111 年 國立成功大學自然災害減災及管理國際碩士學位學程《水文學》

本題主要在測試水文學基本名詞的定義與理解。

(a) 相對濕度 (Relative Humidity)：
相對濕度是空氣中實際水蒸氣含量與同溫度下飽和水蒸氣含量之比，通常以百分比表示。它反映了空氣接近飽和狀態的程度。
$RH = \frac{e_a}{e_s} \times 100\%$
其中 $e_a$ 為實際水氣壓，$e_s$ 為同溫度下的飽和水氣壓。相對濕度是影響蒸發、凝結等水文過程的重要因子。

(b) 河川階序 (Stream Order)：
河川階序是依據河川系統的支流匯流關係來劃分的等級。一般採用 Horton-Strahler 系統：

1. 最上游的無支流的溪流為第一階。
2. 兩條相同階序的溪流匯流，則匯流後的溪流階序不變。
3. 兩條不同階序的溪流匯流，則匯流後的溪流階序等於較高階序的溪流階序。

單元歷線 (Unit Hydrograph, UH) 是水文學中用於推求洪水歷線的基本工具，其建立基於一系列假設。以下是單元歷線的五個基本假設：

1. 線性響應 (Linearity)：集水區的響應是線性的。這表示總的直接雨水歷線 (Direct Runoff Hydrograph, DRH) 與有效降雨 (Effective Rainfall) 的時空分佈成正比。也就是說，如果有效降雨的強度加倍，則 DRH 的峰值流量和總體積也會加倍；如果有效降雨持續時間加倍，則 DRH 會變寬，但總體積（代表降雨量）不變。

2. 定時性 (Constant Temporal Distribution)：有效降雨在整個降雨期間的時長是固定的。儘管有效降雨的強度可能變化，但其發生和持續的時間是固定的。

本題要求解釋兩個水文學基本名詞的區別。

(a) 雨量圖 (Hyetograph) 與 洪水歷線 (Hydrograph)：

• 雨量圖 (Hyetograph)：雨量圖是表示降雨強度隨時間變化的圖。橫軸通常是時間，縱軸是降雨強度（例如 mm/hr 或 in/hr）。雨量圖描述的是「天上降下的水」的時空分佈。
• 洪水歷線 (Hydrograph)：洪水歷線是表示河流斷面處的流量隨時間變化的圖。橫軸是時間，縱軸是流量（例如 m³/s 或 cfs）。洪水歷線描述的是「水到達河道出口」的反應。

主要區別：雨量圖是輸入 (input)，描述降雨事件本身；洪水歷線是輸出 (output)，描述集水區對降雨的響應。洪水歷線的形狀、峰值和歷時受到集水區的特性（如面積、坡度、地表覆蓋、土壤性質等）以及降雨的時空分佈共同影響。

(b) 何頓流 (Hortonian Overland Flow) 與 飽和流 (Saturated Overland Flow)：

• 何頓流 (Hortonian Overland Flow)：此種地表逕流發生在降雨強度大於土壤滲透率的情況下。

核心觀念

本題考查：

1. 單位歷線（Unit Hydrograph, UH）
   • $1$ 小時、$1$ 公分單位歷線：流域接受 $1$ 小時內 $1$ 公分有效降雨後所產生的直接逕流歷線。
2. 線性系統的比例與疊加原理
   • $2$ 公分有效降雨產生 $2U_1(t)$。
   • 延遲 $1$ 小時開始的 $3$ 公分有效降雨產生 $3U_1(t-1)$。
3. 有效降雨總體積等於直接逕流體積
   • 可由直接逕流歷線下面積求流量體積，再反推集水區面積。
4. 不同延時單位歷線的轉換
   • $2$ 小時、$1$ 公分單位歷線，可由兩個相隔 $1$ 小時的 $1$ 小時單位歷線平均得到。

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解題方法

設 $U_1(t)$ 為 $1$ 小時、$1$ 公分單位歷線，單位為 $\mathrm{m^3/s}$。

由題圖的有效降雨：

• $t=0\sim1$ 小時：$2$ cm
• $t=1\sim2$ 小時：$3$ cm

因此直接逕流歷線滿足

$$Q(t)=2U_1(t)+3U_1(t-1)$$

其中 $t<0$ 時，$U_1(t)=0$。

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（a）$1$ 小時、$1$ 公分單位歷線

依時間逐點反推：

$$U_1(t)=\frac{Q(t)-3U_1(t-1)}{2}$$

計算結果如下：

時間 $t$（h）	$Q(t)$（m³/s）	$U_1(t)$（m³/s）
0	0	0
0.5	2	1
1.0	4	2
1.5	13	5
2.0	24	9
2.5	27	6
3.0	35	4
3.5	22	2
4.0	14	1
4.5	6	0
5.0	3	0
5.5	0	0

例如：

$$U_1(1.5) =\frac{13-3(1)}{2} =5\ \mathrm{m^3/s}$$ $$U_1(2.0) =\frac{24-3(2)}{2} =9\ \mathrm{m^3/s}$$

因此，$1$ 小時、$1$ 公分單位歷線之流量序列為

$$\boxed{0,\ 1,\ 2,\ 5,\ 9,\ 6,\ 4,\ 2,\ 1,\ 0}$$

對應時間為 $0$ 至 $4.5$ 小時，每隔 $0.5$ 小時一點。

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（b）集水區面積

有效降雨總深度為

$$P_e=2+3=5\ \mathrm{cm}=0.05\ \mathrm{m}$$

直接逕流體積等於流量歷線下的面積。時間間隔為

$$\Delta t=0.5\times3600=1800\ \mathrm{s}$$

利用梯形法：

本題考驗機率統計在水利工程設計中的應用，特別是關於極端事件的發生機率與可靠度。

核心觀念：

1. 洪水事件的機率：一個設計為 $T$ 年迴歸週期 (Return Period) 的事件，表示平均而言每 $T$ 年會發生一次。其發生的機率 $P$ 為 $1/T$。
2. 獨立事件的機率：在連續的多個時間段內，某事件發生的機率。
3. 二項分佈 (Binomial Distribution)：用於計算在固定次數試驗中，某成功事件發生特定次數的機率。

已知資訊：

• 保護工程 (cofferdam) 的設計標準為 20 年迴歸週期洪水事件。
• 保護期 (channel project completion time) 為 3 年。

解題步驟：

1. 計算單一年度發生設計洪水事件的機率
設計洪水事件的迴歸週期 $T = 20$ 年。
因此，在任何一年中，發生這個 20 年迴歸週期的洪水事件的機率 (即洪水發生的機率) 為：
$P(\text{Flood in a year}) = P = \frac{1}{T} = \frac{1}{20} = 0.05$

洪水不發生的機率為：
$Q(\text{No flood in a year}) = 1 - P = 1 - 0.05 = 0.95$

(a) 計算 3 年內不發生設計洪水事件的機率 (可靠度)
這裡假設每年的洪水事件是獨立的。
保護期為 3 年。要使護堤在 3 年內不被淹沒 (overtopped)，意味著在這 3 年中，每一年都不能發生 20 年迴歸週期的洪水事件。
因此，3 年內不被淹沒的機率是連續 3 年都不發生洪水的機率。
$P(\text{No overtopping in 3 years}) = Q(\text{No flood in a year})^3$
$P(\text{No overtopping in 3 years}) = (0.95)^3$