111 年 國立成功大學企業管理研究所丙組《微積分》

核心觀念

本題考查二次函數的頂點與最小值、凸性所導出的中點不等式，以及切線的斜率與切點條件。

對 $f(x)=x^2+bx+c$，有

$$f'(x)=2x+b$$

因此，$x=a$ 處的切線斜率為 $2a+b$，切線方程式為

$$y=f(a)+f'(a)(x-a)$$

解題方法

先將二次函數配方，以判斷頂點與最小值；再比較兩端函數值的平均與中點函數值；最後用「切線斜率等於導數」及「切點在直線上」檢查切線敘述。

選項分析

(A) 正確。 配方得

$$f(x)=x^2+bx+c =\left(x+\frac b2\right)^2+c-\frac{b^2}{4}$$

平方項最小為 $0$，發生在 $x=-\frac b2$，所以最小值為 $c-\frac{b^2}{4}$。

(B) 正確。 令 $u=\frac{\alpha+\beta}{2}$、$d=\frac{\beta-\alpha}{2}$，則 $\alpha=u-d$、$\beta=u+d$。直接計算：

這題考驗將黎曼和 (Riemann sum) 轉換成定積分的能力，以及對求和公式的理解。
首先，我們計算定積分 $\int_0^1 x^2 dx$ 的值。
$\int_0^1 x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}$。
接下來，我們分析每個選項是否等於 $\frac{1}{3}$。

選項 (A): $\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{(k+1)^3-k^3}{n^3}$
這是一個 Telescoping sum。
$\sum_{k=1}^{n} ((k+1)^3-k^3) = (2^3-1^3) + (3^3-2^3) + \dots + ((n+1)^3-n^3) = (n+1)^3 - 1^3$。
所以，$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{(k+1)^3-k^3}{n^3} = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)^3 - 1}{n^3} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - 1}{n^3} = \lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{3}{n} + \frac{3}{n^2} + \frac{1}{n^3}\right) = 1$。
選項 (A) 的值是 1，不等於 $\frac{1}{3}$。

選項 (B): $\lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(k+1)^3-k^3}{n^3}$
這個也是 Telescoping sum。
$\sum_{k=0}^{n-1} ((k+1)^3-k^3) = (1^3-0^3) + (2^3-1^3) + \dots + (n^3-(n-1)^3) = n^3 - 0^3 = n^3$。
所以，$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(k+1)^3-k^3}{n^3} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^3}{n^3} = 1$。
選項 (B) 的值是 1，不等於 $\frac{1}{3}$。

選項 (C): $\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k^2}{n^3}$
我們可以將此視為黎曼和。

這題考驗對多元函數偏導數的計算與判斷。
給定函數 $f(x, y) = ye^{x^2}$。

首先計算各階偏導數：
$f_x(x, y) = \frac{\partial}{\partial x}(ye^{x^2}) = y \cdot e^{x^2} \cdot (2x) = 2xy e^{x^2}$
$f_y(x, y) = \frac{\partial}{\partial y}(ye^{x^2}) = e^{x^2} \cdot 1 = e^{x^2}$

$f_{xx}(x, y) = \frac{\partial}{\partial x}(2xy e^{x^2}) = 2y \cdot \frac{\partial}{\partial x}(x e^{x^2}) = 2y \cdot (1 \cdot e^{x^2} + x \cdot e^{x^2} \cdot 2x) = 2y e^{x^2} (1 + 2x^2)$
$f_{xy}(x, y) = \frac{\partial}{\partial y}(2xy e^{x^2}) = 2x e^{x^2}$
$f_{yx}(x, y) = \frac{\partial}{\partial x}(e^{x^2}) = e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2}$ (注意 $f_{xy}=f_{yx}$)

核心觀念
本題的核心考點包含：對數函數的導函數與連鎖律（Chain Rule）、幾何級數與麥克勞林級數（Maclaurin Series）展開、級數的逐項微分與積分，以及基本函數如 $\ln(1+u)$ 與 $\arctan(x)$ 之泰勒級數表達式與邊界收斂值的比對與辨析。

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解題過程與選項分析

已知函數為 $f(x) = \ln(1+x^2)$。

對選項 (A) 的分析：

根據自然對數函數的微分公式與微分連鎖律（Chain Rule）：
$f'(x) = \frac{d}{dx} \ln(1+x^2) = \frac{1}{1+x^2} \cdot \frac{d}{dx}(1+x^2) = \frac{2x}{1+x^2}$

• 說明：選項 (A) 給出的 $\frac{1}{1+x^2}$ 缺少了由連鎖律對內函數 $(1+x^2)$ 微分產生的分子項 $2x$（實際上，$\frac{1}{1+x^2}$ 是 $g(x) = \arctan(x)$ 的導函數）。
• 結論：選項 (A) 錯誤。

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對選項 (B) 的分析：

將正確的導函數 $f'(x) = \frac{2x}{1+x^2}$ 進行麥克勞林級數展開。
當 $|x| < 1$ 時，利用無窮等比級數求和公式：
$\frac{1}{1+x^2} = \sum_{k=0}^{\infty} (-x^2)^k = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k x^{2k} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \dots$
兩邊同乘以 $2x$，得 $f'(x)$ 的麥克勞林級數展開式為：
$f'(x) = 2x \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k x^{2k} = \sum_{k=0}^{\infty} 2(-1)^k x^{2k+1} = 2x - 2x^3 + 2x^5 - \dots \quad (\text{當 } |x| < 1)$

而選項 (B) 所給出的級數為：
$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^{2k+1}}{2k+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \dots$
此級數實際上是反正切函數 $g(x) = \arctan(x)$ 的泰勒級數展開式，而非 $f'(x)$ 的展開式。

• 說明：選項 (B) 誤將 $f'(x)$ 寫成 $\arctan(x)$ 的級數展開式。
• 結論：選項 (B) 錯誤。

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對選項 (C) 的分析：

求原函數 $f(x) = \ln(1+x^2)$ 當 $|x| < 1$ 時的麥克勞林級數展開。
已知自然對數函數的標準展式為：

這題考驗牛頓法 (Newton's Method) 的應用。牛頓法是用來求解函數的根的數值方法。

給定函數 $f(x) = x^2 - 6$。我們要求 $\sqrt{6}$，這等同於求解 $f(x) = 0$ 的正根。
首先計算 $f(x)$ 的導數：$f'(x) = 2x$。
牛頓法的迭代公式為 $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$。
將 $f(x)$ 和 $f'(x)$ 代入公式：
$x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^2 - 6}{2x_n}$
$x_{n+1} = x_n - \frac{x_n}{2} + \frac{6}{2x_n}$
$x_{n+1} = \frac{x_n}{2} + \frac{3}{x_n}$

給定的初始值為 $x_0 = 1$。我們需要計算 $x_2$。

這題考驗成本函數、平均成本函數的計算，以及如何利用微分來尋找極值。

給定總成本函數 $C(x) = 1000 + 80x + 2x\sqrt{x}$，其中 $x$ 是生產的單位數量。
平均成本函數 $AC(x)$ 定義為總成本除以生產的單位數量：
$AC(x) = \frac{C(x)}{x} = \frac{1000 + 80x + 2x\sqrt{x}}{x}$
$AC(x) = \frac{1000}{x} + 80 + 2\sqrt{x}$。

為了找到平均成本的最小值，我們需要計算 $AC(x)$ 的導數，並令其等於零。
$AC(x) = 1000x^{-1} + 80 + 2x^{1/2}$。
$AC'(x) = \frac{d}{dx}(1000x^{-1} + 80 + 2x^{1/2})$
$AC'(x) = 1000(-1)x^{-2} + 0 + 2(\frac{1}{2})x^{-1/2}$
$AC'(x) = -1000x^{-2} + x^{-1/2}$
$AC'(x) = -\frac{1000}{x^2} + \frac{1}{\sqrt{x}}$。

令 $AC'(x) = 0$ 來尋找極值點：
$-\frac{1000}{x^2} + \frac{1}{\sqrt{x}} = 0$
$\frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1000}{x^2}$
$x^2 = 1000\sqrt{x}$。
為了解出 $x$，我們可以將兩邊平方，或者將 $\sqrt{x}$ 寫成 $x^{1/2}$。
$x^2 = 1000 x^{1/2}$。
將 $x^{1/2}$ 移到左邊：
$\frac{x^2}{x^{1/2}} = 1000$
$x^{2 - 1/2} = 1000$
$x^{3/2} = 1000$。

這題考驗換元積分法 (u-substitution) 的應用，特別是如何處理積分中的微分項。

我們要計算不定積分 $\int \frac{(\ln x)^2}{x^2} dx$。
令 $u = \ln x$。
對 $u$ 進行微分，得到 $du = \frac{1}{x} dx$。

現在我們需要將原積分中的所有項轉換成以 $u$ 和 $du$ 表示。
原積分是 $\int (\ln x)^2 \cdot \frac{1}{x^2} dx$。
我們可以將 $\frac{1}{x^2} dx$ 寫成 $\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} dx$。
由於 $du = \frac{1}{x} dx$，所以 $\frac{1}{x^2} dx = \frac{1}{x} \cdot du$。
但是，我們需要將 $\frac{1}{x}$ 轉換成以 $u$ 表示。
由 $u = \ln x$，我們可以得到 $x = e^u$。
所以，$\frac{1}{x} = \frac{1}{e^u} = e^{-u}$。
因此，$\frac{1}{x^2} dx = e^{-u} du$。

現在我們將原積分轉換成以 $u$ 表示：
$\int \frac{(\ln x)^2}{x^2} dx = \int u^2 \cdot (e^{-u} du)$
$\int u^2 e^{-u} du$。

所以，$g(u) = u^2 e^{-u}$。
(7a) 的答案是 $u^2 e^{-u}$。

接下來，我們需要計算這個不定積分 $\int u^2 e^{-u} du$。
我們可以使用分部積分法 (Integration by Parts)，公式為 $\int v dw = vw - \int w dv$。
我們需要積分兩次。

這題考驗二重積分的計算，特別是積分區域的確定與積分順序的選擇。

我們需要計算二重積分 $\int_0^2 \int_0^{\sqrt{y}} x\sqrt{y} dx dy$。
積分區域是由 $y=0$, $y=2$, $x=0$ 和 $x=\sqrt{y}$ 所圍成的區域。
不等式 $0 \le x \le \sqrt{y}$ 和 $0 \le y \le 2$ 描述了積分區域 $D$。
從 $x=\sqrt{y}$ 可以得到 $x^2=y$。由於 $x \ge 0$, $x=\sqrt{y}$ 是拋物線 $y=x^2$ 在第一象限的部分。
積分區域是 $y$ 從 0 到 2，對於每個 $y$， $x$ 從 0 到 $\sqrt{y}$。
這表示積分區域是 $y=x^2$ 下方，且 $y$ 在 0 到 2 之間的區域。
當 $y=2$ 時，$x=\sqrt{2}$。所以 $x$ 的範圍是從 0 到 $\sqrt{2}$。

我們可以選擇改變積分順序，將積分從 $dx dy$ 改成 $dy dx$。
原積分區域描述：$0 \le y \le 2$, $0 \le x \le \sqrt{y}$。
由 $x \le \sqrt{y}$ 且 $y \ge 0$, 我們有 $x^2 \le y$.
所以，積分區域可以重新描述為：$0 \le x \le \sqrt{2}$ (因為當 $y=2$ 時，$x=\sqrt{2}$), 且 $x^2 \le y \le 2$。

然而，直接按照給定的順序計算可能更簡單。
先計算內層積分：$\int_0^{\sqrt{y}} x\sqrt{y} dx$。
在這裡，$\sqrt{y}$ 被視為常數。

這題考驗利用分部積分法 (Integration by Parts) 計算指數函數和三角函數乘積的積分。對於這類積分，通常需要進行兩次分部積分，然後將原積分式重新整理出來求解。

令 $I = \int e^{2x} \sin(3x) dx$。

第一次分部積分：
令 $u = \sin(3x)$, $dv = e^{2x} dx$。
則 $du = 3\cos(3x) dx$, $v = \int e^{2x} dx = \frac{1}{2}e^{2x}$。
$I = uv - \int v du = \sin(3x) \cdot \frac{1}{2}e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x} \cdot 3\cos(3x) dx$
$I = \frac{1}{2}e^{2x}\sin(3x) - \frac{3}{2} \int e^{2x}\cos(3x) dx$。

第二次分部積分，針對 $\int e^{2x}\cos(3x) dx$：
令 $u = \cos(3x)$, $dv = e^{2x} dx$。
則 $du = -3\sin(3x) dx$, $v = \frac{1}{2}e^{2x}$。
$\int e^{2x}\cos(3x) dx = \cos(3x) \cdot \frac{1}{2}e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x} \cdot (-3\sin(3x)) dx$
$= \frac{1}{2}e^{2x}\cos(3x) + \frac{3}{2} \int e^{2x}\sin(3x) dx$。

將第二次積分的結果代回第一次積分的式子：

這題要求我們利用給定的函數 $f(x)$ 來表示另一個不定積分。關鍵在於識別兩個積分之間是否存在關聯，例如通過變數替換或已知積分的結構。

我們已知 $f'(x) = \frac{1}{1+x^3}$。這意味著 $f(x) = \int \frac{1}{1+x^3} dx$ (忽略常數，因為我們只需要表達式)。

我們要計算的不定積分是 $I = \int \frac{1}{8+(3x-1)^3} dx$。
觀察這個積分的結構，它與 $f(x)$ 的積分形式相似，只是分母中的 $1+x^3$ 被替換成了 $8+(3x-1)^3$。
這暗示我們可以通過變數替換來連結這兩個積分。

考慮在 $I$ 中進行變數替換。
令 $u = 3x-1$。
則 $du = 3 dx$，所以 $dx = \frac{1}{3} du$。

將 $x$ 轉換成以 $u$ 表示：
$u = 3x-1 \implies u+1 = 3x \implies x = \frac{u+1}{3}$。

現在將這些代入積分 $I$：
$I = \int \frac{1}{8+u^3} \cdot \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u^3+8} du$。

這個積分 $\int \frac{1}{u^3+8} du$ 仍然與 $f(x)$ 的積分形式不同。
然而，我們知道 $f'(x) = \frac{1}{1+x^3}$。
如果我們能夠將 $\frac{1}{u^3+8}$ 變換成 $\frac{1}{1+y^3}$ 的形式，我們就可以利用 $f(y)$ 來表示。

這題考驗建立微分方程模型和求解。題目描述了某種產品在目標人群中傳播的比例，並給出了初始條件和傳播速率的規則。

設 $P$ 為目標總人數。
設 $y(t)$ 為在時間 $t$ 時，已經聽說過該產品的人口比例。
那麼，未聽說過該產品的人口比例為 $1-y(t)$。

題目指出，聽說產品的比例的增長率（即 $y'(t)$）與以下兩者成正比：

1. 距發佈日的天數 ($t$)。
2. 尚未聽說過該產品的人數比例 ($1-y(t)$)。

因此，微分方程模型為：
$\frac{dy}{dt} = kt(1-y)$
其中 $k$ 是一個比例常數，且 $t \ge 0$。

我們需要求解這個微分方程。這是一個可分離變數的微分方程。
$\frac{dy}{1-y} = kt dt$。

對兩邊進行積分：
$\int \frac{dy}{1-y} = \int kt dt$
$-\ln|1-y| = \frac{1}{2}kt^2 + C_1$。
由於 $y$ 是比例，且初始時 $y=0$，所以 $1-y$ 恆為正，我們可以去掉絕對值。
$-\ln(1-y) = \frac{1}{2}kt^2 + C_1$。

現在，我們需要利用給定的初始條件來確定常數 $C_1$ 和 $k$。
初始條件是：在發佈日（$t=0$）時，沒有人聽說過產品，即 $y(0)=0$。
將 $t=0$ 和 $y=0$ 代入方程：
$-\ln(1-0) = \frac{1}{2}k(0)^2 + C_1$
$-\ln(1) = 0 + C_1$
$0 = C_1$。

所以，方程變成：
$-\ln(1-y) = \frac{1}{2}kt^2$。

這題考驗多元函數的極值判斷，需要計算一階偏導數找到臨界點，再利用二階偏導數的判別式 (Hessian matrix) 來判斷臨界點的性質。

給定函數 $f(x,y) = x^2 + y^3 - 2xy - y + 3$。

第一步：計算一階偏導數。
$f_x(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x} = 2x - 2y$
$f_y(x,y) = \frac{\partial f}{\partial y} = 3y^2 - 2x - 1$

第二步：尋找臨界點。令一階偏導數等於零，並解出 $x$ 和 $y$。
(1) $2x - 2y = 0 \implies x = y$
(2) $3y^2 - 2x - 1 = 0$

將 $x=y$ 代入第二個方程：
$3y^2 - 2y - 1 = 0$。
這是一個關於 $y$ 的二次方程。我們可以因式分解：
$(3y+1)(y-1) = 0$。
解得 $y = 1$ 或 $y = -\frac{1}{3}$。

由於 $x=y$，我們得到兩個臨界點：
臨界點 1：$(1, 1)$
臨界點 2：$(-\frac{1}{3}, -\frac{1}{3})$

第三步：計算二階偏導數。
$f_{xx}(x,y) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(2x - 2y) = 2$
$f_{yy}(x,y) = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}(3y^2 - 2x - 1) = 6y$