108 年 國立中山大學企業管理學系碩士甲班乙組《商用統計學》

本題考查的是百分位數的計算。百分位數是指將一組數據由小到大排列後，某個百分點所對應的數值。第 $p$ 百分位數 $P_p$ 的定義是，有 $p\%$ 的數據小於或等於 $P_p$。

首先，將樣本數據由小到大排列：
4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 12, 12

樣本數 $n=10$。
我們要求第 75 百分位數 ($P_{75}$)，也就是有 75% 的數據小於或等於 $P_{75}$。
計算位置 $L = \frac{n \times p}{100} = \frac{10 \times 75}{100} = 7.5$。

核心觀念

人口成長是逐年累乘的過程，因此，求能反映整段期間累積變化的平均年成長率，應使用成長因子的幾何平均數。

若第 $t$ 年的成長率為 $r_t$，其成長因子為：

$$g_t=1+r_t$$

例如，成長因子 $0.8923$ 表示人口減少 $10.77\%$；成長因子 $1.0587$ 表示人口增加 $5.87\%$。

若共有 $n$ 個年度成長因子，平均年成長率 $\bar r$ 滿足：

$$(1+\bar r)^n=\prod_{t=1}^{n}g_t$$

因此：

$$\bar r=\left(\prod_{t=1}^{n}g_t\right)^{1/n}-1$$

解題方法

本題列出五個年度成長因子，以這五個因子代表五次年度人口變化，故取五次方根。

第一步：計算累積成長因子。

$$\begin{aligned} G &=0.8923\times1.0587\times1.1934\times1.2345\times1.0995\\ &=1.5302280815656193 \end{aligned}$$

這表示經過五次年度變化後，人口為期初的約 $1.530228$ 倍，累積增加約 $53.02\%$。

第二步：求等效的平均年成長率。

令每年的固定成長率為 $\bar r$，使五年後得到相同人口：

$$(1+\bar r)^5=1.5302280815656193$$

所以：

本題考查的是卜瓦松分布 (Poisson Distribution) 的應用。

題目描述的隨機變數 X 是指在一個固定時間間隔內事件發生的次數，並且假設事件發生的機率在相同長度的時間內是相同的，這符合卜瓦松分布的條件。

已知在「十分鐘」內的平均發生次數是 4。
卜瓦松分布的參數 $\lambda$ 代表在一個給定時間或空間單位內的平均發生次數。
所以，對於「十分鐘」這個時間單位，$\lambda_{10 \text{ min}} = 4$。

我們需要計算在「五分鐘」內有 3 次發生的機率。
首先，我們需要計算在「五分鐘」這個時間單位下的平均發生次數 $\lambda_{5 \text{ min}}$。
由於時間間隔是成比例的，所以：
$\lambda_{5 \text{ min}} = \lambda_{10 \text{ min}} \times \frac{5 \text{ min}}{10 \text{ min}} = 4 \times \frac{1}{2} = 2$。

本題是接續上一題，考查卜瓦松分布的標準差。

對於卜瓦松分布，其平均數 (mean) 和變異數 (variance) 是相等的。
$\text{Mean} = E(X) = \lambda$
$\text{Variance} = Var(X) = \lambda$
標準差 (standard deviation) 是變異數的平方根：
$\text{Standard Deviation} = \sigma_X = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{\lambda}$

在上一題中，我們已經確定了題目所問的「五分鐘」時間間隔下的平均發生次數 $\lambda = 2$。

所以，五分鐘時間內的變異數是 $Var(X) = \lambda = 2$。
標準差是 $\sigma_X = \sqrt{\lambda} = \sqrt{2}$。

計算 $\sqrt{2}$：$\sqrt{2} \approx 1.414$。

然而，選項中並沒有 1.414。我們需要回頭檢查題目。

題目說「The random variable X is the number of occurrences of an event over an interval of ten minutes. It can be assumed that the probability of an occ

本題考查離散隨機變數的變異數計算。

首先，我們需要補齊機率分佈表中遺漏的 $f(3)$ 值。
離散機率分佈的總機率必須為 1：
$\sum f(x) = 1$
所以，
$f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) = 1$
$0.20 + 0.30 + 0.32 + f(3) + 0.05 + 0.02 = 1$
$0.89 + f(3) = 1$
$f(3) = 1 - 0.89 = 0.11$

現在我們有了完整的機率分佈表：

X	f(x)
0	0.20
1	0.30
2	0.32
3	0.11
4	0.05
5	0.02

題目已知平均數 $E(X) = 1.57$。
我們知道變異數的計算公式為：
$Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
其中 $E(X^2) = \sum x^2 f(x)$。

核心觀念

本題評量考生對常態分配標準化（Standardization）與母體比例（Population Proportion）推算總數的掌握度。

1. 常態分配標準化：
   若隨機變數 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，則經由標準化轉換：

   $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$$

   其中 $\mu$ 為母體平均數，$\sigma$ 為母體標準差。

2. 臨界值與機率定義：
   題目給定之符號記號 $Z_{\alpha} = z$ 代表右尾臨界值，即滿足 $P(Z > z) = \alpha$。由標準常態分配之對稱性可知：

   $$P(Z < -z) = P(Z > z) = \alpha$$

3. 總產量（母體總數）之估算：
   設該年洗碗機總產量為 $N$，壽命小於特定門檻的機率（不良率或提早失效比率）為 $p$。在已知失效台數為 $x$ 的條件下，理論上有：

   $$x = N \times p \implies N = \frac{x}{p}$$

---

解題方法

步驟一：統一計量單位

為避免計算混淆，將時間單位統一換算為「月」：

• 平均壽命：$\mu = 6\text{ 年} = 6 \times 12 = 72\text{ 個月}$
• 標準差：$\sigma = 8\text{ 個月}$
• 目標失效壽命門檻：$X = 4\text{ 年 } 4\text{ 個月} = 4 \times 12 + 4 = 52\text{ 個月}$

步驟二：計算標準化值（$Z$ 分數）

將 $X = 52$ 轉換為標準常態變數 $Z$：

$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{52 - 72}{8} = \frac{-20}{8} = -2.50$$

步驟三：查表求出失效機率 $p$

由題目給定之已知條件：

$$Z_{0.0064} = 2.49,\quad Z_{0.0084} = 2.39,\quad Z_{0.0048} = 2.59$$

計算出的 $Z = -2.50$ 最接近臨界值 $2.49$（僅差距 $0.01$），因此取：

本題考查在進行區間估計 (Interval Estimation) 時，當母體不呈常態分布且母體標準差未知時，應使用的機率分布。

核心概念：

1. 母體不呈常態分布 (Population is not normally distributed)：如果母體分布未知或非常態，且樣本數 $n$ 較小時，我們通常不能直接使用常態分布來進行推論。
2. 母體標準差未知 (Population standard deviation is unknown)：當母體標準差 $\sigma$ 未知時，我們必須使用樣本標準差 $s$ 來估計 $\sigma$。此時，統計量 $\frac{\bar{X} - \mu}{s/\sqrt{n}}$ 服從 t 分布，而不是標準常態分布。
3. 中央極限定理 (Central Limit Theorem, CLT)：CLT 指出，即使母體分布不是常態的，只要樣本數 $n$ 足夠大 (通常 $n \ge 30$)，樣本平均數 $\bar{X}$ 的抽樣分布就會趨近於常態分布。

分析選項：
A. The normal distribution can be used.
此選項不正確。因為母體不是常態分布，且樣本數 $n=6$ 相當小，不足以應用中央極限定理。因此，不能直接使用常態分布。

核心觀念

本題考查母體比例的樣本數估計。當信賴水準為 $95\%$、預期比例為 $p$，且容許誤差為 $E$ 時，樣本比例的誤差上限為

$$E=z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$$

將此式整理，可得所需樣本數：

$$n=\frac{z_{\alpha/2}^{\,2}p(1-p)}{E^2}$$

題目給定過去不良率為 $10\%$，因此 $p=0.10$、$1-p=0.90$；$95\%$ 信賴水準對應 $z_{0.025}=1.96$，容許誤差為 $E=0.04$。

解題方法

將題目數值代入樣本數公式：

$$n=\frac{(1.96)^2(0.10)(0.90)}{(0.04)^2} =\frac{3.8416\times 0.09}{0.0016} =216.09$$

本題考查對比例的假設檢定 (Hypothesis Test for Proportion) 及 p-value 的判斷。

檢定假設：
$H_0: p = 0.5$ (母體中偶數的比例為 0.5)
$H_1: p \neq 0.5$ (母體中偶數的比例不為 0.5)
這是雙尾檢定 (two-tailed test)。

樣本資訊：
總樣本數 $n = 2000$。
樣本中偶數的個數為 960。
樣本比例 $\hat{p} = \frac{960}{2000} = 0.48$。

檢定統計量：
當 $n$ 足夠大時 (例如 $n\hat{p} \ge 10$ 且 $n(1-\hat{p}) \ge 10$)，我們可以使用 Z 檢定。
$n\hat{p} = 2000 \times 0.48 = 960 \ge 10$
$n(1-\hat{p}) = 2000 \times (1 - 0.48) = 2000 \times 0.52 = 1040 \ge 10$
條件滿足。

Z 檢定統計量為：
$Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}$
其中 $p_0$ 是虛無假設中的比例值。

代入數值：
$p_0 = 0.5$
$\hat{p} = 0.48$
$n = 2000$

$Z = \frac{0.48 - 0.5}{\sqrt{\frac{0.5 \times (1-0.5)}{2000}}}$
$Z = \frac{-0.02}{\sqrt{\frac{0.5 \times 0.5}{2000}}}$
$Z = \frac{-0.02}{\sqrt{\frac{0.25}{2000}}}$
$Z = \frac{-0.02}{\sqrt{0.000125}}$
$Z = \frac{-0.02}{0.0111803}$
$Z \approx -1.78885$

核心觀念

本題考查「母體平均數假設檢定的樣本數規劃」。已知：

• 雙尾檢定：$H_0:\mu=120$ vs. $H_1:\mu\neq120$
• 顯著水準：$\alpha=0.05$
• 母體標準差規劃值：$\sigma=5$
• 當真實平均產量為 $\mu_1=117$ 時，希望檢定力為 $1-\beta=0.98$
• 因此，$\beta=0.02$

雙尾檢定的樣本數公式為：

$$n=\left[ \frac{(Z_{\alpha/2}+Z_{\beta})\sigma}{|\mu_1-\mu_0|} \right]^2$$

其中，$|\mu_1-\mu_0|$ 為實際平均數與標準值之差。

解題方法

由於顯著水準為 $0.05$，且採雙尾檢定，因此：

$$Z_{\alpha/2}=Z_{0.025}=1.96$$

題目指定：

$$Z_{0.02}=2.05$$

標準值與規劃下的真實平均數差距為：

$$|\mu_1-\mu_0|=|117-120|=3$$

代入樣本數公式：

$$n= \left[ \frac{(1.96+2.05)(5)}{3} \right]^2$$

本題考查的是民意調查中常用的誤差範圍 (Margin of Error)。這是一個經驗性或實務性的問題，而非純粹的計算題。

在民意調查中，為了得到具有一定精確度的結果，通常會設定一個誤差範圍。這個誤差範圍與信賴水準、母體比例的變異性以及樣本數有關。

一般來說，民意調查的目標是能夠代表整體人口，但由於抽樣的限制，結果總會存在一定的誤差。常見的誤差範圍 (Margin of Error, E) 決定了估計值 $\hat{p}$ 與真實比例 $p$ 之間的差距，即 $|\hat{p} - p| \le E$。

大型專業機構進行的民意調查，為了在可接受的成本下獲得較為精確的結果，通常會採用一個相對較小的誤差範圍。
常見的誤差範圍設定會考量到：

• 信賴水準 (Confidence Level)：通常是 95% 或 99%。
• 樣本數 (Sample Size)：為了達到較小的誤差範圍，需要足夠大的樣本數。對於比例估計，若無先驗資訊，通常使用 $p=0.5$ 來計算最大所需樣本數。
• 預期比例 (Estimated Proportion)：如果對比例有預期，可以提高效率。

在實務中，一個常見的誤差範圍是在 2% 到 5% 之間。
例如，如果一個民調顯示某候選人支持率為 50%，其誤差範圍為 $\pm 3\%$，那麼真實支持率可能在 47% 到 53% 之間。

我們來分析選項：
A. 0.01~0.02 (1%2%)：這個誤差範圍非常小，通常需要非常大的樣本數。
B. 0.020.03 (2%3%)：這是一個比較常見的範圍，尤其是在有較大樣本數的情況下。
C. 0.030.04 (3%~4%)：這也是一個常見的範圍，尤其是在樣本數不是極大的情況下。

本題考查獨立性檢定 (Test of Independence)，使用卡方檢定 (Chi-squared Test)。

檢定假設：
$H_0$: 年齡 (青少年/成人) 與飲料偏好 (咖啡/軟性飲料) 是獨立的。
$H_1$: 年齡與飲料偏好之間存在關聯 (不獨立)。

檢定統計量：卡方統計量 $\chi^2$ 的計算公式為：
$\chi^2 = \sum_{i} \sum_{j} \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}$
其中：

• $O_{ij}$ 是實際觀察到的次數 (Observed frequency) 在第 $i$ 列 (飲料) 和第 $j$ 行 (年齡) 的組合。
• $E_{ij}$ 是在虛無假設成立下，預期的次數 (Expected frequency) 在第 $i$ 列和第 $j$ 行的組合。

計算預期次數 $E_{ij}$：
預期次數的計算公式為：
$E_{ij} = \frac{(\text{列總計}) \times (\text{行總計})}{\text{總計}}$

我們有以下觀察次數表：

	Teens (j=1)	Adults (j=2)	Row Total
Coffee (i=1)	10	40	50
Soft Drinks (i=2)	30	20	50
Column Total	40	60	100

計算預期次數 $E_{ij}$：
$E_{11}$ (咖啡, 青少年) $= \frac{50 \times 40}{100} = 20$
$E_{12}$ (咖啡, 成人) $= \frac{50 \times 60}{100} = 30$

本題考查變異數分析 (Analysis of Variance, ANOVA) 的結果判讀，特別是 F 檢定的決策。

已知資訊：

• SSTR (Sum of Squares Treatment or Between Groups) = 6750
• SSE (Sum of Squares Error or Within Groups) = 8000
• 虛無假設 $H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = \mu_4$ (所有母體平均數相等)
• 對立假設 $H_a$: 至少有一個母體平均數不同
• 樣本數 $n=5$ (每個母體抽取 5 個樣本)
• 顯著水準 $\alpha = 0.05$
• F 分布的臨界值 $F_{3,16; 0.05} = 3.24$

計算 F 統計量：
ANOVA 的 F 統計量是組間均方 (Mean Square Treatment, MSTR) 與組內均方 (Mean Square Error, MSE) 的比值。
$F = \frac{MSTR}{MSE}$

首先，計算 MSTR 和 MSE。
MSTR $= \frac{SSTR}{df_{treatment}}$
MSE $= \frac{SSE}{df_{error}}$

計算自由度：

• 組間自由度 $df_{treatment} = k - 1$，其中 $k$ 是組數 (母體數)。這裡 $k=4$ (μ₁, μ₂, μ₃, μ₄)。

本題考查迴歸分析 (Regression Analysis) 中的 F 檢定統計量計算。F 檢定用於檢定整個迴歸模型的顯著性，即檢定至少有一個自變數的迴歸係數不為零。

已知資訊：

• 迴歸線方程式：$\hat{y} = 12 + 1.8x$ (雖然方程式本身不直接用於計算 F 統計量，但斜率 $b_1=1.8$ 是重要的)
• 樣本數 $n = 17$
• SSR (Sum of Squares due to Regression) = 225
• SSE (Sum of Squares Error) = 75
• $S_{b_1}$ (標準誤 of the slope coefficient) = 0.2683

計算 F 統計量：
F 統計量的計算公式為：
$F = \frac{MSR}{MSE}$
其中：

• MSR (Mean Square due to Regression) $= \frac{SSR}{df_{regression}}$
• MSE (Mean Square Error) $= \frac{SSE}{df_{error}}$

計算自由度：

• 迴歸自由度 $df_{regression} = k$，其中 $k$ 是自變數的個數。在此簡單線性迴歸中，$k=1$。
  $df_{regression} = 1$。

核心觀念

本題給定五組配對資料：

$$(X_i,Y_i)=(6,6),(11,8),(15,12),(18,20),(20,30)$$

主要考查兩變數的：

• 共變異數（covariance）
• 相關係數（correlation coefficient）
• 線性關聯方向與強度
• 簡單線性迴歸的斜率

由於題目未提供選項，無法逐一判定各選項；以下列出本題資料可確定的統計量與正確結論。

---

解題方法

先計算平均數：

$$\bar X=\frac{6+11+15+18+20}{5}=14$$ $$\bar Y=\frac{6+8+12+20+30}{5}=15.2$$

整理離均差如下：

$X_i$	$Y_i$	$X_i-\bar X$	$Y_i-\bar Y$	$(X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y)$
6	6	-8	-9.2	73.6
11	8	-3	-7.2	21.6
15	12	1	-3.2	-3.2
18	20	4	4.8	19.2
20	30	6	14.8	88.8

因此：

$$\sum (X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y)=200$$

且

$$\sum (X_i-\bar X)^2 =64+9+1+16+36=126$$ $$\sum (Y_i-\bar Y)^2 =84.64+51.84+10.24+23.04+219.04=388.8$$

---

共變異數

若採用樣本共變異數：

$$s_{XY} =\frac{\sum (X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y)}{n-1} =\frac{200}{4}=50$$

若採用母體共變異數：

$$\sigma_{XY} =\frac{200}{5}=40$$

無論採用分母 $n-1$ 或 $n$，共變異數皆為正，因此 $X$ 與 $Y$ 呈正向關係。

---

相關係數

相關係數為：

$$r= \frac{\sum (X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y)} {\sqrt{\sum (X_i-\bar X)^2\sum (Y_i-\bar Y)^2}}$$

代入數值：

$$r= \frac{200}{\sqrt{126(388.8)}} \approx 0.904$$

所以：

本題考查最小平方法 (Least Squares Method) 估計迴歸直線的截距 (y-intercept)。

首先，我們需要根據給定的數據計算迴歸直線。
數據點：(x, y)
(2, 4), (1, 3), (4, 4), (3, 6), (5, 8)
這裡的變數名稱是 v 和 x，我們將其視為 Y 和 X。

計算基本統計量：
n = 5
$\sum X = 2+1+4+3+5 = 15$
$\sum Y = 4+3+4+6+8 = 25$
$\bar{X} = \frac{15}{5} = 3$
$\bar{Y} = \frac{25}{5} = 5$

$\sum X^2 = 2^2 + 1^2 + 4^2 + 3^2 + 5^2 = 4 + 1 + 16 + 9 + 25 = 55$
$\sum Y^2 = 4^2 + 3^2 + 4^2 + 6^2 + 8^2 = 16 + 9 + 16 + 36 + 64 = 141$
$\sum XY = (2 \times 4) + (1 \times 3) + (4 \times 4) + (3 \times 6) + (5 \times 8)$
$\sum XY = 8 + 3 + 16 + 18 + 40 = 85$

計算 $SS_{xx}$, $SS_{yy}$, $SS_{xy}$：
$SS_{xx} = \sum X^2 - \frac{(\sum X)^2}{n} = 55 - \frac{15^2}{5} = 55 - \frac{225}{5} = 55 - 45 = 10$

本題是接續上一題，要求計算 F 檢定統計量。

我們從上一題獲得的資訊：

• $n = 5$
• $SSR = 10$
• $SSE = 6$
• $df_{regression} = 1$ (簡單線性迴歸)
• $df_{error} = n - 2 = 5 - 2 = 3$

計算 F 統計量：
$F = \frac{MSR}{MSE}$
MSR $= \frac{SSR}{df_{regression}} = \frac{10}{1} = 10$
MSE $= \frac{SSE}{df_{error}} = \frac{6}{3} = 2$

$F = \frac{MSR}{MSE} = \frac{10}{2} = 5$

本題考查迴歸分析中的相關係數 (Coefficient of Correlation) 計算，以及其與 SSE 和 SST 的關係。

已知資訊：

• 迴歸方程式：$\hat{y} = 12 - 6x$。這表示斜率 $b_1 = -6$。
• SSE (Sum of Squares Error) = 510
• SST (Total Sum of Squares) = 1000

計算決定係數 ($R^2$)：
決定係數 $R^2$ 是 SSR (Sum of Squares Regression) 與 SST 的比值。
$R^2 = \frac{SSR}{SST}$
我們知道 $SST = SSR + SSE$。
所以，$SSR = SST - SSE = 1000 - 510 = 490$。

核心觀念

1. 簡單線性迴歸模型（Simple Linear Regression, SLR）：
   母體迴歸模型為 $y = \beta_0 + \beta_1 x + \varepsilon$，樣本估計式為：
   $\hat{y} = b_0 + b_1 x$
   其中 $b_0$ 為截距項估計值，$b_1$ 為斜率估計值。

2. 斜率顯著性檢定（Test of Significance for Slope）：
   檢定自變數 $x$ 對因變數 $y$ 是否具有顯著的線性影響力：
   $H_0: \beta_1 = 0 \quad \text{vs.} \quad H_1: \beta_1 \neq 0$
   檢定統計量（$t$ 統計量）為：
   $t = \frac{b_1 - 0}{s_{b_1}}$
   其中 $s_{b_1}$ 為斜率估計值 $b_1$ 的樣本標準誤（Standard Error of $b_1$）。在 $H_0$ 為真的條件下，該統計量服從自由度為 $df = n - 2$ 的 $t$ 分配，即 $t \sim t(n-2)$。

3. $t$ 檢定與變異數分析（ANOVA）之對應關係：
   在簡單線性迴歸中，對斜率進行的雙尾 $t$ 檢定與整體模式之 $F$ 檢定完全等價，滿足：
   $t^2 = F = \frac{\text{MSR}}{\text{MSE}}$

---

解題方法

1. 提取已知條件：

   • 估計迴歸方程式：$\hat{y} = 12 + 1.8x \implies b_0 = 12,\; b_1 = 1.8$
   • 樣本數：$n = 17$
   • 迴歸平方和：$\text{SSR} = 225$
   • 殘差平方和：$\text{SSE} = 75$
   • 斜率標準誤：$s_{b_1} = 0.2683$

2. 計算 $t$ 統計量：
   將樣本斜率 $b_1 = 1.8$ 及標準誤 $s_{b_1} = 0.2683$ 直接代入檢定公式：

核心觀念

本題考的是迴歸分析中的「高槓桿值」（high leverage）。當某筆資料的自變數 $x$ 遠離其他觀測值的 $x$ 分布中心時，該觀測值會對迴歸線的位置與斜率產生較大的潛在影響，此種衡量 $x$ 值是否異常的指標稱為 leverage。

在簡單線性迴歸中，第 $i$ 筆觀測值的槓桿值為：

$$h_{ii}=\frac{1}{n}+\frac{(x_i-\bar{x})^2}{\sum_{j=1}^{n}(x_j-\bar{x})^2}$$

其中：

• $n$ 為樣本數；
• $x_i$ 與 $\bar{x}$ 的距離越大，$h_{ii}$ 越大；
• $h_{ii}$ 大表示該筆資料在自變數方向具有較大的影響潛力。

因此，題目所說的「unusual $x$ value」正是判斷 leverage 的關鍵線索。

解題方法

題目問的是：辨識「異常的 $x$ 值」對迴歸結果影響程度的衡量方式。

判斷重點如下：

1. 只關注自變數 $x$ 是否遠離其他 $x$ 值，使用 leverage。
2. 若同時考慮觀測值刪除後對迴歸係數、預測值的整體影響，才使用 Cook's D。
3. 因此，本題應選擇專門衡量異常 $x$ 位置的指標。

選項分析

本題考查複迴歸分析 (Multiple Regression Analysis) 中，F 檢定統計量的自由度。F 檢定用於評估整個迴歸模型是否顯著。

已知資訊：

• 自變數個數 $k = 3$。
• 總觀測數 $n = 47$。

F 檢定的自由度由兩部分組成：分子自由度 (numerator degrees of freedom) 和分母自由度 (denominator degrees of freedom)。

1. 分子自由度 ($df_1$)：
   分子自由度等於迴歸模型的自變數個數。
   $df_1 = k = 3$。

本題考查複迴歸分析中，F 檢定的決策以及模型顯著性的判斷。

已知資訊：

• 迴歸模型：$\hat{y} = 30 + 0.7x_1 + 3x_2$
• 自變數個數 $k = 2$ (年齡 $x_1$ 和性別 $x_2$)
• 總觀測數 $n = 30$
• SST (Total Sum of Squares) = 1200
• SSE (Sum of Squares Error) = 384
• 顯著水準 $\alpha = 0.05$
• 臨界 F 值 $F_{2,27; 0.05} = 3.35$

計算 F 統計量：
F 統計量用於檢定整個迴歸模型的顯著性。
$F = \frac{MSR}{MSE}$
MSR $= \frac{SSR}{df_{regression}}$
MSE $= \frac{SSE}{df_{error}}$

首先，計算自由度：

• $df_{regression} = k = 2$
• $df_{error} = n - k - 1 = 30 - 2 - 1 = 27$
  (注意：題目給的臨界值 $F_{2,27; 0.05}$ 與我們計算的自由度 $(2, 27)$ 相符。)

計算 SSR：
$SSR = SST - SSE = 1200 - 384 = 816$

計算 MSR 和 MSE：
MSR $= \frac{SSR}{df_{regression}} = \frac{816}{2} = 408$
MSE $= \frac{SSE}{df_{error}} = \frac{384}{27} \approx 14.222$

本題要求根據提供的迴歸分析輸出結果，判斷關於模型和變數顯著性的正確敘述。

首先，分析 ANOVA 表和係數表。
ANOVA 表：

• Regression df = 2：表示有 2 個自變數 ($k=2$)。
• Residual df = 9：表示誤差自由度 $n - k - 1 = 9$。
• Total df = 11：表示總自由度 $n - 1 = 11$。
  從 Total df = 11，我們可以推斷樣本數 $n = 11 + 1 = 12$。
  從 Residual df = 9，且 $k=2$，則 $n - k - 1 = 12 - 2 - 1 = 9$，這與 Residual df 相符。
  所以，樣本數 $n=12$。
• Significance F = 0.0000：這是迴歸模型的 P 值。由於 P 值 (0.0000) 非常小，遠小於顯著水準 $\alpha = 0.05$，因此迴歸模型是顯著的。

係數表：

• Intercept:
  • Coefficients = 118.5059
  • P-value = 0.0064。由於 0.0064 < 0.05，截距項顯著。
• x₁:
  • Coefficients = -0.0163
  • P-value = 0.6176。由於 0.6176 > 0.05，自變數 $x_1$ 不顯著。
• x₂:

本題要求計算決定係數 ($R^2$)。決定係數衡量了自變數能夠解釋應變數變異的比例。

從上一題的 ANOVA 表中，我們獲得了以下資訊：

• SSR (Sum of Squares due to Regression) = 118.8474
• SST (Total Sum of Squares) = 131.9167
• SSE (Sum of Squares Error) = 13.0692

核心觀念

本題考查多元線性迴歸分析中**變異數分析表（ANOVA Table）**的自由度分配、平方和拆解，以及判定係數（$R^2$）或統計量的計算：

1. 自由度（Degrees of Freedom, df）之關係：
   設樣本數為 $n$，自變數個數為 $k$（不含截距項）：

   • 迴歸自由度：$df_{\text{Regression}} = k$
   • 殘差（誤差）自由度：$df_{\text{Residual}} = n - k - 1$
   • 總自由度：$df_{\text{Total}} = n - 1 = df_{\text{Regression}} + df_{\text{Residual}}$

2. 平方和（Sum of Squares, SS）與均方（Mean Square, MS）之關係：

   • 總平方和：$SST = SSR + SSE$
   • 殘差均方（誤差變異）：$MSE = \dfrac{SSE}{df_{\text{Residual}}} \implies SSE = MSE \times df_{\text{Residual}}$
   • 迴歸均方：$MSR = \dfrac{SSR}{df_{\text{Regression}}}$

3. $F$ 檢定統計量與判定係數（$R^2$）：

   • 全體模型顯著性之檢定統計量：$F = \dfrac{MSR}{MSE}$
   • 判定係數：$R^2 = \dfrac{SSR}{SST} = 1 - \dfrac{SSE}{SST}$

---

解題方法

由題意可知：

• 樣本數 $n = 20$
• 自變數個數 $k = 5$
• 殘差均方 $MSE = 30$
• 總平方和 $SST = 990$（題表中 Total 之 SS 欄對應數值）

依序推導 ANOVA 表之各項數值：

1. 求自由度（df）：

   • $df_{\text{Regression}} = k = 5$
   • $df_{\text{Residual}} = n - k - 1 = 20 - 5 - 1 = 14$
   • $df_{\text{Total}} = n - 1 = 20 - 1 = 19$（亦即 $5 + 14 = 19$）

2. 求平方和（SS）與均方（MS）：

   • 殘差平方和： $$SSE = df_{\text{Residual}} \times MSE = 14 \times 30 = 420$$
   • 迴歸平方和： $$SSR = SST - SSE = 990 - 420 = 570$$
   • 迴歸均方： $$MSR = \dfrac{SSR}{df_{\text{Regression}}} = \dfrac{570}{5} = 114$$

3. 求檢定統計量 $F$ 與判定係數 $R^2$：

   • $F$ 統計量： $$F = \dfrac{MSR}{MSE} = \dfrac{114}{30} = 3.80$$
   • 判定係數 $R^2$：

核心觀念

殘差對配適值圖（standardized residuals vs. fitted values）主要用來檢查殘差是否大致以 $0$ 為中心、散布幅度是否固定，以及是否出現離群點或系統性型態。若配適值增加時，殘差的上下散布範圍也變大，表示可能有異質變異。

標準化殘差可用來辨認離群點；絕對值超過約 $3$，通常視為離群警訊。

解題方法

觀察圖中橫軸配適值由約 $69$ 增至 $76$ 時，殘差的垂直散布範圍也大致擴大：較低配適值附近的殘差多集中在 $0$ 周圍，較高配適值附近則出現更大的正、負殘差。因此圖形呈現殘差變異隨配適值增加而擴大的跡象，符合選項 C 的描述。

圖中另有標準化殘差約為 $4$ 及低於 $-3$ 的點，顯示存在離群警訊；殘差整體仍大致圍繞 $0$，沒有明顯顯示平均數假設違反。

選項分析

本題考查 Durbin-Watson (DW) 檢定的虛無假設。

Durbin-Watson 檢定主要用於檢測時間序列資料或迴歸模型中的殘差自相關 (autocorrelation)，特別是一階正相關 (positive autocorrelation)。

DW 檢定的檢定統計量 $d$ 的計算公式為：
$d = \frac{\sum_{t=2}^{n} (e_t - e_{t-1})^2}{\sum_{t=1}^{n} e_t^2}$
其中 $e_t$ 是第 $t$ 期（或第 $t$ 個觀測值）的殘差。

DW 檢定的目的是檢定殘差之間是否存在一階自相關。
虛無假設 $H_0$ 是殘差之間沒有一階自相關（或自相關係數為零）。
對立假設 $H_1$ 是殘差之間存在一階自相關。

在 Durbin-Watson 檢定中，我們通常檢定的是殘差的自相關係數 $\rho$。

• $H_0: \rho = 0$ (沒有一階自相關)

核心觀念

自我相關（autocorrelation）是指迴歸模型的誤差項在不同時間點之間具有相關性，亦即：

$$\operatorname{Cov}(\varepsilon_t,\varepsilon_{t-k})\neq 0$$

其中 $k$ 表示落後期數。最常見的一階自我相關模型為 AR(1)：

$$\varepsilon_t=\rho\varepsilon_{t-1}+Z_t$$

其中：

• $\rho$ 為一階自我相關係數，通常要求 $|\rho|<1$；
• $Z_t$ 為白噪音，滿足 $E(Z_t)=0$、$\operatorname{Var}(Z_t)=\sigma_Z^2$，且不同期間彼此不相關；
• $\rho\neq 0$ 時，當期誤差 $\varepsilon_t$ 會與前一期誤差 $\varepsilon_{t-1}$ 相關。

因此，本題是在辨認一階自我相關誤差項的正確模型表示法。

解題方法

直接比對各選項與 AR(1) 誤差模型：

$$\varepsilon_t=\rho\varepsilon_{t-1}+Z_t$$

正確模型必須同時包含：

1. 前一期誤差項 $\varepsilon_{t-1}$；
2. 自我相關係數 $\rho$；
3. 當期新的隨機擾動 $Z_t$。

缺少 $Z_t$ 時，模型無法表達每一期新加入的隨機誤差，因此不是完整的誤差生成模型。

選項分析

A. the error terms are modelled as $\varepsilon=\rho\varepsilon_{t-1}$

此式不正確。

完整的一階自我相關模型應為：

$$\varepsilon_t=\rho\varepsilon_{t-1}+Z_t$$

A 選項缺少白噪音項 $Z_t$，表示當期誤差完全由前一期誤差決定，沒有新的隨機擾動。這不是標準的 AR(1) 誤差模型。

此外，符號也應寫成當期誤差 $\varepsilon_t$，而非未標示時間下標的 $\varepsilon$。

本題考查在一般線性模型 (General Linear Model) 中加入變數 $z = x_1 x_2$ 的目的，以及這種效應的名稱。

當我們在迴歸模型中加入兩個自變數乘積的項 ($x_1 x_2$) 時，其目的是捕捉這兩個變數「共同作用」或「交互作用」的效果。

分析選項：
A. multiplicative effect (乘法效應)：
$z = x_1 x_2$ 本身就是一個乘法關係。當我們將這個乘積項加入模型時，它確實體現了 $x_1$ 和 $x_2$ 之間的乘法關係。

B. interaction effect (交互作用效應)：
在迴歸分析中，當一個自變數的效應（斜率）取決於另一個自變數的值時，就稱之為交互作用。例如，在模型 $y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \beta_3 (x_1 x_2) + \epsilon$ 中，$\beta_3$ 項捕捉了 $x_1$ 和 $x_2$ 之間的交互作用。它表示 $x_1$ 對 $y$ 的影響程度取決於 $x_2$ 的值（反之亦然）。加入 $x_1 x_2$ 項正是為了檢驗和量化這種交互作用。

C. dual choice effect (雙重選擇效應)：
這個術語通常不直接用於描述迴歸模型中的交互作用。它可能與選擇理論或離散選擇模型有關。

本題考查在處理變異數非恆定 (non-constant variance) 問題時，所使用的變數轉換 (transformation) 方法，特別是「reciprocal transformation」。

非恆定變異數（異質性，Heteroscedasticity）是迴歸分析中的一個常見問題，它違反了殘差變異數恆定的假設。常見的處理方法包括：

1. 變數轉換 (Variable Transformation)：對應變數 $y$ 或自變數 $x$ 進行轉換，使其滿足變異數恆定的假設。
2. 加權最小平方法 (Weighted Least Squares, WLS)：如果變異數的模式已知，可以對觀測值進行加權。

題目問的是「reciprocal transformation」。Reciprocal 的意思是「倒數」。

• 倒數轉換通常是指對變數取倒數。
• 在處理非恆定變異數問題時，常見的轉換包括：
  • 對應變數 $y$ 取對數：$\ln(y)$
  • 對應變數 $y$ 取平方根：$\sqrt{y}$
  • 對應變數 $y$ 取倒數：$1/y$
  • 對應變數 $y$ 取倒數的平方：$1/y^2$

題目問的是「reciprocal transformation」意味著什麼。
「Reciprocal」指的就是倒數。
所以，這個轉換應該是對某個變數取倒數。

選項分析：
A. 1/x as the independent variable instead of x：將自變數 $x$ 轉換為 $1/x$。

本題考查複迴歸分析中，F 檢定統計量的計算，用於比較兩個模型的顯著性，即檢定新增的自變數是否顯著提升模型的解釋力。

已知資訊：

• 總觀測數 $n = 7$。
• 模型 1 (簡單迴歸)：$y = 0.408 + 1.338x_1$。
  • SSE₁ (SSE for Model 1) = 39.535。
  • 自變數個數 $k_1 = 1$。
  • $df_{error1} = n - k_1 - 1 = 7 - 1 - 1 = 5$。
• 模型 2 (複迴歸)：$y = 0.805 + 0.498x_1 - 0.477x_2$。
  • SSE₂ (SSE for Model 2) = 1.015。
  • 自變數個數 $k_2 = 2$。
  • $df_{error2} = n - k_2 - 1 = 7 - 2 - 1 = 4$。

我們要計算的是 F 檢定統計量，用於檢定模型 2 相對於模型 1 是否有顯著的改進。這通常稱為聯合顯著性檢定 (Joint Significance Test) 或增量 F 檢定 (Extra F-test)。

F 統計量的計算公式為：
$F = \frac{(SSE_1 - SSE_2) / (df_{error1} - df_{error2})}{SSE_2 / df_{error2}}$
或者可以寫成：

本題考查指數平滑法 (Exponential Smoothing) 的預測計算。

指數平滑法的預測公式為：
$\hat{Y}_{t+1} = \alpha Y_t + (1-\alpha) \hat{Y}_t$
其中：

• $\hat{Y}_{t+1}$ 是下一期 (t+1) 的預測值。
• $Y_t$ 是當期 (t) 的實際值。
• $\hat{Y}_t$ 是當期 (t) 的預測值。
• $\alpha$ 是平滑常數 (smoothing constant)，$0 \le \alpha \le 1$。

題目給定的資訊：

• 實際值 $Y_t = 61$ (這是當期 t 的實際需求)。
• 當期預測值 $\hat{Y}_t = 58$ (這是當期 t 的預測值)。

本題考查指數平滑法 (Exponential Smoothing) 與樸素預測法 (Naive Forecast) 的關係，以及平滑常數 $\alpha$ 的選擇。

樸素預測法 (Naive Forecast) 的預測公式為：
$\hat{Y}_{t+1} = Y_t$
也就是說，下一期的預測值等於當期的實際值。

指數平滑法的預測公式為：
$\hat{Y}_{t+1} = \alpha Y_t + (1-\alpha) \hat{Y}_t$

我們要找到哪個 $\alpha$ 值能使指數平滑法等於樸素預測法。
也就是說，我們希望：
$\alpha Y_t + (1-\alpha) \hat{Y}_t = Y_t$

這個等式需要對所有可能的 $\alpha, Y_t, \hat{Y}_t$ 都成立。
讓我們嘗試簡化這個等式。

核心觀念

本題考查多元迴歸模型中的變數選取程序（Variable Selection Procedures），特別是**逐步迴歸法（Stepwise Regression）**的納入（Enter）與剔除（Remove/Leave）準則。

1. 基本原理：
   逐步迴歸結合了「向前選取法（Forward Selection）」與「向後剔除法（Backward Elimination）」。每一步驟在考慮加入新變數的同時，也會重新檢驗已存在於模型中的變數是否仍具統計顯著性。
2. 檢定依據：
   • 評估單一變數對模型的邊際貢獻，通常使用**部分 $F$ 檢定（Partial $F$-test）**或等價的 $t$ 檢定。
   • 檢定統計量所對應的 $p$ 值（$p\text{-value}$）越小，代表該變數對解釋應變數 $Y$ 的額外貢獻越顯著；$p$ 值越大，代表該變數越不顯著。
3. 決策準則：
   • 進入模型（Enter）：在模型外的所有候選變數中，挑選邊際貢獻最大、最顯著的變數進入，即選取 $p$ 值最小（或 Partial $F$ 最大）且小於門檻值（$\alpha_{\text{enter}}$）者。
   • 移出模型（Leave/Remove）：在模型內的所有現存變數中，檢驗邊際貢獻最小、最不顯著的變數是否應剔除，即選取 $p$ 值最大（或 Partial $F$ 最小）且大於門檻值（$\alpha_{\text{remove}}$）者。

---

解題方法

判斷逐步迴歸中變數「進」與「出」的切入點：

1. 進入原則（Forward step）：
   目的是引進「最有解釋力」的新變數。統計上即比較模型外各變數加入時的顯著性，尋找最小的 $p$ 值（對應最大的 $F$ 統計量）。
2. 剔除原則（Backward step）：
   目的是移除「最沒有解釋力（或因其他變數加入後共線性增加而失去顯著性）」的變數。統計上即比較模型內各變數被移除時的顯著性，尋找最大的 $p$ 值（對應最小的 $F$ 統計量）。

對照題目選項，B 選項正確描述了模型內變數被剔除（leave）的候選條件。

---

選項分析