112 年 國立成功大學自然災害減災及管理國際碩士學位學程《統計學》

本題考驗條件機率與貝氏定理的應用。

給定事件 A 和 B 的機率：
$P(A) = 3/4$
$P(B) = 2/5$
交集機率：
$P(A \cap B) = 7/20$

首先計算 $P(A|B)$：
條件機率的定義為 $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$。
將已知數值代入：

本題考驗極端值理論中的週期圖 (Return Period) 與機率的關係，以及獨立事件的機率計算。

給定資訊：
一次峰值流量為 $120 \, m^3/s$ 的洪水事件，其重現期為 10 年。
重現期 $T = 10$ 年。

重現期 $T$ 的定義是，一個事件發生的平均間隔年數。在離散的時間點上，這個事件在任何一年發生的機率 $p$ 與重現期 $T$ 的關係為：
$p = P(\text{事件發生}) = \frac{1}{T}$
因此，流量達到或超過 $120 \, m^3/s$ 的洪水在任何一年發生的機率為：

本題考驗極端值統計應用，特別是利用頻率因子 (Frequency Factor) 來估計特定重現期下的事件強度（此處為降雨量）。題目提供了 10 年的降雨資料，並給出了一個頻率因子 $K$ 的計算公式，以及該資料估計的標準差。我們需要計算重現期為 8 年的降雨量。

給定資訊：

1. 10 年的降雨資料（2013-2022），共 $n=10$ 筆資料。
2. 頻率因子公式：$K = 0.45 + 1.2 \times \frac{(T-1)}{T}$，其中 $T$ 是重現期。
3. 估計的標準差 $\hat{\sigma} \approx 160$ mm。
4. 要求計算重現期 $T=8$ 年的降雨量。

通常，在極端值分析中，特定重現期 $T$ 的事件強度 $X_T$ 可以透過以下公式估計：
$X_T = \bar{X} + K \times \hat{\sigma}$
其中：
$\bar{X}$ 是樣本的平均值。
$K$ 是與重現期 $T$ 相關的頻率因子。
$\hat{\sigma}$ 是樣本的標準差。

首先，我們需要計算這 10 年降雨資料的平均值 $\bar{X}$。

本題為名詞解釋題，旨在檢驗考生對統計學基本概念的理解程度。

(1) Standard error (標準誤)
標準誤是指統計量（例如樣本平均數、樣本比例等）的抽樣分配的標準差。它衡量了樣本統計量在重複抽樣過程中，其值變異的程度。標準誤越小，表示樣本統計量越接近母體參數，估計的精確度越高。例如，樣本平均數的標準誤 (Standard Error of the Mean, SEM) 可以用母體標準差除以樣本數的平方根來計算 ($\sigma/\sqrt{n}$)，若母體標準差未知，則用樣本標準差代替 ($\hat{\sigma}/\sqrt{n}$)。

(2) Interquartile range (四分位距)
四分位距 (IQR) 是衡量數據離散程度的一種指標，它定義為第三四分位數 ($Q_3$) 與第一四分位數 ($Q_1$) 之間的差值，即 $IQR = Q_3 - Q_1$。四分位距代表了數據集中間 50% 的範圍。它對極端值不敏感，因此常被用來描述偏態分佈或含有離群值的數據。

(3) Exceedance probability (超越機率)
超越機率是指一個隨機變數的觀測值大於或等於某個特定值的機率。在水文、環境科學等領域，它常被用來描述某個極端事件（如洪水、強風）發生的可能性。如果一個事件的重現期是 $T$ 年，那麼它的超越機率就是 $1/T$。例如，一個 100 年重現期的洪水，其超越機率為 $1/100 = 0.01$，表示在任何一年，發生該洪水或更嚴重洪水的機率為 1%。