112 年 國立中山大學企業管理學系碩士甲班乙組《微積分》

此題考驗極限的計算，特別是利用夾擠定理處理三角函數與變數相除的極限。

我們需要計算極限 $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}$。
對於任何實數 $x$，我們知道 $-1 \le \sin x \le 1$。
當 $x > 0$ 時，我們可以將不等式除以 $x$，得到 $-\frac{1}{x} \le \frac{\sin x}{x} \le \frac{1}{x}$。

此題考驗極限的計算，特別是代入法求極限。

我們需要計算極限 $\lim_{x \to 3} \frac{5x^2 - 8x - 13}{x^2 - 5}$。
首先，我們嘗試直接將 $x=3$ 代入分母：
$3^2 - 5 = 9 - 5 = 4$
由於分母不為零，我們可以將 $x=3$ 直接代入分子和分母來計算極限值。

此題考驗微分的計算，特別是對數微分法和連鎖律的應用。

我們需要計算 $\frac{d}{dx} (\ln x^{e^{\sin x}})$。
首先，利用對數的性質，我們可以簡化被微分的函數：
$\ln x^{e^{\sin x}} = e^{\sin x} \ln x$

現在我們對 $e^{\sin x} \ln x$ 進行微分。這是一個乘積，我們可以使用乘積法則 $(uv)' = u'v + uv'$。
令 $u = e^{\sin x}$ 和 $v = \ln x$。

首先計算 $u'$：
$u' = \frac{d}{dx} (e^{\sin x})$
這裡需要使用連鎖律。令 $w = \sin x$，則 $u = e^w$。

此題考驗隱函數微分的計算。

我們需要計算由方程 $(x - y)^2 = x + y - 1$ 所定義的函數 $y(x)$ 的隱函數導數 $\frac{dy}{dx}$。
對方程兩邊同時對 $x$ 微分，並使用連鎖律。

對左邊微分 $\frac{d}{dx} (x - y)^2$：
令 $u = x - y$。則 $\frac{d}{dx} u^2 = 2u \frac{du}{dx}$。
$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (x - y) = \frac{dx}{dx} - \frac{dy}{dx} = 1 - \frac{dy}{dx}$。
所以，左邊的微分是 $2(x - y)(1 - \frac{dy}{dx})$。

對右邊微分 $\frac{d}{dx} (x + y - 1)$：

此題考驗幂級數的收斂區間與端點檢查。

我們考慮幂級數 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{n+2}$。
首先，我們使用 ratio test (比值檢驗法) 來尋找收斂半徑。
令 $u_n = \frac{(x-2)^n}{n+2}$。
計算 $L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{u_{n+1}}{u_n} \right|$。
$u_{n+1} = \frac{(x-2)^{n+1}}{(n+1)+2} = \frac{(x-2)^{n+1}}{n+3}$。
$L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{(x-2)^{n+1}}{n+3}}{\frac{(x-2)^n}{n+2}} \right|$
$L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(x-2)^{n+1}}{n+3} \cdot \frac{n+2}{(x-2)^n} \right|$
$L = \lim_{n \to \infty} \left| (x-2) \cdot \frac{n+2}{n+3} \right|$
$L = |x-2| \lim_{n \to \infty} \frac{n+2}{n+3}$
$L = |x-2| \lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2/n}{1 + 3/n}$
$L = |x-2| \cdot 1 = |x-2|$

根據 ratio test，級數在 $L < 1$ 時收斂。
$|x-2| < 1$
這表示 $-1 < x-2 < 1$。
$2-1 < x < 2+1$
$1 < x < 3$。
收斂半徑 $R=1$。

接下來，我們需要檢查端點 $x=1$ 和 $x=3$。

檢查端點 $x=1$：
將 $x=1$ 代入原級數：
$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(1-2)^n}{n+2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+2}$
這個級數是交錯級數。我們可以使用 Alternating Series Test (交錯級數檢驗法)。

此題考驗 Maclaurin 級數的計算。Maclaurin 級數是泰勒級數在 $a=0$ 時的特例，其通式為：
$P(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots$
我們需要計算到 $x^3$ 項，所以需要計算到三階導數。

給定函數 $f(x) = x \ln(x + 2)$。

步驟 1: 計算 $f(0)$。
$f(0) = 0 \cdot \ln(0 + 2) = 0 \cdot \ln 2 = 0$。

步驟 2: 計算一階導數 $f'(x)$。
使用乘積法則：$f'(x) = \frac{d}{dx}(x) \cdot \ln(x+2) + x \cdot \frac{d}{dx}(\ln(x+2))$
$f'(x) = 1 \cdot \ln(x+2) + x \cdot \frac{1}{x+2}$
$f'(x) = \ln(x+2) + \frac{x}{x+2}$

計算 $f'(0)$：
$f'(0) = \ln(0+2) + \frac{0}{0+2} = \ln 2 + 0 = \ln 2$。

步驟 3: 計算二階導數 $f''(x)$。
$f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \ln(x+2) + \frac{x}{x+2} \right)$
$f''(x) = \frac{d}{dx}(\ln(x+2)) + \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{x+2}\right)$
$\frac{d}{dx}(\ln(x+2)) = \frac{1}{x+2}$
使用商法則對 $\frac{x}{x+2}$ 微分：
$\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{x+2}\right) = \frac{1 \cdot (x+2) - x \cdot 1}{(x+2)^2} = \frac{x+2-x}{(x+2)^2} = \frac{2}{(x+2)^2}$
所以，$f''(x) = \frac{1}{x+2} + \frac{2}{(x+2)^2}$。

此題考驗反函數的定義域與值域。

給定函數 $f(x) = \tan(x)$，其定義域為 $x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$。
反函數為 $y = f^{-1}(x) = \arctan(x)$。

我們需要寫出反函數 $y = \arctan(x)$ 的定義域 (Domain) 和值域 (Range)。

定義域：
反函數的定義域等於原函數的值域。
對於 $f(x) = \tan(x)$，當 $x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 時， $\tan(x)$ 的值會從 $-\infty$ 趨近到 $+\infty$。

此題考驗反函數的微分公式以及三角函數的微分。

我們已知 $f(x) = \tan(x)$，且其反函數為 $y = f^{-1}(x) = \arctan(x)$。
我們也知道 $y = \arctan(x)$ 意味著 $x = \tan(y)$。

部分 (ii) 的第一部分要求證明 $\sec^2(y) \frac{dy}{dx} = 1$。
這實際上是在利用隱函數微分來求 $x = \tan(y)$ 對 $y$ 的導數。
將 $x = \tan(y)$ 對 $y$ 微分：
$\frac{dx}{dy} = \frac{d}{dy}(\tan y) = \sec^2 y$。
我們知道導數的倒數關係：$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$。
所以，$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y}$。

此題考驗積分的計算，特別是包含根號下的二次式，通常需要配方法或三角換位。

我們需要計算積分 $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 2x + 2}}$。
首先，我們處理根號內的二次式 $x^2 + 2x + 2$。
進行配方法：
$x^2 + 2x + 2 = (x^2 + 2x + 1) + 1 = (x+1)^2 + 1$。

所以，積分變為 $\int \frac{dx}{\sqrt{(x+1)^2 + 1}}$。
這是一個標準形式的積分，形式為 $\int \frac{du}{\sqrt{u^2 + a^2}}$，其中 $u = x+1$ 且 $a=1$。
這個積分的結果是 $\ln|u + \sqrt{u^2 + a^2}| + C$。

在這裡， $u = x+1$。
所以，$\sqrt{u^2 + a^2} = \sqrt{(x+1)^2 + 1} = \sqrt{x^2 + 2x + 2}$。

將 $u$ 和 $a$ 代入公式：
$\int \frac{dx}{\sqrt{(x+1)^2 + 1}} = \ln|(x+1) + \sqrt{(x+1)^2 + 1}| + C$
$= \ln|x+1 + \sqrt{x^2 + 2x + 2}| + C$。

另一種方法是使用三角換位。令 $x+1 = \tan \theta$。
則 $dx = \sec^2 \theta d\theta$。

此題考驗積分的計算，特別是使用部分分式分解 (Partial Fraction Decomposition) 來積分有理函數。

我們需要計算積分 $\int \frac{x}{(x+1)(x+2)^2} dx$。
首先，我們對被積分函數 $\frac{x}{(x+1)(x+2)^2}$ 進行部分分式分解。
由於分母有一個線性因子 $(x+1)$ 和一個重複的二次因子 $(x+2)^2$，我們可以寫成以下形式：
$\frac{x}{(x+1)(x+2)^2} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{(x+2)^2}$
將右邊通分：
$\frac{x}{(x+1)(x+2)^2} = \frac{A(x+2)^2 + B(x+1)(x+2) + C(x+1)}{(x+1)(x+2)^2}$
比較分子：
$x = A(x+2)^2 + B(x+1)(x+2) + C(x+1)$

現在我們用特殊值法來求解 $A, B, C$。

令 $x = -1$：
$-1 = A(-1+2)^2 + B(-1+1)(-1+2) + C(-1+1)$
$-1 = A(1)^2 + B(0)(1) + C(0)$
$-1 = A$。

令 $x = -2$：
$-2 = A(-2+2)^2 + B(-2+1)(-2+2) + C(-2+1)$
$-2 = A(0)^2 + B(-1)(0) + C(-1)$
$-2 = -C$
$C = 2$。

為了求 $B$，我們可以選擇另一個值，例如 $x=0$：
$0 = A(0+2)^2 + B(0+1)(0+2) + C(0+1)$
$0 = A(4) + B(1)(2) + C(1)$
$0 = 4A + 2B + C$
將已知的 $A=-1$ 和 $C=2$ 代入：

此題考驗定積分的計算，特別是使用分部積分法 (Integration by Parts)。

我們需要計算定積分 $\int_0^{\pi/2} x \sin x dx$。
我們使用分部積分公式：$\int u dv = uv - \int v du$。
選擇 $u = x$ 和 $dv = \sin x dx$。
那麼 $du = dx$ 和 $v = \int \sin x dx = -\cos x$。

套用分部積分公式：
$\int_0^{\pi/2} x \sin x dx = \left[ x (-\cos x) \right]_0^{\pi/2} - \int_0^{\pi/2} (-\cos x) dx$
$= \left[ -x \cos x \right]_0^{\pi/2} + \int_0^{\pi/2} \cos x dx$