108 年 國立成功大學自然災害減災及管理國際碩士學位學程《水文學》

本題主要測試考生對水文學基本名詞的理解程度。

(1) 黑盒分析 (Black box analysis)
黑盒分析是一種系統分析方法，將一個系統視為一個「黑盒」，只關注其輸入與輸出之間的關係，而不探究系統內部的具體運作機制。在水文學中，常應用於研究降雨逕流關係、蒸發散估算等，例如利用歷史的降雨資料與逕流量資料，建立輸入（降雨）與輸出（逕流量）的數學模型，而無需詳細了解流域內複雜的水文過程。

【答案】黑盒分析是一種將系統視為輸入與輸出關係不明的「黑盒」，只研究其輸入與輸出行為的分析方法。在水文學上，常應用於建立降雨與逕流之間的關係模型，而忽略內部複雜的物理過程。

(2) 水位流量關係之遲滯現象 (Effect of hysteresis)
遲滯現象是指在水位上升與下降過程中，同一水位下的流量值不同，導致水位與流量的關係曲線呈現閉合迴圈的現象。這通常發生在集流時間較長、河道坡度較緩的流域。在漲水階段，水位上升較快，河道內蓄水量增加，使得同一水位下的流量較低；在落水階段，水位下降，河道內蓄水量減少，使得同一水位下的流量相對較高。

本題考驗考生對水文平衡（或稱連續性方程式）的理解與應用。水文平衡方程式的基本概念是：在某一段時間內，流入某系統的水量減去流出該系統的水量，等於該系統水量變化量。

水文平衡方程式可表示為：
$\text{流入} - \text{流出} = \Delta \text{儲蓄量}$
其中：
流入量 (Inflow)
流出量 (Outflow)
$\Delta$ 儲蓄量 (Change in Storage)

題目給定的資訊：
平均入流量 (Average Inflow Rate) $= 15 \, \text{cms} = 15 \, \text{m}^3/\text{s}$
平均出流量 (Average Outflow Rate) $= 12 \, \text{cms} = 12 \, \text{m}^3/\text{s}$
時間間隔 $\Delta t = 1$ 小時 $= 1 \times 3600$ 秒 $= 3600 \, \text{s}$
初始儲蓄量 (Initial Storage) $S_t = 10,000 \, \text{m}^3$

本題考查雨量資料補遺的必要性以及常用的補遺方法。

雨量資料為何有時需要補遺？

雨量站的資料可能因為各種原因而中斷或遺失，例如：

1. 儀器故障：雨量計損壞、記錄器故障、電力中斷等。
2. 人為因素：觀測人員疏失、資料傳輸錯誤、人為破壞等。
3. 環境因素：強風、積雪、動物破壞等影響量測準確性或導致資料遺失。
4. 極端天氣事件：例如地震、水災等可能直接損壞雨量站或影響資料的收集。

若某個雨量站的資料出現中斷或遺失，而該站的資料對於水文分析（如降雨逕流模擬、洪水預報、水資源評估等）至關重要，則需要進行資料補遺，以確保分析的連續性與準確性。

雨量資料補遺的方法

常用的雨量資料補遺方法主要有以下幾種，這些方法通常基於空間相關性來推估遺失的資料：

1. 算術平均法 (Arithmetic Average Method)：
   這是最簡單的方法。假設遺失的雨量站為站 $X$，其周圍有 $n$ 個鄰近的雨量站 (例如 $A, B, C, \dots$)，且這些鄰近站的資料是完整的。則遺失站 $X$ 在某時段的雨量 $P_X$ 可由其鄰近站的雨量平均值推算：
   $P_X = \frac{P_A + P_B + P_C + \dots + P_n}{n}$
   此方法適用於地形平坦、雨量分佈較均勻的地區。

2. 導數法 (Normal Ratio Method / Reciprocal Distance Weighting)：
   此方法考慮了鄰近站與遺失站之間的距離以及各站的平均年雨量。如果鄰近站的平均年雨量與遺失站的平均年雨量差異較大，或者距離較遠，則此方法的權重會進行調整。
   遺失站 $X$ 在某時段的雨量 $P_X$ 可由其鄰近站 $i$ 的雨量 $P_i$ 和各站的平均年雨量 $\bar{P}_i$ 推算：
   $P_X = \frac{\sum_{i=1}^{n} \frac{P_i}{\bar{P}_i}}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{\bar{P}_i}}$
   若各站的平均年雨量差異不大，則此方法退化為算術平均法。

本題考查水文學中歷線分析的基礎，特別是如何將總體歷線（包含直接逕流和基流）分離成直接逕流歷線與基流歷線，以及對分離結果的物理意義的理解。

將簡單歷線之直接逕流及基流分離的三種方法 (繪圖說明)：

歷線分離的目的是將總體歷線（直接流加上基流）分解為直接逕流成分（由單一降雨事件直接產生的流量）和基流成分（地下水補注到河道的流量）。

1. 固定基線法 (Fixed Base Method) / 繪製水平直線法

   • 繪圖說明：在總體歷線圖上，從降雨結束點（或逕流開始回落至基流水平的點）畫一條水平直線，延伸至流量曲線的左側（通常是降雨前的流量水平）。這條水平線即為基流。
   • 原理：假設在降雨影響期間，基流保持相對穩定，或在降雨結束後，基流迅速恢復到原來的穩定水平。
   • 適用性：適用於降雨量小、歷時短、基流較穩定的情況。
   • 圖示：
     (假設一個典型的歷線圖，橫軸為時間，縱軸為流量。畫一條降雨事件後的總體歷線，在某個時間點畫一條水平線，代表基流，該水平線與總體歷線左側的交點為基流的起始點。)

2. 變動基線法 (Variable Base Method) / 繪製曲線法

   • 繪圖說明：在總體歷線圖上，從降雨前的基流水平點開始，繪製一條逐漸上升並最終與總體歷線相交的曲線。這條曲線代表隨時間變化的基流。通常，此曲線會經歷一個上升期（降雨補注地下水，地下水水位上升，基流增加）和下降期（地下水補注減少，基流減少）。
   • 原理：考慮了降雨對地下水位補注的影響，認為基流會隨著地下水位的變化而變化。
   • 適用性：適用於降雨量較大、歷時較長、對地下水補注影響顯著的情況。
   • 圖示：
     (假設一個典型的歷線圖。從降雨前的基流水平點開始，繪製一條平滑曲線，該曲線在總體歷線上升段的下方，並在總體歷線下降段的某個時間點與總體歷線相交，然後可能繼續下降至新的基流水平。)

3. 曲線法 (Recession Curve Method) / 雙曲線法

   • 繪圖說明：此方法是基於經驗公式，假設降雨停止後，基流的衰減遵循指數衰減規律，通常可以用對數尺度下的直線來表示。首先，確定降雨前的基流水平。

本題主要考驗考生對機率與統計在水文學中的應用，包括重現期與發生機率的轉換，以及風險評估中的損失期望值計算。

(1) 回歸期 30 年一次的洪水在 30 年內至少發生一次的機率為多少？

核心觀念：

• 回歸期 (Return Period, $T$)：指某種極端洪水事件平均而言，每隔 $T$ 年會發生一次。
• 發生機率 (Probability of Occurrence, $p$)：指在任何一年中，該極端洪水事件發生的機率。兩者關係為 $p = 1/T$。
• 在 $n$ 年內至少發生一次的機率：這是一個反向思考的問題。我們可以計算在 $n$ 年內「一次都未發生」的機率，然後用 1 減去這個機率，即為「至少發生一次」的機率。

解題步驟：

1. 確定單一年份的發生機率：
   題目給定回歸期 $T = 30$ 年。
   因此，在任何一年中，發生 30 年一次洪水的機率 $p = 1/T = 1/30$。

2. 計算單一年份不發生的機率：
   在任何一年中，不發生 30 年一次洪水的機率 $q = 1 - p = 1 - (1/30) = 29/30$。

3. 計算在 30 年內一次都未發生的機率：
   假設每年的洪水事件是獨立的。在 30 年內，一次都未發生該洪水的機率是將 30 年各自不發生的機率相乘：
   $P(\text{30年內未發生}) = q^n = (29/30)^{30}$

4. 計算在 30 年內至少發生一次的機率：
   至少發生一次的機率是 1 減去 30 年內一次都未發生的機率：
   $P(\text{30年內至少發生一次}) = 1 - P(\text{30年內未發生})$
   $P(\text{30年內至少發生一次}) = 1 - (29/30)^{30}$

   現在我們需要計算 $(29/30)^{30}$ 的近似值。
   $(29/30)^{30} \approx 0.3646$

   因此，
   $P(\text{30年內至少發生一次}) \approx 1 - 0.3646 = 0.6354$

   將結果轉換為百分比：$0.6354 \times 100\% = 63.54\%$。

【答案】 回歸期 30 年一次的洪水在 30 年內至少發生一次的機率約為 $1 - (29/30)^{30} \approx 0.6354$ 或 $63.54\%$。

(2) 某下水道排洪設計為 20 年一次之暴雨，若此下水道被洪水超越溢淹時，將損失 1,000 萬元，試問若設計期限為 10 年，其損失期望值為多少？

核心觀念：

• 損失期望值 (Expected Annual Loss, EAL)：指在一年內，因某種災害事件發生所預期的平均損失。
• 設計期限 (Design Life, $n$)：指設施預計使用的年限。
• 風險評估：結合事件發生的機率和事件發生後的損失，來評估整體風險。

解題步驟：

1. 計算單一年份發生溢淹的機率：
   下水道設計為 20 年一次的暴雨，表示該暴雨的發生機率 $p = 1/20$。
   當發生這種暴雨時，下水道會被超越溢淹。
   所以，一年內發生溢淹的機率 $p = 1/20$。