113 年 國立中山大學企業管理學系碩士甲班甲組《商用統計學》

本題主要在測試對各種統計圖表的理解與應用。

• 選項 (A)：散佈圖（scatterplot）主要用於顯示兩個數值型變數之間的關係，以判斷是否存在相關性，而非兩個類別型變數。因此，(A) 錯誤。
• 選項 (B)：圓餅圖（pie chart）適合用來顯示單一類別變數的比例或構成，不適合用來比較數值型變數的平均值。比較數值型變數的平均值，通常使用長條圖（bar chart）或箱型圖（box-plot）等。因此，(B) 錯誤。

核心觀念

本題考查「樣本」與「母體」的區別，以及樣本平均數在推論統計中的意義。

• 樣本平均數：用樣本資料計算出的平均數，公式為

$$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}$$

• 母體平均數：全體應試學生分數的真正平均數，通常以 $\mu$ 表示。除非掌握全體資料，否則不能直接得知。
• 點估計：以樣本統計量估計未知的母體參數。樣本平均數 $\bar{x}$ 是母體平均數 $\mu$ 的常用點估計量。

本題的五位學生是「樣本」，而所有參加考試的學生則是「母體」。

解題方法

先計算五位學生的樣本平均數：

$$\bar{x} =\frac{72+65+82+90+76}{5} =\frac{385}{5} =77$$

因此，樣本平均成績確實為 $77$。接著判斷各選項是否正確區分了「樣本描述」與「母體推論」。

選項分析

(A) The average midterm grade for the sample of five students is 77

五位學生的成績平均數為

$$\bar{x}=77$$

此敘述正確，因為它描述的是已知樣本資料的實際平均數。

(A) 正確。

(B) The average midterm grade for all students who took the exam is 77

所有應試學生的平均成績屬於母體平均數 $\mu$。題目只提供五位學生的樣本資料，沒有提供所有應試學生的成績，因此無法直接斷定母體平均數恰為 $77$。

樣本平均數等於 $77$，不代表母體平均數必然等於 $77$。

(B) 錯誤。

(C) An estimate of the average midterm grade for all students who took the exam is 77

本題需要計算樣本的相關統計量，並與母體中位數進行比較，同時判斷資料的分布特徵。

首先，將樣本資料按從小到大排序：
53, 55, 63, 67, 73, 75, 77, 80, 83, 85, 93, 106, 108, 118, 124
樣本數 $n = 15$。

計算樣本中位數 (Median)
中位數是排序後位於中間位置的數值。對於 $n=15$ 的樣本，中位數是第 $\frac{n+1}{2} = \frac{15+1}{2} = 8$ 個數。
排序後的第 8 個數是 80。
所以，樣本中位數是 80 (千美元)。

• 選項 (A)：美國全國中位數是 $85,000。 Atlanta 樣本的中位數是$80,000。 $80,000 相較於$85,000 是較低的，而不是「lightly higher」。因此，(A) 錯誤。

計算樣本平均數 (Mean)
將所有數值加總：
$53 + 55 + 63 + 67 + 73 + 75 + 77 + 80 + 83 + 85 + 93 + 106 + 108 + 118 + 124 = 1260$
樣本平均數 $\bar{x} = \frac{1260}{15} = 84$ (千美元)。

• 選項 (B)：樣本平均數是

核心觀念

本題考查互斥事件、獨立事件、條件機率與補事件的定義。

• 互斥事件：$X\cap Y=\varnothing$，所以 $P(X\cap Y)=0$。
• 獨立事件：$P(X\cap Y)=P(X)P(Y)$；若 $P(X)>0$，也可寫成 $P(Y\mid X)=P(Y)$。
• 聯集機率：一般情況下，
  $P(X\cup Y)=P(X)+P(Y)-P(X\cap Y).$
• 補事件：$Y$ 是 $X$ 的補事件，須同時滿足 $X\cap Y=\varnothing$ 與 $X\cup Y=\Omega$，其中 $\Omega$ 是樣本空間。

解題方法

逐一將各選項與定義、公式對照。特別注意：互斥代表交集機率為零；獨立代表交集機率等於兩事件機率的乘積，兩者是不同條件。題目問「不正確」的描述，因此找出與定義不符的選項。

選項分析

(A) 不正確。
若 $X$ 與 $Y$ 互斥，則 $P(X\cap Y)=0$。選項卻稱交集機率等於 $P(X)P(Y)$；這只有在 $P(X)P(Y)=0$ 時才成立，並非互斥事件的一般性質。例如 $P(X)=0.4$、$P(Y)=0.3$ 且兩事件互斥時，$P(X\cap Y)=0$，但 $P(X)P(Y)=0.12$。

本題在於辨識哪些是連續機率分布，哪些是離散機率分布。

• 連續機率分布 (Continuous Probability Distributions)：其機率值是定義在一個連續的區間上，其機率密度函數（PDF）在任何單一點的值為零，機率是透過積分來計算。
• 離散機率分布 (Discrete Probability Distributions)：其機率值是定義在有限個或可數無限個離散點上，其機率是透過機率質量函數（PMF）直接給出。

我們逐一檢視選項：

• (A) Normal probability distribution (常態分布)：這是最典型的連續機率分布，其機率密度函數是一個鐘形曲線，定義在整個實數線上。因此，(A) 是連續分布。

• (B) Poisson probability distribution (卜瓦松分布)：卜瓦松分布用於描述在固定時間或空間內，隨機發生的事件次數。例如，某時段內到達商店的顧客數。

核心觀念

本題考查全機率定理與貝氏定理。先依年齡層計算各群體占美國總人口的比例，再將各年齡層的未投保率或已投保率加權合併。

令 $U$ 表示「未投保」、$I$ 表示「已投保」，並將年齡分成未滿 18 歲、18–64 歲、65 歲以上三組。已知三組人口比例分別為

$$P(\text{未滿18歲})=0.228,\quad P(\text{18--64歲})=0.614,\quad P(\text{65歲以上})=1-0.228-0.614=0.158$$

各組未投保率為 $0.051$、$0.124$、$0.011$，因此各組已投保率分別為 $0.949$、$0.876$、$0.989$。

解題方法

各年齡組互斥且涵蓋全部人口。計算某事件的總機率時，將每組人口比例乘上該組發生事件的機率，再加總。

未投保的總機率為

$$\begin{aligned} P(U) &=P(\text{未滿18歲})P(U\mid\text{未滿18歲})\\ &\quad+P(\text{18--64歲})P(U\mid\text{18--64歲})\\ &\quad+P(\text{65歲以上})P(U\mid\text{65歲以上})\\ &=(0.228)(0.051)+(0.614)(0.124)+(0.158)(0.011)\\ &=0.011628+0.076136+0.001738\\ &=0.089502\approx 0.090 \end{aligned}$$

未投保且 65 歲以上的聯合機率為

$$P(\text{65歲以上}\cap U)=(0.158)(0.011)=0.001738$$

所以在未投保者中，65 歲以上的條件機率為

$$P(\text{65歲以上}\mid U) =\frac{P(\text{65歲以上}\cap U)}{P(U)} =\frac{0.001738}{0.089502} \approx 0.019$$

已投保總機率為

本題考驗對三個標準骰子（六面骰）擲出點數總和的機率計算。
三個骰子的總點數範圍是 $1+1+1=3$ 到 $6+6+6=18$。
總共有 $6 \times 6 \times 6 = 216$ 種可能的組合。

我們需要計算特定總點數出現的組合數。

• 選項 (A)：$P[Y=1]$。
  三個骰子的最小總點數是 $1+1+1=3$。因此，總點數為 1 的機率是 0。
  所以，(A) 錯誤。

• 選項 (B)：$P[Y=3]$。
  要使總點數為 3，只有一種組合：(1, 1, 1)。
  所以，組合數是 1。
  $P[Y=3] = \frac{1}{216}$。
  選項給的是 $3/216$，所以 (B) 錯誤。

• 選項 (C)：$P[Y=18]$。
  要使總點數為 18，只有一種組合：(6, 6, 6)。
  所以，組合數是 1。
  $P[Y=18] = \frac{1}{216}$。

本題考驗對常態分布的理解與計算，包括點機率、累積分機率以及百分位數的應用。
假設顧客停留時間 $X \sim N(\mu=1, \sigma=0.4)$。

• 選項 (A)：The probability that a customer stays for exact 1 hour is 0.5;
  對於連續機率分布（如常態分布），任何單一點的機率都為零。即 $P(X=1) = 0$。
  選項 (A) 說 $P(X=1) = 0.5$，這是錯誤的。
  （注意：如果題目問的是中位數，則 $P(X \le 1) = 0.5$。但這裡問的是「exact 1 hour」）。

• 選項 (B)：The probability that a customer stays for more than 2 hours is 0.0228;
  我們需要計算 $P(X > 2)$。
  首先，將 X 標準化為 Z 分數：
  $Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{2 - 1}{0.4} = \frac{1}{0.4} = 2.5$
  所以，$P(X > 2) = P(Z > 2.5)$。
  查標準常態分布表（Z-table）， $P(Z \le 2.5) = 0.9938$。
  因此，$P(Z > 2.5) = 1 - P(Z \le 2.5) = 1 - 0.9938 = 0.0062$。
  選項 (B) 說 $P(X > 2) = 0.0228$，這是錯誤的。
  (0.0228 是 $P(Z > 2)$ 的值，即 $Z=2$ 時 $1 - 0.9772 = 0.0228$。)

核心觀念

題目描述「到達彼此獨立、等長時間區間的到達機率相同，且平均到達率固定」，符合卜瓦松分配（Poisson distribution）。

令 $X$ 表示任意 10 分鐘內到達的車輛數，則平均到達率為

$$\lambda=4$$

因此：

$$X\sim \operatorname{Poisson}(4)$$

卜瓦松分配的機率公式為

$$P(X=x)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!},\qquad x=0,1,2,\ldots$$

且其平均數與變異數皆為 $\lambda$：

$$E(X)=\lambda=4,\qquad \operatorname{Var}(X)=\lambda=4$$

所以標準差為

$$\sigma_X=\sqrt{\lambda}=2$$

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選項分析

（A）錯誤

「少於 2 輛」表示 $X<2$，也就是 $X=0$ 或 $X=1$：

$$\begin{aligned} P(X<2) &=P(X=0)+P(X=1)\\ &=e^{-4}\frac{4^0}{0!}+e^{-4}\frac{4^1}{1!}\\ &=e^{-4}(1+4)\\ &=5e^{-4}\\ &\approx 0.0916 \end{aligned}$$

並非 $0.2381$，故（A）錯誤。

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（B）錯誤

「5 輛以上」表示 $X\geq 5$，使用補事件：

$$P(X\geq 5)=1-P(X\leq 4)$$

其中

$$\begin{aligned} P(X\leq 4) &=\sum_{x=0}^{4}\frac{e^{-4}4^x}{x!}\\ &=e^{-4}\left( 1+4+\frac{4^2}{2!}+\frac{4^3}{3!}+\frac{4^4}{4!} \right)\\ &=e^{-4}\left(1+4+8+\frac{64}{6}+\frac{256}{24}\right)\\ &\approx 0.6288 \end{aligned}$$

因此

$$P(X\geq 5)=1-0.6288=0.3712$$

並非 $0.7815$，故（B）錯誤。

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（C）正確

本題考驗對統計檢定中第一類錯誤、第二類錯誤與檢定力的定義。

• 虛無假設 (Null Hypothesis, $H_0$)：檢定中要被證偽的命題。
• 對立假設 (Alternative Hypothesis, $H_a$)：檢定中支持的命題。

在進行統計檢定時，有四種可能的情況：

1. $H_0$ 為真，我們接受 $H_0$。 (正確的決策)
2. $H_0$ 為真，我們拒絕 $H_0$。 (第一類錯誤，Type I Error)
3. $H_0$ 為偽，我們接受 $H_0$。 (第二類錯誤，Type II Error)
4. $H_0$ 為偽，我們拒絕 $H_0$。 (正確的決策)

第一類錯誤 (Type I Error)：當虛無假設實際上為真時，卻拒絕了虛無假設。其機率通常用 $\alpha$ 表示。
第二類錯誤 (Type II Error)：當虛無假設實際上為偽時，卻未能拒絕（即接受）虛無假設。其機率通常用 $\beta$ 表示。

本題主要考驗對信賴區間（Confidence Interval, CI）的計算與解釋，以及假設檢定的概念。
已知資訊：

• 母體標準差 $\sigma = 0.02$ 加侖
• 樣本大小 $n = 64$
• 樣本平均數 $\bar{x} = 0.99$ 加侖

由於母體標準差 $\sigma$ 已知，且樣本大小 $n=64$ 夠大（$n \ge 30$），我們可以使用 Z 分布來計算信賴區間。

計算 99% 信賴區間 (CI)
信賴區間的公式為： $\bar{x} \pm Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
對於 99% 的信賴水準，$\alpha = 1 - 0.99 = 0.01$。
$\alpha/2 = 0.005$。
查 Z 分布表，使得右尾機率為 0.005 的 $Z$ 值為 $Z_{0.005} = 2.576$ (或 2.575)。我們使用 2.576。
標準誤 (Standard Error, SE) $= \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{0.02}{\sqrt{64}} = \frac{0.02}{8} = 0.0025$。
邊際誤差 (Margin of Error, ME) $= Z_{\alpha/2} \cdot SE = 2.576 \cdot 0.0025 = 0.00644$。

99% CI $= \bar{x} \pm ME = 0.99 \pm 0.00644$
下限 $= 0.99 - 0.00644 = 0.98356$
上限 $= 0.99 + 0.00644 = 0.99644$
所以，99% CI 是 (0.98356, 0.99644)。

• 選項 (A)：The 99% CI estimate ... is (0.9385~1.0415);
  這個區間範圍太寬，計算錯誤。因此，(A) 錯誤。
• 選項 (B)：The 99% CI estimate ... is (0.98360.9964);
  我們計算出的 CI 是 (0.98356, 0.99644)。選項 (B) 的範圍 (0.98360.9964) 非常接近，四捨五入後一致。因此，(B) 正確。

進行假設檢定
題目提到「店主沒有理由相信其體積與 1.0 加侖不同」。這暗示進行假設檢定，檢定母體平均數 $\mu$ 是否等於 1.0 加侖。
虛無假設 $H_0: \mu = 1.0$
對立假設 $H_a: \mu \neq 1.0$
顯著水準 $\alpha = 0.01$。

我們計算檢定統計量 $Z_{test}$：
$Z_{test} = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{0.99 - 1.0}{0.0025} = \frac{-0.01}{0.0025} = -4$。

臨界值：由於是雙尾檢定，臨界值為 $Z_{\alpha/2} = Z_{0.005} = \pm 2.576$。
因為 $|Z_{test}| = |-4| = 4 > 2.576$，我們拒絕虛無假設 $H_0$。
這表示有足夠證據顯示，母體平均容量與 1.0 加侖不同。

• 選項 (C)：Given the significance level of 0.01, the store owner has no reason to believe that the volume is different from 1.0 gallon;
  由於我們在 $\alpha=0.01$ 的水準下拒絕了 $H_0: \mu=1.0$，這表示店主「有理由相信」體積與 1.0 加侖不同。
  因此，(C) 敘述「沒有理由相信」是錯誤的。

• 選項 (D)：Since the population standard deviation is known and n=64, from the central
  limit theorem we may assume that the population of amount of paint per can is approximately
  normally distributed;

本題考驗對變異數分析 (ANOVA) 的基本假設、假設檢定形式、以及事後檢定 (post-hoc test) 的理解。

ANOVA 的基本假設通常包括：

1. 獨立性 (Independence)：各組樣本必須是獨立抽樣的。
2. 常態性 (Normality)：各組母體的資料應近似於常態分布。
3. 變異數同質性 (Homogeneity of Variances)：各組母體的變異數應相等（或近似相等）。

我們逐一檢視選項：

• 選項 (A)：One assumption of ANOVA is that all samples are drawn independently;
  這是 ANOVA 的一項基本假設。因此，(A) 正確。

• 選項 (B)：One assumption of ANOVA is that the variances of the populations are equal;
  這也是 ANOVA 的一項基本假設（變異數同質性）。因此，(B) 正確。

• 選項 (C)：Suppose four groups are compared, the null hypothesis is µ1= µ2= µ3
  = µ4, while the alternative hypothesis is µ1≠ μ2≠ μ3 ≠ µ4;
  在進行單因子 ANOVA 時，虛無假設 ($H_0$) 是所有組別的母體平均數都相等，即 $\mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = \mu_4$。
  對立假設 ($H_a$) 是至少有一個母體平均數與其他不同。

本題考驗對兩個數值型變數（身高、體重）之間關係的探索與分析方法的選擇。

• 選項 (A)：Conduct a line chart to visualize their association;
  線圖（line chart）通常用於顯示數據隨時間變化的趨勢，或用於連接一系列有序的數據點。對於身高和體重這兩個變數之間的關聯性，線圖不是最合適的視覺化工具。散佈圖（scatterplot）是更適合的選擇。因此，(A) 錯誤。

• 選項 (B)：Estimate a correlation coefficient, which ranges from -1 to +1;
  相關係數（correlation coefficient）用於衡量兩個數值型變數之間線性關係的強度和方向。其值介於 -1 到 +1 之間，-1 表示完全負相關，+1 表示完全正相關，0 表示無線性相關。因此，(B) 是適當的方法。

• 選項 (C)：Conduct a t-test to compare whether height and weight are statistically different;
  t 檢定（t-test）通常用於比較一個樣本的平均數與已知值（單樣本 t 檢定）或比較兩個樣本的平均數（獨立樣本 t 檢定或配對樣本 t 檢定）。
  這裡我們有兩個變數：身高和體重。進行 t 檢定來比較「身高」和「體重」這兩個變數本身是否統計上不同，這種說法不清晰，也非標準用法。我們通常不會直接比較一個人的身高值和體重值，除非有特定的研究目的。

本題考驗對中央極限定理（Central Limit Theorem, CLT）的理解。CLT 是統計學中一個非常重要的定理，它說明了當樣本量足夠大時，樣本平均數的抽樣分布會近似於常態分布。

CLT 的核心內容和推論包括：

1. 樣本平均數的分布趨近常態：無論母體分布為何，只要樣本量 $n$ 足夠大（通常 $n \ge 30$），樣本平均數 $\bar{x}$ 的抽樣分布就會近似於常態分布。
2. 樣本平均數的期望值：樣本平均數的期望值等於母體平均數，即 $E(\bar{x}) = \mu$。
3. 樣本平均數的標準差（標準誤）：樣本平均數的標準差（稱為標準誤, Standard Error, SE）等於母體標準差除以樣本量的平方根，即 $SE(\bar{x}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。

我們逐一檢視選項：

• 選項 (A)：As the sample size increases, the distribution of the sample means will approach a normal distribution;
  這是 CLT 的核心結論之一。當樣本量 $n$ 增加時，樣本平均數 $\bar{x}$ 的抽樣分布會越來越接近常態分布。因此，(A) 正確。

本題考驗對假設檢定的應用，特別是單樣本 t 檢定，包括檢定統計量的計算、自由度、p 值、臨界值以及決策規則。

已知資訊：

• 虛無假設 $H_0: \mu \le 20$
• 對立假設 $H_a: \mu > 20$ (這是一個右尾檢定)
• 樣本大小 $n = 25$
• 樣本平均數 $\bar{x} = 21$
• 樣本標準差 $s = 2.5$
• 顯著水準 $\alpha = 0.05$

由於母體標準差 $\sigma$ 未知，且樣本大小 $n=25$（不大於 30），我們使用單樣本 t 檢定。

• 選項 (A)：The t-test is appropriate for the statistic testing and the computed statistic is 2;
  t 檢定是適當的，因為 $\sigma$ 未知。
  計算 t 檢定統計量：
  $t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$
  其中 $\mu_0$ 是虛無假設中的邊界值，在此為 20。
  $t = \frac{21 - 20}{2.5 / \sqrt{25}} = \frac{1}{2.5 / 5} = \frac{1}{0.5} = 2$。
  計算出的 t 統計量是 2。
  因此，(A) 正確。

• 選項 (B)：The degree of freedom is 25;
  單樣本 t 檢定的自由度（degree of freedom, df）是 $df = n - 1$。
  在此，$df = 25 - 1 = 24$。
  選項 (B) 說自由度是 25，這是錯誤的。

• 選項 (C)：The p-value <0.05;
  首先，我們要找到臨界值。由於這是右尾檢定，且 $\alpha = 0.05$，我們需要查找自由度為 24 的 t 分布表中，右尾機率為 0.05 的 t 值。
  查 t 分布表（Right-tailed Cumulative Student's t Distribution），df=24，$\alpha=0.05$ 的值是 1.711。
  我們的計算統計量 $t = 2$。

核心觀念

本題考查「列聯表的卡方獨立性檢定」，用來判斷公司規模與聘僱計畫是否具有關聯。

• 虛無假設：公司規模與聘僱計畫相互獨立。
• 對立假設：公司規模與聘僱計畫具有關聯。
• 期望次數公式：

$$E_{ij}=\frac{(\text{第 }i\text{ 列合計})(\text{第 }j\text{ 欄合計})}{\text{總樣本數}}$$

• 卡方統計量：

$$\chi^2=\sum\frac{(O-E)^2}{E}$$

其中 $O$ 為觀察次數，$E$ 為期望次數。

自由度公式為：

$$df=(r-1)(c-1)$$

本題有 $r=3$ 列、$c=2$ 欄，因此：

$$df=(3-1)(2-1)=2$$

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解題方法與計算

各格期望次數如下：

	Mid-size	Small size
Add Employees	$\frac{40\times41}{100}=16.4$	$\frac{40\times59}{100}=23.6$
No Change	$\frac{30\times41}{100}=12.3$	$\frac{30\times59}{100}=17.7$
Lay-off Employee	$\frac{30\times41}{100}=12.3$	$\frac{30\times59}{100}=17.7$

因此卡方統計量為：

本題考驗對樣本比例（sample proportion, $\hat{p}$）的抽樣分布的理解，包括期望值、標準誤、分布形態，以及相關機率的計算。
題目給定：

• 母體比例 $p = 0.4$
• 樣本大小 $n = 100$
• 樣本比例用 $\hat{p}$ 表示。

1. 樣本比例的期望值和標準誤
對於從母體比例 $p$ 中抽取樣本大小為 $n$ 的樣本，樣本比例 $\hat{p}$ 的抽樣分布具有以下性質：

• 期望值 $E(\hat{p}) = p$

• 標準誤 $SE(\hat{p}) = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

• 選項 (A)：The expected value of p=0.4;
  這裡的 $p$ 指的是母體比例，而 $\hat{p}$ 是樣本比例。選項寫成 $E(p)=0.4$，這應該是指 $E(\hat{p}) = p = 0.4$。
  因為 $E(\hat{p}) = p$，所以選項 (A) 正確。

• 選項 (B)：The standard error of p = 0.049;
  這裡的 $p$ 應指樣本比例 $\hat{p}$ 的標準誤。
  $SE(\hat{p}) = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} = \sqrt{\frac{0.4(1-0.4)}{100}} = \sqrt{\frac{0.4 \times 0.6}{100}} = \sqrt{\frac{0.24}{100}} = \sqrt{0.0024}$
  $\sqrt{0.0024} \approx 0.04898979 \approx 0.049$。
  所以，(B) 正確。

2. 樣本比例的抽樣分布形態
當 $np \ge 10$ 且 $n(1-p) \ge 10$ 時，樣本比例 $\hat{p}$ 的抽樣分布近似於常態分布。
在此，$np = 100 \times 0.4 = 40 \ge 10$。
$n(1-p) = 100 \times (1-0.4) = 100 \times 0.6 = 60 \ge 10$。
因此，$\hat{p}$ 的抽樣分布近似於常態分布，其期望值為 $E(\hat{p}) = p = 0.4$，標準差（標準誤）為 $SE(\hat{p}) \approx 0.049$。

• 選項 (C)：The sampling distribution of p follows a normal distribution with E(p) = 0.4 and $s_{\hat{p}}$ = 0.049;
  這裡的 $p$ 應該是指 $\hat{p}$。$E(\hat{p})=0.4$ 是正確的。
  $s_{\hat{p}}$ 是標準誤的符號，我們計算得到約為 0.049。
  所以，(C) 正確。

核心觀念

本題考查完全隨機設計下的單因子變異數分析（one-way ANOVA），目的在檢定三個處理的母體平均數是否相同。

假設為：

$$H_0:\mu_A=\mu_B=\mu_C$$ $$H_1:\text{至少有一組平均數不同}$$

ANOVA 將總變異分解為：

$$SS_T=SS_B+SS_W$$

其中：

• $SS_B$：組間平方和，衡量三組平均數彼此的差異。
• $SS_W$：組內平方和，衡量各組觀測值在組內的變異。
• $MS=SS/df$。
• 檢定統計量為：

$$F=\frac{MS_B}{MS_W}$$

若 $F>F_{0.05,\,k-1,\,N-k}$，則拒絕 $H_0$。

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解題方法與計算

本題有三組處理，每組樣本數為 $n=6$，因此：

$$k=3,\qquad N=18$$

三組樣本平均數為：

$$\bar{x}_A=156,\qquad \bar{x}_B=142,\qquad \bar{x}_C=134$$

總平均數為：

$$\bar{x}_{..} =\frac{6(156)+6(142)+6(134)}{18} =144$$

1. 計算組間平方和 $SS_B$

公式為：

$$SS_B=\sum_{i=1}^{k}n_i(\bar{x}_i-\bar{x}_{..})^2$$

因此：

$$\begin{aligned} SS_B &=6(156-144)^2+6(142-144)^2+6(134-144)^2\\ &=6(12^2)+6((-2)^2)+6((-10)^2)\\ &=864+24+600\\ &=1488 \end{aligned}$$

組間自由度：

$$df_B=k-1=3-1=2$$

組間均方：

$$MS_B=\frac{SS_B}{df_B} =\frac{1488}{2} =744$$

所以題目中的①應為：

$$\boxed{①=744}$$

2. 計算組內平方和 $SS_W$

每組的樣本變異數分別為：

$$s_A^2=164.4,\qquad s_B^2=131.2,\qquad s_C^2=110.4$$

組內平方和公式為：

$$SS_W=\sum_{i=1}^{k}(n_i-1)s_i^2$$

因此：

$$\begin{aligned} SS_W &=5(164.4)+5(131.2)+5(110.4)\\ &=822+656+552\\ &=2030 \end{aligned}$$

組內自由度：

$$df_W=N-k=18-3=15$$

組內均方：

$$MS_W=\frac{SS_W}{df_W} =\frac{2030}{15} =135.333$$

所以：

$$\boxed{②=135.333}$$

3. 計算總平方和

$$SS_T=SS_B+SS_W=1488+2030=3518$$

總自由度：

$$df_T=N-1=18-1=17$$

ANOVA 表主要數值如下：

變異來源	SS	df	MS	F
組間	1488	2	744	5.498
組內	2030	15	135.333
總和	3518	17

本題考驗對簡單線性迴歸模型（Simple Linear Regression Model）的經典假設（通常稱為 OLS 假設）的理解。
模型為 $y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \epsilon_i$，其中 $y_i$ 是依變數，$x_i$ 是自變數，$\beta_0$ 是截距，$\beta_1$ 是斜率，$\epsilon_i$ 是誤差項。

經典假設包括：

1. 線性關係 (Linearity)：依變數與自變數之間的關係是線性的。
2. 誤差項的平均值為零 (Zero Mean Error)：誤差項 $\epsilon_i$ 的期望值為零，即 $E(\epsilon_i) = 0$。
3. 誤差項的同質變異數 (Homoscedasticity)：誤差項的變異數對於所有的 $x_i$ 值都是恆定的，即 $Var(\epsilon_i) = \sigma^2$。
4. 誤差項的獨立性 (Independence of Errors)：誤差項 $\epsilon_i$ 彼此之間是獨立的。
5. 誤差項的常態性 (Normality of Errors)：誤差項 $\epsilon_i$ 服從常態分布，即 $\epsilon_i \sim N(0, \sigma^2)$。
6. (對於推論統計) 無解釋變數是誤差項的線性組合，以及解釋變數的變異數大於零。

我們逐一檢視選項：

• 選項 (A)：The error term (E) is a random variable with a mean or expected value of zero;
  這是迴歸分析的標準假設之一。誤差項的期望值為零，即 $E(\epsilon_i) = 0$。因此，(A) 正確。

本題考驗對複迴歸分析（Multiple Linear Regression）結果的解讀，包括決定係數（R-square）、均方（MS）、標準誤、以及係數的顯著性檢定。

已知資訊：

• 迴歸方程：$\hat{y} = 8.13 + 7.602x_1 + 3.111x_2$
• SSR (Sum of Squares due to Regression) = 1612
• SSE (Sum of Squares due to Error) = 134.67
• $s_{b_1}$ (Standard error of $\beta_1$ estimate) = 2.105
• $s_{b_2}$ (Standard error of $\beta_2$ estimate) = 0.613
• 樣本數 $n = 15$
• 顯著水準 $\alpha = 0.05$

1. 計算總平方和 (SST) 和決定係數 (R-square)
SST (Total Sum of Squares) = SSR + SSE
SST = 1612 + 134.67 = 1746.67

R-square (決定係數) $= \frac{SSR}{SST} = \frac{1612}{1746.67} \approx 0.92288$
將 R-square 轉換為百分比：$0.92288 \times 100\% \approx 92.3\%$。

• 選項 (A)：R-square=92.3%;
  計算結果與選項 (A) 相符。因此，(A) 正確。

2. 計算均方 (Mean Squares)

• 迴歸均方 (MSR)：$MSR = \frac{SSR}{df_{Regression}}$
  在複迴歸中，$df_{Regression}$ 等於自變數的個數。這裡有 $x_1$ 和 $x_2$ 兩個自變數，所以 $df_{Regression} = 2$。
  $MSR = \frac{1612}{2} = 806$。
  選項 (B) 說 MSR = 806。因此，(B) 正確。

• 誤差均方 (MSE)：$MSE = \frac{SSE}{df_{Error}}$