109 年 國立成功大學自然災害減災及管理國際碩士學位學程《水文學》

這題主要在測試考生對水文學基本名詞的理解程度。

(a) 水文年 (Hydrological year)：
水文年是指一個計算水文資料（如降雨、流量）的連續 12 個月期間。與日曆年（1 月 1 日至 12 月 31 日）不同，水文年通常是從某個日期開始，以涵蓋一個完整的水文循環（通常是包含一個豐水期和一個枯水期）。在許多國家，特別是北半球，水文年常以 10 月 1 日開始，至次年 9 月 30 日結束，這樣可以涵蓋秋季和冬季的降雨、春季的融雪以及夏季的乾旱期。選擇特定的開始日期是為了方便統計和分析，確保每個水文年度都能代表一個完整的循環。

(b) 設計暴雨 (Designed storm)：
設計暴雨是指在進行水利設施（如水庫、排水系統、橋樑等）設計時，所假定可能發生且必須能夠承受的最大暴雨強度或總量。設計暴雨的選取是基於統計分析，通常會參考過去的極端降雨記錄，並結合水文模型來模擬不同重現期（如 50 年、100 年、200 年）的暴雨事件。其目的是確保水利設施在極端天氣事件下仍能安全運作，避免潰決造成災難性後果。設計暴雨的強度、持續時間和空間分布都是設計時的重要考量參數。

(c) 理性法 (Rational Method)：
理性法是一種用於估計小型集水區（通常小於 200 公頃或 0.8 平方英里）尖峰流量（peak discharge）的經驗公式。

這題主要探討氣候變遷對台灣水文資料的影響，以及如何利用「定常性分析」來檢測這些影響。

氣候變遷對台灣的觀察總結：
氣候變遷對台灣的影響是多方面的，包括：

1. 溫度升高： 台灣的平均氣溫持續上升，極端高溫事件（熱浪）的頻率和強度增加。
2. 降雨型態改變： 整體降雨量變化趨勢不明顯，但極端降雨事件（強降雨、颱風豪雨）頻率和強度增加，導致乾旱和洪災的風險都升高。降雨季節性分布也可能改變，例如春雨減少、夏秋季降雨更集中。
3. 海平面上升： 沿海地區面臨海平面上升的威脅，加劇沿海淹水和海岸侵蝕。
4. 極端天氣事件頻率增加： 颱風強度可能增加，但登陸台灣的頻率則有不確定性。乾旱事件也可能更頻繁或更嚴重。
5. 水資源衝擊： 降雨型態的改變影響水庫蓄水量、地下水補注，增加水資源管理的挑戰。

定常性分析 (Stationarity Analysis)：
定常性（Stationarity）是指一個時間序列的統計特性（如平均值、變異數、自相關性）在時間上保持不變。在水文學中，傳統的設計和規劃方法常假設水文時間序列是「弱定常」（weakly stationary）的，即其平均值和變異數不隨時間改變。

定常性分析就是檢驗一個時間序列是否滿足定常性的假設。對於水文資料，通常會分析其統計參數（如平均流量、年降雨量、極端事件頻率）是否在時間上呈現顯著的趨勢或變異。

定常性分析結果如何顯示氣候變遷的真實性：
如果一個水文時間序列（例如，某河流的年最大流量）經過定常性分析後，顯示出統計參數（如平均值、變異數）隨時間有顯著的、系統性的變化（例如，

本題考驗如何利用有限的歷史觀測資料，推估特定重現期（50 年）的極端降雨事件。

估計 50 年重現期事件的步驟：

1. 資料準備與篩選：

   • 首先，需要取得 40 年的逐時降雨資料。
   • 從這 40 年的資料中，找出每一年的最大日降雨量（或其他適當的極端值指標，如年最大 24 小時累積降雨量），或者直接從逐時資料中找出代表極端事件的數值。由於題目要求估計「50 年事件」，這通常指的是極端降雨量，而非降雨強度。最常見的做法是找出每一年的「年最大值」。

2. 建立機率分佈模型：

   • 假設年最大值（或其他選定的極端值）服從某種機率分佈。常用的極端值分佈模型包括：
     • 耿貝爾分佈 (Gumbel distribution)：又稱極值第一類分佈 (Type I Extreme Value Distribution)，常用於分析年最大值。
     • 對數尺度分佈 (Log-Pearson Type III distribution)：在美國常用於洪水頻率分析，對偏態資料較為穩健。
     • 廣義極值分佈 (Generalized Extreme Value, GEV)：包含耿貝爾分佈、瑞利分佈和極值第三類分佈，能更廣泛地描述極端值。
   • 根據 40 年的觀測數據，估計所選機率分佈模型的參數。例如，若選用耿貝爾分佈，則需估計其位置參數（location parameter）$\alpha$ 和尺度參數（scale parameter）$\beta$。

3. 計算 50 年重現期的降雨量：

   • 在選定的機率分佈模型中，找到對應於 50 年重現期（即機率 $P = 1/50 = 0.02$）的降雨量值。
   • 對於耿貝爾分佈，若 $x$ 是降雨量，其累積分布函數為 $F(x) = \exp(-\exp(-(x-\alpha)/\beta))$。

核心觀念

本題考查兩個概念：

1. 單位歷線（Unit Hydrograph, UH）下面積與集水區面積的關係
2. 有效降雨歷線與單位歷線的離散摺合（convolution）

若單位歷線代表集水區受到 $1\ \text{cm}$ 有效降雨所產生的直接逕流，則：

$$\text{逕流體積}=A\times 0.01$$

其中 $A$ 為集水區面積（$\text{m}^2$）。

題目特別註明 UH 有 10 個資料點，因此時間應讀為：

時間（min）	0	50	75	100	125	150	175	200	225	250
UH（cms）	0	25	45	120	195	210	135	67.5	22.5	0

其中前一段為 $0\sim50$ min，之後各段為 $25$ min，不能將資料誤讀成只有 8 個點。

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（a）求集水區面積

方法

UH 曲線下面積即為單位有效降雨所造成的逕流體積。由梯形法積分：

$$V=\sum \frac{Q_i+Q_{i+1}}{2}\Delta t$$

其中流量單位為 $\text{m}^3/\text{s}$，時間須換成秒。

各時間區間的 UH 體積如下：

$$\begin{aligned} V ={}&\frac{0+25}{2}(50) +\frac{25+45}{2}(25) +\frac{45+120}{2}(25)\\ &+\frac{120+195}{2}(25) +\frac{195+210}{2}(25) +\frac{210+135}{2}(25)\\ &+\frac{135+67.5}{2}(25) +\frac{67.5+22.5}{2}(25) +\frac{22.5+0}{2}(25) \end{aligned}$$

上式的時間單位為 min，因此：

$$V=20,812.5\ \text{cms-min}$$

換算為立方公尺：

$$V=20,812.5\times 60 =1,248,750\ \text{m}^3$$

由於 UH 對應 $1\ \text{cm}=0.01\ \text{m}$ 有效降雨：

$$A(0.01)=1,248,750$$

因此：

$$A=\frac{1,248,750}{0.01} =124,875,000\ \text{m}^2$$ $$\boxed{A=124.875\ \text{km}^2}$$

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（b）求直接逕流歷線

解題方法

依離散摺合原理，將每一段有效降雨量乘上 UH，並按照有效降雨發生時間向右平移後相加：

$$Q(t)=\sum P_j\,U(t-t_j)$$

這題考驗對對數常態分佈 (Log-normal distribution) 的理解，以及如何計算特定事件發生的機率，特別是關於重現期與機率的應用。

核心觀念：

• 對數常態分佈： 如果一個隨機變數 $X$ 服從對數常態分佈，則其對數 $\ln(X)$ 服從常態分佈 (正態分佈)。
• 常態分佈的參數： 常態分佈由平均值 $\mu$ 和標準差 $\sigma$ 定義。
• 機率計算： 利用標準常態分佈累計函數（Z 分數）來計算機率。
• 重現期與機率： 某事件的重現期是其發生機率的倒數。

題目資訊：

1. 年最大流量 $X$ 服從對數常態分佈。
2. 流量資料的中位數 (median) $M_X = 1000$ cms。
3. 對數轉換後的流量 ($\ln(X)$) 的標準差 $\sigma_{\ln(X)} = 1.2$。
4. 設計潰堤流量 (levee design flow) $Q_{design} = 10000$ cms。
5. 要求計算「在 5 年內發生兩次或以上潰堤事件」的機率。

解題步驟：

第一步：找出對數常態分佈的參數。
對於對數常態分佈的變數 $X$，其對數 $\ln(X)$ 服從常態分佈，其平均值為 $\mu_{\ln(X)}$，標準差為 $\sigma_{\ln(X)}$。
我們已知 $\sigma_{\ln(X)} = 1.2$。
我們也知道對數常態分佈的中位數 $M_X$ 與其對數的平均值 $\mu_{\ln(X)}$ 有關：
$M_X = \exp(\mu_{\ln(X)})$
因此，$\mu_{\ln(X)} = \ln(M_X)$。
代入數值：$\mu_{\ln(X)} = \ln(1000 \text{ cms})$。
$\ln(1000) \approx 6.907755$。

第二步：計算設計流量 $Q_{design} = 10000$ cms 發生一次的機率 $p$。
我們需要計算 $P(X \ge 10000 \text{ cms})$。
首先，將 $X = 10000$ 轉換為對數尺度：
$\ln(10000) = \ln(10^4) = 4 \ln(10) \approx 4 \times 2.302585 = 9.21034$。
現在，我們需要計算 $\ln(X) \ge 9.21034$ 的機率，其中 $\ln(X)$ 服從常態分佈，平均值 $\mu_{\ln(X)} \approx 6.907755$，標準差 $\sigma_{\ln(X)} = 1.2$。

計算 Z 分數：
$Z = \frac{\ln(X) - \mu_{\ln(X)}}{\sigma_{\ln(X)}}$
$Z = \frac{9.21034 - 6.907755}{1.2} = \frac{2.302585}{1.2} \approx 1.9188$

現在，我們需要查找標準常態分佈表中 $Z \ge 1.9188$ 的機率。
$P(Z \ge 1.9188) = 1 - P(Z < 1.9188)$。
查表（或使用計算機），$P(Z < 1.9188) \approx 0.9725$。
因此，一次設計流量事件發生的機率 $p = P(X \ge 10000) \approx 1 - 0.9725 = 0.0275$。

第三步：計算在 5 年內發生兩次或以上潰堤事件的機率。
這是一個二項分佈問題。假設每年發生潰堤事件是獨立的。
設 $N=5$ 年為試驗次數，每次試驗成功的機率（即發生潰堤）為 $p \approx 0.0275$。
我們要求計算在 5 年內發生至少 2 次潰堤事件的機率。
$P(\text{至少 2 次}) = P(k=2) + P(k=3) + P(k=4) + P(k=5)$
或者，更簡單地，使用補集：
$P(\text{至少 2 次}) = 1 - P(\text{0 次}) - P(\text{1 次})$