115 年 國立中山大學企業管理學系碩士甲班甲組《微積分》

資料解讀

湖泊左右兩端收尖，因此端點寬度取 $w_0=w_{10}=0$。依原圖與 $n=10$ 的設定，內部寬度為

相鄰測量間距為

若將題幹括號中的兩個 $60$ 都列入，會形成 10 個內部測值，與 $n=10$ 所需的 11 個縱座標不一致；以下依原圖及 $n=10$ 的一致解讀計算。

核心觀念

湖泊面積可視為寬度函數 $w(x)$ 的積分：

以等距測量值近似積分：

• 梯形法：端點權重為 $1$，內點權重為 $2$。
• Simpson $1/3$ 法：奇數編號內點權重為 $4$，偶數編號內點權重為 $2$，且 $n$ 必須為偶數。

解題方法一：梯形法

令

梯形法公式為

代入：

本題考查定積分的計算，涉及指數函數和根號的組合，需要使用適當的積分技巧，如變數代換。

考慮積分 $\int_0^1 e^{-\sqrt{x}} dx$。
我們可以進行變數代換。令 $u = \sqrt{x}$。
則 $u^2 = x$，所以 $2u \, du = dx$。
當 $x=0$ 時，$u = \sqrt{0} = 0$。
當 $x=1$ 時，$u = \sqrt{1} = 1$。
將這些代入積分中：
$\int_0^1 e^{-u} (2u \, du) = 2 \int_0^1 u e^{-u} du$
現在我們需要計算 $\int u e^{-u} du$。這是一個典型的分部積分 (integration by parts) 問題。
分部積分公式為 $\int f \, dg = fg - \int g \, df$。
令 $f = u$ 且 $dg = e^{-u} du$。
則 $df = du$ 且 $g = \int e^{-u} du = -e^{-u}$。
所以，

核心觀念

由兩條曲線與垂直線 $x=-1$、$x=1$ 圍成的面積，可用「上方函數減下方函數」定積分計算：

因此，先判斷區間 $[-1,1]$ 上哪個函數在上方。

解題方法

計算兩函數之差：

因為 $(x-1)^2\geq 0$ 且 $e^{-x}>0$，所以在整個區間 $[-1,1]$ 上都有 $f(x)-g(x)>0$，也就是 $f(x)$ 位於 $g(x)$ 上方。

故所求面積為：

本題考查定積分的計算，積分式中包含根號項，通常需要進行變數代換來簡化。

考慮積分 $\int_0^1 \frac{1}{x + x^{0.5}} dx$。
令 $u = \sqrt{x} = x^{0.5}$。
則 $u^2 = x$，所以 $2u \, du = dx$。
當 $x=0$ 時，$u = \sqrt{0} = 0$。
當 $x=1$ 時，$u = \sqrt{1} = 1$。
將這些代入積分中：
$\int_0^1 \frac{1}{u^2 + u} (2u \, du)$
$= \int_0^1 \frac{2u}{u(u+1)} du$

本題考查不定積分的計算，積分式中包含根號項，通常需要進行變數代換。

考慮不定積分 $\int x(x+1)^{0.5} dx$。
令 $u = x+1$。
則 $x = u-1$。
$du = dx$。
將這些代入積分中：
$\int (u-1) u^{0.5} du$
$= \int (u^{1.5} - u^{0.5}) du$
現在我們對每一項進行積分：
$\int u^{1.5} du = \frac{u^{1.5+1}}{1.5+1} + C_1 = \frac{u^{2.5}}{2.5} + C_1 = \frac{2}{5} u^{5/2} + C_1$
$\int u^{0.5} du = \frac{u^{0.5+1}}{0.5+1} + C_2 = \frac{u^{1.5}}{1.5} + C_2 = \frac{2}{3} u^{3/2} + C_2$
所以，
$\int (u^{1.5} - u^{0.5}) du = \frac{2}{5} u^{5/2} - \frac{2}{3} u^{3/2} + C$
最後，將 $u = x+1$ 代回去：
$\frac{2}{5} (x+1)^{5/2} - \frac{2}{3} (x+1)^{3/2} + C$
我們也可以將 $(x+1)^{3/2}$ 提出公因式：
$= (x+1)^{3/2} \left( \frac{2}{5} (x+1) - \frac{2}{3} \right) + C$
$= (x+1)^{3/2} \left( \frac{2}{5}x + \frac{2}{5} - \frac{2}{3} \right) + C$
$= (x+1)^{3/2} \left( \frac{2}{5}x + \frac{6-10}{15} \right) + C$
$= (x+1)^{3/2} \left( \frac{2}{5}x - \frac{4}{15} \right) + C$
$= \frac{2}{15} (x+1)^{3/2} (3x - 2) + C$

核心觀念

利用一階導數判斷函數的遞增、遞減與局部極值；利用二階導數判斷圖形的凹向與反曲點。繪圖時再配合截距與兩端趨勢，整理出函數的整體形狀。

解題方法

先求一、二階導數，找出導數為零的位置，依序分析單調性與凹向；接著計算截距、極值與反曲點的座標，據此描繪圖形。

一階導數為

臨界點為 $t=-1$ 與 $t=0$。因為 $t^2\ge 0$，在 $t\ne 0$ 時，$f'(t)$ 的正負由 $t+1$ 決定：

• $t<-1$ 時，$f'(t)<0$，函數遞減。
• $-1<t<0$ 與 $t>0$ 時，$f'(t)>0$，函數遞增。

因此，函數在 $t=-1$ 由遞減轉為遞增，形成局部極小值：

故局部極小點為 $(-1,-1)$。在 $t=0$ 的左右兩側，函數皆遞增，因此 $t=0$ 不是極值點。

二階導數為

令 $f''(t)=0$，得 $t=-\frac{2}{3}$ 與 $t=0$。分析二階導數的正負：

• $t<-\frac{2}{3}$ 時，$f''(t)>0$，圖形凹向上。
• $-\frac{2}{3}<t<0$ 時，$f''(t)<0$，圖形凹向下。
• $t>0$ 時，$f''(t)>0$，圖形凹向上。

凹向在 $t=-\frac{2}{3}$ 與 $t=0$ 兩處改變，兩者皆為反曲點。其座標為

核心觀念

這是一階可分離變數微分方程。將含 $y$ 的部分與含 $x$ 的部分分開，再對兩邊積分。原方程右側含有分母 $2y$，因此解的定義區間內必須滿足 $y\ne 0$。

解題方法

由

兩邊乘以 $2y\,dx$，將變數分離：

兩邊積分：

左側為 $y^2$。右側使用分部積分，取 $u=x$、$dv=e^x\,dx$，得

本題考查不定積分的計算，積分式中包含三角函數和根號，適合使用變數代換法。

考慮積分 $\int \cos 7x \sqrt{1 - 4 \sin 7x} dx$。
我們注意到被積函數中包含了 $\sin 7x$ 及其導數 $\cos 7x$ 的倍數，這提示我們使用變數代換。
令 $u = 1 - 4 \sin 7x$。
則 $du = \frac{d}{dx}(1 - 4 \sin 7x) dx$。
$du = (-4 \cos 7x \cdot 7) dx$。
$du = -28 \cos 7x \, dx$。
我們在積分中需要 $\cos 7x \, dx$，所以可以寫成：
$\cos 7x \, dx = -\frac{1}{28} du$。

核心觀念

以 $x=14$ 為中心的泰勒級數可先令 $h=x-14$，再將函數改寫成已知的對數級數形式。使用公式

此級數的收斂半徑為 $1$；兩端點須分別檢查是否收斂。

解題方法

令 $h=x-14$，則 $x=14+h$，所以

將 $u=\frac{h}{14}$ 代入對數級數：

再乘上 $h$，得到

改寫成 $x$ 的形式：

亦可令 $k=n+1$，寫成

核心觀念

曲面 $z=f(x,y)$ 位於平面區域 $R$ 上方，且 $f(x,y)\ge 0$ 時，兩者所夾立體的體積為

本題的被積函數為 $f(x,y)=\dfrac{2y}{1+x^2}$，區域由 $y=5\sqrt{x}$、$y=0$ 與 $x=4$ 圍成。

解題方法

由 $y=5\sqrt{x}$ 與 $y=0$ 可知，區域在 $x$ 軸上方；曲線與 $x$ 軸交於 $x=0$。因此可寫成

將區域範圍代入體積公式：

先對 $y$ 積分，將與 $y$ 無關的因子視為常數：