112 年 國立成功大學自然災害減災及管理國際碩士學位學程《水文學》

本題為基本名詞解釋題，旨在測試考生對水文學中幾個重要基本概念的理解程度。

(a) Evapotranspiration (蒸散發)：
蒸散發是指水分從地表、水體表面以及植物體內蒸發或透過植物蒸散作用進入大氣的總過程。它包含兩個主要部分：蒸發（Evaporation），即液態水直接轉變為氣態水進入大氣；蒸散（Transpiration），即植物透過葉片上的氣孔將體內水分以氣態形式釋放到大氣中。蒸散發是水循環中的重要組成部分，對地表水、地下水補給及氣候都有顯著影響。

(b) S Hydrograph (S曲線圖)：
S曲線圖是一種特殊的單位歷線（Unit Hydrograph），用於模擬一個持續不斷的降雨事件（通常假設為無限長或足夠長，直到流量達到穩定狀態）對集水區產生的歷線。它的特點是，當降雨歷時趨近於無限長時，流量會逐漸增加並最終趨於穩定，形成一條類似字母「S」的曲線。S曲線圖的繪製是通過將一系列連續的、歷時等於目標單位歷時的單位歷線重疊並累加而得。它在處理不同歷時降雨的徑流計算時非常有用。

本題要求解釋理性公式（Rational Formula）及其主要假設。理性公式是水文學中用於估計小流域瞬間最大流量的經驗公式。

理性公式的內容：
理性公式的公式為：
$Q_{peak} = C \cdot I \cdot A$
其中：

• $Q_{peak}$ 為設計洪峰流量（單位：$m^3/s$ 或 $ft^3/s$）。
• $C$ 為逕流係數（ a dimensionless coefficient），代表降雨轉化為逕流的比例，與流域的土地利用、土壤性質、坡度等有關。
• $I$ 為降雨強度（單位：$mm/hr$ 或 $in/hr$），通常取設計暴雨歷時（即匯流時間）的平均降雨強度。
• $A$ 為集水面積（單位：$km^2$ 或 $acres$）。

需要注意的是，公式中的單位需要匹配。若 $A$ 以 $km^2$ 為單位，為使 $Q_{peak}$ 為 $m^3/s$，則 $C$ 和 $I$ 的單位需要進行適當換算，或使用修正係數。一個常用的形式是：
$Q_{peak} = 0.278 \cdot C \cdot I \cdot A$

本題旨在釐清兩個概念對的差異。

(a) Runoff coefficient (逕流係數) and Curve number (曲線數)：
這兩者都是用來估計降雨轉化為地表逕流量的指標，但它們的計算基礎和應用方式有所不同。

• Runoff coefficient (逕流係數, $C$)：

  • 定義：逕流係數是理性公式（Rational Formula）中的一個參數，代表降雨量（或降雨強度）轉化為地表逕流量的比例。它通常是一個無量綱的數值，介於 0 和 1 之間。
  • 計算：傳統上，逕流係數是根據土地利用類型、土壤類型、坡度等因素，透過查表給定，例如草地、柏油路、森林等，都有對應的 $C$ 值。
  • 應用：主要用於理性公式計算峰值流量。
  • 限制：它是一個較為粗略的估計，沒有考慮降雨的累積效應、土壤飽和度等動態變化，且通常假設整個流域的 $C$ 值相同。

• Curve number (曲線數, CN)：

  • 定義：曲線數是美國自然資源保育署（NRCS，原 SCS）開發的一種估算潛在滯留量（potential maximum retention）的方法，用於計算有效降雨量。它也是一個無量綱的數值，範圍通常在 0 到 100 之間。
  • 計算：曲線數是根據土地利用類型、土壤水文組（Soil Hydrologic Group）和土地狀況（如處理、狀況）等因素綜合確定的。CN 值越高，代表潛在滯留量越小，有效降雨佔總降雨的比例越高。
  • 應用：廣泛應用於 NRCS 逕流估算方法，計算有效降雨量：
    $P_e = \frac{(P-0.2S)^2}{P+0.8S}$
    其中 $P_e$ 是有效降雨，$P$ 是總降雨， $S$ 是潛在滯留量，而 $S = \frac{1000}{CN} - 10$。
  • 優點：相較於逕流係數，曲線數考慮了降雨的累積效應和土壤的初始濕潤狀況，能夠更精確地估算有效降雨量，並能反映流域內不同土地利用的差異。

• 主要區別：

  • 逕流係數主要用於計算峰值流量，而曲線數主要用於計算有效降雨量。
  • 逕流係數是降雨到逕流的「比例」，較為簡化；曲線數則基於潛在滯留量概念，更能反映降雨的累積效應和土壤條件。

核心觀念

本題考查水庫演算中的連續方程，以及「蓄水量—出流量」關係式。

水庫水量平衡為

$$\frac{dS}{dt}=I-Q$$

以梯形法離散化，時間間隔為 $\Delta t=1$ 日時：

$$S_{j+1} = S_j+ \frac{I_j+I_{j+1}}{2}\Delta t - \frac{Q_j+Q_{j+1}}{2}\Delta t$$

題目第一分支排版不完整；依水庫演算的標準解讀，採用：

$$Q= \begin{cases} \dfrac{2S}{\Delta t}, & \dfrac{2S}{\Delta t}+Q>100\\[6pt] \dfrac{1}{5}\dfrac{2S}{\Delta t}, & \text{otherwise} \end{cases}$$

因為第 $3$ 日的出流量須由前面各日的蓄水量與出流量逐步推算，因此必須先求出第 $1$、$2$ 日狀態。

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解題方法與計算

已知初始條件：

$$S_0=42,\qquad Q_0=0$$

且 $\Delta t=1$ 日。

第 1 日：求 $S_1$ 與 $Q_1$

先判斷採用第二分支：

$$Q_1=\frac{1}{5}\frac{2S_1}{1}=0.4S_1$$

水量平衡式為

$$S_1 = 42+\frac{0+12}{2} -\frac{0+Q_1}{2}$$

因此

$$S_1=48-\frac{Q_1}{2}$$

代入 $Q_1=0.4S_1$：

$$S_1=48-0.2S_1$$ $$1.2S_1=48$$ $$S_1=40$$

所以

$$Q_1=0.4(40)=16$$

第 2 日：求 $S_2$ 與 $Q_2$

同樣先採用第二分支：

$$Q_2=0.4S_2$$

水量平衡式：

$$S_2 = 40+\frac{12+25}{2} -\frac{16+Q_2}{2}$$

整理得

$$S_2=50.5-\frac{Q_2}{2}$$

代入 $Q_2=0.4S_2$：

$$S_2=50.5-0.2S_2$$

核心觀念

本題考查：

1. 直接逕流歷線（Direct Runoff Hydrograph, DRH）：由總流量歷線扣除基流。
2. 逕流體積與有效降雨深度的水量平衡：
   $V_{\mathrm{DR}}=A P_e$
3. 單位歷線（Unit Hydrograph, UH）：$1$ cm 有效降雨所造成的直接逕流歷線。
4. 疊加原理與延時原理：不同時段有效降雨所造成的逕流可以線性相加。
5. S-curve 法：由 $1.5$ 小時單位歷線轉換為 $1$ 小時單位歷線。

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（a）求集水區面積

1. 求直接逕流歷線

基流固定為 $10\ \mathrm{m^3/s}$，因此：

$Q_{\mathrm{DR}}=Q-10$

時間（h）	總流量 $Q$（m³/s）	直接逕流 $Q_{\mathrm{DR}}$（m³/s）
0	10	0
0.5	30	20
1.0	110	100
1.5	190	180
2.0	240	230
2.5	320	310
3.0	380	370
3.5	370	360
4.0	270	260
4.5	160	150
5.0	100	90
5.5	40	30
6.0	10	0

2. 計算直接逕流體積

資料間隔為 $0.5$ 小時，使用梯形法：

$$\int Q_{\mathrm{DR}}\,dt = 0.5 \left[ \frac{0+0}{2} +20+100+180+230+310+370+360+260+150+90+30 \right]$$ $$=1050\ \mathrm{m^3/s\cdot h}$$

換算為體積：

$$V_{\mathrm{DR}} = 1050\times 3600 = 3,780,000\ \mathrm{m^3}$$

3. 水量平衡求面積

有效降雨總深度為：

$$P_e=2+3=5\ \mathrm{cm}=0.05\ \mathrm{m}$$

由 $V_{\mathrm{DR}}=AP_e$：

$$A=\frac{3,780,000}{0.05} =75,600,000\ \mathrm{m^2}$$

因此：

$$\boxed{A=75.6\ \mathrm{km^2}}$$

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（b）求 $1$ 小時、$1$ cm 單位歷線

題目有效降雨歷時為：

• $0\sim1.5$ 小時：$2$ cm
• $1.5\sim3.0$ 小時：$3$ cm

因此先由疊加原理求出 $1.5$ 小時、$1$ cm 單位歷線，再利用 S-curve 法轉換為 $1$ 小時單位歷線。

1. 求 $1.5$ 小時單位歷線

令 $U(t)$ 表示 $1.5$ 小時、$1$ cm 單位歷線。

直接逕流歷線可表示為：

$$Q_{\mathrm{DR}}(t)=2U(t)+3U(t-1.5)$$

當 $t<1.5$ 時，第二場有效降雨尚未開始，因此：

$$Q_{\mathrm{DR}}(t)=2U(t)$$

依序利用各時間點計算：

$$U(0)=\frac{0}{2}=0$$ $$U(0.5)=\frac{20}{2}=10$$ $$U(1.0)=\frac{100}{2}=50$$ $$U(1.5)=\frac{180-3U(0)}{2}=90$$