。

我們可以使用積分因子法 (Integrating Factor Method) 來求解。
積分因子 $I(x)$ 為：
$I(x) = e^{\int P(x) dx}$
$I(x) = e^{\int x dx} = e^{\frac{x^2}{2}}$
將整個方程乘以積分因子：
$e^{\frac{x^2}{2}} \frac{dy}{dx} + e^{\frac{x^2}{2}} xy = e^{\frac{x^2}{2}} x^3$
左邊可以寫成 $(I(x)y)'$：
$\frac{d}{dx} \left( e^{\frac{x^2}{2}} y \right) = e^{\frac{x^2}{2}} x^3$
現在對兩邊進行積分：
$\int \frac{d}{dx} \left( e^{\frac{x^2}{2}} y \right) dx = \int e^{\frac{x^2}{2}} x^3 dx$
$e^{\frac{x^2}{2}} y = \int e^{\frac{x^2}{2}} x^3 dx$
我們需要計算右邊的積分 $\int e^{\frac{x^2}{2}} x^3 dx$。
我們可以對此積分進行換元。令 $u = \frac{x^2}{2}$。
則 $du = x dx$。
原積分可以寫成：
$\int e^{\frac{x^2}{2}} x^2 \cdot x dx$