115 年 國立中山大學企業管理學系碩士甲班甲組《商用統計學》

核心觀念

本題的隨機變數服從二項分配：

$$X\sim \operatorname{Binomial}(5,p)$$

其機率質量函數為：

$$P(X=x)=\binom{5}{x}p^x(1-p)^{5-x}$$

需掌握三個重點：

1. 二項分配的期望值為
   $E(X)=5p$
2. 二項分配參數 $p$ 的最大概似估計量為
   $\hat p=\frac{\bar X}{5}$
3. $P(X\ge 3)$ 的最大概似估計值，是將 $\hat p$ 代入該機率：
   $\widehat{P(X\ge 3)}=P_{\hat p}(X\ge 3)$

---

解題方法

一、計算樣本總和與樣本平均數

根據次數分配表：

$$\sum_{i=1}^{50}X_i =0(4)+1(10)+2(14)+3(12)+4(8)+5(2)$$ $$=0+10+28+36+32+10=116$$

因此：

$$\bar X=\frac{\sum X_i}{50} =\frac{116}{50}=2.32$$

---

二、求 $p$ 的最大概似估計值

樣本的概似函數可寫成：

$$L(p)=\prod_{i=1}^{50} \binom{5}{X_i}p^{X_i}(1-p)^{5-X_i}$$

忽略與 $p$ 無關的組合數部分，可得：

$$L(p)\propto p^{\sum X_i}(1-p)^{250-\sum X_i}$$

其對數概似函數為：

$$\ell(p)=\left(\sum X_i\right)\ln p+ \left(250-\sum X_i\right)\ln(1-p)+C$$

微分並令其等於零：

$$\frac{d\ell}{dp} =\frac{\sum X_i}{p} -\frac{250-\sum X_i}{1-p}=0$$

整理：

$$\left(\sum X_i\right)(1-p) =p\left(250-\sum X_i\right)$$ $$\sum X_i=250p$$

所以：

$$\hat p=\frac{\sum X_i}{250} =\frac{116}{250}=0.464$$

也可利用 $E(X)=5p$ 直接得到：

$$\hat p=\frac{\bar X}{5} =\frac{2.32}{5}=0.464$$

---

三、求 $P(X\ge 3)$ 的最大概似估計值

先寫出二項分配的尾端機率：

$$P(X\ge 3) =P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)$$

代入 $\hat p=0.464$，且 $1-\hat p=0.536$：

核心觀念

母體服從連續均勻分配：

$$X_i\sim U(1,5),\qquad i=1,\ldots,64$$

均勻分配 $U(a,b)$ 的重要公式為：

$$E(X)=\frac{a+b}{2}$$ $$Var(X)=\frac{(b-a)^2}{12}$$ $$SD(X)=\sqrt{Var(X)}$$

本題共有 $n=64$ 個觀察值。涉及 $n$ 的選項，應將 $X$ 解讀為樣本平均數：

$$\bar X=\frac{1}{64}\sum_{i=1}^{64}X_i$$

由於各觀察值獨立同分配：

$$E(\bar X)=E(X_i)$$ $$Var(\bar X)=\frac{Var(X_i)}{64}$$

且由中央極限定理，$n=64$ 時可用常態分配近似 $\bar X$ 的分配。

---

解題方法

先求單一觀察值 $X_i$ 的母體平均數與變異數：

$$E(X_i)=\frac{1+5}{2}=3$$ $$Var(X_i)=\frac{(5-1)^2}{12} =\frac{16}{12} =\frac{4}{3}$$

因此：

$$SD(X_i)=\sqrt{\frac{4}{3}} =\frac{2}{\sqrt 3} \approx 1.155$$

樣本平均數 $\bar X$ 的變異數為：

$$Var(\bar X)=\frac{Var(X_i)}{n} =\frac{4/3}{64} =\frac{1}{48}$$

所以：

$$SD(\bar X)=\sqrt{\frac{1}{48}} \approx 0.144$$

又因為 $n=64$，由中央極限定理：

$$\bar X\approx N\left(3,\frac{1}{48}\right)$$

---

選項分析

(A) $E(X)=3$

均勻分配 $U(1,5)$ 的平均數為：

$$E(X_i)=\frac{1+5}{2}=3$$

樣本平均數的期望值也等於母體平均數：

$$E(\bar X)=E(X_i)=3$$

因此 (A) 正確。

---

(B) $Var(X)=\frac{1}{48}$

單一觀察值的變異數為：

$$Var(X_i)=\frac{(5-1)^2}{12}=\frac{4}{3}$$

但樣本平均數的變異數為：

$$Var(\bar X)=\frac{4/3}{64}=\frac{1}{48}$$

因此本選項的 $X$ 應解讀為樣本平均數 $\bar X$，在本題脈絡下：

$$Var(\bar X)=\frac{1}{48}$$

本題考驗的是基於給定機率密度函數 (pdf) 的參數估計、期望值、變異數以及條件機率的計算。

隨機變數 $X$ 的 pdf 為 $f(x) = a + bx$，且 $0 \le x \le 1$。
我們知道 pdf 的基本性質：

1. $f(x) \ge 0$ 對所有 $x$。
2. $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$。

因為 pdf 定義在 $[0, 1]$ 區間，所以：
$\int_{0}^{1} (a + bx) dx = 1$
$[ax + \frac{b}{2}x^2]_0^1 = 1$
$a(1) + \frac{b}{2}(1)^2 - (a(0) + \frac{b}{2}(0)^2) = 1$
$a + \frac{b}{2} = 1$ (Equation 1)

題目已知 $E(X) = \frac{3}{5}$。
$E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx = \int_{0}^{1} x(a + bx) dx = \int_{0}^{1} (ax + bx^2) dx$
$E(X) = [\frac{a}{2}x^2 + \frac{b}{3}x^3]_0^1 = \frac{a}{2}(1)^2 + \frac{b}{3}(1)^3 - 0 = \frac{a}{2} + \frac{b}{3}$
所以，$\frac{a}{2} + \frac{b}{3} = \frac{3}{5}$ (Equation 2)

現在我們有一個聯立方程組來求解 $a$ 和 $b$:

1. $a + \frac{b}{2} = 1$
2. $\frac{a}{2} + \frac{b}{3} = \frac{3}{5}$

從 Equation 1，我們可以得到 $a = 1 - \frac{b}{2}$。
將此代入 Equation 2:
$\frac{1}{2}(1 - \frac{b}{2}) + \frac{b}{3} = \frac{3}{5}$
$\frac{1}{2} - \frac{b}{4} + \frac{b}{3} = \frac{3}{5}$
$\frac{b}{3} - \frac{b}{4} = \frac{3}{5} - \frac{1}{2}$
$\frac{4b - 3b}{12} = \frac{6 - 5}{10}$
$\frac{b}{12} = \frac{1}{10}$
$b = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$

現在將 $b = \frac{6}{5}$ 代回 $a = 1 - \frac{b}{2}$:
$a = 1 - \frac{1}{2}(\frac{6}{5}) = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$

所以，我們求得 $a = \frac{2}{5}$ 且 $b = \frac{6}{5}$。
pdf 為 $f(x) = \frac{2}{5} + \frac{6}{5}x$ for $0 \le x \le 1$.

在求解參數 $a$ 和 $b$ 的過程中，我們也順便檢查選項 (A)。
(A) $a=\frac{2}{5}$ and $b=\frac{2}{5}$。我們的計算結果是 $a=\frac{2}{5}$，$b=\frac{6}{5}$。所以選項 (A) 是錯誤的。

現在我們有了 pdf $f(x) = \frac{2}{5} + \frac{6}{5}x$ for $0 \le x \le 1$.

(B) 計算 $E(X^2)$：
$E(X^2) = \int_{0}^{1} x^2 f(x) dx = \int_{0}^{1} x^2 (\frac{2}{5} + \frac{6}{5}x) dx = \int_{0}^{1} (\frac{2}{5}x^2 + \frac{6}{5}x^3) dx$
$E(X^2) = [\frac{2}{5} \frac{x^3}{3} + \frac{6}{5} \frac{x^4}{4}]_0^1 = \frac{2}{15}(1)^3 + \frac{6}{20}(1)^4 - 0 = \frac{2}{15} + \frac{3}{10}$
$E(X^2) = \frac{4}{30} + \frac{9}{30} = \frac{13}{30}$
選項 (B) $E(X^2) = \frac{1}{2}$。 $\frac{1}{2} = \frac{15}{30}$。我們的計算結果是 $\frac{13}{30}$。所以選項 (B) 是錯誤的。

(E) 計算 $Var(X)$：
$Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
$Var(X) = \frac{13}{30} - (\frac{3}{5})^2 = \frac{13}{30} - \frac{9}{25}$

本題考驗中央極限定理的應用，包括樣本平均數的期望值與標準差，以及個別觀測值與樣本平均數的機率計算。

我們已知：
樣本數 $n = 6$
母體平均數 $\mu = 250$
母體標準差 $\sigma = 46$
母體分布為常態分布 $Y_i \sim N(\mu, \sigma^2)$，即 $Y_i \sim N(250, 46^2)$。

根據中央極限定理，當母體為常態分布時，樣本平均數 $\bar{Y}$ 的分布為：
$\bar{Y} \sim N(\mu_{\bar{Y}}, \sigma_{\bar{Y}}^2)$
其中：
$\mu_{\bar{Y}} = \mu = 250$
$\sigma_{\bar{Y}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{46}{\sqrt{6}}$

首先計算 $\sigma_{\bar{Y}}$：
$\sigma_{\bar{Y}} = \frac{46}{\sqrt{6}} \approx \frac{46}{2.4495} \approx 18.779$
選項 (E) $SD(\bar{Y}) \approx 18.78$。這與我們計算的 $\sigma_{\bar{Y}}$ 非常接近。因此，選項 (E) 是正確的。

接下來，我們計算選項 (A) 和 (B)，這是關於樣本平均數 $\bar{Y}$ 的機率。
我們要計算 $P(\bar{Y} > 260)$。
我們將 $\bar{Y}$ 標準化為標準常態變數 $Z = \frac{\bar{Y} - \mu_{\bar{Y}}}{\sigma_{\bar{Y}}}$。
$Z = \frac{\bar{Y} - 250}{18.779}$
當 $\bar{Y} = 260$ 時，
$Z = \frac{260 - 250}{18.779} = \frac{10}{18.779} \approx 0.5325$

本題考驗關於樣本統計量、標準誤、信賴區間以及信賴水準與樣本數關係的知識。

已知資訊：
樣本數 $n = 64$
樣本平均數 $\bar{x} = 52.5$
樣本標準差 $s = 7.8$
母體標準差 $\sigma = 8$ (已知)

(A) 計算標準誤 (Standard Error, SE)：
標準誤是樣本平均數的標準差，由於母體標準差 $\sigma$ 已知，我們使用公式：
$SE = \sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
$SE = \frac{8}{\sqrt{64}} = \frac{8}{8} = 1$
因此，選項 (A) 是正確的。

(B) 和 (D) 計算 95% 信賴區間 (Confidence Interval, CI) for $\mu$：
由於母體標準差 $\sigma$ 已知，我們使用 Z 分布來建構信賴區間。
CI = $\bar{x} \pm Z_{\alpha/2} \times SE$
對於 95% 的信賴水準，$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$，$\alpha/2 = 0.025$。
查標準常態分布表，對應 $Z_{0.025}$ 的值約為 1.96。
$SE = 1$ (從選項 A 計算得到)。
Margin of Error (MOE) = $Z_{\alpha/2} \times SE = 1.96 \times 1 = 1.96$。

CI = $52.5 \pm 1.96 \times 1$
CI = $52.5 \pm 1.96$
CI = $(52.5 - 1.96, 52.5 + 1.96)$
CI = $(50.54, 54.46)$
因此，選項 (B) 是正確的。
選項 (D) (49.42, 55.58) 是錯誤的。

(C) 計算邊際誤差 (Margin of Error, MOE)：
MOE = $Z_{\alpha/2} \times SE = 1.96 \times 1 = 1.96$。
選項 (C) 說邊際誤差是 1.64。這是錯誤的。 (1.64 是 90% 信賴區間的 $Z$ 值)

本題考驗簡單線性迴歸模型中的基本統計量計算，包括樣本平均數、相關係數、迴歸係數、判定係數以及假設檢定。

已知資訊：
樣本數 $n = 25$
$\sum X_i = 750$
$\sum Y_i = 2000$
$\sum X_i^2 = 23700$
$\sum Y_i^2 = 164800$
$\sum X_iY_i = 61800$
$t_{0.025,23} \approx 2.069$ (自由度為 $n-2 = 25-2 = 23$)

首先，我們計算樣本平均數 $\bar{X}$ 和 $\bar{Y}$。
$\bar{X} = \frac{\sum X_i}{n} = \frac{750}{25} = 30$
$\bar{Y} = \frac{\sum Y_i}{n} = \frac{2000}{25} = 80$
因此，選項 (A) $\bar{X} = 30$ and $\bar{Y} = 80$ 是正確的。

接下來，我們計算迴歸模型所需的統計量：
$SS_{XX} = \sum X_i^2 - n\bar{X}^2 = 23700 - 25 \times (30)^2 = 23700 - 25 \times 900 = 23700 - 22500 = 1200$
$SS_{YY} = \sum Y_i^2 - n\bar{Y}^2 = 164800 - 25 \times (80)^2 = 164800 - 25 \times 6400 = 164800 - 160000 = 4800$
$SS_{XY} = \sum X_iY_i - n\bar{X}\bar{Y} = 61800 - 25 \times 30 \times 80 = 61800 - 25 \times 2400 = 61800 - 60000 = 1800$

計算迴歸係數 $\beta$ (斜率) 和 $\alpha$ (截距)：
$\hat{\beta} = \frac{SS_{XY}}{SS_{XX}} = \frac{1800}{1200} = 1.5$
$\hat{\alpha} = \bar{Y} - \hat{\beta}\bar{X} = 80 - 1.5 \times 30 = 80 - 45 = 35$

本題延續上一題的簡單線性迴歸模型，考驗點預測、信賴區間與預測區間的計算與區別。

延續上一題的結果：
$\hat{Y} = 35 + 1.50X$
$\bar{X} = 30$, $\bar{Y} = 80$
$n = 25$
$SS_{XX} = 1200$
$SS_{XY} = 1800$
$SS_{YY} = 4800$
$r = 0.75$, $R^2 = 0.5625$
$t_{0.025,23} \approx 2.069$

(A) 點預測 (Point Prediction) 與信賴區間 (Confidence Interval) 的區別：
信賴區間 (Confidence Interval for the mean response) 是針對平均反應 $E(Y|X=X_0)$ 所建構的區間。
預測區間 (Prediction Interval for an individual new observation $Y_0$) 是針對單一個新的觀測值 $Y_0$ 所建構的區間。
預測區間的寬度通常比信賴區間寬，因為它包含了迴歸模型的隨機誤差 $\epsilon$ 的變異。
因此，選項 (A) 聲稱預測區間與信賴區間相同是錯誤的。

(C) 計算點預測 $\hat{Y}(34)$：
將 $X_0 = 34$ 代入迴歸方程式：
$\hat{Y}(34) = 35 + 1.50 \times 34 = 35 + 51 = 86$
因此，選項 (C) $\hat{Y}(34) = 86$ 是正確的。

(D) 關於 $R^2$：
在上一題中，我們計算出 $R^2 = 0.5625$。
選項 (D) $R^2 = 0.5625$ 是正確的。

(E) 計算 SSE (Sum of Squared Errors)：
SSE 是殘差平方和，它是 $SS_{YY}$ 在迴歸線下的部分。
$SSE = SS_{YY} - \hat{\beta} SS_{XY} = SS_{YY} - R^2 SS_{YY} = SS_{YY}(1-R^2)$
$SSE = 4800 - (0.5625) \times 4800$
$SSE = 4800 - 2700 = 2100$
或者，使用 $\hat{\beta} = 1.5$：
$SSE = 4800 - 1.5 \times 1800 = 4800 - 2700 = 2100$
選項 (E) $SSE = 2700$ 是錯誤的。

核心觀念

本題考查以下三個概念：

1. 獨立事件

   若 $B$ 與 $C$ 獨立，則
   $P(B\cap C)=P(B)P(C)=\frac15\cdot\frac15=\frac1{25}.$

   因此
   $P(C\mid B)=P(C)=\frac15.$

2. 條件機率

   $P(A\cap B\cap C)=P(A\mid B\cap C)P(B\cap C).$

3. 條件版本的全機率定理

   將事件 $C$ 依照 $B$ 與 $B^c$ 分割：

$$P(A\mid C) =P(A\mid B\cap C)P(B\mid C) +P(A\mid B^c\cap C)P(B^c\mid C).$$

---

解題方法

由於 $B$、$C$ 獨立，

$P(B\mid C)=P(B)=\frac15,$

且

$P(B^c\mid C)=1-P(B\mid C)=1-\frac15=\frac45.$

設

$x=P(A\mid B^c\cap C).$

套用條件版本的全機率定理：

$$P(A\mid C) = P(A\mid B\cap C)P(B\mid C) + P(A\mid B^c\cap C)P(B^c\mid C).$$

代入題目資料：

$$\frac15 = \frac1{10}\cdot\frac15+x\cdot\frac45.$$

因此

$$\frac15=\frac1{50}+\frac45x,$$ $$\frac45x=\frac15-\frac1{50} =\frac{10}{50}-\frac1{50} =\frac9{50},$$ $$x=\frac9{50}\cdot\frac54=\frac9{40}.$$

所以

$$P(A\mid B^c\cap C)=\frac9{40}.$$

接著計算 $P(A\cap C\mid B)$：

$$P(A\cap C\mid B) =\frac{P(A\cap B\cap C)}{P(B)}.$$

先求三事件交集：

$$P(A\cap B\cap C) =P(A\mid B\cap C)P(B\cap C) =\frac1{10}\cdot\frac1{25} =\frac1{250}.$$

因此

$$P(A\cap C\mid B) =\frac{1/250}{1/5} =\frac1{250}\cdot5 =\frac1{50}.$$

---

選項分析

本題考驗比例的信賴區間計算與相關概念。

題目給出兩次調查的比例：
事件發生前：樣本比例 $\hat{p}_1 = 0.09$。
事件發生後：樣本比例 $\hat{p}_2 = 0.06$。
樣本數 $n = 600$ (兩次調查都使用此樣本數)。

(B) 99% critical value：
對於常態分布，99% 的 critical value (Z 值) 是指 $P(Z > z_{\alpha/2}) = 0.005$。
查標準常態表，對應 $P(Z \le z) = 0.995$ 的 $z$ 值約為 2.576。
選項 (B) 說 99% critical value 是 1.96。1.96 是 95% 的 critical value ($P(Z \le 1.96) \approx 0.975$, $P(Z > 1.96) \approx 0.025$)。
因此，選項 (B) 是錯誤的。

(A) 計算標準誤 (Standard Error, SE)：
題目沒有明確指出是要計算哪個比例的標準誤，但通常在比較兩個比例時，會計算兩者差值的標準誤。
如果我們計算單一比例的標準誤，例如事件發生後的比例 $\hat{p}_2 = 0.06$：
$SE(\hat{p}_2) = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$。由於母體比例 $p$ 未知，我們使用樣本比例 $\hat{p}_2$ 來估計：
$SE(\hat{p}_2) \approx \sqrt{\frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n}} = \sqrt{\frac{0.06(1-0.06)}{600}} = \sqrt{\frac{0.06 \times 0.94}{600}} = \sqrt{\frac{0.0564}{600}} = \sqrt{0.000094} \approx 0.009695$
這個值非常接近選項 (A) 的 0.0097。因此，選項 (A) 是正確的。

(C) 和 (D)、(E) 計算 99% 信賴區間 (Confidence Interval, CI)：
由於題目沒有明確說明是要計算哪個比例的信賴區間，或者兩者差值的信賴區間。
但選項 (D) 和 (E) 的值（0.041, 0.079, 0.035, 0.085）看起來像是比例的信賴區間。
如果我們計算事件發生後比例 $\hat{p}_2 = 0.06$ 的 99% 信賴區間：
$CI = \hat{p}_2 \pm Z_{\alpha/2} \times SE(\hat{p}_2)$

本題考驗貝氏定理、條件機率與聯合機率的計算。

已知資訊：

1. $P(H) = 0.35$ (先驗機率，site 有 high wind potential 的機率)
2. 篩檢調查 (screening survey) 的可靠度是 85%。這表示：
   • 如果 site 確實有 high wind potential (H)，調查正確預測為 "high wind potential" (S) 的機率是 85%。即 $P(S|H) = 0.85$ (True Positive Rate, Sensitivity)。
   • 如果 site 沒有 high wind potential ($H^c$)，調查正確預測為 "no high wind potential" ($S^c$) 的機率是 85%。即 $P(S^c|H^c) = 0.85$ (True Negative Rate, Specificity)。

從這些資訊，我們可以推導出其他機率：
$P(H^c) = 1 - P(H) = 1 - 0.35 = 0.65$
$P(S^c|H) = 1 - P(S|H) = 1 - 0.85 = 0.15$ (False Negative Rate)
$P(S|H^c) = 1 - P(S^c|H^c) = 1 - 0.85 = 0.15$ (False Positive Rate)

現在我們來檢查各個選項：

(A) 計算 $P(S \cap H)$：
$P(S \cap H) = P(S|H) P(H)$
$P(S \cap H) = 0.85 \times 0.35 = 0.2975$
因此，選項 (A) 是正確的。

本題考驗對 Poisson process 的理解，特別是到達時間的指數分布性質，以及計算特定數量的到達時間機率。

Poisson process 的平均到達率為 $\lambda = 15$ customers per hour。
我們需要將速率轉換為每分鐘的到達率：
$\lambda_{\text{min}} = \frac{15 \text{ customers}}{60 \text{ minutes}} = 0.25$ customers per minute。

到達時間 (time until arrival) 服從指數分布 (Exponential distribution)。
若到達率為 $\lambda$，則時間 $T$ 的機率密度函數 (pdf) 為 $f(t) = \lambda e^{-\lambda t}$，累積分布函數 (CDF) 為 $F(t) = P(T \le t) = 1 - e^{-\lambda t}$。
反過來，$P(T > t) = e^{-\lambda t}$。

(A) 和 (B) 計算「等待超過 4 分鐘才等到第一位顧客」的機率。
這裡的「等待」是指從某個時間點開始算起，到第一位顧客到達的時間。假設我們從時間 0 開始計算。
對於 Poisson process，兩次到達之間的時間間隔服從指數分布。
設 $T_1$ 為第一位顧客到達的時間。
$T_1 \sim Exponential(\lambda_{\text{min}})$, 其中 $\lambda_{\text{min}} = 0.25$ per minute。
我們要計算 $P(T_1 > 4)$。
$P(T_1 > 4) = e^{-\lambda_{\text{min}} \times 4} = e^{-0.25 \times 4} = e^{-1}$
$e^{-1} \approx 0.367879$。
這個值非常接近選項 (B) 的 0.368。因此，選項 (B) 是正確的。
選項 (A) 0.223 是錯誤的。

(C), (D), (E) 計算「等待超過 20 分鐘才等到第 4 位顧客」的機率。
設 $T_k$ 為第 $k$ 位顧客到達的時間。
$T_k$ 是 $k$ 個獨立的指數分布隨機變數之和，其分布為 Gamma 分布。
$T_k \sim Gamma(k, \lambda_{\text{min}})$。

本題考驗假設檢定與信賴區間的基本概念，包括第一類錯誤、第二類錯誤、檢定力，以及信賴區間的解釋。

(A) 第一類錯誤 (Type I error)：
第一類錯誤發生在虛無假設 $H_0$ 為真時，我們卻拒絕了 $H_0$。
選項 (A) 說「當 $H_0$ 為真時，我們卻未能拒絕 $H_0$」。這描述的是第二類錯誤 (Type II error)。
因此，選項 (A) 是錯誤的。

(B) 第二類錯誤 (Type II error)：
第二類錯誤發生在虛無假設 $H_0$ 為假時，我們卻未能拒絕 $H_0$。
選項 (B) 說「當 $H_0$ 為假時，我們卻未能拒絕 $H_0$」。這準確地描述了第二類錯誤。
因此，選項 (B) 是正確的。

(C) 檢定力 (Power of a test)：
檢定力定義為在虛無假設 $H_0$ 為假時，正確拒絕 $H_0$ 的機率。
檢定力 $= P(\text{Reject } H_0 | H_0 \text{ is false})$。
第二類錯誤的機率是 $\beta = P(\text{Fail to reject } H_0 | H_0 \text{ is false})$。
因此，檢定力 $= 1 - \beta$。
選項 (C) 說「檢定力等於 $1-\beta$，即 $H_0$ 為假時拒絕 $H_0$ 的機率」。這準確地描述了檢定力。
因此，選項 (C) 是正確的。

本題考驗各種統計圖表的用途，特別是它們如何用來呈現單一量化變數的分布。

(A) Histogram (直方圖)：
直方圖將數據分成若干個區間 (bins)，並顯示每個區間內數據的頻率或相對頻率。它非常適合用來視覺化單一量化變數的分布形狀，如偏態、峰度、中心趨勢等。
因此，直方圖是典型的用於總結單一量化變數分布的圖表。

(B) Stem-and-leaf plot (莖葉圖)：
莖葉圖將數據分為「莖」(stem) 和「葉」(leaf)。它能夠顯示數據的數值範圍、中心趨勢、分布的離散程度，並且保留了原始數據的資訊（不像直方圖會將數據分組）。它也是用來呈現單一量化變數分布的圖表。
因此，莖葉圖是典型的用於總結單一量化變數分布的圖表。

(C) Box-and-whisker plot (boxplot, 盒鬚圖)：
盒鬚圖顯示數據的五個統計量：最小值、第一四分位數 (Q1)、中位數 (Q2)、第三四分位數 (Q3)、最大值，以及可能的離群值。它能快速呈現數據的中心、分散程度、偏態以及是否有離群值。

本題考驗隨機過程的期望值與變異數計算，特別是涉及多重狀態轉移和機率的決策。

我們需要定義狀態和轉移機率來建立模型。
設 $E(T)$ 為直到獲救的總時間的期望值。
設 $Var(T)$ 為直到獲救的總時間的變異數。

有兩種主要的路徑：

1. 選擇向東走 (East)。
2. 選擇向西走 (West)。

從地標開始，有兩種選擇：

• 向東走 (E)，機率 $P(E) = 0.5$。
  • 這種情況下，4 小時後回到地標，還未獲救。
  • 此時，總時間增加 4 小時，然後我們又回到了起點，需要重新開始決策。
• 向西走 (W)，機率 $P(W) = 0.5$。
  • 這種情況下，有兩種結果：
    • 獲救 (Rescued)，機率 $P(\text{Rescue}|W) = 0.3$。
      • 此時，時間增加 3 小時，並且獲救。總時間為 3 小時。
    • 未獲救 (Not Rescued)，機率 $P(\text{Not Rescued}|W) = 0.7$。
      • 此時，時間增加 6 小時，回到地標，未獲救。總時間增加 6 小時，然後我們又回到了起點，需要重新開始決策。

我們可以用期望值來建立方程。設 $E$ 為從地標開始直到獲救的總時間的期望值。
如果選擇向東走 (機率 0.5)，則增加 4 小時，然後又回到起點，需要再花費 $E$ 時間。所以總時間是 $4 + E$。
如果選擇向西走 (機率 0.5)：

• 若獲救 (機率 0.3)，則增加 3 小時，結束。總時間是 3 小時。
• 若未獲救 (機率 0.7)，則增加 6 小時，回到起點，需要再花費 $E$ 時間。所以總時間是 $6 + E$。

因此，我們可以寫出關於 $E$ 的方程：
$E = P(E) \times (\text{Time if East}) + P(W) \times (\text{Time if West})$
$E = 0.5 \times (4 + E) + 0.5 \times [0.3 \times 3 + 0.7 \times (6 + E)]$
$E = 0.5(4+E) + 0.5[0.9 + 0.7(6+E)]$
$E = 2 + 0.5E + 0.5[0.9 + 4.2 + 0.7E]$
$E = 2 + 0.5E + 0.5[5.1 + 0.7E]$
$E = 2 + 0.5E + 2.55 + 0.35E$
$E = 4.55 + 0.85E$
$E - 0.85E = 4.55$
$0.15E = 4.55$
$E = \frac{4.55}{0.15} = \frac{455}{15} = \frac{91}{3} \approx 30.333$

所以，選項 (B) $E(T)=30.33$ 是正確的。
選項 (A) $E(T)=16.74$ 是錯誤的。

接下來計算變異數 $Var(T)$。
這會比較複雜，因為我們需要考慮不同路徑的變異數。
設 $T_E$ 為向東走時的總時間， $T_W$ 為向西走時的總時間。
$T = T_{choices} + T_{after\_choice}$

Let's use the definition of variance: $Var(T) = E[T^2] - (E[T])^2$.
We need to calculate $E[T^2]$.
$E[T^2] = P(E) E[T^2|E] + P(W) E[T^2|W]$

本題考驗兩種抽樣方法下，隨機變數的變異數和機率計算。

樣本空間：總共有 8 個好燈泡 (G) 和 5 個壞燈泡 (D)，共 13 個燈泡。
我們從中選取 4 個燈泡。
$X$ 為選出的好燈泡數量。

情況一：無放回抽樣 (Without Replacement)
這是一個超幾何分布 (Hypergeometric distribution) 的情況。
總體大小 $N = 13$ (8 G + 5 D)
成功次數 $K = 8$ (好燈泡的數量)
抽樣數 $n = 4$
$X \sim Hypergeometric(N=13, K=8, n=4)$
$P(X=k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$

超幾何分布的變異數公式為：
$Var(X) = n \frac{K}{N} \frac{N-K}{N} \frac{N-n}{N-1}$
其中：
$N = 13$
$K = 8$
$n = 4$
$N-K = 13 - 8 = 5$
$N-n = 13 - 4 = 9$
$N-1 = 13 - 1 = 12$

$Var(X) = 4 \times \frac{8}{13} \times \frac{5}{13} \times \frac{9}{12}$
$Var(X) = 4 \times \frac{40}{169} \times \frac{9}{12}$
$Var(X) = \frac{160}{169} \times \frac{3}{4}$
$Var(X) = \frac{40}{169} \times 3 = \frac{120}{169}$
$\frac{120}{169} \approx 0.710059$

因此，選項 (B) If sampled without replacement, $Var(X)=0.710$ 是正確的。
選項 (A) $Var(X)=1.947$ 是錯誤的。

情況二：有放回抽樣 (With Replacement)
這是一個二項分布 (Binomial distribution) 的情況。
每次抽樣選到好燈泡的機率 $p = \frac{K}{N} = \frac{8}{13}$。
抽樣次數 $n = 4$。