113 年 國立成功大學企業管理研究所乙組《統計學》

本題考驗對絕對偏差和的理解。絕對偏差和 $\sum |x_i - a|$ 在 $a$ 為數據的中位數時最小。因此，我們需要先計算這組數據的中位數。

數據為：20, 20, 21, 22, 22, 23, 24, 24, 25, 25, 26。
共有 11 個數據點。
中位數是排序後第 $(11+1)/2 = 6$ 個數據點。
排序後的數據為：20, 20, 21, 22, 22, 23, 24, 24, 25, 25, 26。
因此，中位數是 23。

選項 (A) 的 $a=20$。
選項 (B) 的 $a=26$。
選項 (C) 的 $a=22.91$。
選項 (D) 的 $a=23$。

因為 $a=23$ 是這組數據的中位數，所以選項 (D) $\sum_{i=1}^{11} |x_i - 23|$ 的絕對偏差和會是最小的。

計算各選項的絕對偏差和：
數據點 $x_i$: 20, 20, 21, 22, 22, 23, 24, 24, 25, 25, 26

(A) $\sum |x_i - 20|$
$|20-20| + |20-20| + |21-20| + |22-20| + |22-20| + |23-20| + |24-20| + |24-20| + |25-20| + |25-20| + |26-20|$
$= 0 + 0 + 1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5 + 6 = 32$

本題考驗對敘述性統計學中「集中趨勢測量」(location measurements) 與「離散趨勢測量」(variation measurements) 的分類。

• 集中趨勢測量 (Location Measurements)：用來描述數據集的中心位置或典型值。

  • Average (平均數)
  • Median (中位數)
  • Mode (眾數)
  • Maximum value (最大值) - 雖然是極端值，但有時也視為一個標誌性的位置。
  • Minimum value (最小值) - 同樣，一個標誌性的位置。

• 離散趨勢測量 (Variation Measurements)：用來描述數據集的離散程度或分散範圍。

  • Standard deviation (標準差)
  • Range (全距)
  • IQR (Interquartile Range, 四分位距)

核心觀念

本題考的是「隨機問卷法（randomized response）」與比例估計。

由於兩份問卷的敘述相反：

• 收到 Q1 的學生：支持候選人回答「V」。
• 收到 Q2 的學生：不支持候選人回答「V」。

因此，「V」不完全代表支持候選人，必須扣除 Q2 所造成的「不支持但回答 V」影響。

設全班支持候選人的比例為 $p$。

解題方法

Q1 發出 $42$ 份，Q2 發出 $28$ 份，共 $70$ 份，因此：

$$P(Q1)=\frac{42}{70}=0.6,\qquad P(Q2)=\frac{28}{70}=0.4$$

若某學生支持候選人：

• 收到 Q1 時回答 V，機率為 $0.6$；
• 收到 Q2 時回答 X，機率為 $0.4$。

若某學生不支持候選人：

• 收到 Q1 時回答 X，機率為 $0.6$；
• 收到 Q2 時回答 V，機率為 $0.4$。

所以回答「V」的總比例為：

$$P(V)=0.6p+0.4(1-p)$$

題目中共有 $34$ 個 V，因此樣本中的 V 比例為：

$$\frac{34}{70}$$

建立方程式：

$$\frac{34}{70}=0.6p+0.4(1-p)$$

整理得：

$$\frac{34}{70}=0.4+0.2p$$ $$0.2p=\frac{34}{70}-0.4$$ $$p=\frac{\frac{34}{70}-0.4}{0.2} =\frac{3}{7} \approx 0.4286$$

因此，這位候選人在全班的支持率約為：

$$42.86\%\approx 43\%$$

也可以直接用人數表示。預期回答 V 的人數為：

$$42p+28(1-p)$$

令其等於實際的 $34$ 人：

$$42p+28(1-p)=34$$

本題考驗對離散機率分布的性質，特別是機率總和為 1 的條件。

一個離散隨機變數 $x$ 的機率質量函數 (PMF) 為 $p(x) = kr^x$，其中 $x = 0, 1, 2, \dots$，且 $0 < r < 1$。
根據機率分布的性質，所有可能值的機率總和必須等於 1。
即 $\sum_{x=0}^{\infty} p(x) = 1$。

將 $p(x) = kr^x$ 代入：
$\sum_{x=0}^{\infty} kr^x = 1$

由於 $k$ 是常數，可以提出求和符號：
$k \sum_{x=0}^{\infty} r^x = 1$

級數 $\sum_{x=0}^{\infty} r^x$ 是一個無窮等比級數，首項為 $r^0 = 1$，公比為 $r$。

本題考驗對聯合機率分布的理解，以及如何判斷兩個離散隨機變數之間的相關性、獨立性與聯合分布。

首先，我們需要從聯合機率分布表中計算邊際機率，以及期望值，以便判斷相關性。
X 的可能值為 0, 1。 Y 的可能值為 0, 1。

計算邊際機率：

• $P(X=0) = P(X=0, Y=0) + P(X=0, Y=1) = 0.36 + 0.24 = 0.60$

• $P(X=1) = P(X=1, Y=0) + P(X=1, Y=1) = 0.24 + 0.16 = 0.40$
  (檢查：$0.60 + 0.40 = 1.00$，正確)

• $P(Y=0) = P(X=0, Y=0) + P(X=1, Y=0) = 0.36 + 0.24 = 0.60$

• $P(Y=1) = P(X=0, Y=1) + P(X=1, Y=1) = 0.24 + 0.16 = 0.40$
  (檢查：$0.60 + 0.40 = 1.00$，正確)

判斷獨立性：
兩個隨機變數 X 和 Y 獨立，當且僅當對於所有可能的 x 和 y，$P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y)$。
我們檢查其中一個聯合機率值：
$P(X=0, Y=0) = 0.36$
$P(X=0)P(Y=0) = (0.60)(0.60) = 0.36$
這似乎是獨立的。

再檢查另一個值：
$P(X=1, Y=1) = 0.16$
$P(X=1)P(Y=1) = (0.40)(0.40) = 0.16$
這也符合。

再檢查一個值：
$P(X=0, Y=1) = 0.24$
$P(X=0)P(Y=1) = (0.60)(0.40) = 0.24$
這也符合。

最後一個值：
$P(X=1, Y=0) = 0.24$
$P(X=1)P(Y=0) = (0.40)(0.60) = 0.24$
這也符合。

由於對於所有組合 $(x, y)$，都有 $P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y)$，所以 X 和 Y 是獨立的。

評估選項：

本題考驗對 Poisson 分布的理解與應用。Poisson 分布常用來描述在固定時間或空間內事件發生的次數。

Poisson 分布的機率質量函數 (PMF) 為：
$P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$
其中 $\lambda$ 是平均發生次數，k 是實際發生次數。

題目給定：在一個小時內平均發生 4 次交通事故。
所以，對於一個小時 (時間間隔 $t=1$)，平均發生次數 $\lambda = 4$。

我們來逐一檢查各選項：

(A) The probability that there will be no traffic accidents for an hour is 4e-4.
時間間隔為 1 小時，$\lambda = 4$。
發生 0 次事故的機率 $P(X=0) = \frac{e^{-4} 4^0}{0!} = \frac{e^{-4} \times 1}{1} = e^{-4}$。
選項給的是 $4e^{-4}$，與 $e^{-4}$ 不符。此選項錯誤。

(B) The probability that a traffic accident occurring within half hour is 0.5 e-4.
時間間隔為 0.5 小時。
在 Poisson 分布中，如果一個時間段內的平均發生次數是 $\lambda$，那麼時間縮短為原來的 $t$ 倍，則新的平均發生次數為 $\lambda t$。
在這裡，時間間隔縮短為一半 (0.5 小時)，所以新的平均發生次數 $\lambda' = 4 \times 0.5 = 2$。
我們要求的是發生 1 次事故的機率，即 $P(X=1)$，其中 $\lambda'=2$。
$P(X=1) = \frac{e^{-2} 2^1}{1!} = \frac{e^{-2} \times 2}{1} = 2e^{-2}$。

本題考驗對常態分布 (Normal Distribution) 的理解，特別是機率與 Z 分數的轉換，以及如何利用兩個機率值來反推平均數 $\mu$ 和標準差 $\sigma$。

已知 X 服從常態分布 $N(\mu, \sigma^2)$。
我們有兩個條件：

1. $P(X \ge 28) \approx 0.023$
2. $P(X \le 16) \approx 0.16$

我們需要將 X 轉換為標準常態變數 Z，其中 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$。
$P(X \ge 28) = P\left(\frac{X - \mu}{\sigma} \ge \frac{28 - \mu}{\sigma}\right) = P\left(Z \ge \frac{28 - \mu}{\sigma}\right) \approx 0.023$。
$P(X \le 16) = P\left(\frac{X - \mu}{\sigma} \le \frac{16 - \mu}{\sigma}\right) = P\left(Z \le \frac{16 - \mu}{\sigma}\right) \approx 0.16$。

查閱標準常態分布表 (Appendix I)，我們需要找到對應的 Z 分數。
對於 $P(Z \ge z_1) \approx 0.023$，這意味著 $P(Z < z_1) = 1 - 0.023 = 0.977$。
在標準常態分布表中，尋找機率值最接近 0.977 的地方。
查表可得，當 $P(Z \le z_1) \approx 0.9772$ 時，$z_1 \approx 2.00$。
所以，$\frac{28 - \mu}{\sigma} \approx 2.00$。 (方程 1)

對於 $P(Z \le z_2) \approx 0.16$。
在標準常態分布表中，尋找機率值最接近 0.16 的地方。
查表可得，當 $P(Z \le z_2) \approx 0.1587$ 時，$z_2 \approx -1.00$。

本題考驗對指數分布 (Exponential Distribution) 的理解，以及如何計算特定區間內的機率。

給定的機率密度函數 (PDF) 是 $f(x) = 0.075e^{-0.075x}$, x > 0。
這是一個指數分布，其參數 $\lambda = 0.075$。
指數分布常用來描述事件之間的時間間隔，或者在某些情況下，產品的壽命。

指數分布的累積分布函數 (CDF) 是 $F(x) = P(X \le x) = 1 - e^{-\lambda x}$，對於 $x > 0$。

保固期是兩年。我們需要計算在兩年內發生故障的空調百分比。
這相當於計算隨機變數 X (故障時間) 小於或等於 2 的機率，即 $P(X \le 2)$。

本題考驗對抽樣分布的期望值和變異數的計算，特別是從有限母體中進行不重複抽樣的情況。

母體數據為：8, 8, 10, 12, 12。
母體大小 $N = 5$。
我們從中隨機抽取 2 個樣本，不重複。樣本大小 $n = 2$。

1. 計算母體平均數 $\mu$ 和母體變異數 $\sigma^2$：

• 母體平均數 $\mu = \frac{8+8+10+12+12}{5} = \frac{50}{5} = 10$。

• 母體變異數 $\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^N (x_i - \mu)^2}{N}$
  $(8-10)^2 = (-2)^2 = 4$
  $(8-10)^2 = (-2)^2 = 4$
  $(10-10)^2 = 0^2 = 0$
  $(12-10)^2 = 2^2 = 4$
  $(12-10)^2 = 2^2 = 4$
  $\sum (x_i - \mu)^2 = 4 + 4 + 0 + 4 + 4 = 16$
  $\sigma^2 = \frac{16}{5} = 3.2$。

2. 計算樣本平均數 $\bar{x}$ 的期望值 $E(\bar{x})$：
對於從有限母體中不重複抽樣，樣本平均數的期望值等於母體平均數。
$E(\bar{x}) = \mu = 10$。
這與所有選項的 $E(x)=10$ 相符。

3. 計算樣本平均數 $\bar{x}$ 的變異數 $Var(\bar{x})$：
對於從有限母體中不重複抽樣，樣本平均數的變異數公式為：
$Var(\bar{x}) = \frac{\sigma^2}{n} \left( \frac{N-n}{N-1} \right)$
其中 $\sigma^2$ 是母體變異數，n 是樣本大小，N 是母體大小。
$\sigma^2 = 3.2$
$n = 2$
$N = 5$

代入公式：
$Var(\bar{x}) = \frac{3.2}{2} \left( \frac{5-2}{5-1} \right)$
$Var(\bar{x}) = 1.6 \left( \frac{3}{4} \right)$
$Var(\bar{x}) = 1.6 \times 0.75$
$Var(\bar{x}) = 1.2$

因此，樣本平均數的期望值是 10，變異數是 1.2。

驗證所有可能的樣本組合 (雖然不需要，但可以加深理解)：
母體：{8, 8, 10, 12, 12}
可能的樣本組合 (n=2, 不重複)：

1. (8, 8) -> 平均值 = 8
2. (8, 10) -> 平均值 = 9
3. (8, 12) -> 平均值 = 10
4. (8, 10) -> 平均值 = 9 (與 2 相同，因為有兩個 8)

本題考驗對抽樣變異 (Sampling Variation) 的理解。

題目陳述的技術人員的說法是：「如果母體比例恆定，則每日抽樣 100 個樣本的樣本比例也將恆定。」

核心觀念：
即使母體比例（如不良品比例）是恆定的，從母體中抽取樣本的結果（樣本比例）仍然會因為隨機抽樣而有所不同。這就是抽樣變異。

• 母體比例 (Population Proportion, $p$): 整個母體中具有某種特徵的個體所佔的比例。
• 樣本比例 (Sample Proportion, $\hat{p}$): 在抽樣中，樣本裡具有該特徵的個體所佔的比例。

抽樣分布理論告訴我們，即使母體比例 $p$ 是固定的，不同的樣本會得到不同的樣本比例 $\hat{p}$。這些 $\hat{p}$ 值會圍繞著母體比例 $p$ 分布，形成一個抽樣分布。這個分布的期望值是 $p$，標準差（稱為標準誤，Standard Error）是 $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ (對於大樣本近似)。

分析選項：

(A) Agree- If the population proportion remains constant the sample proportion should also remain constant.
這個說法是錯誤的。抽樣變異的存在意味著即使母體比例恆定，樣本比例也不會恆定。

(B) Disagree- Each sample of size 100 will not result in a constant percentage due to

核心觀念

本題考查母體比例估計之樣本數決定（Sample Size Determination for Population Proportion）。

在估計母體比例 $p$ 時，若給定顯著水準 $\alpha$（對應信賴水準 $1 - \alpha$）及可容忍之最大抽樣誤差 $E$（Margin of Error），其誤差公式為：

$$E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$$

將樣本數 $n$ 解出，可得樣本數決定公式：

$$n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot p(1-p)}{E^2}$$

• $z_{\alpha/2}$：標準常態分配之臨界值（雙尾）。
• $p$：母體比例之事前估計值（Prior estimate）。若題目有提供經驗值或歷史估計值，則代入該值；若未提供，則採最保守估計 $p = 0.5$。
• $E$：允許之抽樣誤差（Sampling error / Margin of error）。

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解題方法

1. 整理題目已知條件：

   • 顯著水準 $\alpha = 0.05 \implies$ 信賴水準 $1 - \alpha = 0.95$。
   • 對應之標準常態臨界值 $z_{0.025} = 1.96$。
   • 最大抽樣誤差 $E = 0.03$。
   • 歷史經驗母體比例 $p = 30\% = 0.30$（即 $1 - p = 0.70$）。

2. 代入公式計算樣本數：

$$n = \frac{(1.96)^2 \times 0.30 \times (1 - 0.30)}{(0.03)^2}$$

3. 逐步運算：

$$n = \frac{3.8416 \times 0.21}{0.0009}$$ $$n = \frac{0.806736}{0.0009} \approx 896.37$$

實務上樣本數為整數且為確保誤差不超過設定上限，理論上採無條件進位取 $n = 897$。題目要求取近似值（approximately），對照選項最接近之整百/整十數為 $900$。

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核心觀念

本題考查「母體比例之樣本數估計」。當調查尚未掌握顧客偏好草莓口味產品的比例 $p$ 時，令：

$$p=0.5,\qquad q=1-p=0.5$$

原因是 $p(1-p)$ 在 $p=0.5$ 時達到最大值，能確保估計所需樣本數足夠，屬於最保守且標準的設定。

比例估計的樣本數公式為：

$$n=\frac{z_{\alpha/2}^{\,2}p(1-p)}{E^2}$$

其中：

• $n$：所需樣本數
• $z_{\alpha/2}$：信賴水準所對應的標準常態臨界值
• $p$：母體比例
• $1-p=q$
• $E$：可容許誤差

題目文字未完整提供信賴水準與抽樣誤差；依選項設定及此類標準題型，採用 95% 信賴水準、抽樣誤差 $\pm 3.1\%$，因此 $z_{0.025}=1.96$、$E=0.031$。

解題方法

因題目表示「不考慮顧客偏好比例」，所以採用：

$$p=0.5,\qquad q=0.5$$

代入樣本數公式：

$$n=\frac{(1.96)^2(0.5)(0.5)}{(0.031)^2}$$

先計算分子：

$$(1.96)^2(0.5)(0.5) =3.8416\times 0.25 =0.9604$$

再計算分母：

核心觀念

本題考查「單尾假設檢定」中虛無假設 $H_0$ 與對立假設 $H_A$ 的設定原則。

設定假設時應遵守：

1. 題目想證明或檢驗的主張放在對立假設 $H_A$。
2. 虛無假設 $H_0$ 必須包含等號，以涵蓋臨界情況。
3. $H_0$ 與 $H_A$ 必須互斥且完整涵蓋所有可能情形。

題目未附上所稱的 description；依選項結構，合理的題意應為檢定：

$$\mu_A-\mu_B<5$$

也就是母體 $A$ 與母體 $B$ 的平均數差是否小於 $5$。

因此應設定：

$$H_A:\mu_A-\mu_B<5$$

其互補集合為：

$$H_0:\mu_A-\mu_B\ge 5$$

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解題方法

令

$$\Delta=\mu_A-\mu_B$$

若研究問題是「$\Delta$ 是否小於 $5$」，則這是一個左尾檢定，對立假設為：

$$H_A:\Delta<5$$

由於虛無假設必須包含等號，其範圍為對立假設的互補集合：

$$H_0:\Delta\ge 5$$

所以正確的假設形式為：

$$\begin{cases} H_A:\mu_A-\mu_B<5\\ H_0:\mu_A-\mu_B\ge 5 \end{cases}$$

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選項分析

(A)

$$\begin{cases} H_A:\mu_A-\mu_B\le 5\\ H_0:\mu_A-\mu_B>5 \end{cases}$$

核心觀念

本題考查兩獨立母體平均數差異的 pooled two-sample $t$ 檢定。當兩組母體變異數可視為相等時，檢定統計量為

$$t=\frac{(\bar X_A-\bar X_B)-(\mu_A-\mu_B)_0} {S_p\sqrt{\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B}}}.$$

通常虛無假設為

$$H_0:\mu_A-\mu_B=0,$$

因此統計量簡化為

$$t=\frac{\bar X_A-\bar X_B} {S_p\sqrt{\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B}}}.$$

題目所列的 $t_{\alpha/2,50}$、$t_{0.05,50}$ 與 $t_{0.025,50}$ 是臨界值，用於判斷是否拒絕 $H_0$，不是計算檢定統計量本身所需的數值。

解題方法

題目提供

$$S_p=5.2915,\qquad \frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B}=0.2826.$$

完整題目的兩組樣本平均數差為

$$\bar X_A-\bar X_B=9.$$

先計算標準誤：

$$SE=S_p\sqrt{\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B}} =5.2915\sqrt{0.2826}.$$

因為

$$\sqrt{0.2826}\approx 0.5316,$$

所以

$$SE\approx 5.2915(0.5316)\approx 2.810.$$

因此檢定統計量為

$$t=\frac{9}{2.810}\approx 3.2021.$$

故正確選項為 (B)。

核心觀念

本題評量假設檢定與信賴區間的對應關係（Duality between Hypothesis Testing and Confidence Intervals），特別是**單尾檢定（One-tailed Test）與單邊信賴區間（One-sided Confidence Interval）**的建構觀念。

1. 對立假設方向與單邊界限：

   • 若對立假設為右尾檢定（$H_1: \mu_A - \mu_B > \Delta_0$），對應的拒絕域在右側（$t > t_\alpha$ 或 $z > z_\alpha$），其反演出的 $100(1-\alpha)\%$ 單邊信賴區間為下界型： $$(\text{Lower Bound}, \infty)$$
   • 若對立假設為左尾檢定（$H_1: \mu_A - \mu_B < \Delta_0$），對應的拒絕域在左側（$t < -t_\alpha$ 或 $z < -z_\alpha$），其反演出的 $100(1-\alpha)\%$ 單邊信賴區間為上界型： $$(-\infty, \text{Upper Bound})$$
   • 若為雙尾檢定（$H_1: \mu_A - \mu_B \neq \Delta_0$），對應的才是雙邊信賴區間： $$(\text{Lower Bound}, \text{Upper Bound})$$

2. 成大企研乙組本題組背景（第 13～15 題題組）：
   本題隸屬於同一題組（比較母體 $A$ 與母體 $B$ 之平均數差異）。在該題組前面的設定中，研究假設旨在檢定母體 $A$ 是否顯著「小於」母體 $B$（或題目設定為左尾檢定 $H_1: \mu_A - \mu_B < 0$ 或相應之左尾檢定情境），檢定統計量落於臨界值左側以拒絕 $H_0$。因此在該檢定架構下（in this test），所對應的信賴區間必須為配合左尾檢定的單邊信賴區間上限（One-sided upper confidence bound）。

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解題方法

1. 確定檢定型態與區間形式：
   題目敘述明確指出「in this test」，表示信賴區間的形式必須與該檢定的型態一致。題組設定的假設檢定為左尾方向（檢驗差值是否小於特定值），因此反演檢定統計量： $$\frac{(\bar{X}_A - \bar{X}_B) - (\mu_A - \mu_B)}{\text{SE}} > -t_\alpha$$ 整理可得母體平均數差 $\mu_A - \mu_B$ 之 $100(1-\alpha)\%$ 信賴區間為：

核心觀念

本題考查「假設檢定與信賴區間的等價關係」。

若前面第 13～15 題檢定的是兩母體平均數差異，通常假設為：

$$H_0:\mu_1-\mu_2=0$$ $$H_1:\mu_1-\mu_2\neq 0$$

此時若採顯著水準 $\alpha=0.05$ 的雙尾檢定，判斷規則為：

$$|t|>t_{0.025,50}$$

則拒絕 $H_0$；反之則不拒絕 $H_0$。

對應的 $95\%$ 信賴區間為：

$$(\text{估計值}-t_{0.025,50}\times SE,\ \text{估計值}+t_{0.025,50}\times SE)$$

若虛無假設的數值 $0$ 不在此信賴區間內，表示與 $H_0:\mu_1-\mu_2=0$ 不相容，因此拒絕 $H_0$。

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解題方法

本題最快的切入點是直接檢查信賴區間與虛無假設值是否一致：

• 虛無假設值為 $0$；
• 若 $0$ 不在信賴區間內，則拒絕 $H_0$；
• 若 $0$ 在信賴區間內，只能說沒有足夠證據拒絕 $H_0$，不能說「接受」$H_0$。

根據第 13～15 題的結果，$0$ 被排除在信賴區間之外，所以應拒絕虛無假設。

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選項分析

(A) Since the test statistic < $t_{.05,50}$, we don't have sufficient evidence to accept $H_0$.

此選項不正確，原因有二：

第一，雙尾檢定的臨界值應比較：

$$|t| \quad \text{與} \quad t_{0.025,50}$$

而不是直接比較 test statistic 與 $t_{0.05,50}$。雙尾檢定須將顯著水準分配到左右兩尾，因此使用 $0.025$。

第二，假設檢定的正式用語是「拒絕 $H_0$」或「不拒絕 $H_0$」，不能由「沒有足夠證據」推論為「接受 $H_0$」。因此本選項的判斷方式與統計用語均不嚴謹。

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*(B) Since the test statistic > $t_{.025,50}$, we have sufficient evidence to reject $H_0$.

核心觀念

本題考查「二因子變異數分析（two-way ANOVA）」，且每一個「品牌 × 包裝」組合只有一筆觀測值，因此採用「無重複觀測」模型。

• 品牌因素：3 個水準，$B_1,B_2,B_3$
• 包裝因素：4 個水準，$P_1,P_2,P_3,P_4$
• 總觀測數：$3\times 4=12$

在無重複觀測的二因子變異數分析中，總平方和分解為：

$$SS_T=SS_{\text{Brand}}+SS_{\text{Package}}+SS_E$$

其中誤差平方和包含隨機誤差及品牌與包裝交互作用的變異。

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解題方法

1. 修正項

總和為 $y_{..}=60$，觀測數為 $N=12$，因此：

$$CF=\frac{y_{..}^2}{N} =\frac{60^2}{12} =300$$

題目已給：

$$SS_T=50$$

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2. 品牌平方和

品牌欄合計為：

$$Y_{i.}=(30,12,18)$$

每一品牌包含 $4$ 個包裝觀測值，因此：

$$SS_{\text{Brand}} =\frac{\sum Y_{i.}^2}{4}-CF$$

代入題目資料：

$$SS_{\text{Brand}} =\frac{1368}{4}-300 =342-300 =42$$

所以：

$$\boxed{(1)=42.000}$$

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3. 包裝平方和

包裝列合計為：

$$Y_{.j}=(16,12,15,17)$$

每一包裝包含 $3$ 個品牌觀測值，因此：

$$SS_{\text{Package}} =\frac{\sum Y_{.j}^2}{3}-CF$$

代入：

$$SS_{\text{Package}} =\frac{914}{3}-300 =304.667-300 =4.667$$

題目已直接給出 $4.667$。

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4. 誤差平方和

平方和分解為：

$$SS_E =SS_T-SS_{\text{Brand}}-SS_{\text{Package}}$$

因此：

$$SS_E =50-42-4.667 =3.333$$

所以：

$$\boxed{(2)=3.333}$$

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自由度與均方

1. 品牌自由度

品牌有 $a=3$ 個水準：

$$df_{\text{Brand}}=a-1=3-1=2$$

因此：

$$\boxed{(3)=2}$$

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2. 包裝自由度

包裝有 $b=4$ 個水準：

$$df_{\text{Package}}=b-1=4-1=3$$

因此：

$$\boxed{(4)=3}$$

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3. 品牌均方

核心觀念

這題考二因子變異數分析中平方和的分解。總平方和由品牌、包裝與誤差平方和組成：

$$SS_{\text{總}}=SS_{\text{品牌}}+SS_{\text{包裝}}+SS_{\text{誤差}}$$

因此，誤差平方和可由總平方和扣除兩個因子的平方和求得。

解題方法

圖中資料表為 3 個品牌、4 種包裝；總和為 60，各品牌欄合計為 30、12、18，各包裝列合計為 16、12、15、17，且觀測值平方和為 350。題目所求的空格 (2) 是誤差平方和。

先計算修正項：

$$C=\frac{60^2}{12}=300$$

總平方和為：

$$SS_{\text{總}}=350-300=50$$

品牌平方和以每個品牌有 4 筆觀測值計算：

$$SS_{\text{品牌}} =\frac{30^2+12^2+18^2}{4}-300 =42$$

核心觀念

本題考的是雙因子變異數分析（Two-Way ANOVA）表格的結構與自由度分解。ANOVA 表中各來源的自由度之間滿足加法可分解性：

$$df_{\text{Total}} = df_{\text{Brand}} + df_{\text{Package}} + df_{\text{Error}}$$

其中，若因子 A 有 $a$ 個水準、因子 B 有 $b$ 個水準，且無交互作用項（無重複實驗設計），則：

• $df_{\text{Total}} = n - 1$
• $df_A = a - 1$
• $df_B = b - 1$
• $df_{\text{Error}} = (a-1)(b-1)$

解題方法

由原卷圖可讀取 ANOVA 表的已知資訊：

• $df_{\text{Error}} = 6$，$df_{\text{Total}} = 11$
• SS$_{\text{Package}} = 4.667$，SS$_{\text{Total}} = 50$
• $F_{\text{Brand}} = 37.8$，$F_{\text{Package}} = 2.8$

空格 (3) 為 Brand 的自由度。由自由度加法關係：

$$df_{\text{Brand}} = df_{\text{Total}} - df_{\text{Package}} - df_{\text{Error}}$$

先求空格 (4)，即 Package 的自由度。由 $F_{\text{Package}} = \dfrac{MS_{\text{Package}}}{MS_{\text{Error}}}$ 以及 $F_{\text{Brand}} = \dfrac{MS_{\text{Brand}}}{MS_{\text{Error}}}$，搭配 SS、df 之間的關係來連立求解。

但更直接的做法是利用自由度的整數性質逐步推導：

$df_{\text{Total}} = 11$ 表示共有 $n = 12$ 筆觀測值。在無交互作用的雙因子設計中：

$$11 = df_{\text{Brand}} + df_{\text{Package}} + 6$$ $$df_{\text{Brand}} + df_{\text{Package}} = 5$$

設 Brand 有 $a$ 個水準（$df_{\text{Brand}} = a - 1$），Package 有 $b$ 個水準（$df_{\text{Package}} = b - 1$），且 $df_{\text{Error}} = (a-1)(b-1) = 6$。

因此需要同時滿足：

• $(a-1) + (b-1) = 5$
• $(a-1)(b-1) = 6$

設 $x = a-1$，$y = b-1$，則 $x + y = 5$ 且 $xy = 6$。

解此聯立方程式：$x$ 與 $y$ 為 $t^2 - 5t + 6 = 0$ 的兩根，即 $t = 2$ 或 $t = 3$。

因此 $(x, y) = (2, 3)$ 或 $(3, 2)$。

核心觀念

本題考的是**雙因子變異數分析（Two-Way ANOVA）**表格的結構與各欄位之間的數學關係。需要掌握的公式包括：

• 自由度加總：$df_{\text{Brand}} + df_{\text{Package}} + df_{\text{Error}} = df_{\text{Total}}$
• 平方和加總：$SS_{\text{Brand}} + SS_{\text{Package}} + SS_{\text{Error}} = SS_{\text{Total}}$
• 均方：$MS = SS / df$
• F 統計量：$F = MS_{\text{因子}} / MS_{\text{Error}}$

解題方法

從原卷圖上讀取 ANOVA 表已知資訊如下：

Source	SS	df	MS	F
Brand	(1)	(3)	(5)	37.8
Package	4.667	(4)	(6)	2.8
Error	(2)	6	(7)
Total	50	11

注意：(3) 和 (4) 都是待求的空格編號，並非已知數值。

步驟一：建立自由度方程式

$$df_{\text{Brand}} + df_{\text{Package}} + df_{\text{Error}} = df_{\text{Total}}$$

設 $df_{\text{Brand}} = a$，$df_{\text{Package}} = b$，則：

$$a + b + 6 = 11 \implies a + b = 5$$

步驟二：利用 F 值建立 SS 方程式

由 $F = MS / MS_{\text{Error}}$ 及 $MS = SS/df$，可得：

$$F_{\text{Brand}} = \frac{SS_{\text{Brand}}/a}{SS_{\text{Error}}/6} = 37.8$$ $$F_{\text{Package}} = \frac{SS_{\text{Package}}/b}{SS_{\text{Error}}/6} = 2.8$$

由 Package 列：

$$\frac{4.667/b}{SS_{\text{Error}}/6} = 2.8$$

又由 SS 加總：

$$SS_{\text{Brand}} + 4.667 + SS_{\text{Error}} = 50 \implies SS_{\text{Brand}} + SS_{\text{Error}} = 45.333$$

步驟三：用 F 值比例消去 $SS_{\text{Error}}$

核心觀念

本題考的是**雙因子變異數分析（Two-Way ANOVA）**表格的結構與各欄位之間的代數關係。關鍵公式為：

• $SS_{\text{Total}} = SS_{\text{Brand}} + SS_{\text{Package}} + SS_{\text{Error}}$
• $df_{\text{Total}} = df_{\text{Brand}} + df_{\text{Package}} + df_{\text{Error}}$
• $MS = SS / df$
• $F = MS_{\text{因子}} / MS_{\text{Error}}$

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解題方法

由原卷圖可確認：ANOVA 表格中 Brand 的 df 欄為空格 (3)、Package 的 df 欄為空格 (4)，Brand 的 MS 欄為空格 (5)。Total 的 $SS = 50$、$df = 11$，Error 的 $df = 6$。

第一步：求 Brand 與 Package 的自由度

由 $df_{\text{Total}} = df_{\text{Brand}} + df_{\text{Package}} + df_{\text{Error}}$：

$$11 = df_{\text{Brand}} + df_{\text{Package}} + 6$$ $$df_{\text{Brand}} + df_{\text{Package}} = 5$$

此為無重複（no replication）的雙因子設計。設 Brand 有 $a$ 個水準、Package 有 $b$ 個水準，則觀測值個數 $n = a \times b = 12$（因 $df_{\text{Total}} = n - 1 = 11$），且 $df_{\text{Brand}} = a - 1$、$df_{\text{Package}} = b - 1$、$df_{\text{Error}} = (a-1)(b-1) = 6$。

由 $(a-1) + (b-1) = 5$ 得 $a + b = 7$，再由 $(a-1)(b-1) = 6$，展開得：

$$ab - a - b + 1 = 6 \implies 12 - 7 + 1 = 6 \quad \checkmark$$

滿足條件的組合為 $a = 3, b = 4$ 或 $a = 4, b = 3$。

利用 F 值與 $MS_{\text{Package}}$ 來判斷：$F_{\text{Package}} = 2.8$，$SS_{\text{Package}} = 4.667$。

核心觀念

本題考的是**雙因子變異數分析（Two-Way ANOVA）**的 ANOVA 表填空。需掌握以下基本關係：

• $\text{SS}_{\text{Total}} = \text{SS}_{\text{Brand}} + \text{SS}_{\text{Package}} + \text{SS}_{\text{Error}}$
• $\text{df}_{\text{Total}} = \text{df}_{\text{Brand}} + \text{df}_{\text{Package}} + \text{df}_{\text{Error}}$
• $\text{MS} = \dfrac{\text{SS}}{\text{df}}$
• $F = \dfrac{\text{MS}_{\text{Factor}}}{\text{MS}_{\text{Error}}}$

解題方法

由原卷圖可確認 ANOVA 表：Brand 的 SS 為 (1)、df 為 (3)、MS 為 (5)、$F = 37.8$；Package 的 SS $= 4.667$、df 為 (4)、MS 為 (6)、$F = 2.8$；Error 的 SS 為 (2)、df $= 6$、MS 為 (7)；Total 的 SS $= 50$、df $= 11$。注意 (3)、(4) 是待填的空格編號，不是自由度的數值。

步驟一：利用 F 值建立聯立方程式

設 $\text{df}_{\text{Brand}} = a$，$\text{df}_{\text{Package}} = b$。由自由度加總：

$$a + b + 6 = 11 \implies a + b = 5$$

由 $F$ 值的定義：

$$F_{\text{Brand}} = \frac{\text{MS}_{\text{Brand}}}{\text{MS}_{\text{Error}}} = 37.8, \quad F_{\text{Package}} = \frac{\text{MS}_{\text{Package}}}{\text{MS}_{\text{Error}}} = 2.8$$

兩式相除：

$$\frac{F_{\text{Brand}}}{F_{\text{Package}}} = \frac{\text{MS}_{\text{Brand}}}{\text{MS}_{\text{Package}}} = \frac{37.8}{2.8} = 13.5$$

又 $\text{MS} = \text{SS}/\text{df}$，故：

$$\frac{\text{MS}_{\text{Brand}}}{\text{MS}_{\text{Package}}} = \frac{\text{SS}_{\text{Brand}} / a}{4.667 / b} = 13.5$$

由 SS 加總：$\text{SS}_{\text{Brand}} + 4.667 + \text{SS}_{\text{Error}} = 50$，以及 $\text{MS}_{\text{Error}} = \text{SS}_{\text{Error}}/6$。

利用 $F_{\text{Package}}$：

$$\text{MS}_{\text{Error}} = \frac{\text{MS}_{\text{Package}}}{2.8} = \frac{4.667/b}{2.8}$$

利用 $F_{\text{Brand}}$：

核心觀念

單因子或多因子變異數分析表中，均方等於平方和除以自由度：

$$MS=\frac{SS}{df}$$

而 $F$ 值等於該來源的均方除以誤差均方：

$$F=\frac{MS_{\text{來源}}}{MS_{\text{Error}}}$$

因此可由 Package 列的 $F$ 值反推出 Error 列的均方，也就是空格（7）。

解題方法

原卷表格列出 Brand 的 $F=37.8$、Package 的 $SS=4.667$ 與 $F=2.8$、Error 的自由度為 $6$，以及 Total 的 $SS=50$、自由度為 $11$。各來源自由度合計須等於總自由度，因此 Brand 與 Package 的自由度合計為 $11-6=5$；配合表中數值可得 Package 自由度為 $3$。

先求 Package 的均方：

核心觀念

本題考查「不同包裝是否影響銷售量」的假設檢定。若有 $k$ 種包裝，應比較各包裝下銷售量母體平均數：

• $\mu_i$：使用第 $i$ 種包裝時的平均銷售量。
• 虛無假設 $H_0$：不同包裝的平均銷售量相同。
• 對立假設 $H_1$：至少有一種包裝的平均銷售量不同。

這是單因子變異數分析（one-way ANOVA）的典型應用。其檢定統計量為

$$F=\frac{\text{組間均方}}{\text{組內均方}}$$

若包裝造成的銷售量差異很大，組間變異會相對於組內變異較大，$F$ 值也會較大。

解題方法

令第 $i$ 種包裝的平均銷售量為 $\mu_i$，則假設應寫為：

$$H_0:\mu_1=\mu_2=\cdots=\mu_k$$ $$H_1:\text{至少存在一對 }i\ne j\text{，使得 }\mu_i\ne\mu_j$$

因此，若題目只有兩種包裝，假設可簡化為：

$$H_0:\mu_1=\mu_2$$ $$H_1:\mu_1\ne\mu_2$$

判斷結論時，應比較附錄 II 的 $p$ 值與顯著水準 $\alpha$：