114 年 國立成功大學企業管理研究所乙組《統計學》

核心觀念

樣本空間是某個隨機試驗所有可能結果所構成的集合。本題關心的是六場比賽各自的勝隊；每場比賽有兩個可能的勝隊，因此每場有 $2$ 種結果。

解題方法

六場比賽的勝負結果合在一起，才構成一個完整的樣本點。依乘法原理，六場比賽各有 $2$ 種結果，故樣本空間的結果數為

題目括號內的勝率會影響各結果發生的機率，但不影響可能結果的個數。

選項分析

核心觀念

題目給定不同場次的結果彼此獨立。若要讓日本隊（JPN）連勝三場，必須同時贏下對美國、委內瑞拉及台灣隊的比賽。獨立事件同時發生的機率，等於各事件機率相乘：

解題方法

依賽程，日本隊出賽三場：

• 第 2 場對美國，勝率為 $\frac{5}{10}$。
• 第 4 場對委內瑞拉，日本隊勝率為 $1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}$。
• 第 6 場對台灣隊，日本隊勝率為 $1-\frac{2}{10}=\frac{8}{10}$。

由於三場比賽的結果彼此獨立，日本隊三場全勝的機率為：

選項分析

核心觀念

TPE 三場比賽的勝率分別為 $0.5$、$0.3$、$0.2$，勝率不相同，因此不能直接套用「三場勝率相同」的二項分配公式。題目要算的是三場中恰好勝兩場的機率；在各場比賽結果相互獨立的假設下，列出所有恰好兩勝的情形，再將其機率相加。

解題方法

恰好勝兩場有三種互斥情形：

1. 第 1、3 場勝，第 6 場敗：
   $0.5\times 0.3\times(1-0.2)=0.12$

2. 第 1、6 場勝，第 3 場敗：
   $0.5\times(1-0.3)\times 0.2=0.07$

3. 第 3、6 場勝，第 1 場敗：
   $(1-0.5)\times 0.3\times 0.2=0.03$

三種情形互斥，故將機率相加：

選項分析

核心觀念

本題考「至少發生一次」的機率，可用補事件計算：

若一場比賽中兩隊勝率相同，沒有任何一隊的勝率較低，因此依題目定義，該場不會構成爆冷。題目未明示各場比賽結果是否獨立；以下依一般考題慣例，假設六場比賽結果彼此獨立。

解題方法

先找出每場比賽「沒有爆冷」的條件：

• 第 1 場 TPE 與 VEN 勝率同為 $0.5$，沒有勝率較低的隊伍，不會爆冷。
• 第 2 場 USA 與 JPN 勝率同為 $0.5$，同樣不會爆冷。
• 第 3 場 USA 勝率較高，沒有爆冷須由 USA 獲勝，機率為 $0.7$。
• 第 4 場 JPN 勝率較高，沒有爆冷須由 JPN 獲勝，機率為 $0.9$。
• 第 5 場 USA 勝率較高，沒有爆冷須由 USA 獲勝，機率為 $0.7$。
• 第 6 場 JPN 勝率較高，沒有爆冷須由 JPN 獲勝，機率為 $0.8$。

因此，六場比賽都沒有爆冷的機率為：

核心觀念

本題考「聯集」與容斥原理。「羽球或壁球」表示使用羽球場、壁球場，或兩者都使用的會員；也就是兩個集合的聯集。

令 $B$ 表示使用羽球場的會員集合，$R$ 表示使用壁球場的會員集合，則：

相減是為了扣除在相加時被重複計算的會員。

解題方法

題目給出 $|B|=18$、$|R|=28$，以及兩者都使用的會員數 $|B\cap R|=9$。代入容斥原理：

因此，使用羽球場或壁球場的會員共有 $37$ 位。題目所給的網球場相關人數，以及三種球場都使用的人數，對這個聯集的計算不需要另外使用。

選項分析

核心觀念

本題使用集合的補集與容斥原理。令 $B$ 表示使用羽球場的會員集合，$T$ 表示使用網球場的會員集合，$R$ 表示使用壁球場的會員集合。

「使用羽球場但不使用網球場」的人數為 $|B|-|B\cap T|$；「使用羽球場但不使用壁球場」的人數為 $|B|-|B\cap R|$。兩者的聯集是使用羽球場、但沒有同時使用網球場與壁球場的人數；兩者的交集則是只使用羽球場的人數。

解題方法

依題幹數據：

若題幹所說的 11 是這兩類會員的聯集人數，依容斥原理：

而 $(B\setminus T)\cap(B\setminus R)$ 正是只使用羽球場的人數，因此：

按這項 11 人條件計算，答案為選項 (C)。

核心觀念

本題考三個集合的容斥原理。設使用網球場、壁球場、羽球場的會員集合分別為 $T$、$R$、$B$，則至少使用一種場地的會員數為：

兩兩交集包含同時使用三種場地的會員，因此最後須加回三重交集，避免重複扣除。

解題方法

代入題目資料：

因此，至少使用一種場地的會員共有 $43$ 名。

選項分析

核心觀念

平均數適用於數值型資料，計算時要先把各觀測值相加，再除以觀測筆數。題目記錄的是汽車品牌，Toyota、Lexus 等品牌屬於類別資料，沒有可直接相加的數值，因此不能計算「品牌」的平均數。

解題方法

圖中的表格列出 8 個品牌及其頻數：Toyota 86、Lexus 22、Mazda 33、Mitsubishi 14、Subaru 15、Suzuki 26、Nissan 37、Honda 42。頻數表示各品牌出現的次數；它們不是品牌本身的數值。

將頻數相加可得樣本觀測總數：

若計算各品牌頻數的平均值，會得到：

核心觀念

眾數是資料中出現次數最多的值。這題記錄的是汽車品牌，屬於類別資料，因此眾數是頻數最高的品牌。

解題方法

依原卷圖表讀取各品牌頻數：Toyota 86、Lexus 22、Mazda 33、Mitsubishi 14、Subaru 15、Suzuki 26、Nissan 37、Honda 42。比較各頻數，最大值為 $86$，對應 Toyota，因此眾數是 Toyota。

選項分析

核心觀念

本題考單一母體比例的左尾檢定。因為對立假設是 $p<\frac12$，當樣本中的 Toyota 數量 $X$ 太少時，才拒絕虛無假設。計算臨界值時，以虛無假設邊界 $p_0=\frac12$ 為基準。

解題方法

依原卷圖，品牌頻數依序為 Toyota 86、Lexus 22、Mazda 33、Mitsubishi 14、Subaru 15、Suzuki 26、Nissan 37、Honda 42；樣本總數為

在 $H_0$ 的邊界 $p=\frac12$ 下，Toyota 數量服從二項分配：

採左尾檢定，顯著水準為 $0.05$。用常態近似並作連續性修正，臨界點約為

核心觀念

本題考實驗設計中的「區集設計」。當研究者預期某個背景因素會影響反應結果，會依該因素分組形成區集，再讓每個區集都接受所有處理，以便比較處理效果。

解題方法

原卷寫明研究四種藥物，憂鬱程度分為輕度、中度、重度；每種程度各有一位受試者，而且每位受試者都要嘗試四種藥物。表格也列出三種程度各自使用四種藥物後的改善分數。因此，憂鬱程度是區集，藥物是處理；每個區集都包含全部四種處理，屬於隨機完全區集設計。

選項分析

核心觀念

本題考驗「卡方適合度檢定」：比較各品牌的觀察次數與虛無假設下的期望次數，判斷樣本是否支持各品牌比例相等。檢定統計量為

其中 $O_i$ 是第 $i$ 個品牌的觀察次數，$E_i$ 是虛無假設下的期望次數。若有 $k$ 個類別且沒有估計額外參數，自由度為 $k-1$。

解題方法

原卷圖顯示本題要以顯著水準 $0.05$，檢定 2024 年 12 月進入海安路地下停車場的各品牌比例是否相等。依共用題幹，八個品牌的觀察次數依序為 Toyota 86、Lexus 22、Mazda 33、Mitsubishi 14、Subaru 15、Suzuki 26、Nissan 37、Honda 42。

設定假設：

樣本總數為

在 $H_0$ 下，各品牌期望次數相同：

各品牌的卡方貢獻如下：

核心觀念

本題是隨機完全區集設計（randomized complete block design, RCBD）的平均數檢定。四種藥物是處理，憂鬱程度（輕度、中度、重度）是區集；比較藥物效果時，先控制不同憂鬱程度可能造成的差異。

令 $Y_{ij}$ 表示第 $j$ 種憂鬱程度下，第 $i$ 種藥物的改善分數，模型為

其中 $\mu$ 為整體平均數，$\tau_i$ 為第 $i$ 種藥物效果，$\beta_j$ 為第 $j$ 種憂鬱程度的區集效果，$\varepsilon_{ij}$ 為誤差。假設誤差彼此獨立且服從平均數為 0、變異數相同的常態分配，並假設藥物效果與憂鬱程度間沒有交互作用。每個「藥物 × 憂鬱程度」組合只有一筆觀測，因此交互作用無法另外估計，需採用此加成模型。

解題方法

原卷第 4 頁第 3 題要求承接 Part A 第 11 題，檢定四種藥物的平均效果是否相同，顯著水準為 $0.05$。題幹表格列出輕度、中度、重度三個區集，以及 Zoloft、Paxil、Prozac、Effexor 四種藥物的分數，故以 RCBD 的 ANOVA 檢定藥物效果。

設四種藥物的平均效果分別為 $\mu_1,\mu_2,\mu_3,\mu_4$，假設為

各藥物總分為 $43,47,60,54$；各區集總分為 $71,68,65$；總和為 $G=204$，觀測筆數為 $N=12$。修正項為

總平方和為

藥物平方和為