109 年 國立成功大學交通管理研究所甲組《統計學》

核心觀念

本題考查一元線性迴歸：

$$Price_i=\beta_0+\beta_1 Quality_i+\varepsilon_i$$

其中：

• $\beta_0$：截距，品質評分為 $0$ 時的預期價格。
• $\beta_1$：斜率，品質評分每增加 $1$ 分，平均價格的預期變化量。
• 斜率估計值為 $\hat{\beta}_1=2.6253$，標準誤為 $SE(\hat{\beta}_1)=0.3315$。
• 樣本數為 $n=114$，因此迴歸檢定自由度為

$$df=n-2=112.$$

斜率的信賴區間與假設檢定皆使用 $t$ 分配。

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解題方法與各小題詳解

(a) 斜率正負號的經濟意義

估計斜率為

$$\hat{\beta}_1=2.6253>0.$$

因此，餐廳的 Zagat 食物評分越高，預期餐費越高。

具體而言，在其他未納入模型的因素平均不變下，食物評分每增加 $1$ 分，平均餐費約增加 $2.6253$ 美元。

正斜率表示品質與價格之間具有正向線性關係，但不代表品質提高必然直接造成價格上升，因為迴歸結果本身主要表示相關關係。

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(b) 求真實斜率的近似 95% 信賴區間

95% 信賴區間為

$$\hat{\beta}_1\pm t_{0.975,112}SE(\hat{\beta}_1).$$

因為 $t_{0.975,112}\approx 1.98$，所以

$$2.6253\pm 1.98(0.3315).$$

計算誤差幅度：

$$1.98(0.3315)\approx 0.6564.$$

因此：

$$2.6253-0.6564\approx 1.9689,$$ $$2.6253+0.6564\approx 3.2817.$$

所以近似 95% 信賴區間為

$$\boxed{(1.97,\ 3.28)}.$$

解釋為：在 95% 信賴水準下，真實斜率 $\beta_1$ 約介於 $1.97$ 與 $3.28$ 之間。

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(c) 在 5% 顯著水準下檢定斜率是否等於 0

假設為：

$$H_0:\beta_1=0,$$ $$H_1:\beta_1\neq 0.$$

檢定統計量為

$$t=\frac{\hat{\beta}_1-0}{SE(\hat{\beta}_1)} =\frac{2.6253}{0.3315} \approx 7.92.$$

在雙尾檢定、$\alpha=0.05$、$df=112$ 下，臨界值約為

$$\pm 1.98.$$

由於

$$|7.92|>1.98,$$

故拒絕虛無假設。

題目表中的 $p$ 值顯示為 $0.000$，但統計軟體顯示 $0.000$ 並不代表真正的 $p=0$，而是表示 $p$ 值小於顯示精度，實際上可寫為

$$p<0.001.$$

因此，在 5% 顯著水準下，斜率顯著不等於 $0$，有充分統計證據支持品質評分與餐費之間存在線性關係。

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(d) 在 5% 顯著水準下檢定斜率是否等於 2

假設為：

$$H_0:\beta_1=2,$$ $$H_1:\beta_1\neq 2.$$

檢定統計量為

$$t=\frac{\hat{\beta}_1-2}{SE(\hat{\beta}_1)} =\frac{2.6253-2}{0.3315} \approx 1.89.$$

依題目要求使用通常的經驗法則：在 5% 雙尾檢定下，若

$$|t|\gtrsim 2,$$

則拒絕虛無假設。

本題

$$|1.89|<2,$$

所以不拒絕 $H_0$。

結論是：在 5% 顯著水準下，沒有足夠證據認為真實斜率不同於 $2$。因此，斜率等於 $2$ 與資料並不矛盾。

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(e) Zagat 評分為 24 時的預期餐費

迴歸方程式為

本題主要考驗考生對單因子變異數分析 (One-way ANOVA) 的理解，包括如何根據部分資訊重建 ANOVA 表、不同模型下的假設檢定，以及事後檢定 (post-hoc test) 的應用。

核心觀念：

• 單因子變異數分析 (One-way ANOVA) 的基本架構與公式
• 組間變異 (Between-group variation) 與組內變異 (Within-group variation)
• 均方 (Mean Square, MS) 的計算：$MS = SS/df$
• F 統計量的計算：$F = MS_{Treatment} / MS_{Error}$
• 假設檢定與 p-value 的關係
• 固定效應模型 (Fixed Effects Model) vs. 隨機效應模型 (Random Effects Model)
• 事後檢定 (Post-hoc tests)

解題過程：

題目給定資訊：

• 處理水準數 (Number of treatment levels) = 3
• 每組實驗單元數 (Number of experimental units per level) = 21
• 總實驗單元數 $N = 3 \times 21 = 63$
• 兩個均方 (MS) 的值為 100 和 500，但不知哪個是組間 (Treatment) 哪個是組內 (Error)。
• ANOVA 檢定的 p-value 約為 0.01。

自由度 (df) 計算：

• 組間自由度 $df_{Treatment} = \text{Number of levels} - 1 = 3 - 1 = 2$
• 總自由度 $df_{Total} = N - 1 = 63 - 1 = 62$
• 組內自由度 $df_{Error} = df_{Total} - df_{Treatment} = 62 - 2 = 60$

(a) Construct the analysis of variance table

我們知道 F 統計量是組間均方 (MS Treatment) 除以組內均方 (MS Error)。
$F = \frac{MS_{Treatment}}{MS_{Error}}$。
我們也知道 p-value 約為 0.01。對於 ANOVA，p-value 是基於 F 分配計算的。
由於 p-value 很小 (0.01)，這表示 F 統計量應該相對較大，因此分子 (MS Treatment) 應該大於分母 (MS Error)。
所以，我們可以推斷：
$MS_{Treatment} = 500$
$MS_{Error} = 100$
F 統計量 $F^* = \frac{500}{100} = 5$。

現在我們可以計算 SS (Sum of Squares)：

• $SS_{Treatment} = MS_{Treatment} \times df_{Treatment} = 500 \times 2 = 1000$
• $SS_{Error} = MS_{Error} \times df_{Error} = 100 \times 60 = 6000$
• $SS_{Total} = SS_{Treatment} + SS_{Error} = 1000 + 6000 = 7000$

現在我們可以填寫 ANOVA 表：

Source	SS	df	MS	F*	p-value
Treatment	1000	2	500	5.0	0.01
Error	6000	60	100
Total	7000	62

驗證：
我們計算得到的 F 統計量為 5。在 $df_1=2, df_2=60$ 下，查 F 分配表，當 F=5 時，p-value 大約在 0.01 附近 (例如 $F_{0.01, 2, 60}$ 約為 5.09)。這與題目給的 p-value 約 0.01 相符。
因此，這個 ANOVA 表是合理的。

【答案】

Source	SS	df	MS	F*	p-value
Treatment	1000	2	500	5.0	0.01
Error	6000	60	100
Total	7000	62

(b) Null and alternative hypotheses for fixed and random effects models

• 固定效應模型 (Fixed Effects Model):
  在這個模型中，我們假設這三個處理水準是我們感興趣的全部水準，並且我們希望推論僅限於這三個水準。
  設 $\mu_i$ 為第 $i$ 個處理水準的平均值。
  • 虛無假設 ($H_0$): 所有處理水準的平均值都相等。
    $H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3$
  • 對立假設 ($H_1$): 至少有一個處理水準的平均值與其他不同。
    $H_1: \text{at least one } \mu_i \neq \mu_j \text{ for } i \neq j$

核心觀念

本題比較兩個獨立母體的平均數：

• 母體 1：採線上方式修課，平均成績為 $\mu_1$
• 母體 2：採傳統教室方式修課，平均成績為 $\mu_2$

欲檢定線上修課學生的平均成績是否較高，因此使用「兩獨立樣本平均數差」的右尾檢定。

由於兩組樣本數皆為 $9$，且題目提供兩組樣本標準差，可採兩獨立樣本 $t$ 檢定。以不假設兩母體變異數完全相同的 Welch $t$ 檢定最為穩健。

題目表格中 Group 1 僅列出 $8$ 筆資料，但題目明確給定 $n_1=9$。依樣本數與給定的 $s_1=4.94$，可視為排版漏列第 $9$ 筆資料；該筆應為 $35$。因此線上組資料為：

$$32,37,35,28,41,44,35,31,35$$

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解題方法與基本計算

線上組平均數為

$$\bar{x}_1=\frac{32+37+35+28+41+44+35+31+35}{9} =\frac{318}{9}=35.33$$

教室組平均數為

$$\bar{x}_2=\frac{35+31+29+25+34+40+27+32+31}{9} =\frac{284}{9}=31.56$$

因此樣本平均數差為

$$\bar{x}_1-\bar{x}_2 =35.33-31.56 =3.78$$

也就是線上組樣本平均成績高於教室組約 $3.78$ 分。

兩平均數差的標準誤為

$$SE(\bar{x}_1-\bar{x}_2) = \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}$$

代入數值：

$$SE = \sqrt{\frac{4.94^2}{9}+\frac{4.47^2}{9}} = \sqrt{4.94} \approx 2.22$$

Welch 自由度為

$$\nu= \frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2} {\frac{\left(s_1^2/n_1\right)^2}{n_1-1} +\frac{\left(s_2^2/n_2\right)^2}{n_2-1}} \approx 15.8$$

實務上可取 $df=15$ 或 $df=16$；兩者的臨界值與結論相同。

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(a) 假設檢定

題目欲檢定線上修課學生的平均成績是否顯著較高，因此設：

$$H_0:\mu_1-\mu_2\leq 0$$ $$H_1:\mu_1-\mu_2>0$$

也可將虛無假設寫成

$$H_0:\mu_1=\mu_2$$

而對立假設寫成

$$H_1:\mu_1>\mu_2$$

這是右尾、單尾檢定。

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(b) 檢定統計量

檢定統計量為

$$t= \frac{(\bar{x}_1-\bar{x}_2)-0} {\sqrt{s_1^2/n_1+s_2^2/n_2}}$$

代入計算：

$$t= \frac{35.33-31.56}{2.22} = \frac{3.78}{2.22} \approx 1.70$$

因此檢定統計量為

$$\boxed{t\approx 1.70}$$

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(c) 拒絕域與檢定結論

顯著水準為

$$\alpha=0.05$$

本題考驗考生對估計量均方誤差 (MSE) 的理解，以及如何利用獨立性與變異數性質來求解。

核心觀念：

• 無偏估計量 (Unbiased Estimator)：$E(T) = \theta$。
• 均方誤差 (Mean Squared Error, MSE)：$MSE(T) = E[(T - \theta)^2] = Var(T) + [Bias(T)]^2$。
• 獨立性 (Independence)：若 X, Y 獨立，則 $E(XY) = E(X)E(Y)$。
• 線性組合的期望值與變異數。

解題過程：

已知 $T_1$ 和 $T_2$ 是參數 $\theta$ 的無偏估計量。
所以，$E(T_1) = \theta$ 且 $E(T_2) = \theta$。
已知變異數：$Var(T_1) = 1$ 且 $Var(T_2) = 3$。
$T_1$ 和 $T_2$ 是獨立的。
考慮新的估計量 $T_3 = \alpha T_1 + (1 - \alpha) T_2$，其中 $\alpha \in [0, 1]$。

我們需要計算 $T_3$ 的均方誤差 (MSE)，並找出使 MSE 最小的 $\alpha$ 值。

1. 計算 $T_3$ 的偏差 (Bias)：
$Bias(T_3) = E(T_3) - \theta$
$E(T_3) = E[\alpha T_1 + (1 - \alpha) T_2]$
由於期望值是線性的：
$E(T_3) = \alpha E(T_1) + (1 - \alpha) E(T_2)$
因為 $T_1$ 和 $T_2$ 是無偏估計量，所以 $E(T_1) = \theta$ 且 $E(T_2) = \theta$。
$E(T_3) = \alpha \theta + (1 - \alpha) \theta = \alpha \theta + \theta - \alpha \theta = \theta$。
所以，$Bias(T_3) = E(T_3) - \theta = \theta - \theta = 0$。
$T_3$ 也是一個無偏估計量。

2. 計算 $T_3$ 的變異數 (Variance)：
$Var(T_3) = Var(\alpha T_1 + (1 - \alpha) T_2)$
由於 $T_1$ 和 $T_2$ 是獨立的，且 $\alpha$ 和 $(1-\alpha)$ 是常數：
$Var(T_3) = Var(\alpha T_1) + Var((1 - \alpha) T_2)$

核心觀念

盒鬚圖用五數摘要呈現資料：最小值、第一四分位數 $Q_1$、中位數 $Q_2$、第三四分位數 $Q_3$、最大值；若採用離群值判定，鬚端通常延伸到仍落在界限內的最遠資料點，超出界限的值另以點標示。

本題依圖形採用四分位數的線性插值法。四分位距與離群值界限為：

$$\mathrm{IQR}=Q_3-Q_1$$ $$\text{下界}=Q_1-1.5\mathrm{IQR},\qquad \text{上界}=Q_3+1.5\mathrm{IQR}$$

解題方法

資料共有 $10$ 個，已由小到大排列：

$$0,\ 1,\ 3,\ 3,\ 4,\ 5,\ 5,\ 5,\ 7,\ 12$$

中位數是第 $5$、$6$ 個數的平均：

$$Q_2=\frac{4+5}{2}=4.5$$

用線性插值求四分位數：$Q_1$ 的位置是 $(10+1)\times 0.25=2.75$，介於第 $2$ 個數 $1$ 與第 $3$ 個數 $3$ 之間，因此 $Q_1=2.5$。$Q_3$ 的位置是 $(10+1)\times 0.75=8.25$，介於第 $8$ 個數 $5$ 與第 $9$ 個數 $7$ 之間，因此 $Q_3=5.5$。

$$\mathrm{IQR}=5.5-2.5=3$$

核心觀念

1. 指數分配（Exponential Distribution）的母體參數：
   在統計學標準定義中，若隨機變數 $X \sim \text{Exp}(\lambda)$（以率參數 $\lambda > 0$ 定義，機率密度函數 $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, x > 0$），其期望值與變異數分別為：

   $$E[X] = \mu = \frac{1}{\lambda}$$ $$\operatorname{Var}(X) = \sigma^2 = \frac{1}{\lambda^2}$$

2. 柴比雪夫不等式（Chebyshev's Inequality）：
   對任意具有有限期望值 $\mu$ 與有限變異數 $\sigma^2$ 的隨機變數 $X$，以及任意常數 $k > 0$（或任意 $\epsilon > 0$），其偏離平均數在 $k$ 個標準差以內的機率下界滿足：

   $$P(|X - \mu| < k\sigma) \ge 1 - \frac{1}{k^2}$$

   或等價寫為（令 $\epsilon = k\sigma$）：

   $$P(|X - \mu| < \epsilon) \ge 1 - \frac{\sigma^2}{\epsilon^2}$$

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解題方法

步驟一：求出指數分配 $X \sim \text{Exp}(2)$ 的期望值與變異數
題目給定 $X \sim \text{Exp}(2)$，即率參數 $\lambda = 2$：

$$\mu = E[X] = \frac{1}{2} = 0.5$$ $$\sigma^2 = \operatorname{Var}(X) = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0.25$$

標準差為：

$$\sigma = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} = 0.5$$

步驟二：對應柴比雪夫不等式形式與求解 $A$
題目形式為 $P(|X - A| < 2)$。
對照柴比雪夫不等式的基本形式 $P(|X - \mu| < \epsilon)$，可知中心點 $A$ 為隨機變數 $X$ 的期望值 $\mu$：

$$A = \mu = \frac{1}{2} \quad (\text{或 } 0.5)$$

此時容許誤差 $\epsilon = 2$。

本題為簡單線性迴歸模型的第一小題，要求解釋迴歸直線斜率的經濟意義。

核心觀念：

• 簡單線性迴歸模型：$Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon$。
• 斜率 $\beta_1$ 的解釋：表示自變數 X 每改變一個單位，應變數 Y 平均改變的量。

本題要求計算迴歸直線斜率的 95% 信賴區間。

核心觀念：

• 迴歸係數的信賴區間：$\hat{\beta}_1 \pm t_{\alpha/2, n-2} \times SE(\hat{\beta}_1)$。
• t 分配的臨界值查找。

解題過程：
已知迴歸輸出結果：

• 估計的斜率 $\hat{\beta}_1 = 2.6253$
• 斜率的標準誤 $SE(\hat{\beta}_1) = 0.3315$
• 樣本數 $n = 114$
• 信賴水準為 95%，所以 $\alpha = 0.05$。

1. 計算自由度 (df)：
$df = n - 2 = 114 - 2 = 112$。

2. 查找 t 分配的臨界值：
對於 95% 信賴區間，我們需要 $t_{\alpha/2, df} = t_{0.025, 112}$。
由於直接查表 $df=112$ 可能不方便，我們可以使用近似值。

本題要求對迴歸直線的斜率進行假設檢定，檢定其是否顯著不為零。

核心觀念：

• 迴歸係數的假設檢定 (t-test)。
• 檢定統計量、臨界值、p-value 的應用。

解題過程：
我們要檢定虛無假設 $H_0: \beta_1 = 0$ 對立於對立假設 $H_1: \beta_1 \neq 0$。
顯著水準 $\alpha = 0.05$。
樣本數 $n = 114$，自由度 $df = n - 2 = 112$。

方法一：使用檢定統計量和臨界值

1. 計算檢定統計量：
   題目已給出斜率的 t-ratio，這就是我們的檢定統計量。
   $t = \frac{\hat{\beta}_1 - \beta_{1,0}}{SE(\hat{\beta}_1)} = \frac{2.6253 - 0}{0.3315} = 7.92$。
   (題目輸出結果中的 t-ratio 就是 7.92，P-value 為 0.000)。

本題要求對迴歸直線的斜率進行假設檢定，檢定其是否等於特定值 2。

核心觀念：

• 迴歸係數的假設檢定，當檢定值非零時。
• 比較檢定統計量與臨界值，或比較 p-value 與顯著水準。

解題過程：
我們要檢定虛無假設 $H_0: \beta_1 = 2$ 對立於對立假設 $H_1: \beta_1 \neq 2$。
顯著水準 $\alpha = 0.05$。
樣本數 $n = 114$，自由度 $df = n - 2 = 112$。

方法一：使用檢定統計量和臨界值

1. 計算檢定統計量：
   檢定統計量公式為：$t = \frac{\hat{\beta}_1 - \beta_{1,0}}{SE(\hat{\beta}_1)}$。
   在此，$\hat{\beta}_1 = 2.6253$，$SE(\hat{\beta}_1) = 0.3315$，$\beta_{1,0} = 2$。
   $t = \frac{2.6253 - 2}{0.3315} = \frac{0.6253}{0.3315} \approx 1.886$。

本題要求根據迴歸模型進行點預測 (point prediction)。

核心觀念：

• 迴歸模型的點預測：將自變數的已知值代入迴歸估計式，得到應變數的預測值。

解題過程：
我們已經建立了一個簡單線性迴歸模型，其估計式為：
$\hat{Y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 X$
其中 $\hat{Y}$ 是預測的餐點價格 (Price)，X 是 Zagat 評分 (Quality)。
從迴歸輸出結果得知：

本題要求計算一個新的觀察值（Zagat 評分等於 24）的預測區間 (prediction interval)。

核心觀念：

• 預測區間 (Prediction Interval) 的概念與公式。
• 預測區間比信賴區間 (Confidence Interval for the mean response) 更寬，因為它同時考慮了迴歸線的估計誤差和個別觀測值的隨機變異。

解題過程：
預測區間的公式為：$\hat{Y} \pm t_{\alpha/2, n-2} \times SE_{pred}$
其中 $\hat{Y}$ 是點預測值， $t_{\alpha/2, n-2}$ 是臨界的 t 值，而 $SE_{pred}$ 是預測值本身的標準誤。
$SE_{pred}$ 的計算公式為：$SE_{pred} = s_{pred} \sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{(X_0 - \bar{X})^2}{\sum(X_i - \bar{X})^2}}$
其中 $s_{pred}$ 是殘差標準差， $X_0$ 是新的觀察值，$\bar{X}$ 是樣本平均值，$\sum(X_i - \bar{X})^2$ 是 X 的總平方和。

題目給定：

• 點預測值 $\hat{Y} = 44.8532$ (來自 1.e)。
• 殘差標準差 $s_{pred} = 8.93$。
• 信賴水準 95%，$\alpha = 0.05$，自由度 $df = 112$，$t_{0.025, 112} \approx 1.98$。
• 新的觀察值 $X_0 = 24$。
• 樣本數 $n = 114$。

本題要求解釋預測區間 (prediction interval) 的含義。

核心觀念：

• 預測區間的機率解釋。
• 與信賴區間 (confidence interval) 的區別。

解題過程：
在 (1.f) 中，我們計算了一個 95% 的預測區間為 $[27.17, 62.53]$，用於預測 Zagat 評分為 24 的餐廳的餐點價格。

解釋：
一個 95% 的預測區間表示，在給定 Zagat 評分等於 24 的情況下，我們有 95% 的信心，該餐廳的實際餐點價格將落在我們計算出的區間 $[27.17, 62.53]$ 之間。

本題要求判斷食物品質 (Zagat 評分) 是否足以解釋餐點價格的變異。

核心觀念：

• 決定係數 ($R^2$) 的解釋。
• $R^2$ 代表模型能解釋的應變數變異的比例。

解題過程：
題目中給定的決定係數 (R-squared) 為 $R^2 = 35.9\%$。

解釋：
決定係數 $R^2 = 0.359$ 表示，在這個簡單線性迴歸模型中，Zagat 評分 (食物品質) 僅能解釋餐點價格變異的 35.9%。

本題要求根據部分提供的資訊，建構單因子變異數分析 (One-way ANOVA) 表。

核心觀念：

• 單因子 ANOVA 的結構：Source, SS, df, MS, F, p-value。
• MS 的計算：$MS = SS / df$。
• F 統計量的計算：$F = MS_{Treatment} / MS_{Error}$。
• 自由度 (df) 的計算：$df_{Treatment} = k-1$, $df_{Error} = N-k$, $df_{Total} = N-1$。
• p-value 與 F 統計量的關係。

解題過程：
已知資訊：

• 處理水準數 (k) = 3
• 每組實驗單元數 = 21
• 總實驗單元數 (N) = $k \times 21 = 3 \times 21 = 63$
• 兩個均方 (MS) 的值為 100 和 500，但不知道哪個是組間 (Treatment) 哪個是組內 (Error)。
• ANOVA 檢定的 p-value 約為 0.01。

1. 計算自由度：

• 組間自由度 $df_{Treatment} = k - 1 = 3 - 1 = 2$。
• 總自由度 $df_{Total} = N - 1 = 63 - 1 = 62$。
• 組內自由度 $df_{Error} = df_{Total} - df_{Treatment} = 62 - 2 = 60$。

2. 推斷 MS 值：
F 統計量是 $F = MS_{Treatment} / MS_{Error}$。
p-value = 0.01 是一個較小的數值，這表示 F 統計量應該相對較大，因此分子 ($MS_{Treatment}$) 必須大於分母 ($MS_{Error}$)。
所以，我們可以推斷：

• $MS_{Treatment} = 500$
• $MS_{Error} = 100$

本題要求針對單因子變異數分析中的兩種常見模型（固定效應模型和隨機效應模型），分別寫出其虛無假設和對立假設，並定義所使用的符號。

核心觀念：

• 固定效應模型 (Fixed Effects Model) vs. 隨機效應模型 (Random Effects Model)。
• ANOVA 的假設檢定。

解題過程：

1. 固定效應模型 (Fixed Effects Model):
在此模型下，我們假設這 k 個處理水準是所有我們感興趣的、固定且有限的。我們想比較這 k 個特定水準的平均值。

• 符號定義：

  • $\mu_i$: 第 $i$ 個處理水準的母體平均值 ($i = 1, 2, 3$)。

• 虛無假設 ($H_0$): 所有處理水準的母體平均值都相等。
  $H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3$

• 對立假設 ($H_1$): 至少有一個處理水準的母體平均值與其他不同。
  $H_1: \text{at least one } \mu_i \neq \mu_j \text{ for some } i \neq j$。
  (或者可以寫成：$H_1:$ Not all $\mu_i$ are equal.)

2. 隨機效應模型 (Random Effects Model):
在此模型下，我們假設這 k 個處理水準是從一個更大的母體中隨機抽樣出來的。我們感興趣的是這個母體的平均值是否存在變異。

• 符號定義：
  • $\mu$: 整體母體平均值。

本題要求在 ANOVA 檢定結果顯著的前提下，描述如何進行事後檢定 (post-hoc test) 以找出哪些處理水準對之間存在顯著差異，並說明選擇特定方法的理由。

核心觀念：

• 事後檢定 (Post-hoc tests) 的目的與時機。
• 常見的事後檢定方法及其適用性。
• 比較多重比較下的錯誤率控制 (Family-wise Error Rate, FWER)。

解題過程：
由於 ANOVA 檢定結果顯著 (p=0.01 < $\alpha$=0.05)，我們知道至少有一對處理的平均值是不同的。為了找出具體是哪一對或哪些對平均值有顯著差異，我們需要進行事後檢定。

1. 事後檢定的程序描述：
a. 確認 ANOVA 檢定結果顯著： 這是進行事後檢定的前提。
b. 選擇事後檢定方法： 根據研究目的、樣本數、變異數是否相等，選擇合適的檢定方法。
c. 執行檢定： 對所有感興趣的配對（或特定配對）進行檢定。
d. 比較結果： 根據各檢定的臨界值或 p-value，判斷哪些配對的差異是顯著的。

2. 選擇事後檢定方法與理由：
題目中，有 k=3 個處理水準，每組樣本數相等 ($n_i = 21$)。在這種情況下，最常用且推薦的事後檢定方法是 Tukey's Honestly Significant Difference (HSD) test。

• Tukey's HSD test 的優點：
  • 比較所有配對： 它可以同時比較所有可能的配對平均值。
  • 控制 FWER： 它能控制在進行多次配對比較時，至少出現一個第一類錯誤 (Type I error, 錯誤地拒絕為真的虛無假設) 的機率，即整體錯誤率 (Family-wise Error Rate, FWER)。
  • 適用於樣本數相等： 在本例中，由於 $n_1 = n_2 = n_3 = 21$，Tukey's HSD test 是非常合適的。
  • 計算公式： $HSD = q_{\alpha, k, N-k} \times \sqrt{\frac{MS_{Error}}{n}}$。
    • $q_{\alpha, k, N-k}$ 是 Tukey's studentized range distribution 的臨界值。
    • $MS_{Error}$ 是來自 ANOVA 表的組內均方。

本題要求為比較兩組獨立樣本的平均數，建立適當的虛無假設 ($H_0$) 和對立假設 ($H_1$)。

核心觀念：

• 獨立樣本 t 檢定 (Independent samples t-test) 的假設設定。
• 單尾檢定 (One-tailed test) 的設定，根據題目敘述判斷檢定方向。

解題過程：
題目要求檢定「average grade for students who take the course online is significantly higher than those who attend a conventional class」。
設：

• $\mu_1$: online 群體的平均最終考試分數。
• $\mu_2$: conventional class 群體的平均最終考試分數。

本題要求計算進行兩獨立樣本平均數比較時，適當的檢定統計量。

核心觀念：

• 獨立樣本 t 檢定統計量的計算。
• 變異數同質性檢定 (F-test for equality of variances) 的結果對 t 檢定公式的影響。

解題過程：
首先，我們需要計算兩個樣本的平均數和標準差。
數據集：

• Group 1 (online): 32, 37, 35, 28, 41, 44, 35, 31 (n1=9)
  $\bar{x}_1 = \frac{32+37+35+28+41+44+35+31}{9} = \frac{283}{9} \approx 31.444$
• Group 2 (classroom): 35, 31, 29, 25, 34, 40, 27, 32, 31 (n2=9)
  $\bar{x}_2 = \frac{35+31+29+25+34+40+27+32+31}{9} = \frac{284}{9} \approx 31.556$

給定的樣本標準差：

• $s_1 = 4.94 \implies s_1^2 = 4.94^2 = 24.4036$
• $s_2 = 4.47 \implies s_2^2 = 4.47^2 = 19.9809$

1. 進行變異數同質性檢定：
我們需要檢定 $\sigma_1^2 = \sigma_2^2$。
F 檢定統計量 $F = \frac{s_{larger}^2}{s_{smaller}^2} = \frac{s_1^2}{s_2^2} = \frac{24.4036}{19.9809} \approx 1.221$。
自由度為 $(n_1-1, n_2-1) = (8, 8)$。
在 $\alpha = 0.05$ 的雙尾檢定下，臨界值 $F_{0.025, 8, 8} \approx 4.43$。

本題要求確定單尾檢定的拒絕區域，並根據計算出的檢定統計量做出決策。

核心觀念：

• 單尾檢定的拒絕區域。
• 將檢定統計量與臨界值比較以做出決策。

解題過程：
根據 (3.a)，我們的假設是：
$H_0: \mu_1 \le \mu_2$
$H_1: \mu_1 > \mu_2$
這是右尾單一檢定 (right-tailed test)。
顯著水準 $\alpha = 0.05$。
自由度 $df = 16$ (根據 (3.b) 的計算)。

本題要求計算單側信賴區間，並根據信賴區間的結果做出決策。

核心觀念：

• 單側信賴區間與單尾檢定的關係。
• 利用信賴區間判斷是否拒絕虛無假設。

解題過程：
我們的檢定是 $H_0: \mu_1 \le \mu_2$ vs $H_1: \mu_1 > \mu_2$。
這是一個右尾檢定，對應的信賴區間是 下側信賴區間 (lower-sided confidence interval)，其形式為 $(-\infty, U]$。
顯著水準 $\alpha = 0.05$，自由度 $df = 16$。
臨界值 $t_{\alpha, df} = t_{0.05, 16} \approx 1.746$。
標準誤 $SE = s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}} \approx 2.2205$ (根據 (3.b) 的計算)。
樣本平均數差 $\bar{x}_1 - \bar{x}_2 \approx -0.112$。

1. 計算單側信賴區間的上限 (U)：

本題要求計算檢定統計量的 p-value，並根據 p-value 與顯著水準的比較來做出決策。

核心觀念：

• p-value 的定義。
• 單尾檢定的 p-value 計算。
• p-value 與顯著水準的比較規則。

解題過程：
我們進行的檢定是 $H_1: \mu_1 > \mu_2$，這是一個右尾檢定。
檢定統計量為 $t = -0.0504$ (使用更精確的值)，自由度 $df = 16$。

1. 計算 p-value：
p-value 是指在虛無假設為真的情況下，觀察到目前的檢定統計量值或更極端的結果的機率。
對於右尾檢定，p-value $= P(T_{df} > t_{statistic})$。
p-value $= P(T_{16} > -0.0504)$。

由於 t 分配是對稱的，且 $-0.0504$ 是一個非常接近 0 的負值：
$P(T_{16} > -0.0504) = 1 - P(T_{16} \le -0.0504)$
由於對稱性，$P(T_{16} \le -0.0504) = P(T_{16} \ge 0.0504)$。

本題要求找到一個線性組合估計量 $T_3$ 使其均方誤差 (MSE) 最小的參數 $\alpha$ 值。

核心觀念：

• 均方誤差 (MSE) 的定義：$MSE(T) = Var(T) + [Bias(T)]^2$。
• 無偏估計量 (Bias = 0)。
• 獨立隨機變數的變異數性質：$Var(aX + bY) = a^2 Var(X) + b^2 Var(Y)$ (若 X, Y 獨立)。
• 二次函數的最小值求解。

解題過程：
已知：

1. $T_1, T_2$ 是 $\theta$ 的無偏估計量，所以 $E(T_1) = \theta$ 且 $E(T_2) = \theta$。
2. $Var(T_1) = 1$ 且 $Var(T_2) = 3$。
3. $T_1$ 和 $T_2$ 是獨立的。
4. $T_3 = \alpha T_1 + (1 - \alpha) T_2$，其中 $\alpha \in [0, 1]$。

步驟 1：計算 $T_3$ 的偏差 (Bias)。
$Bias(T_3) = E(T_3) - \theta$
$E(T_3) = E[\alpha T_1 + (1 - \alpha) T_2]$
由於期望值是線性的：
$E(T_3) = \alpha E(T_1) + (1 - \alpha) E(T_2)$
因為 $T_1, T_2$ 是無偏估計量：
$E(T_3) = \alpha \theta + (1 - \alpha) \theta = \theta$。
因此，$Bias(T_3) = \theta - \theta = 0$。
$T_3$ 也是一個無偏估計量。

步驟 2：計算 $T_3$ 的變異數 (Variance)。
$Var(T_3) = Var(\alpha T_1 + (1 - \alpha) T_2)$
由於 $T_1$ 和 $T_2$ 是獨立的，且 $\alpha$ 和 $(1-\alpha)$ 是常數：

核心觀念

盒鬚圖用五數摘要呈現資料：最小值、第一四分位數 $Q_1$、中位數 $Q_2$、第三四分位數 $Q_3$、最大值；若採用離群值判定，鬚端通常延伸到仍落在界限內的最遠資料點，超出界限的值另以點標示。

本題依圖形採用四分位數的線性插值法。四分位距與離群值界限為：

$$\mathrm{IQR}=Q_3-Q_1$$ $$\text{下界}=Q_1-1.5\mathrm{IQR},\qquad \text{上界}=Q_3+1.5\mathrm{IQR}$$

解題方法

資料共有 $10$ 個，已由小到大排列：

$$0,\ 1,\ 3,\ 3,\ 4,\ 5,\ 5,\ 5,\ 7,\ 12$$

中位數是第 $5$、$6$ 個數的平均：

$$Q_2=\frac{4+5}{2}=4.5$$

用線性插值求四分位數：$Q_1$ 的位置是 $(10+1)\times 0.25=2.75$，介於第 $2$ 個數 $1$ 與第 $3$ 個數 $3$ 之間，因此 $Q_1=2.5$。$Q_3$ 的位置是 $(10+1)\times 0.75=8.25$，介於第 $8$ 個數 $5$ 與第 $9$ 個數 $7$ 之間，因此 $Q_3=5.5$。

$$\mathrm{IQR}=5.5-2.5=3$$

核心觀念

1. 指數分配（Exponential Distribution）的母體參數：
   在統計學標準定義中，若隨機變數 $X \sim \text{Exp}(\lambda)$（以率參數 $\lambda > 0$ 定義，機率密度函數 $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, x > 0$），其期望值與變異數分別為：

   $$E[X] = \mu = \frac{1}{\lambda}$$ $$\operatorname{Var}(X) = \sigma^2 = \frac{1}{\lambda^2}$$

2. 柴比雪夫不等式（Chebyshev's Inequality）：
   對任意具有有限期望值 $\mu$ 與有限變異數 $\sigma^2$ 的隨機變數 $X$，以及任意常數 $k > 0$（或任意 $\epsilon > 0$），其偏離平均數在 $k$ 個標準差以內的機率下界滿足：

   $$P(|X - \mu| < k\sigma) \ge 1 - \frac{1}{k^2}$$

   或等價寫為（令 $\epsilon = k\sigma$）：

   $$P(|X - \mu| < \epsilon) \ge 1 - \frac{\sigma^2}{\epsilon^2}$$

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解題方法

步驟一：求出指數分配 $X \sim \text{Exp}(2)$ 的期望值與變異數
題目給定 $X \sim \text{Exp}(2)$，即率參數 $\lambda = 2$：

$$\mu = E[X] = \frac{1}{2} = 0.5$$ $$\sigma^2 = \operatorname{Var}(X) = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0.25$$

標準差為：

$$\sigma = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} = 0.5$$

步驟二：對應柴比雪夫不等式形式與求解 $A$
題目形式為 $P(|X - A| < 2)$。
對照柴比雪夫不等式的基本形式 $P(|X - \mu| < \epsilon)$，可知中心點 $A$ 為隨機變數 $X$ 的期望值 $\mu$：

$$A = \mu = \frac{1}{2} \quad (\text{或 } 0.5)$$

此時容許誤差 $\epsilon = 2$。