111 年 國立成功大學交通管理研究所丙組《統計學》

本題要求根據提供的離散數據，繪製百分比長條圖。首先需要計算各個類別的相對次數（頻率佔總數的比例），然後將其轉換為百分比。最後，根據這些百分比繪製長條圖，其中橫軸代表不同的評價等級，縱軸代表對應的百分比頻率。

計算步驟：

1. 計算總次數 (Total Frequency)：
   總次數 = 250 + 450 + 150 + 100 + 50 = 1000

2. 計算各類別的百分比頻率 (Percent Frequency)：

   • Excellent: (250 / 1000) * 100% = 25%
   • Very Good: (450 / 1000) * 100% = 45%
   • Average: (150 / 1000) * 100% = 15%
   • Poor: (100 / 1000) * 100% = 10%

本題考驗對常態分配（或稱對稱、鐘形分配）的理解，特別是關於 $\mu \pm k\sigma$ 範圍內數據比例的經驗法則。

核心觀念：
對稱、鐘形分配通常指常態分配。常態分配的數據分布具有以下特性：

• 約 68% 的數據落在 $\mu \pm 1\sigma$ 範圍內。
• 約 95% 的數據落在 $\mu \pm 2\sigma$ 範圍內。
• 約 99.7% 的數據落在 $\mu \pm 3\sigma$ 範圍內。

小題 (1) 解釋：
要求計算介於 $\mu-\sigma$ 和 $\mu+2\sigma$ 之間的數據比例。
由於是常態分配，我們可以將這個範圍分解為兩個部分：

• $\mu-\sigma$ 到 $\mu$：這部分數據佔總數的比例約為 68% / 2 = 34%。
• $\mu$ 到 $\mu+2\sigma$：這部分數據佔總數的比例約為 95% / 2 = 47.5%。

將這兩部分的比例相加，即可得到 $\mu-\sigma$ 到 $\mu+2\sigma$ 之間的總比例。

本題考驗建立信賴區間和進行假設檢定的基本概念，特別是針對母體平均數的估計。

核心觀念：

• 信賴區間 (Confidence Interval)： 用來估計母體參數（在此為母體平均數 $\mu$）的一個區間，並附帶一個信賴水準。
• t 分配 (t-distribution)： 當母體標準差 $\sigma$ 未知，且使用樣本標準差 $s$ 來估計時，應使用 t 分配來建構信賴區間和進行假設檢定，特別是當樣本數不大時。然而，本題樣本數 $n=64$ 較大，使用 z 分配近似也是可接受的，但使用 t 分配更為精確。題目中給了樣本標準差，故應使用 t 分配。

小題 (1) 解釋：
要求計算一個 95% 信賴區間，用來估計在太魯閣國家公園旅遊的四口之家平均每日花費。

已知資訊：

• 樣本數 $n = 64$
• 樣本平均數 $\bar{x} = 3150$
• 樣本標準差 $s = 160$
• 信賴水準 = 95%，對應的 $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$

計算步驟：

1. 計算自由度 (Degrees of Freedom, df)：
   $df = n - 1 = 64 - 1 = 63$

2. 查找 t 分配的臨界值 (Critical Value)：
   對於 95% 的信賴水準 ($\alpha = 0.05$) 和 $df = 63$，我們需要在 t 分配表中查找 $\alpha/2 = 0.025$ 的臨界值。
   查表可知，當 $df=60$ 時，$t_{0.025, 60} \approx 2.000$；當 $df=70$ 時，$t_{0.025, 70} \approx 1.995$。由於 $df=63$ 介於兩者之間，我們可以取近似值，例如 $t_{0.025, 63} \approx 1.998$ 或直接使用 $df=60$ 的值 2.000 作為近似，通常考題會提供可查找的表格或允許使用近似值。在此我們採用 $df=63$ 的精確值（若有提供）或最接近的近似值。如果題目有提供 t 分配表，我們就從表中讀取。

本題考驗關於母體平均數的假設檢定與信賴區間的建立。由於母體標準差 $\sigma$ 已知，我們將使用常態分配 (z 分配) 進行檢定。

核心觀念：

• 假設檢定 (Hypothesis Testing)： 是一種統計方法，用於根據樣本數據判斷關於母體參數的假設是否成立。
• 信賴區間 (Confidence Interval)： 用於估計母體參數的範圍。信賴區間與假設檢定之間存在緊密的關聯性。

已知資訊：

• 歷史母體平均數 $\mu_0 = 70$
• 母體標準差 $\sigma = 18$
• 樣本數 $n = 144$
• 樣本平均數 $\bar{x} = 74$
• 顯著水準 $\alpha = 0.05$

小題 (1) 解釋：
要求陳述虛無假設 ($H_0$) 和對立假設 ($H_1$)。
虛無假設代表「沒有改變」或「維持現狀」的狀態，而對立假設則代表我們想要檢定的「改變」狀態。
在此，我們想檢定的是「平均考試分數是否發生改變」。

陳述：

• 虛無假設 ($H_0$)：新的申請者平均統計考試分數與歷史平均分數相同。
  $H_0: \mu = 70$
• 對立假設 ($H_1$)：新的申請者平均統計考試分數與歷史平均分數不同（可能更高或更低）。
  $H_1: \mu \neq 70$

這是一個雙尾檢定 (two-tailed test)，因為我們感興趣的是平均分數是否「改變」，而不是特定方向的改變（例如，是否升高）。

【答案】(1):
$H_0: \mu = 70$
$H_1: \mu \neq 70$

小題 (2) 解釋：
要求計算 95% 信賴區間，估計新的申請者平均統計考試分數。

計算步驟：

1. 計算標準誤 (Standard Error, SE)：
   由於母體標準差 $\sigma$ 已知，我們使用 $SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。
   $SE = \frac{18}{\sqrt{144}} = \frac{18}{12} = 1.5$

2. 查找 z 分配的臨界值 (Critical Value)：
   對於 95% 的信賴水準 ($\alpha = 0.05$)，雙尾檢定的臨界值為 $z_{\alpha/2} = z_{0.025}$。
   查標準常態分配表可知，$z_{0.025} = 1.96$。

3. 計算信賴區間：
   信賴區間 = $\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \times SE$
   信賴區間 = $74 \pm 1.96 \times 1.5$
   信賴區間 = $74 \pm 2.94$
   信賴區間 = $(74 - 2.94, 74 + 2.94)$

本題考驗對單因子變異數分析 (One-Way ANOVA) 的理解，特別是 ANOVA 表的結構與各項計算。

核心觀念：

• ANOVA 表： 總結了變異數分析的結果，包括平方和 (SS, Sum of Squares)、自由度 (df, Degrees of Freedom)、均方 (MS, Mean Square) 和 F 統計量。
• 自由度關係：
  • 總自由度 $df_{Total} = df_{Between} + df_{Within}$
  • 總觀察數 $N = df_{Total} + 1$ (如果只有一個因子) 或 $N = \sum n_i$
  • 當因子有 $k$ 個水準 (在此為城市數) 時，$df_{Between} = k - 1$。
  • $df_{Within}$ 通常是 $\sum (n_i - 1)$，其中 $n_i$ 是第 $i$ 組的觀察數。
• 均方計算： $MS = SS / df$
• F 統計量計算： $F = MS_{Between} / MS_{Within}$

已知資訊：

• 因子為城市，有 4 個水準 (k=4)。
• ANOVA 表中的部分數值缺失，需要填補。
• $F_{Within}$ 的 MS 值是 3.00。

小題 (1) 解釋：
需要計算 ANOVA 表中 (a), (b), (c), (d) 的值。

計算步驟：

1. 計算 (a) $df_{Between}$：
   因子是城市，有 4 個城市 (k=4)。
   $df_{Between} = k - 1 = 4 - 1 = 3$
   所以，(a) = 3。

2. 計算 (b) $MS_{Between}$：
   $MS_{Between} = \frac{SS_{Between}}{df_{Between}} = \frac{36}{3} = 12$
   所以，(b) = 12。

3. 計算 (c) F 統計量：
   $F = \frac{MS_{Between}}{MS_{Within}} = \frac{12}{3.00} = 4$
   所以，(c) = 4。

4. 計算 (d) $SS_{Within}$：
   我們知道 $MS_{Within} = 3.00$ 且 $df_{Within} = 40$。
   $MS_{Within} = \frac{SS_{Within}}{df_{Within}}$
   $3.00 = \frac{SS_{Within}}{40}$
   $SS_{Within} = 3.00 \times 40 = 120$
   所以，(d) = 120。

填補後的 ANOVA 表：

Source	SS	df	MS	F
Between	36	3	12	4.00
Within	120	40	3.00
Total	156	43

(註：Total SS = SS_Between + SS_Within = 36 + 120 = 156。Total df = df_Between + df_Within = 3 + 40 = 43。)

【答案】(1): (a) = 3, (b) = 12, (c) = 4, (d) = 120。

本題考驗對迴歸分析輸出結果的理解，包括 ANOVA 表、係數估計、R平方值、顯著性檢定以及 F 檢定的假設。

核心觀念：

• 迴歸分析 (Regression Analysis)： 用來建立自變數與應變數之間關係的模型。
• ANOVA 表： 評估迴歸模型的整體顯著性。
  • $df_{Regression} + df_{Residual} = df_{Total}$
  • $SS_{Regression} + SS_{Residual} = SS_{Total}$
  • $MS_{Regression} = SS_{Regression} / df_{Regression}$
  • $MS_{Residual} = SS_{Residual} / df_{Residual}$
  • $F = MS_{Regression} / MS_{Residual}$
• 係數估計： 估計自變數對應變數的影響。
  • $t = \frac{Coefficient}{Standard Error}$
  • $P-value$ 顯示該係數顯著異於零的機率。
• 決定係數 $R^2$： 表示應變數變異中，由迴歸模型解釋的比例。
  • $R^2 = \frac{SS_{Regression}}{SS_{Total}}$
• F 檢定： 檢定所有自變數是否能顯著解釋應變數的變異。
  • $H_0$: 所有迴歸係數（除截距項外）均為零。
  • $H_1$: 至少有一個迴歸係數不為零。

已知資訊：

• 模型包含截距項 (Intercept) 和兩個自變數 (X1, X2)。
• ANOVA 表和係數估計表的數據部分缺失。

小題 (1) 解釋：
要求寫出迴歸方程式。
迴歸方程式的標準形式為：$\hat{Y} = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + ...$
從係數表中，我們可以看到 Intercept (截距項 $\beta_0$) 和 X1, X2 的係數。

寫出方程式：

• 截距項 (Intercept): 122.5
• X1 的係數: -0.018
• X2 的係數: (h) - 需要從小題 (2) 計算出來。

【答案】(1): 迴歸方程式為 $\hat{Y} = 122.5 - 0.018 X_1 + h X_2$ （其中 h 待定）。

小題 (2) 解釋：
要求計算 ANOVA 表和係數估計表中的缺失值 (a) 到 (h)。

計算步驟：

A. 計算 ANOVA 表中的缺失值：

1. 計算 (a) $df_{Residual}$：
   $df_{Total} = df_{Regression} + df_{Residual}$
   $11 = 2 + df_{Residual}$
   $df_{Residual} = 11 - 2 = 9$
   所以，(a) = 9。

2. 計算 (b) $SS_{Regression}$：
   $SS_{Total} = SS_{Regression} + SS_{Residual}$
   $120.20 = SS_{Regression} + 20.20$
   $SS_{Regression} = 120.20 - 20.20 = 100$
   所以，(b) = 100。

3. 計算 (c) $MS_{Regression}$：
   $MS_{Regression} = \frac{SS_{Regression}}{df_{Regression}} = \frac{100}{2} = 50$
   所以，(c) = 50。

4. 計算 (d) $MS_{Residual}$：
   $MS_{Residual} = \frac{SS_{Residual}}{df_{Residual}} = \frac{20.20}{9} \approx 2.2444$
   所以，(d) $\approx 2.2444$。

5. 計算 (e) F 統計量：
   $F = \frac{MS_{Regression}}{MS_{Residual}} = \frac{50}{2.2444} \approx 22.28$
   所以，(e) $\approx 22.28$。

B. 計算係數估計表中的缺失值：

6. 計算 (f) Intercept 的 Standard Error：
   $t Stat = \frac{Coefficient}{Standard Error}$
   $3.50 = \frac{122.5}{Standard Error}$