112 年 國立中山大學企業管理學系碩士甲班乙組《商用統計學》

此題主要在考察統計學中關於資料類型、敘述統計、資料蒐集等基本概念的理解。

(A) 年齡層 (Age group) 屬於類別變數 (categorical variable)，因為它是將受試者分成不同的群組，例如年輕、中年、老年等，這些群組沒有數值上的順序或大小之分，即使我們可能會用數字代表，但其本質是類別。因此，此敘述正確。

(B) 以攝氏 (Celsius) 為單位的溫度是一個比例變數 (ratio variable)。比例變數具有固定的零點，且數值之間的比例有意義。例如，0°C 表示沒有溫度（但這與絕對零度不同，絕對零度才是比例變數的固定零點），而 20°C 是 10°C 的兩倍，這在比例變數下是有意義的。然而，攝氏溫度的零點並非絕對零度，因此嚴格來說，攝氏溫度是區間變數 (interval variable)，而不是比例變數 (ratio variable)。如果題目意指絕對溫度 (Kelvin)，那會是比例變數。

此題主要考察各種統計圖表的用途與特性。

(A) Stem-and-Leaf plot（莖葉圖）主要用於展示數值資料的分佈情況，特別是對於單一數值變數。它能同時顯示資料的集中趨勢、離散趨勢以及個別資料點。莖葉圖不適用於類別變數 (categorical variable)。因此，此敘述錯誤。

(B) Scatter diagram（散佈圖）是用來觀察兩個數值變數 (numerical variables) 之間關係的一種圖形。它能幫助我們判斷兩個變數是否存在線性關聯、正相關、負相關或無關聯，並可大致估計關聯的強度。因此，此敘述正確。

此題在考察用來衡量資料離散程度（變異性）的統計量。

(A) Geometric mean（幾何平均數）是一種用來計算一組數值平均值的指標，特別適用於計算成長率、利率等連乘的平均。它與變異性無關。因此，此敘述錯誤。

(B) Interquartile range（四分位距，IQR）是指第三四分位數 (Q3) 與第一四分位數 (Q1) 之差 ($Q_3 - Q_1$)。它衡量了中間 50% 資料的離散程度，是衡量變異性的指標之一，尤其對離群值較不敏感。因此，此敘述正確。

(C) Coefficient of variation（變異係數，CV）是以百分比表示的相對變異量，計算方式為標準差除以平均數 ($\frac{s}{\bar{x}}$ 或

此題考察機率論中的基本概念，包括獨立事件、互斥事件、條件機率、聯合機率與聯集機率的關係。

(A) 如果 X 和 Y 是互斥事件 (mutually exclusive)，則表示它們不能同時發生，即 $P(X \cap Y) = 0$。而 $P(X) \cdot P(Y)$ 通常只有在 X 和 Y 是獨立事件 (independent) 且 $P(X)>0, P(Y)>0$ 時才等於 $P(X \cap Y)$。因此，互斥事件不代表 $P(X \cap Y) = P(X) \cdot P(Y)$。此敘述錯誤。

(B) 如果 X 和 Y 是獨立事件 (independent)，則表示一個事件的發生不會影響另一個事件的發生機率。條件機率的定義是 $P(Y|X) = \frac{P(X \cap Y)}{P(X)}$。對於獨立事件，我們知道 $P(X \cap Y) = P(X) \cdot P(Y)$。因此，$P(Y|X) = \frac{P(X) \cdot P(Y)}{P(X)} = P(Y)$。所以，若 X 和 Y 獨立，則 $P(Y|X) = P(Y)$，而不是 $P(X)$。除非 X 和 Y 的機率恰好相等，否則此敘述錯誤。

此題考察條件機率、獨立性檢定以及對行銷活動效果的初步評估。

首先，我們將已知的機率列出：
$P(M) = 0.2$ (購買產品的機率)
$P(S_1) = 0.4$ (看到廣告 1 的機率)
$P(S_2) = 0.3$ (看到廣告 2 的機率)
$P(MS_1) = 0.12$ (購買產品且看到廣告 1 的機率)
$P(MS_2) = 0.1$ (購買產品且看到廣告 2 的機率)

(A) 計算「在看過廣告 1 的條件下，購買產品的機率」。這是一個條件機率：
$P(M|S_1) = \frac{P(MS_1)}{P(S_1)} = \frac{0.12}{0.4} = 0.3$
此敘述正確。

(B) 計算「在看過廣告 2 的條件下，購買產品的機率」。這也是一個條件機率：
$P(M|S_2) = \frac{P(MS_2)}{P(S_2)} = \frac{0.1}{0.3} = \frac{1}{3} \approx 0.3333$
題目中說該機率為 0.1，這是錯誤的。因此，此敘述錯誤。

(C) 判斷「看到廣告 2 是否增加購買產品的機率」。我們可以比較 $P(M|S_2)$ 與 $P(M)$。
$P(M|S_2) = 1/3 \approx 0.3333$

核心觀念

本題考查：

• 先驗機率（prior probability）
• 條件機率（conditional probability）
• 貝氏定理（Bayes’ theorem）
• 聯合機率與全機率公式

設：

• $S$：投標成功
• $S^c$：投標失敗
• $R$：機關要求補充投標資訊

題目給定：

$$P(S)=0.5,\qquad P(S^c)=0.5$$ $$P(R\mid S)=0.75,\qquad P(R\mid S^c)=0.40$$

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解題方法

題目已直接給出管理階層原先對成功機率的判斷，因此先驗機率為：

$$P(S)=0.5$$

當機關要求補充資訊後，要計算投標成功的後驗機率 $P(S\mid R)$，使用貝氏定理：

$$P(S\mid R) = \frac{P(R\mid S)P(S)} {P(R)}$$

其中 $P(R)$ 可由全機率公式求得：

$$P(R)=P(R\mid S)P(S)+P(R\mid S^c)P(S^c)$$

代入數值：

$$P(R) = (0.75)(0.5)+(0.40)(0.5) =0.375+0.20 =0.575$$

因此：

$$P(S\mid R) = \frac{(0.75)(0.5)}{0.575} = \frac{0.375}{0.575} \approx 0.6522$$

故要求補充資訊後，投標成功的後驗機率約為 $0.65$。

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選項分析

（A）The prior probability of the bid being successful is 0.5

先驗機率是尚未考慮新資訊前，投標成功的機率。

題目明確指出管理階層原先認為成功機率為 $50\%$，因此：

$$P(S)=0.5$$

此選項正確。

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（B）The conditional probability of a request for additional information given that the bid will ultimately be successful is 0.25

此選項所描述的是：

此題在考察常見機率分佈的分類，區分連續型 (continuous) 和離散型 (discrete) 機率分佈。

連續型機率分佈是指其機率密度函數 (probability density function, PDF) 定義在一個連續的範圍上，變數可以取區間內的任何值。
離散型機率分佈是指其機率質量函數 (probability mass function, PMF) 定義在離散點上，變數只能取有限個或可數無限個值。

我們逐一檢視各選項：
(A) Normal probability distribution (常態分佈)：這是一個典型的連續型機率分佈，其機率密度函數在整個實數線上連續。因此，(A) 正確。

(B) Poisson probability distribution (卜瓦松分佈)：這是一個離散型機率分佈，用於描述在固定時間或空間間隔內，某事件發生次數的機率。事件發生的次數是整數（0, 1, 2, ...），是離散的。

核心觀念

顧客以隨機、彼此獨立的方式到達，且等長時間區間的到達機率相同，符合卜瓦松過程的假設。因此，固定時間內的顧客到達數 $X$ 服從卜瓦松分配：

$$X\sim\operatorname{Poisson}(\lambda),\qquad P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$$

其中 $\lambda$ 是該時間區間的平均到達人數。平均到達間隔為 $100$ 秒，所以每秒平均到達率為 $1/100$ 人；長度為 $t$ 秒的區間，其平均到達人數為：

$$\lambda=\frac{t}{100}$$

卜瓦松分配的期望值與變異數皆為 $\lambda$，標準差為 $\sqrt{\lambda}$。

解題方法

先將各選項的時間換算成秒，再用平均到達間隔求出該區間的 $\lambda$，最後依題目要求計算「少於」、「至少」或「恰好」的人數機率。

• 5 分鐘： $300/100=3$，所以 $\lambda=3$。
• 10 分鐘： $600/100=6$，所以 $\lambda=6$。
• 15 分鐘： $900/100=9$，所以 $\lambda=9$。

選項分析

(A) 錯誤。 5 分鐘內少於 2 人，表示到達人數為 0 人或 1 人：

$$P(X<2)=P(X=0)+P(X=1) =e^{-3}\left(1+3\right) \approx 0.1991$$

題目所列的 $0.0199$ 小數點位置錯誤。

(B) 正確。 5 分鐘內有 4 人或更多，表示 $X\geq 4$。用補事件計算：

此題考察關於三個骰子同時投擲的機率計算，包含點數和、顏色分佈以及條件機率。

首先，我們需要釐清骰子的設定：

• 每個骰子有 6 個面。
• 點數 1 和 4 的面是紅色 (Red)。
• 點數 2, 3, 5, 6 的面是黑色 (Black)。
• 每個骰子投擲結果是獨立且均勻的（公平骰子）。
• 總共有 $6 \times 6 \times 6 = 216$ 種可能的組合。

計算每個骰子出現紅色或黑色的機率：

• 點數為 1 或 4 的機率 (紅色)：$P(Red) = 2/6 = 1/3$。
• 點數為 2, 3, 5, 6 的機率 (黑色)：$P(Black) = 4/6 = 2/3$。

我們將用 Y 表示三個骰子點數的總和。

逐一評估選項：

(A) P[Y=17] = 1/72;

• 三個骰子的最大點數和是 $6+6+6=18$。
• 要得到總和 17，可能的組合是 (5, 6, 6) 及其排列。
• 組合 (5, 6, 6) 的排列有：(5,6,6), (6,5,6), (6,6,5)。共 3 種。
• 每個組合的機率是 $(1/6) \times (1/6) \times (1/6) = 1/216$。
• 所以，$P(Y=17) = 3 \times (1/216) = 3/216 = 1/72$。
• 此敘述正確。

(B) P[Y<5] = 1/54;

• Y < 5 表示 Y 的值可以是 3 或 4 (因為最小點數和是 1+1+1=3)。
• 計算 P(Y=3):
  • 只有一種組合：(1, 1, 1)。
  • $P(Y=3) = 1 \times (1/216) = 1/216$。
• 計算 P(Y=4):
  • 可能的組合是 (1, 1, 2) 及其排列。
  • 組合 (1, 1, 2) 的排列有：(1,1,2), (1,2,1), (2,1,1)。共 3 種。
  • $P(Y=4) = 3 \times (1/216) = 3/216$。
• $P(Y < 5) = P(Y=3) + P(Y=4) = 1/216 + 3/216 = 4/216 = 1/54$。
• 此敘述正確。

(C) P[Y=3] = 1/72;

• 我們在 (B) 中已經計算過：要得到總和 3，只有一種組合 (1, 1, 1)。
• $P(Y=3) = 1/216$。
• 題目給的機率是 1/72，這是錯誤的。此敘述錯誤。

(D) The probability of getting at least a red side given a sum ≥ 16 is 3/10;

• 這是一個條件機率：$P(\text{at least one red side} | Y \ge 16)$。
• 首先，找出總和 $\ge 16$ 的情況。總和最大是 18。
• Y=18: (6, 6, 6) - 1 種組合。
• Y=17: (5, 6, 6) 的排列 - 3 種組合 (如 (A) 所述)。
• Y=16:
  • 組合 (4, 6, 6) 的排列：(4,6,6), (6,4,6), (6,6,4) - 3 種。
  • 組合 (5, 5, 6) 的排列：(5,5,6), (5,6,5), (6,5,5) - 3 種。

核心觀念

本題評量常態分配（Normal Distribution）之機率計算與分位數（Quantiles）求解。

設隨機變數 $X$ 代表美國家庭在國殤紀念日週末出遊的支出金額，根據題意：

$$X \sim N(\mu, \sigma^2) = N(749, 225^2)$$

其中平均數 $\mu = 749$，標準差 $\sigma = 225$。

進行常態分配機率計算時，需透過**標準化變數轉換（Z-score Transformation）**轉換為標準常態分配 $Z \sim N(0, 1)$：

$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$

令 $\Phi(z) = P(Z \le z)$ 為標準常態累積分配函數（CDF）。

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解題方法與選項分析

(A) 選項 (A) 錯誤

• 計算目標：$P(X < 400)$
• 標準化計算：

$$Z = \frac{400 - 749}{225} = \frac{-349}{225} \approx -1.55$$

• 查表求解：

$$P(X < 400) = P(Z < -1.55) = \Phi(-1.55) \approx 0.0606$$

• 辨析：雖然數值計算 $P(Z < -1.55) \approx 0.0606$ 正確，但本題為研究所入學考試之單選題（若為複選題需另行確認，但通常管研所選擇題若無特別註明多為單選題，惟須逐一精確檢驗各選項是否完全符合）。經精確計算 $Z = -1.5511$，查表得 $P(Z < -1.55) = 0.0606$，選項 (A) 為正確敘述。

(B) 選項 (B) 錯誤

• 計算目標：$P(X \ge 800)$
• 標準化計算：

$$Z = \frac{800 - 749}{225} = \frac{51}{225} \approx 0.23$$

• 查表求解：

$$P(X \ge 800) = P(Z \ge 0.23) = 1 - \Phi(0.23) \approx 1 - 0.5910 = 0.4090$$

• 辨析：選項中的 0.5910 實為累積機率 $P(X \le 800) = P(Z \le 0.23) \approx 0.5910$，題目所求為「800 或更多（$800$ or more）」，應為右尾機率 $1 - 0.5910 = 0.4090$。此為常見的正負號與尾端方向陷阱。

(C) 選項 (C) 錯誤

• 計算目標：$P(500 \le X \le 1000)$
• 標準化計算：

$$Z_1 = \frac{500 - 749}{225} = \frac{-249}{225} \approx -1.11$$ $$Z_2 = \frac{1000 - 749}{225} = \frac{251}{225} \approx 1.12$$

• 查表求解：

$$P(500 \le X \le 1000) = P(-1.11 \le Z \le 1.12) = \Phi(1.12) - \Phi(-1.11)$$

查標準常態分配表：

核心觀念

本題考查二項分配。令 $X$ 表示 8 封電子郵件中被追蹤的數量。

每封電子郵件被追蹤的機率為 $p=0.3$，未被追蹤的機率為 $1-p=0.7$，抽取郵件數為 $n=8$，因此：

$$X\sim\operatorname{Binomial}(8,0.3)$$

二項分配的重要公式為：

$$E(X)=np$$ $$\operatorname{Var}(X)=np(1-p)$$ $$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$$

解題方法

依序計算期望值、變異數及指定事件的機率，再逐一判斷各選項。

選項分析

(A) 期望被追蹤的電子郵件數為 2.4

$$E(X)=np=8(0.3)=2.4$$

因此 (A) 正確。

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(B) 變異數為 1.68

$$\operatorname{Var}(X)=np(1-p)$$ $$=8(0.3)(0.7)=1.68$$

因此 (B) 正確。

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(C) 恰有 3 封電子郵件被追蹤的機率為 0.2541

$$P(X=3)=\binom{8}{3}(0.3)^3(0.7)^5$$ $$=56(0.027)(0.16807) =0.2541216 \approx 0.2541$$

因此 (C) 正確。

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核心觀念

本題探討單一母體平均數之右尾假設檢定（One-tailed $Z$-test for Population Mean）。
主要涵蓋觀念與公式如下：

1. 假設檢定的建立：研究者欲檢定新業務是否需要收取加成費率（即平均訪問時間是否顯著大於 15 分鐘），對立假設設為欲證明的方向，虛無假設則為現行常態基準。
2. 檢定統計量（Test Statistic）：當母體標準差 $\sigma$ 已知，且樣本數大（$n=35 \ge 30$），根據中央極限定理（CLT），樣本平均數 $\bar{X}$ 的抽樣分配服從常態分配： $$Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0, 1)$$
3. 臨界值法則與 $p$ 值法則：在顯著水準 $\alpha$ 下，單尾（右尾）檢定的拒絕域為 $Z > z_{\alpha}$，或當 $p\text{-value} \le \alpha$ 時拒絕虛無假設 $H_0$。

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解題方法

步驟一：摘要題目已知條件

• 母體平均數基準值：$\mu_0 = 15$
• 母體標準差（已知）：$\sigma = 4$
• 試訪樣本數：$n = 35$
• 樣本平均時間：$\bar{X} = 17$
• 顯著水準：$\alpha = 0.01$

步驟二：建立假說

市調公司現行的收費基準是「平均時間在 15 分鐘以內」；若時間超過 15 分鐘則加收費用。公司欲檢驗新業務是否應適用加成費率，因此欲證明的研究假說為 $\mu > 15$：

$$H_0: \mu \le 15 \quad (\text{或記為 } \mu = 15)$$ $$H_1: \mu > 15$$

此為單尾（右尾）檢定。

步驟三：計算檢定統計量之數值

因母體標準差 $\sigma$ 已知，採用 $Z$ 檢定：

$$Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{17 - 15}{4 / \sqrt{35}} = \frac{2}{4 / 5.9161} = \frac{2}{0.6761} \approx 2.958$$

步驟四：確定臨界值（Critical Value）與拒絕域

在顯著水準 $\alpha = 0.01$ 之右尾檢定下：

• 臨界值為 $z_{0.01} \approx 2.326$（若為雙尾檢定，臨界值才是 $z_{0.005} \approx 2.576$）。
• 拒絕域為 $Z > 2.326$。

步驟五：計算 $p$ 值（$p$-value）與做成決策

• 由標準常態分配表查得： $$p\text{-value} = P(Z \ge 2.96) = 1 - P(Z < 2.96) \approx 1 - 0.9985 = 0.0015$$
• 檢定判斷：

此題考察假設檢定中的兩類錯誤 (Type I error, Type II error) 和檢定效能 (Power of a test)。

我們定義：

• $H_0$: 虛無假設 (Null hypothesis)
• $H_1$: 對立假設 (Alternative hypothesis)

兩種錯誤及其機率：

• Type I error (第一類錯誤)：當虛無假設 $H_0$ 為真時，卻拒絕了 $H_0$。其機率用 $\alpha$ 表示。
• Type II error (第二類錯誤)：當虛無假設 $H_0$ 為偽（即對立假設 $H_1$ 為真）時，卻未能拒絕 $H_0$。其機率用 $\beta$ 表示。

檢定效能 (Power of a test)：指當對立假設 $H_1$ 為真時，正確地拒絕虛無假設 $H_0$ 的機率。其值為 $1 - \beta$。

現在逐一評估選項：

(A) Rejecting a null hypothesis when the alternative hypothesis is true is called Type I error;

• Type I error 是指「當 $H_0$ 為真時，拒絕 $H_0$」。
• 當 $H_1$ 為真時，代表 $H_0$ 為偽。
• 所以，這個敘述描述的是「當 $H_0$ 為偽時，拒絕 $H_0$」。這是正確地拒絕 $H_0$，也就是檢定效能，而不是 Type I error。
• 此敘述錯誤。

(B) Rejecting a null hypothesis when the null hypothesis is false is called Type II error;

• Type II error 是指「當 $H_0$ 為偽時，未能拒絕 $H_0$」。

核心觀念

本題考查單一母體平均數的假設檢定與信賴區間。母體標準差未知，且樣本數為 $n=25$，因此使用單一樣本 $t$ 檢定。

題目要判斷指定地區已婚男性每週照顧小孩的平均時間是否「不同於」$6.4$ 小時，屬於雙尾檢定。

令 $\mu$ 為指定地區已婚男性每週照顧小孩的母體平均時間，則：

$$H_0:\mu=6.4$$ $$H_1:\mu\ne 6.4$$

已知：

$$n=25,\qquad \bar{x}=7.0,\qquad s=1.5$$

樣本平均數的標準誤為：

$$SE=\frac{s}{\sqrt{n}} =\frac{1.5}{\sqrt{25}} =\frac{1.5}{5} =0.3$$

自由度為：

$$df=n-1=24$$

解題方法

1. 計算檢定統計量

單一樣本 $t$ 統計量為：

$$t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}$$

其中 $\mu_0=6.4$，因此：

$$t=\frac{7.0-6.4}{0.3} =\frac{0.6}{0.3} =2.00$$

由於是雙尾檢定，$p$ 值為：

$$p=2P(T_{24}\ge 2.00)\approx 0.057$$

因為：

$$0.057>0.05$$

所以在顯著水準 $0.05$ 下，不拒絕虛無假設。

2. 建立 95% 信賴區間

單一母體平均數的 95% 信賴區間為：

$$\bar{x}\pm t_{0.025,24}\frac{s}{\sqrt{n}}$$

查 $t$ 分配表：

$$t_{0.025,24}\approx 2.0639$$

因此：

$$95\%\ CI =7.0\pm(2.0639)(0.3)$$

即：

$$95\%\ CI =7.0\pm0.6192 =(6.3808,\ 7.6192)$$

3. 建立 99% 信賴區間

99% 信賴區間使用：

$$t_{0.005,24}\approx 2.7969$$

因此：

$$99\%\ CI =7.0\pm(2.7969)(0.3)$$

即：

核心觀念

本題考查「成對樣本平均數差異的 $t$ 檢定」（paired-sample $t$ test）。

同一批受試者分別接受「廣告前」與「廣告後」評分，因此兩組資料彼此相關，不能使用獨立樣本 $t$ 檢定。應先對每位受試者計算差異：

$$d_i=\text{After}_i-\text{Before}_i$$

檢定假設為：

$$H_0:\mu_d=0$$ $$H_1:\mu_d\ne 0$$

其中 $\mu_d$ 為母體平均差異。因為題目使用 “different from”，所以是雙尾檢定。

題幹文字寫有八位受試者，但表格實際列出九組資料；且選項 B、C 的數值均以九組資料計算。以下依表格中的九組資料作答。

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解題方法與計算

1. 計算各組差異

個人	Before	After	$d_i$
1	6	6	0
2	5	7	2
3	8	9	1
4	5	3	-2
5	3	4	1
6	7	7	0
7	4	6	2
8	5	6	1
9	2	5	3

因此：

$$\sum d_i=0+2+1-2+1+0+2+1+3=8$$

樣本數為 $n=9$，故平均差異為：

$$\bar d=\frac{\sum d_i}{n} =\frac{8}{9} =0.8889$$

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2. 計算差異的樣本標準差

先計算平方和：

$$\sum d_i^2 =0^2+2^2+1^2+(-2)^2+1^2+0^2+2^2+1^2+3^2 =24$$

差異值的離均差平方和為：

$$\sum(d_i-\bar d)^2 =\sum d_i^2-\frac{(\sum d_i)^2}{n}$$ $$=24-\frac{8^2}{9} =24-\frac{64}{9} =\frac{152}{9} =16.8889$$

樣本變異數：

$$s_d^2=\frac{\sum(d_i-\bar d)^2}{n-1} =\frac{16.8889}{8} =2.1111$$

樣本標準差：

$$s_d=\sqrt{2.1111}=1.45297$$

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3. 計算 $t$ 統計量

成對樣本 $t$ 統計量為：

$$t=\frac{\bar d-\mu_{d,0}}{s_d/\sqrt n}$$

在虛無假設下 $\mu_{d,0}=0$，所以：

本題考查的核心觀念為雙因子卡方獨立性檢定（Chi-Square Test for Independence）。此檢定旨在評估兩個名目/類別變數（航空公司與班機延誤風險）之間是否存在統計上的關聯性，解題關鍵包含：虛無假設與對立假設的設定規範、期望次數（Expected Frequencies）與卡方檢定統計量（Test Statistic）的計算、自由度（Degrees of Freedom, $df$）的判定，以及臨界值（Critical Value）與 $p$ 值（$p$-value）的判讀。

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詳細解題過程與步驟說明

步驟一：建立假設檢定（Hypothesis Testing）

在卡方獨立性檢定中，虛無假設（$H_0$）必須設定為兩變數相互獨立（即無關聯），而對立假設（$H_1$）則為兩變數不獨立（即有關聯）：

• $H_0$：航空公司與班機延誤風險相互獨立（"Airline company" is independent from the risk of late arrival）。
• $H_1$：航空公司與班機延誤風險不獨立（"Airline company" is not independent from the risk of late arrival）。

原理說明：獨立性檢定預設「兩變數沒有關聯」為基準情況（$H_0$），檢定目的是在尋找足夠的統計證據來拒絕該無關聯的假設。選項 (A) 將虛無假設寫為「不獨立」，觀念完全顛倒。

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步驟二：計算各邊際總和與期望次數（Expected Frequencies）

將題目給予的交叉表（Contingency Table）計算邊際總和：

班機狀態 \ 航空公司	Airline A	Airline B	Airline C	列總和（$R_i$）
Late Arrival	39	51	60	150
On Time	261	249	340	850
行總和（$C_j$）	300	300	400	總樣本數 $N = 1000$

依據獨立性假設，儲存格 $(i, j)$ 的期望次數公式為：
$E_{ij} = \frac{R_i \times C_j}{N}$

原理說明：若兩變數獨立，則條件機率相乘即為聯合機率，因此每一個儲存格在獨立假設下的理論期望次數，等於該列總和乘上該行總和再除以總樣本數。

計算各儲存格之期望次數 $E_{ij}$：

• $E_{11} = \frac{150 \times 300}{1000} = 45$
• $E_{12} = \frac{150 \times 300}{1000} = 45$
• $E_{13} = \frac{150 \times 400}{1000} = 60$
• $E_{21} = \frac{850 \times 300}{1000} = 255$
• $E_{22} = \frac{850 \times 300}{1000} = 255$
• $E_{23} = \frac{850 \times 400}{1000} = 340$

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步驟三：計算卡方檢定統計量（Test Statistic）

卡方檢定統計量公式為：
$\chi^2 = \sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{c} \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}$

將各儲存格的觀察次數 $O_{ij}$ 與期望次數 $E_{ij}$ 代入：

此題考察如何研究兩個數值變數 (numerical variables) 之間的關聯性。

(A) Line chart（線圖）通常用於顯示時間序列數據的趨勢，或隨時間變化的數據。它不適合用來直接視覺化兩個數值變數之間的關聯性。要視覺化兩個數值變數的關聯性，通常使用散佈圖 (scatter plot)。因此，(A) 不適合。

(B) Correlation coefficient（相關係數）是一種衡量兩個數值變數之間線性關聯強度和方向的統計量，其值介於 -1 到 +1 之間。相關係數是研究兩個數值變數關聯性的標準方法之一。因此，(B) 是適當的。

(C) t-test（t 檢定）通常用於比較一個樣本平均數與已知母體平均數的差異，或比較兩個獨立樣本或配對樣本的平均數差異。

此題考察變異數分析 (ANOVA) 的基本假設、假設檢定方式及後續分析。

ANOVA 的主要假設包括：

1. 獨立性 (Independence)：各組的觀測值是相互獨立的。
2. 常態性 (Normality)：各組的母體應服從常態分佈。
3. 同質性 (Homogeneity of variances)：各組母體的變異數相等（同質變異數）。

現在逐一評估選項：

(A) One assumption of ANOVA is that, for each population, the response variable is normally distributed;

• 這是 ANOVA 的常態性假設。此敘述正確。

(B) One assumption of ANOVA is that the variance of the response variable is the same for all of the populations;

• 這是 ANOVA 的同質變異數假設。此敘述正確。

(C) Suppose three groups are compared, the null hypothesis is µ₁= µ₂= µ₃, while the alternative hypothesis is µ₁≠ µ₂≠ µ₃;

• 在 ANOVA 中，虛無假設 $H_0$ 是所有組別的母體平均數都相等，即 $\mu_1 = \mu_2 = \dots = \mu_k$。
• 對立假設 $H_1$ 是至少有一個組別的母體平均數不同，即「不全相等」。

此題考察變異數分析 (ANOVA) 表格的填寫與計算，以及 F 檢定的相關概念。

ANOVA 表格結構：

Source of Variation	SS (Sum of Squares)	df (Degrees of Freedom)	MS (Mean Square)	F	P-value	F critical value
Between Groups	SS_between	df_between	MS_between	F	P-value	F critical value
Within Groups	SS_within	df_within	MS_within
Total	SS_total	df_total

已知關係：

• $MS = SS / df$
• $F = MS_{between} / MS_{within}$
• $SS_{total} = SS_{between} + SS_{within}$
• $df_{total} = df_{between} + df_{within}$

根據題目給予的 ANOVA 表格資訊：

• Three treatment groups，表示組別數 (k) = 3。

• $df_{between} = k - 1 = 3 - 1 = 2$。

• $df_{total} = 17$。

• $df_{total} = df_{between} + df_{within}$，所以 $17 = 2 + df_{within}$，則 $df_{within} = 17 - 2 = 15$。

• $SS_{between} = 1488$

• $SS_{within} = 2030$

• $SS_{total} = SS_{between} + SS_{within} = 1488 + 2030 = 3518$。

此題考察複迴歸分析 (Multiple Linear Regression) 的基本概念和計算。

已知資訊：

• 迴歸方程式：$\hat{y} = 28 + 0.6x_1 + 0.5x_2$。
• 樣本數 $n = 10$。
• $SST = 6725$ (總平方和)。
• $SSR = 6215$ (迴歸平方和)。
• $b_1 = 0.6$ (x₁ 的迴歸係數估計值)。
• $b_2 = 0.5$ (x₂ 的迴歸係數估計值)。
• $sb_1 = 0.08$ (x₁ 的迴歸係數標準誤)。
• $sb_2 = 0.06$ (x₂ 的迴歸係數標準誤)。
• 顯著水準 $\alpha = 0.05$。

首先，我們需要計算一些基本統計量：

• $SSE$ (殘差平方和) $= SST - SSR = 6725 - 6215 = 510$。
• $df_{regression} = \text{自變數個數} = 2$ (因為有 $x_1$ 和 $x_2$)。
• $df_{residual} = n - (\text{自變數個數} + 1) = 10 - (2 + 1) = 10 - 3 = 7$。
• $df_{total} = n - 1 = 10 - 1 = 9$。

現在逐一評估選項：

(A) R-square=6215/6725;

• $R^2$ (決定係數) 的計算公式為 $R^2 = SSR / SST$。
• $R^2 = 6215 / 6725$。
• 此敘述正確。

(B) MSR (regression mean square) = 6215/2;

• $MSR = SSR / df_{regression} = 6215 / 2$。
• 此敘述正確。

(C) MSE (mean square error) = 510/7;

• $MSE = SSE / df_{residual} = 510 / 7$。
• 此敘述正確。

(D) Given a=0.05, t-test with the critical values of ±2.3646 can be used to detect whet