111 年 國立成功大學自然災害減災及管理國際碩士學位學程《統計學》

本題主要考驗對敘述性統計基本概念的理解，包含如何計算樣本平均數與樣本變異數。

核心觀念：

• 樣本平均數 ($\bar{x}$): 所有觀測值的總和除以觀測值的個數。
• 樣本變異數 ($s^2$): 衡量數據離散程度的指標，表示數據點與平均數的平方差的平均值（使用 $n-1$ 作為分母，以提供對母體變異數的無偏估計）。

計算過程：

給定的資料為：$x_1 = 3, x_2 = 4, x_3 = 6, x_4 = 7$。
資料個數 $n = 4$。

1. 計算平均值 ($\bar{x}$):
   平均值是所有資料點的總和除以資料的個數。
   $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$
   $\bar{x} = \frac{3 + 4 + 6 + 7}{4}$
   $\bar{x} = \frac{20}{4}$
   $\bar{x} = 5$

本題考驗條件機率的定義與應用。

核心觀念：

• 條件機率 ($P(A|B)$): 在事件B已經發生的條件下，事件A發生的機率。其公式為：
  $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
  前提是 $P(B) > 0$。

計算過程：

已知：

• $P(A) = \frac{3}{4}$
• $P(B) = \frac{8}{9}$
• $P(A \cap B) = \frac{7}{16}$

本題考驗獨立事件的機率計算，特別是關於連續事件的組合機率。

核心觀念：

• 獨立事件： 兩個或多個事件的發生與否，彼此之間沒有影響。若事件A與事件B獨立，則 $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$。
• 補集事件： 事件A不發生的機率為 $P(A') = 1 - P(A)$。

計算過程：

首先，定義事件：

• 令 $R$ 為某一天會發生降雨的事件。
• 令 $N$ 為某一天不會發生降雨的事件。

根據題目資訊：

• 某一天會發生降雨的機率 $P(R) = 0.87$。
• 因為降雨與否是二元結果（發生或不發生），所以某一天不會發生降雨的機率為：
  $P(N) = 1 - P(R) = 1 - 0.87 = 0.13$。
• 題目強調「每日之降雨與否與前、後日之降雨具有統計獨立性」，這表示任何兩天的降雨事件是互相獨立的。

(1) 任意連續兩天均不會降雨之機率

我們要計算「第一天不會降雨」且「第二天不會降雨」的機率。由於這兩天的事件是獨立的，我們可以將它們的機率相乘。
令 $N_1$ 為第一天不會降雨，$N_2$ 為第二天不會降雨。
$P(N_1 \cap N_2) = P(N_1) \times P(N_2)$
因為 $P(N_1) = P(N_2) = P(N) = 0.13$，所以：
$P(N_1 \cap N_2) = 0.13 \times 0.13$

本題考驗對 Chebyshev 不等式的理解與應用，用於估計機率範圍。

核心觀念：

• Chebyshev 不等式： 對於任何具有有限期望值 $\mu$ 和有限非零變異數 $\sigma^2$ 的隨機變數 $X$，對於任何實數 $k > 0$，下列不等式成立：
  $P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}$
  其另一種形式（也是題目給定的）是：
  $P(|X - \mu| \leq k\sigma) \geq 1 - \frac{1}{k^2}$
  這個不等式給出了隨機變數值落在期望值 $\mu$ 的 $k$ 倍標準差範圍內的最低機率，而不需要知道其確切的機率分佈。

計算過程：

已知：

• 期望值 $\mu = 780$ 毫米
• 變異數 $\sigma^2 = 100$ 毫米$^2$
• 標準偏差 $\sigma = \sqrt{100} = 10$ 毫米

我們想計算今年降雨量 $X$ 介於 730 毫米與 830 毫米之間的機率，即 $P(730 \leq X \leq 830)$。
這個範圍可以寫成 $|X - \mu|$ 的形式：
$730 \leq X \leq 830$
$730 - 780 \leq X - 780 \leq 830 - 780$

本題考驗對系統可靠度計算的理解，特別是串聯和並聯系統的組合。

核心觀念：

• 可靠度 (Reliability, R)： 指系統或組件在規定時間內無故障地運行的機率。
• 故障率 (Failure Rate, F)： 指系統或組件在規定時間內發生故障的機率。可靠度與故障率的關係為 $R + F = 1$。
• 串聯系統 (Series System)： 系統正常運行的條件是所有組成單元都正常運行。
• 並聯系統 (Parallel System)： 系統正常運行的條件是至少有一個組成單元正常運行。

計算過程：

給定兩個組成單元的可靠度：

• 單元 1 的可靠度 $R_1 = 0.8$
• 單元 2 的可靠度 $R_2 = 0.9$

這意味著：

• 單元 1 故障的機率 $F_1 = 1 - R_1 = 1 - 0.8 = 0.2$
• 單元 2 故障的機率 $F_2 = 1 - R_2 = 1 - 0.9 = 0.1$

假設單元的故障是獨立事件。

1. 串聯系統 (Series System) 的可靠度

對於串聯系統，系統能夠正常運行（可靠度 $R_S$）的條件是單元 1 正常運行 且 單元 2 正常運行。由於單元的運行是獨立的，我們可以將它們的可靠度相乘。