113 年 國立成功大學自然災害減災及管理國際碩士學位學程《水文學》

這題考驗對水文學基本概念的理解。

(a) 單位歷線假設 (Hypothesis of Unit Hydrograph)
單位歷線是將特定流域在單位時間（通常為 1 小時）內，由淨雨（有效降雨）所產生的坡地逕流歷線。其核心假設包括：

1. 線性響應 (Linearity)：逕流的總量與淨雨的強度成正比，即淨雨強度加倍，逕流總量也加倍。
2. 時變不變性 (Time-Invariance)：流域的響應特性（如滯時、基流分離等）在事件發生期間是恆定的，不隨時間改變。
3. 基流分離 (Baseflow Separation)：單位歷線僅代表基流以外的「直接逕流」部分，基流在計算中通常被分離或假設為恆定。
4. 淨雨空間分布均勻 (Uniform Spatial Distribution of Effective Rainfall)：假設單位時間內的淨雨在整個流域的空間分布是均勻的。
5. 淨雨時間集中 (Concentrated Effective Rainfall Duration)：假設單位時間內的淨雨是集中在該單位時間內發生的，且其時間分布是均勻的。

(b) 濃度時間 (Time of Concentration, $t_c$)
濃度時間是指從降雨開始，到流域內最遠處的水滴到達該斷面（集流點）所需的最長時間。它代表了水流從流域最遠點匯流至出口斷面的時間。濃度時間是計算洪水歷線、設計降雨強度等的重要參數。

(c) 水文學中常用的五種分布

1. 常態分布 (Normal Distribution / Gaussian Distribution)：用於描述許多自然現象，如降雨量、流量的變異。
2. 對數常態分布 (Log-Normal Distribution)：適用於變數值為正且偏態分布的情況，如流量、降雨強度。

核心觀念

本題考查河道洪水演算中的 Muskingum 法。其基本概念是：

• 以連續方程描述河段蓄水量的變化。
• 以線性蓄水關係表示河段蓄水量 $S$ 與入流量 $I$、出流量 $O$ 的關係。
• 已知初始出流量 $O_1$，利用各時刻的入流量，逐時推算出流量 $O_2、O_3、O_4$。

Muskingum 法的蓄水量假設為

$$S=K\left[XI+(1-X)O\right]$$

其中：

• $S$：河段蓄水量
• $K$：蓄水常數，通常代表洪水波通過河段的特徵時間
• $X$：入流與出流對蓄水量的相對影響權重，通常 $0\leq X\leq 0.5$
• $I$：入流量
• $O$：出流量

本題給定：

$$X=0.2,\qquad K=2\ \text{hr},\qquad \Delta t=1\ \text{hr}$$

題目文字寫成「the outflow in hour 1 ($I_1$) was 50」，但出流量應記為 $O_1$，因此採用

$$O_1=50\ \text{m}^3/\text{s}$$

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（a）Muskingum 法的假設與示意圖

1. 連續方程

對一個河道路段而言，質量守恆表示為

$$\frac{dS}{dt}=I-O$$

亦即：

• 當 $I>O$ 時，河段蓄水量增加；
• 當 $I<O$ 時，河段蓄水量減少。

2. Muskingum 蓄水假設

Muskingum 法假設河段蓄水量由入流量與出流量的加權平均決定：

$$S=K\left[XI+(1-X)O\right]$$

當 $X=0$ 時，蓄水量主要由出流量決定，較接近水庫型蓄水。

當 $X=0.5$ 時，蓄水量同時受到入流與出流的平均影響，較能表現河道中的楔形蓄水。

3. 示意圖

              入流 I(t)                       出流 O(t)
                  ───────►  ┌────────────┐  ───────►
                            │            │
                            │  河道路段  │
                            │  蓄水量 S   │
                            │            │
                            └────────────┘
                                  │
                                  ▼
                         dS/dt = I - O

河段內的蓄水量可分為兩種概念：

• 由河道水體本身形成的蓄水；
• 洪水波通過時，入流面與出流面水位不同所形成的楔形蓄水。

Muskingum 法將兩者合併，以

$$S=K\left[XI+(1-X)O\right]$$

加以近似。

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（b）推導 $C_0、C_1、C_2$

1. 連續方程的梯形積分

在時間 $t_1$ 至 $t_2$ 之間，利用梯形法近似：

$$S_2-S_1 = \frac{\Delta t}{2} \left(I_1+I_2-O_1-O_2\right)$$

Muskingum 蓄水關係分別為

$$S_1=K\left[XI_1+(1-X)O_1\right]$$ $$S_2=K\left[XI_2+(1-X)O_2\right]$$

因此

$$S_2-S_1 = K\left[ X(I_2-I_1)+(1-X)(O_2-O_1) \right]$$

代入連續方程：

$$K\left[ X(I_2-I_1)+(1-X)(O_2-O_1) \right] = \frac{\Delta t}{2} \left(I_1+I_2-O_1-O_2\right)$$

整理出含 $O_2$ 的項：

$$\left[K(1-X)+\frac{\Delta t}{2}\right]O_2 = \left[\frac{\Delta t}{2}-KX\right]I_2 + \left[\frac{\Delta t}{2}+KX\right]I_1 + \left[K(1-X)-\frac{\Delta t}{2}\right]O_1$$

因此，Muskingum 演算式為

$$O_2=C_0I_2+C_1I_1+C_2O_1$$

其中

$$C_0= \frac{\frac{\Delta t}{2}-KX} {K(1-X)+\frac{\Delta t}{2}}$$ $$C_1= \frac{\frac{\Delta t}{2}+KX} {K(1-X)+\frac{\Delta t}{2}}$$

核心觀念

本題考查降雨—逕流分析中的三個概念：

1. 有效降雨（effective rainfall）：總降雨扣除入滲損失後，真正形成直接逕流的部分。
2. 單位歷線（unit hydrograph, UH）：流域受到「固定延時、單位有效降雨深」所產生的直接逕流歷線。
3. S 曲線法（S-curve method）：由 $1$ 小時單位歷線推求 $2$ 小時單位歷線。

本題採用下列標準假設：

• Table 3 每一筆雨量代表連續 $1$ 小時內的降雨深。
• 入滲能力固定為 $I=1\ \text{cm/hr}$。
• Table 2 的直接逕流歷線係由 $1$ 小時、$1$ cm 的有效降雨所產生，因此 Table 2 的流量除以 $1$ cm 後，即為 $1$ 小時單位歷線。

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(a) 計算有效降雨

每小時有效降雨為

$$P_e=\max(P-I\Delta t,0)$$

其中：

• $P$：該小時降雨深
• $I=1\ \text{cm/hr}$
• $\Delta t=1\ \text{hr}$

因此每小時入滲損失為

$$F=I\Delta t=1\times 1=1\ \text{cm}$$

逐時計算如下：

時間區間（hr）	降雨量 $P$（cm）	入滲量 $F$（cm）	有效降雨 $P_e$（cm）
$0\sim1$	3	1	2
$1\sim2$	4	1	3
$2\sim3$	2	1	1
$3\sim4$	1	1	0
$4\sim5$	0	0	0

所以有效降雨歷線為

$$P_e=(2,\ 3,\ 1,\ 0)\ \text{cm}$$

總有效降雨深為

$$P_{e,\text{total}}=2+3+1=6\ \text{cm}$$

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(b) 計算 $1$ 小時單位歷線

1. 單位歷線定義

$1$ 小時單位歷線，是 $1$ 小時內均勻降下 $1$ cm 有效降雨所造成的直接逕流歷線。

若 Table 2 已經是由 $1$ cm 有效降雨所產生的直接逕流歷線，則

$$U_1(t)=\frac{Q(t)}{1\ \text{cm}}$$

因此數值上，$1$ 小時單位歷線的流量 ordinates 與 Table 2 相同。

2. $1$ 小時單位歷線

時間 $t$（hr）	$U_1(t)$（cms/cm）
0	0
1	6
2	23
3	50
4	88
5	112
6	97
7	61
8	30
9	11
10	2
11	0

故

$$\boxed{ U_1(t)= (0,\ 6,\ 23,\ 50,\ 88,\ 112,\ 97,\ 61,\ 30,\ 11,\ 2,\ 0) }$$

單位為 $\text{cms/cm}$。

3. 延伸：4 小時暴雨所產生的直接逕流歷線

若題意中的「for a 4-hr storm」要求進一步利用有效降雨推求暴雨逕流，則使用離散摺積：

$$Q(t)=\sum_{m=1}^{4}P_e(m)U_1(t-m+1)$$

其中有效降雨為 $(2,3,1,0)$ cm，因此

$$Q(t)=2U_1(t)+3U_1(t-1)+U_1(t-2)$$

所得直接逕流歷線如下：

時間 $t$（hr）	$Q(t)$（cms）
0	0
1	12
2	64
3	175
4	365
5	542
6	592
7	528
8	356
9	189
10	76
11	26
12	4

核心觀念

本題考查水庫演算中的 Puls Reservoir Routing Method。基本連續方程為

$$\frac{dS}{dt}=I-Q$$

其中：

• $S$：水庫蓄水量，單位為 $\mathrm{m^3}$
• $I$：入流量，單位為 $\mathrm{m^3/s}$
• $Q$：出流量，單位為 $\mathrm{m^3/s}$

題目給定水庫蓄水量與水位關係：

$$S=AH$$

且

$$A=4000\ \mathrm{m^2}$$

因此：

$$S=4000H$$

Puls 法採用梯形積分，計算式為

$$S_2-S_1 = \frac{\Delta t}{2} \left[ (I_1+I_2)-(Q_1+Q_2) \right]$$

整理得

$$S_2+\frac{\Delta t}{2}Q_2 = S_1-\frac{\Delta t}{2}Q_1 + \frac{\Delta t}{2}(I_1+I_2)$$

本題 $\Delta t=600$ 秒，所以

$$\frac{\Delta t}{2}=300\ \mathrm{s}$$

定義水位函數

$$F(H)=S+300Q=4000H+300Q(H)$$

每一個時間步先求出右側已知值，再由 $F(H)$ 與水位—出流量表反查 $H$ 和 $Q$。

題目表格的水位列列至 $H=8$，但出流量列列出 11 個數值；本題計算所得水位最高約為 $4.28\ \mathrm{m}$，因此只需使用 $H=0$ 至 $H=5$ 的資料，不影響本題結果。

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解題方法

初始時刻水庫為空：

$$H_0=0,\qquad S_0=0,\qquad Q_0=0$$

入流資料每 10 分鐘取一點，因此分別計算 $t=10$、$20$、$30$ 分鐘的出流量。

由表得：

$$\begin{array}{c|cccc} t\ (\mathrm{min})&0&10&20&30\\ \hline I\ (\mathrm{m^3/s})&0&20&30&40 \end{array}$$

水位與出流量關係採線性內插：

$$\begin{array}{c|ccccc} H\ (\mathrm{m})&0&1&2&3&4&5\\ \hline Q\ (\mathrm{m^3/s})&0&5&10&20&30&40 \end{array}$$

第 1 個時間步：$0$ 至 $10$ 分鐘

Puls 方程右側為

$$F(H_1) = S_0-300Q_0+300(I_0+I_1)$$

代入資料：

$$F(H_1) = 0-300(0)+300(0+20) =6000$$

因此

$$4000H_1+300Q_1=6000$$

當 $H=1$ 時，

$$F(1)=4000+300(5)=5500$$

當 $H=2$ 時，

$$F(2)=8000+300(10)=11000$$

所以 $H_1$ 位於 $1$ 至 $2$ 公尺之間。線性內插：

$$H_1 = 1+\frac{6000-5500}{11000-5500} = 1.0909\ \mathrm{m}$$

相對應的出流量為

$$Q_1 = 5+\frac{1.0909-1}{2-1}(10-5) = 5.45\ \mathrm{m^3/s}$$

蓄水量：

$$S_1=4000(1.0909)=4363.6\ \mathrm{m^3}$$

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第 2 個時間步：$10$ 至 $20$ 分鐘

此時 $I_1=20$、$I_2=30$，故

$$F(H_2) = S_1-300Q_1+300(I_1+I_2)$$

代入：

$$F(H_2) = 4363.6-300(5.45)+300(20+30)$$ $$F(H_2)=17727.3$$

查表計算：

$$F(2)=8000+300(10)=11000$$ $$F(3)=12000+300(20)=18000$$