115 年 國立成功大學企業管理研究所乙組《統計學》

本題在於辨識變數的種類，並區分名目尺度 (nominal) 與無理尺度 (rational)。

首先，我們來分析題目中列出的各個變數：

1. Gender: 1=male/2=female。這是分類變數，屬於名目尺度。
2. Location: 1=northern/2=central/ 3=southern/ eastern。這是分類變數，屬於名目尺度。
3. Height: in cm。這是連續變數，具有實際的數值大小和順序，屬於無理尺度。
4. Weight: in Kg。這是連續變數，具有實際的數值大小和順序，屬於無理尺度。
5. Student or not: 0=Not/ 1=Yes。這是二元分類變數，屬於名目尺度。
6. Written Test Score: 1~100 points。

核心觀念

本題考查兩個班級合併後的：

1. 加權平均數
2. 合併資料的變異數

合併變異數不能只將兩班的變異數依人數加權，還必須考慮兩班平均數彼此不同所造成的「組間變異」。

合併平均數公式為：

$$\bar{x}=\frac{n_A\bar{x}_A+n_B\bar{x}_B}{n_A+n_B}$$

合併變異數可由總離均差平方和計算：

$$SS_{\text{總}}=SS_{\text{組內}}+SS_{\text{組間}}$$

其中：

$$SS_{\text{組內}} =n_A s_A^2+n_B s_B^2$$ $$SS_{\text{組間}} =n_A(\bar{x}_A-\bar{x})^2+n_B(\bar{x}_B-\bar{x})^2$$

本題的標準差視為各班資料的描述性標準差，因此變異數分母採總人數 $N=50$。

解題方法

第一步：計算全體平均數

$$\bar{x} =\frac{30(75)+20(80)}{30+20}$$ $$\bar{x} =\frac{2250+1600}{50} =\frac{3850}{50} =77$$

因此，50 位學生的整體平均分數為：

$$\boxed{77}$$

第二步：計算組內離均差平方和

A 班的變異數為：

$$s_A^2=8^2=64$$

B 班的變異數為：

$$s_B^2=6^2=36$$

因此組內離均差平方和為：

$$SS_{\text{組內}} =30(64)+20(36)$$ $$SS_{\text{組內}} =1920+720 =2640$$

第三步：計算組間離均差平方和

全體平均數為 $77$，因此：

$$SS_{\text{組間}} =30(75-77)^2+20(80-77)^2$$ $$=30(-2)^2+20(3)^2$$ $$=30(4)+20(9) =120+180 =300$$

第四步：計算總變異數

總離均差平方和為：

核心觀念

• 變異係數 $CV=\dfrac{s}{\bar x}\times100\%$，用來比較不同平均數資料的相對離散程度。
• Pearson 第一偏態係數 $Sk_1=\dfrac{\bar x-\text{Mo}}{s}$：大於 0 為右偏，小於 0 為左偏。

使用 Q2 的資料

班級	$n$	平均數	標準差	眾數
A	30	75	8	60
B	20	80	6	62

計算

$CV_A=\frac{8}{75}=10.67\%,\qquad CV_B=\frac{6}{80}=7.5\%$

核心觀念

本題考查貝氏定理，目標是由「檢測結果為陽性」反推「實際感染流感」的機率：

$$P(\text{Flu}\mid \text{Positive}) = \frac{P(\text{Positive}\mid \text{Flu})P(\text{Flu})} {P(\text{Positive})}$$

已知：

• $P(\text{Positive}\mid \text{Flu})=0.95$
• $P(\text{Negative}\mid \text{No Flu})=0.9$
• $P(\text{Flu})=0.2$

由補事件可得：

$$P(\text{No Flu})=1-0.2=0.8$$

且未感染者的偽陽性率為：

$$P(\text{Positive}\mid \text{No Flu}) =1-P(\text{Negative}\mid \text{No Flu}) =1-0.9=0.1$$

解題方法

依全機率定理，檢測呈陽性的機率為：

$$\begin{aligned} P(\text{Positive}) &=P(\text{Positive}\mid \text{Flu})P(\text{Flu})\\ &\quad+P(\text{Positive}\mid \text{No Flu})P(\text{No Flu})\\ &=(0.95)(0.2)+(0.1)(0.8)\\ &=0.19+0.08\\ &=0.27 \end{aligned}$$

因此，檢測結果呈陽性時，實際感染流感的機率為：

本題考驗離散型隨機變數的期望值 (Expected Value) 和變異數 (Variance) 的計算。

第一部分：計算期望值 E(X)

期望值 E(X) 的計算公式為：
$E(X) = \sum_{i} x_i p(x_i)$
其中 $x_i$ 是隨機變數的可能取值，而 $p(x_i)$ 是對應的機率。

將題目給的數據代入：
$E(X) = (2 \times 0.1) + (4 \times 0.2) + (8 \times 0.5) + (16 \times 0.2)$
$E(X) = 0.2 + 0.8 + 4.0 + 3.2$
$E(X) = 8.2$

計算結果：E(X) = 8.2。
這表示選項 (A) 和 (D) 的期望值是正確的。

第二部分：計算變異數 Var(X)

變異數 Var(X) 的計算公式為：
$Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$

首先，我們需要計算 $E(X^2)$。
$E(X^2) = \sum_{i} x_i^2 p(x_i)$

本題考驗聯合機率質量函數 (Joint Probability Mass Function, PMF) 的應用，計算邊際期望值 (Marginal Expected Values)。

首先，我們需要計算 X 的邊際機率質量函數 (Marginal PMF of X)，以及 Y 的邊際機率質量函數 (Marginal PMF of Y)。

計算 X 的邊際機率質量函數 (Marginal PMF of X)

將 X 的每一列機率加總：
$p(X=1) = 0.30 + 0.05 + 0 = 0.35$
$p(X=5) = 0.15 + 0.20 + 0.05 = 0.40$
$p(X=10) = 0.10 + 0.10 + 0.05 = 0.25$

檢查總機率：$0.35 + 0.40 + 0.25 = 1.00$。

計算 X 的期望值 (μx)

$\mu_x = E(X) = \sum x \cdot p(X=x)$
$\mu_x = (1 \times 0.35) + (5 \times 0.40) + (10 \times 0.25)$
$\mu_x = 0.35 + 2.00 + 2.50$
$\mu_x = 4.85$

本題延續 Q6，要求計算隨機變數 X 和 Y 的共變異數 (Covariance)，並判斷 X 和 Y 是否獨立。

我們從 Q6 已經計算出 X 和 Y 的邊際期望值：
μx = E(X) = 4.85
μy = E(Y) = 11.25

第一部分：判斷 X 和 Y 是否獨立

若 X 和 Y 獨立，則其聯合機率質量函數 (joint PMF) $p(x, y)$ 應等於其邊際機率質量函數 (marginal PMFs) 的乘積，即 $p(x, y) = p(x) \cdot p(y)$ 對於所有的 x 和 y。

我們來驗證幾個組合：

• $p(X=1, Y=5) = 0.30$
  $p(X=1) = 0.35$
  $p(Y=5) = 0.55$
  $p(X=1) \cdot p(Y=5) = 0.35 \times 0.55 = 0.1925$
  由於 $0.30 \neq 0.1925$，所以 X 和 Y 不是獨立的。

因此，我們可以排除選項 (A) 和 (C)，因為它們聲稱 X 和 Y 是獨立的。
剩下的選項是 (B) 和 (D)。

第二部分：計算共變異數 Cov(X, Y)

共變異數的計算公式為：
$COV(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$

首先，我們需要計算 $E(XY)$。
$E(XY) = \sum_{x} \sum_{y} xy \cdot p(x, y)$

利用聯合機率表：
$E(XY) = (1 \times 5 \times 0.30) + (1 \times 10 \times 0.05) + (1 \times 50 \times 0) +$
$(5 \times 5 \times 0.15) + (5 \times 10 \times 0.20) + (5 \times 50 \times 0.05) +$

本題包含兩大部分：

1. 根據二項分佈的期望值和變異數，找出其參數 n 和 p。
2. 計算兩個獨立二項分佈隨機變數之和的機率。

第一部分：找出二項分佈 X 的參數 n 和 p

對於一個二項分佈 $X \sim B(n, p)$，其期望值和變異數的公式為：
$E(X) = np$
$Var(X) = np(1-p)$

根據題目給的資訊：
$E(X) = np = 0.8$ (式 1)
$Var(X) = np(1-p) = 0.64$ (式 2)

將式 1 代入式 2：
$0.8 \times (1-p) = 0.64$
$1-p = \frac{0.64}{0.8}$
$1-p = 0.8$
$p = 1 - 0.8 = 0.2$

將 $p = 0.2$ 代回式 1：
$n \times 0.2 = 0.8$
$n = \frac{0.8}{0.2}$
$n = 4$

所以，二項分佈 X 的參數是 $n=4$ 和 $p=0.2$。
即 $X \sim B(4, 0.2)$。

目前，選項 (A) 和 (C) 符合這個條件。

第二部分：計算 P(Z ≥ 1)

已知：

• $X \sim B(4, 0.2)$
• $Y \sim B(3, 0.3)$
• X 和 Y 獨立
• $Z = X + Y$

由於 X 和 Y 是獨立的二項分佈隨機變數，它們的和 Z 也是一個二項分佈隨機變數。
若 $X \sim B(n_1, p_1)$ 且 $Y \sim B(n_2, p_2)$，且 X 和 Y 獨立，則 $X+Y \sim B(n_1+n_2, p)$ 僅當 $p_1 = p_2$ 時成立。
在本題中，$p_1 = 0.2$ 且 $p_2 = 0.3$，所以 $Z = X+Y$ 不是一個單純的二項分佈。

因此，我們不能直接將 n 相加。我們需要計算 Z 的機率分佈。
Z 的取值範圍是：
X 的取值範圍是 {0, 1, 2, 3, 4}
Y 的取值範圍是 {0, 1, 2, 3}
Z 的最小取值是 $0+0=0$，最大取值是 $4+3=7$。

本題考驗對卜瓦松分佈 (Poisson Distribution) 的理解與應用。卜瓦松分佈常用來描述在固定時間或空間內，隨機獨立事件發生的次數。

首先，題目給了過去 8 週的交通事故次數：3, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 0。
我們需要估計卜瓦松分佈的參數 $\lambda$ (平均每週交通事故次數)。

第一部分：估計參數 $\lambda$

$\lambda$ 是過去 8 週交通事故總數除以週數。
總交通事故次數 = 3 + 3 + 2 + 1 + 2 + 3 + 2 + 0 = 16 次。
週數 = 8 週。
$\hat{\lambda} = \frac{16}{8} = 2$
所以，我們估計每週平均交通事故次數 $\lambda = 2$。

第二部分：計算「下週至少有兩次（包含兩次）交通事故」的機率

設 X 為下週發生的交通事故次數。X 服從卜瓦松分佈，$\lambda = 2$。
我們要求計算 $P(X \ge 2)$。
計算 $P(X \ge 2)$ 的最簡單方法是計算其補集：
$P(X \ge 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)]$

卜瓦松分佈的機率質量函數 (PMF) 為：
$P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$
其中 $k$ 是事件發生的次數，$k = 0, 1, 2, ...$。

將 $\lambda = 2$ 代入：
$P(X=0) = \frac{e^{-2} 2^0}{0!} = \frac{e^{-2} \times 1}{1} = e^{-2}$

本題考驗常態分佈 (Normal Distribution) 下的機率計算，特別是計算落在指定區間內的機率。

題目給的資訊：

• 電壓 X 服從常態分佈，其平均數 $\mu = 5$ V。
• 標準差 $\sigma = 0.02$ V。
• 規格下限 (Lower Specification Limit, LSL) = 4.95 V。
• 規格上限 (Upper Specification Limit, USL) = 5.05 V。

我們要求計算隨機選取的電源供應器電壓符合規格的機率，即 $P(4.95 \le X \le 5.05)$。

為了計算這個機率，我們需要將 X 轉換為標準常態分佈 Z 的值。標準常態分佈的平均數為 0，標準差為 1。
轉換公式為：
$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$

計算規格下限對應的 Z 值 ($Z_{LSL}$):
$Z_{LSL} = \frac{4.95 - 5}{0.02} = \frac{-0.05}{0.02} = -2.5$

計算規格上限對應的 Z 值 ($Z_{USL}$):
$Z_{USL} = \frac{5.05 - 5}{0.02} = \frac{0.05}{0.02} = 2.5$

本題延續 Q10，考驗如何透過降低製程變異數 (標準差 $\sigma$) 來提高產品符合規格的機率。

Q10 的資訊：

• 平均數 $\mu = 5$ V。
• 規格範圍：[4.95 V, 5.05 V]。
• 我們希望「所有單位中，只有一個不符合規格」，這意味著 999 個單位符合規格。
• 因此，符合規格的機率為 $\frac{999}{1000} = 0.999$。

我們需要找到新的標準差 $\sigma'$，使得 $P(4.95 \le X' \le 5.05) = 0.999$，其中 $X' \sim N(5, (\sigma')^2)$。

將規格範圍轉換為標準常態分佈 Z 的值：
$Z_{LSL} = \frac{4.95 - 5}{\sigma'} = \frac{-0.05}{\sigma'}$
$Z_{USL} = \frac{5.05 - 5}{\sigma'} = \frac{0.05}{\sigma'}$

我們希望 $P(\frac{-0.05}{\sigma'} \le Z \le \frac{0.05}{\sigma'}) = 0.999$。
由於常態分佈是對稱的，我們可以寫成：
$P(Z \le \frac{0.05}{\sigma'}) - P(Z \le \frac{-0.05}{\sigma'}) = 0.999$

本題考驗均勻分佈 (Uniform Distribution) 的機率計算，以及不等式的代數處理。

題目給的資訊：

• X 服從 (0, 15) 上的連續均勻分佈。
• 其機率密度函數 (PDF) 為 $f(x) = \frac{1}{15-0} = \frac{1}{15}$，對於 $0 < x < 15$，否則為 0。
• 我們要求計算 $P(X^2 + 32 > 12X)$。

首先，我們需要處理不等式 $X^2 + 32 > 12X$。
將所有項移到一邊，得到一個二次不等式：
$X^2 - 12X + 32 > 0$

為了找出滿足此不等式的 X 值範圍，我們需要先找到二次方程式 $X^2 - 12X + 32 = 0$ 的根。
我們可以分解因式：
$(X - 4)(X - 8) = 0$
所以，根是 $X = 4$ 和 $X = 8$。

這個二次函數 $y = X^2 - 12X + 32$ 是一個開口向上的拋物線。
不等式 $X^2 - 12X + 32 > 0$ 表示函數值大於 0 的區域，也就是拋物線在 X 軸上方的位置。
這發生在 $X < 4$ 或 $X > 8$ 的範圍內。

現在，我們需要結合 X 的分佈範圍 (0, 15) 來確定滿足條件的 X 的範圍。

1. $X < 4$ 且 $0 < X < 15$。這部分的範圍是 $(0, 4)$。
2. $X > 8$ 且 $0 < X < 15$。這部分的範圍是 $(8, 15)$。

因此，滿足不等式 $X^2 + 32 > 12X$ 的 X 的範圍是 $(0, 4) \cup (8, 15)$。

核心觀念

本題考查簡單線性迴歸中的：

1. 判定係數 $R^2$ 的計算。
2. 相關係數 $r$ 與標準化迴歸係數 Beta 的關係。
3. 迴歸係數 $B$、標準化係數 Beta、標準誤之間的區別。

在 ANOVA 表中：

• Regression Sum of Squares 為迴歸平方和 $SSR$
• Residual Sum of Squares 為殘差平方和 $SSE$
• Total Sum of Squares 為總平方和 $SST$

判定係數定義為：

$$R^2=\frac{SSR}{SST}$$

在「簡單線性迴歸」且只有一個自變數時，標準化迴歸係數 Beta 等於 $X$ 與 $Y$ 的相關係數：

$$r=\text{Beta}$$

此外，$R^2=r^2$。

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解題方法

一、計算判定係數 $R^2$

由 ANOVA 表可得：

$$SSR=33.260$$ $$SST=140.628$$

因此：

$$R^2=\frac{33.260}{140.628}$$ $$R^2\approx 0.23651$$

換算成百分比：

$$R^2\approx 23.651\%$$

這表示 Product Quality 可以解釋 Satisfaction 總變異的約 $23.651\%$。

殘差所占比例為：

$$\frac{SSE}{SST} = \frac{107.367}{140.628} \approx 76.349\%$$

但這是未被模型解釋的比例，不是 $R^2$。

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二、判斷相關係數 $r$

Coefficients Table 中，$X$ 的資料如下：

• $B=0.415$：未標準化迴歸係數
• Beta $=0.486$：標準化迴歸係數

在簡單線性迴歸中：

$$r=\text{Beta}=0.486$$

也可利用 $R^2=r^2$ 驗算：

$$r=\sqrt{R^2} = \sqrt{0.23651} \approx 0.486$$

由於 $X$ 的迴歸係數 $B=0.415>0$，表示正向關係，因此取正根：

$$r=+0.486$$

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選項分析

核心觀念

迴歸係數表中，各欄的關係是
$t=\frac{B}{\text{Std. Error}}\quad\Longrightarrow\quad \text{Std. Error}=\frac{B}{t}$

使用 Q13 的 Coefficients Table

	B	Std. Error	Beta	t	P-value
(Constant)	3.676	0.598		6.151	0.000
X	0.415	Blank A	0.486	5.510	0.000

Blank A 是 X 這一列的標準誤：

核心觀念

本題考查「最大概似估計量」（Maximum Likelihood Estimator, MLE）。

題目將母體寫成固定的 $U[0,50]$，但未明確定義 $\theta$。依照選項與標準題型，合理解讀為：

$$X_1,\ldots,X_n \overset{\text{i.i.d.}}{\sim} U[0,\theta],$$

其中 $\theta$ 是均勻分配的上限，欲估計 $\theta$。

對於 $U[0,\theta]$，其機率密度函數為

$$f(x;\theta)= \begin{cases} \dfrac{1}{\theta}, & 0\le x\le \theta,\\ 0, & \text{其他情況}, \end{cases} \qquad \theta>0.$$

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解題方法：建立概似函數

令樣本最大值為

$$X_{(n)}=\max\{X_1,X_2,\ldots,X_n\}.$$

由於樣本獨立，概似函數為

$$L(\theta) =\prod_{i=1}^n f(X_i;\theta) =\prod_{i=1}^n \frac{1}{\theta} \mathbf{1}_{\{0\le X_i\le\theta\}}.$$

因此可寫成

$$L(\theta) =\theta^{-n}\mathbf{1}_{\{\theta\ge X_{(n)}\}}.$$

要使概似函數大於 $0$，必須滿足

$$\theta\ge X_{(n)}.$$

在此條件下，

$$L(\theta)=\frac{1}{\theta^n}.$$

因為 $\theta^{-n}$ 隨著 $\theta$ 增加而遞減，所以要使概似函數最大，應選擇符合 $\theta\ge X_{(n)}$ 的最小值：

$$\widehat{\theta}_{\text{MLE}}=X_{(n)} =\max\{X_1,X_2,\ldots,X_n\}.$$

因此最大概似估計量為樣本最大值。

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選項分析

（A）$5\min\{X_1,X_2,\ldots,X_n\}$：錯誤

均勻分配 $U[0,\theta]$ 的上限必須至少涵蓋所有觀察值，因此必須有

$$\theta\ge \max\{X_1,\ldots,X_n\}.$$

樣本最小值通常小於樣本最大值，所以 $5\min\{X_i\}$ 可能小於 $X_{(n)}$，此時概似函數直接為 $0$，不可能是最大概似估計量。

本題考驗標準常態分佈 (Standard Normal Distribution) 和卡方分佈 (Chi-squared Distribution) 的性質。

題目給的資訊：

• $X_1$ 和 $X_2$ 是獨立的。
• $X_1 \sim N(0, \sigma^2)$
• $X_2 \sim N(0, \sigma^2)$

我們要求計算 $\frac{(X_1+X_2)^2}{2\sigma^2}$ 的分佈。

首先，我們定義一個新的隨機變數 $Y = X_1 + X_2$。
由於 $X_1$ 和 $X_2$ 是獨立的常態分佈隨機變數，它們的和 Y 也服從常態分佈。
Y 的平均數是：
$E(Y) = E(X_1 + X_2) = E(X_1) + E(X_2) = 0 + 0 = 0$
Y 的變異數是：
$Var(Y) = Var(X_1 + X_2) = Var(X_1) + Var(X_2)$ (因為 $X_1, X_2$ 獨立)
$Var(Y) = \sigma^2 + \sigma^2 = 2\sigma^2$

所以，$Y \sim N(0, 2\sigma^2)$。

現在，我們考慮 $\frac{(X_1+X_2)^2}{2\sigma^2} = \frac{Y^2}{2\sigma^2}$。
我們可以將 Y 標準化。定義 $Z = \frac{Y - E(Y)}{SD(Y)}$。
$SD(Y) = \sqrt{Var(Y)} = \sqrt{2\sigma^2} = \sigma\sqrt{2}$。

核心觀念

本題考查單一母體平均數的假設檢定，且樣本數 $n=64$ 足夠大，因此可使用大樣本 $Z$ 檢定。

已知：

$$n=64,\qquad \bar{x}=77,\qquad s=8,\qquad \mu_0=75$$

樣本平均數的標準誤為：

$$SE_{\bar{x}}=\frac{s}{\sqrt{n}} =\frac{8}{\sqrt{64}} =\frac{8}{8}=1$$

部門的規則是：若教師過去課程的平均成績低於全系平均 $75$ 分，才要求教師加分。因此檢定重點是判斷母體平均成績是否「低於」$75$，屬於左尾檢定。

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(a) 虛無假設與對立假設

令 $\mu$ 表示該教師過去所有課程學生的母體平均成績。

$$H_0:\mu\geq 75$$ $$H_1:\mu<75$$

實際進行檢定時，虛無假設通常以邊界值表示為：

$$H_0:\mu=75$$

因此本題為左尾單尾檢定。

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(b) 以檢定統計量進行檢定

(b-1) 檢定統計量

由於 $n=64$ 為大樣本，使用大樣本 $Z$ 統計量：

$$Z=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}$$

代入資料：

$$Z=\frac{77-75}{8/\sqrt{64}} =\frac{2}{1} =2$$

所以檢定統計量為：

$$\boxed{Z=2}$$

(b-2) 在 $\alpha=0.05$ 下進行檢定

左尾檢定的臨界值為：

$$z_{0.05}=-1.645$$

拒絕域為：

$$Z<-1.645$$

本題：

$$Z=2>-1.645$$

因此不落在拒絕域內，不能拒絕虛無假設。

結論： 在顯著水準 $0.05$ 下，沒有充分證據認為該教師的平均成績低於全系平均 $75$ 分，因此不應依此規則要求教師加分。

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(c) 信賴區間法

(c-1) $(1-\alpha)\%$ 信賴區間

當 $\alpha=0.05$ 時，信賴水準為：

$$1-\alpha=0.95$$

因此為 $95\%$ 信賴區間。大樣本下使用 $z_{0.025}=1.96$：

$$\bar{x}\pm z_{0.025}\frac{s}{\sqrt{n}}$$

代入資料：

$$77\pm 1.96\left(\frac{8}{\sqrt{64}}\right) =77\pm 1.96$$

所以：

$$\boxed{74?}$$

計算上下限：

$$77-1.96=75.04$$ $$77+1.96=78.96$$

故 $95\%$ 信賴區間為：

$$\boxed{(75.04,\;78.96)}$$

(c-2) 以信賴區間進行檢定

欲檢定的基準值為 $\mu_0=75$。

所得 $95\%$ 信賴區間為：

$$(75.04,\;78.96)$$

因為 $75$ 不在此信賴區間內，且整個區間都高於 $75$，表示樣本資料傾向支持：

$$\mu>75$$

不過本題的對立假設是：

$$H_1:\mu<75$$

因此資料並不支持「平均成績低於 $75$」的主張。

結論： 不拒絕 $H_0$，不要求教師加分。

注意：以雙尾 $95\%$ 信賴區間判斷本題左尾檢定時，$75$ 落在區間下方，代表結果更傾向於平均數高於 $75$，而非低於 $75$。

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(d) $p$-value 法

(d-1) $p$-value

本題為左尾檢定，且觀察到：

$$Z=2$$

因此：

$$p\text{-value}=P(Z\leq 2)$$

由標準常態分配表：

$$P(Z\leq 2)=0.9772$$

所以：

$$\boxed{p\text{-value}=0.9772}$$

(d-2) 依據 $p$-value 作結論

比較：

$$p\text{-value}=0.9772>\alpha=0.05$$