114 年 國立成功大學企業管理研究所丙組《微積分》

此題考驗對函數極值、圖形對稱性以及方程式根的判斷。
首先，我們需要找出函數 $f(x) = x^3 - 3x$ 的臨界點，並判斷其為局部極大值或極小值。
計算一階導函數：$f'(x) = 3x^2 - 3$。
令 $f'(x) = 0$，得 $3x^2 - 3 = 0 \implies 3(x^2 - 1) = 0 \implies x = \pm 1$。
計算二階導函數：$f''(x) = 6x$。
在 $x = 1$ 時，$f''(1) = 6(1) = 6 > 0$，所以 $x = 1$ 是局部極小值點。
此時的函數值為 $f(1) = 1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2$。
因此，選項 (A) 敘述正確。

在 $x = -1$ 時，$f''(-1) = 6(-1) = -6 < 0$，所以 $x = -1$ 是局部極大值點。
此時的函數值為 $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$。
因此，選項 (B) 敘述正確。

接下來判斷選項 (C)，即方程式 $f(x) = 1$ 的解的個數。
$x^3 - 3x = 1 \implies x^3 - 3x - 1 = 0$。

此題考驗對指數函數性質、微分、積分以及級數求和的理解。
首先，我們來分析函數 $f(x) = 2^x$。

選項 (A)：
我們知道指數函數的轉換公式 $a^b = e^{b \ln a}$。
所以，$2^x = e^{x \ln 2}$。
因此，選項 (A) 敘述正確。

選項 (B)：
我們需要計算 $y = 2^x$ 的微分。
利用選項 (A) 的結果，$y = e^{x \ln 2}$。
對 $y$ 對 $x$ 微分，使用連鎖律：
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{x \ln 2}) = e^{x \ln 2} \cdot \frac{d}{dx}(x \ln 2) = e^{x \ln 2} \cdot \ln 2$。
由於 $e^{x \ln 2} = 2^x$，所以 $\frac{dy}{dx} = 2^x \ln 2$。
選項 (B) 寫成 $y' = e^x \ln 2$，這是錯誤的，因為它沒有包含 $2^x$ 的部分，或者說它將 $e^{x \ln 2}$ 誤寫為 $e^x$。
因此，選項 (B) 敘述錯誤。

此題考驗對隱函數微分、曲線與座標軸的交點、以及切線的判斷。
曲線 $\Gamma$ 的方程式為 $x^2 + y^3 + xy = 1$。

首先，我們需要對這個隱函數進行微分，以求得切線斜率。
對 $x^2 + y^3 + xy = 1$ 兩邊同時對 $x$ 微分：
$\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^3) + \frac{d}{dx}(xy) = \frac{d}{dx}(1)$
$2x + 3y^2 \frac{dy}{dx} + (1 \cdot y + x \cdot \frac{dy}{dx}) = 0$
$2x + 3y^2 \frac{dy}{dx} + y + x \frac{dy}{dx} = 0$
將含 $\frac{dy}{dx}$ 的項移到一邊：
$(3y^2 + x) \frac{dy}{dx} = -2x - y$
$\frac{dy}{dx} = \frac{-2x - y}{3y^2 + x}$

現在我們來逐一判斷選項。

選項 (A)：$\Gamma$ has two intersection points with the x-axis.
與 x 軸的交點表示 $y=0$。將 $y=0$ 代入曲線方程式：
$x^2 + 0^3 + x(0) = 1 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$。
所以，與 x 軸的交點為 $(1, 0)$ 和 $(-1, 0)$，共有兩個交點。
因此，選項 (A) 敘述正確。

選項 (B)：$\Gamma$ has two intersection points with the y-axis.
與 y 軸的交點表示 $x=0$。將 $x=0$ 代入曲線方程式：
$0^2 + y^3 + (0)y = 1 \implies y^3 = 1 \implies y = 1$。
所以，與 y 軸的交點只有一個，為 $(0, 1)$。
因此，選項 (B) 敘述錯誤。

此題考驗對函數微分、積分以及幾何意義的理解。
函數為 $f(x) = \sqrt{4 - x^2}$。我們可以觀察到這個函數代表一個半圓。
令 $y = \sqrt{4 - x^2}$，則 $y^2 = 4 - x^2$ (且 $y \ge 0$)，即 $x^2 + y^2 = 4$。
這是一個以原點為圓心，半徑為 $2$ 的圓。由於 $y = \sqrt{4 - x^2}$ 且 $y \ge 0$，所以它代表上半圓。
定義域為 $4 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 4 \implies -2 \le x \le 2$。

選項 (A)：計算 $f'(x)$。
$f(x) = (4 - x^2)^{\frac{1}{2}}$。
使用連鎖律微分：
$f'(x) = \frac{1}{2} (4 - x^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{d}{dx}(4 - x^2)$
$f'(x) = \frac{1}{2} (4 - x^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-2x)$
$f'(x) = -x (4 - x^2)^{-\frac{1}{2}} = \frac{-x}{\sqrt{4 - x^2}}$。
選項 (A) 寫成 $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$，這是錯誤的。
因此，選項 (A) 敘述錯誤。

選項 (B)：計算 $f''(x)$。
我們有 $f'(x) = -x (4 - x^2)^{-\frac{1}{2}}$。
使用乘法定則和連鎖律微分：
$f''(x) = \frac{d}{dx}(-x (4 - x^2)^{-\frac{1}{2}})$
$f''(x) = (-1) \cdot (4 - x^2)^{-\frac{1}{2}} + (-x) \cdot \frac{d}{dx}((4 - x^2)^{-\frac{1}{2}})$
$f''(x) = -(4 - x^2)^{-\frac{1}{2}} + (-x) \cdot (-\frac{1}{2}) (4 - x^2)^{-\frac{3}{2}} \cdot (-2x)$

此題考驗對函數線性近似的理解。
函數在點 $x=a$ 的線性近似為 $L(x) = f(a) + f'(a)(x-a)$。
題目給定 $f(2) = 3$ 且 $f'(2) = 4$。
我們要在 $x=2$ 附近使用線性近似來估計 $f(2.01)$。
所以，$a=2$。
線性近似函數為 $L(x) = f(2) + f'(2)(x-2)$。

此題考驗計算兩個函數所圍區域的面積。
首先，我們需要找到兩個函數的交點，以確定積分的上下限。
令 $f(x) = g(x)$：
$x(4-x) = x^2$
$4x - x^2 = x^2$
$4x = 2x^2$
$2x^2 - 4x = 0$
$2x(x - 2) = 0$
所以，交點的 x 座標為 $x=0$ 和 $x=2$。

接下來，我們需要確定在區間 $[0, 2]$ 上，哪一個函數的值比較大。
我們可以在區間內任取一點，例如 $x=1$。
$f(1) = 1(4-1) = 3$
$g(1) = 1^2 = 1$
由於 $f(1) > g(1)$，所以在區間 $[0, 2]$ 上，$f(x) \ge g(x)$。
因此，圍成的區域面積 $A$ 可以由定積分計算：
$A = \int_{0}^{2} [f(x) - g(x)] dx$
$A = \int_{0}^{2} [x(4-x) - x^2] dx$

此題考驗計算繞 x 軸旋轉所形成的旋轉體體積，使用圓盤法或圓環法。
從上一題得知，區域 $\Omega$ 是由 $y = x(4-x)$ 和 $y = x^2$ 在 $x \in [0, 2]$ 所圍成的區域。
我們將此區域繞 x 軸旋轉。由於兩個函數都非負，且 $x(4-x) \ge x^2$ 在 $[0, 2]$ 上，我們使用圓環法（washer method）。
旋轉體體積 $V$ 的公式為：
$V = \int_{a}^{b} \pi [R(x)^2 - r(x)^2] dx$
其中 $R(x)$ 是外圍函數的半徑，$r(x)$ 是內圍函數的半徑。
在本題中，$a=0$, $b=2$。
外圍函數是 $y = x(4-x) = 4x - x^2$，所以 $R(x) = 4x - x^2$。
內圍函數是 $y = x^2$，所以 $r(x) = x^2$。

計算體積：
$V = \int_{0}^{2} \pi [(4x - x^2)^2 - (x^2)^2] dx$
$V = \pi \int_{0}^{2} [(16x^2 - 8x^3 + x^4) - x^4] dx$

此題考驗對泰勒多項式的理解。
我們需要求函數 $f(x) = \ln(1+x^2)$ 在 $x=0$ 點的泰勒多項式，直到 $x^6$ 項。
泰勒級數的公式為 $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$。
我們可以利用已知的幾何級數和對數函數的泰勒級數展開式來求解。

我們知道 $\frac{1}{1-u} = 1 + u + u^2 + u^3 + \dots$ (當 $|u|<1$)。
令 $u = -x^2$，則 $\frac{1}{1-(-x^2)} = \frac{1}{1+x^2} = 1 + (-x^2) + (-x^2)^2 + (-x^2)^3 + \dots$
$\frac{1}{1+x^2} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \dots$ (當 $|x|<1$)。

現在，我們知道 $\frac{d}{dx} \ln(1+x^2) = \frac{1}{1+x^2} \cdot 2x = \frac{2x}{1+x^2}$。
然而，直接對 $\frac{1}{1+x^2}$ 積分可能會比較複雜。

另一種方法是利用 $\ln(1+u)$ 的泰勒級數展開式。
$\ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - \frac{u^4}{4} + \dots$ (當 $|u|<1$)。
令 $u = x^2$。由於我們要求到 $x^6$ 項，而 $u = x^2$，所以最高次項的 $u$ 冪次需要是 $3$，因為 $u^3 = (x^2)^3 = x^6$。
所以，我們將 $u = x^2$ 代入：
$\ln(1+x^2) = (x^2) - \frac{(x^2)^2}{2} + \frac{(x^2)^3}{3} - \dots$
$\ln(1+x^2) = x^2 - \frac{x^4}{2} + \frac{x^6}{3} - \dots$

到 $x^6$ 項的泰勒多項式為 $x^2 - \frac{1}{2}x^4 + \frac{1}{3}x^6$。

我們也可以透過計算導函數來驗證：
$f(x) = \ln(1+x^2)$
$f(0) = \ln(1) = 0$

$f'(x) = \frac{2x}{1+x^2}$
$f'(0) = 0$

此題考驗對部分分式分解的應用，以計算有理函數的不定積分。
被積函數為 $\frac{1}{x^2(x+1)}$。
我們將其進行部分分式分解。由於分母有重根 $x^2$ 和一次因子 $(x+1)$，分解形式為：
$\frac{1}{x^2(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x+1}$
將等式兩邊同乘以 $x^2(x+1)$：
$1 = Ax(x+1) + B(x+1) + Cx^2$
$1 = A(x^2+x) + B(x+1) + Cx^2$
$1 = Ax^2 + Ax + Bx + B + Cx^2$
$1 = (A+C)x^2 + (A+B)x + B$

比較等式兩邊的係數：
常數項：$B = 1$。
x 項係數：$A+B = 0 \implies A+1 = 0 \implies A = -1$。
$x^2$ 項係數：$A+C = 0 \implies -1+C = 0 \implies C = 1$。

此題考驗對二重積分的計算，積分區域由上下限給定。
積分區域是 $0 \le x \le 2$ 且 $0 \le y \le x$。
我們需要先計算內層積分，然後再計算外層積分。

內層積分：$\int_{0}^{x} xy \, dy$
在此積分中，x 被視為常數。
$\int_{0}^{x} xy \, dy = x \int_{0}^{x} y \, dy$
$= x \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{x}$
$= x \left( \frac{x^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right)$

此題考驗對一階線性微分方程的求解。
給定的微分方程為 $\frac{dy}{dx} = y - xy$。
首先，將其整理成標準形式 $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$。
$\frac{dy}{dx} - y + xy = 0$
$\frac{dy}{dx} + (x-1)y = 0$。
這是一個齊次的線性微分方程，其中 $P(x) = x-1$ 且 $Q(x) = 0$。

我們可以使用積分因子法來求解。積分因子 $\mu(x)$ 為：
$\mu(x) = e^{\int P(x) dx}$
$\mu(x) = e^{\int (x-1) dx}$
$\mu(x) = e^{\frac{x^2}{2} - x}$。

將微分方程兩邊同乘以積分因子：

此題考驗對經濟學中利潤最大化問題的數學建模與求解，涉及函數複合、求導、求極值等微積分知識。

1. 推導利潤函數 $P(x)$

利潤函數定義為 $P(x) = x \cdot D(x) - C(D(x))$。
已知：
需求函數 $D(x) = 120 - x$ (這裡 $x$ 是價格，所以 $q = D(x)$ 是產量)
成本函數 $C(q) = q^2 + 4q + 200$

首先，計算總收入 $R(x) = x \cdot D(x)$：
$R(x) = x(120 - x) = 120x - x^2$。

接下來，計算總成本 $C(D(x))$。我們需要將 $q = D(x) = 120 - x$ 代入成本函數 $C(q)$：
$C(D(x)) = C(120-x) = (120-x)^2 + 4(120-x) + 200$
$C(D(x)) = (14400 - 240x + x^2) + (480 - 4x) + 200$
$C(D(x)) = x^2 - 240x - 4x + 14400 + 480 + 200$
$C(D(x)) = x^2 - 244x + 15080$。

現在，將總收入和總成本代入利潤函數 $P(x) = R(x) - C(D(x))$：
$P(x) = (120x - x^2) - (x^2 - 244x + 15080)$
$P(x) = 120x - x^2 - x^2 + 244x - 15080$
$P(x) = -2x^2 + 364x - 15080$。