113 年 國立中山大學企業管理學系碩士甲班甲組《微積分》

本題考查隱函數微分法。

給定方程式為 $(x^{0.5} + 2)^y = e^{2x}$。
為了方便微分，我們對方程式兩邊取自然對數：
$\ln\left((x^{0.5} + 2)^y\right) = \ln\left(e^{2x}\right)$
$y \ln\left(x^{0.5} + 2\right) = 2x$

現在我們對兩邊對 $x$ 微分。注意 $y$ 是 $x$ 的函數。
使用乘法法則和連鎖法則：
$\frac{dy}{dx} \ln\left(x^{0.5} + 2\right) + y \cdot \frac{1}{x^{0.5} + 2} \cdot \frac{d}{dx}(x^{0.5} + 2) = 2$

本題考查連鎖法則與對數函數求導。

給定函數 $f(x) = \log_a (\log_a x)$。
我們需要使用連鎖法則來求導。令 $u = \log_a x$。則 $f(x) = \log_a u$。
首先，我們知道 $\frac{d}{dx} \log_a x = \frac{1}{x \ln a}$。
接著，我們對 $f(x)$ 求導：
$f'(x) = \frac{d}{dx} \log_a (\log_a x)$
根據連鎖法則，這等於 $\frac{d}{du} (\log_a u) \cdot \frac{du}{dx}$。

本題考查指數函數的求導，需要使用對數微分法。

給定函數 $f(x) = x^{x^x}$。
為了方便求導，我們對兩邊取自然對數：
$\ln f(x) = \ln(x^{x^x})$
$\ln f(x) = x^x \ln x$

現在我們對兩邊對 $x$ 微分。注意 $f(x)$ 是 $x$ 的函數，而 $x^x$ 也是 $x$ 的函數。
左邊使用連鎖法則：
$\frac{1}{f(x)} f'(x)$

右邊使用乘法法則，其中一個因子是 $x^x$。我們需要先求 $x^x$ 的導數。
令 $g(x) = x^x$。
$\ln g(x) = \ln(x^x) = x \ln x$
對 $x$ 微分：
$\frac{1}{g(x)} g'(x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$
所以，$g'(x) = x^x (\ln x + 1)$。

回到原來的微分式：
$\frac{1}{f(x)} f'(x) = \frac{d}{dx}(x^x \ln x)$
$\frac{1}{f(x)} f'(x) = \left(\frac{d}{dx} x^x\right) \ln x + x^x \left(\frac{d}{dx} \ln x\right)$

本題考查有理函數的積分，可利用部分分式分解或觀察法求解。

觀察被積函數 $\frac{6x - 7}{5x^2 - 7x}$。
分母可以分解為 $5x^2 - 7x = x(5x - 7)$。
我們注意到，分子的形式 $6x-7$ 與分母的導數 $10x-7$ 略有不同。
然而，我們也可以觀察到，如果將分母的導數 $10x-7$ 進行適當縮放，可以湊出分子。
令 $u = 5x^2 - 7x$。
則 $du = (10x - 7) dx$。
我們的分子是 $6x-7$。這看起來不太直接。

讓我們嘗試使用部分分式分解。
令 $\frac{6x - 7}{x(5x - 7)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{5x - 7}$。
通分後得到：
$6x - 7 = A(5x - 7) + Bx$
$6x - 7 = 5Ax - 7A + Bx$
$6x - 7 = (5A + B)x - 7A$

比較係數：
常數項：$-7 = -7A \implies A = 1$。
$x$ 項：$6 = 5A + B$。

核心觀念

本題考查對數換底公式與定積分的變數代換。由於被積函數含有 $\log_2 x$，而分母有 $x$，令 $t=\log_2 x$ 後，微分中的 $\frac{dx}{x}$ 可直接轉換為常數倍的 $dt$。

解題方法

令

則

積分上下限也要一併換算：$x=2$ 時 $t=1$；$x=4$ 時 $t=2$。因此

本題考查曲線圍成的面積計算，需要先找出曲線的交點，然後利用積分計算。

首先，我們需要找出兩函數 $f(x) = x^3 - 3x + 3$ 和 $g(x) = x + 3$ 的交點。
令 $f(x) = g(x)$：
$x^3 - 3x + 3 = x + 3$
$x^3 - 4x = 0$
$x(x^2 - 4) = 0$
$x(x - 2)(x + 2) = 0$
所以，交點的 $x$ 座標為 $x = -2$, $x = 0$, $x = 2$。

這表示這兩條曲線在 $x = -2, 0, 2$ 這三個點相交，圍成兩個區域。
我們需要計算這兩個區域的總面積。
首先，我們需要確定在每個區間內哪個函數的值較大。

區間 $[-2, 0]$：
取一個測試點，例如 $x = -1$。
$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 3 = -1 + 3 + 3 = 5$
$g(-1) = -1 + 3 = 2$
在 $[-2, 0]$ 區間內，$f(x) \ge g(x)$。

區間 $[0, 2]$：
取一個測試點，例如 $x = 1$。
$f(1) = (1)^3 - 3(1) + 3 = 1 - 3 + 3 = 1$
$g(1) = 1 + 3 = 4$
在 $[0, 2]$ 區間內，$g(x) \ge f(x)$。

本題考查積分計算，可利用分部積分法。

給定積分 $\int \frac{x e^x}{(x+1)^2} dx$。
觀察被積函數，分子有 $x e^x$，分母有 $(x+1)^2$。
我們可以嘗試將被積函數改寫成 $\frac{(x+1-1)e^x}{(x+1)^2} = \frac{(x+1)e^x}{(x+1)^2} - \frac{e^x}{(x+1)^2} = \frac{e^x}{x+1} - \frac{e^x}{(x+1)^2}$。
所以，積分變為：
$\int \left(\frac{e^x}{x+1} - \frac{e^x}{(x+1)^2}\right) dx$
$\int \frac{e^x}{x+1} dx - \int \frac{e^x}{(x+1)^2} dx$
考慮第一個積分 $\int \frac{e^x}{x+1} dx$。
我們注意到 $\frac{e^x}{(x+1)^2}$ 可能是 $\frac{e^x}{x+1}$ 的某種形式的導數。
令 $u = \frac{e^x}{x+1}$。
使用除法定律求導：
$\frac{du}{dx} = \frac{(e^x)'(x+1) - e^x(x+1)'}{(x+1)^2}$
$\frac{du}{dx} = \frac{e^x(x+1) - e^x(1)}{(x+1)^2}$
$\frac{du}{dx} = \frac{xe^x + e^x - e^x}{(x+1)^2}$
$\frac{du}{dx} = \frac{xe^x}{(x+1)^2}$

本題考查冪級數的收斂半徑與收斂區間。

給定的冪級數為 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n} (4x - 8)^n$。
首先，我們將級數整理成標準形式 $\sum c_n (x-a)^n$。
注意到 $(4x - 8)^n = (4(x - 2))^n = 4^n (x - 2)^n$。
所以，級數可以寫成：
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n} 4^n (x - 2)^n$
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2 \cdot 4)^n}{n} (x - 2)^n$
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{8^n}{n} (x - 2)^n$
這是以 $a=2$ 為中心，係數 $c_n = \frac{1}{n \cdot 8^{-n}} = \frac{8^n}{n}$ 的冪級數。

我們使用 ratio test (比值檢驗法) 來尋找收斂半徑。
令 $a_n = \frac{8^n}{n} (x - 2)^n$。
計算極限 $L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$。
$L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{\frac{8^{n+1}}{n+1} (x - 2)^{n+1}}{\frac{8^n}{n} (x - 2)^n}\right|$
$L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{8^{n+1}}{n+1} \cdot \frac{n}{8^n} \cdot \frac{(x - 2)^{n+1}}{(x - 2)^n}\right|$
$L = \lim_{n \to \infty} \left|8 \cdot \frac{n}{n+1} \cdot (x - 2)\right|$
$L = |8(x - 2)| \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1}$
$L = |8(x - 2)| \cdot 1$
$L = 8|x - 2|$
根據 ratio test，級數收斂當 $L < 1$。
$8|x - 2| < 1$
$|x - 2| < \frac{1}{8}$

本題考查極限的計算，可利用夾擠定理 (Squeeze Theorem)。

給定極限 $\lim_{x \to 0} \left(x^2 \sin \frac{1}{x}\right)$。
當 $x \to 0$ 時，$\frac{1}{x} \to \pm\infty$。$\sin \frac{1}{x}$ 的值在 $-1$ 和 $1$ 之間震盪，沒有一個確定的極限。
然而，我們知道對於任何實數 $\theta$，都有 $-1 \le \sin \theta \le 1$。
所以，對於 $x \ne 0$，我們有：
$-1 \le \sin \frac{1}{x} \le 1$

本題考查泰勒級數的求解與收斂區間的判定。

(i) 求泰勒級數
給定函數 $f(x) = \frac{1}{7+8x}$。我們要找它在 $x=0$ 的泰勒級數，也就是 Maclaurin 級數。
我們知道一個常見的幾何級數公式：
$\frac{1}{1-r} = \sum_{n=0}^{\infty} r^n$, 當 $|r| < 1$ 時收斂。

我們可以將 $f(x)$ 轉換成這個形式。
$f(x) = \frac{1}{7+8x} = \frac{1}{7(1 + \frac{8}{7}x)}$
$f(x) = \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{1 - (-\frac{8}{7}x)}$

現在，令 $r = -\frac{8}{7}x$。
則 $f(x) = \frac{1}{7} \sum_{n=0}^{\infty} \left(-\frac{8}{7}x\right)^n$
$f(x) = \frac{1}{7} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{8^n}{7^n} x^n$
$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 8^n}{7^{n+1}} x^n$

這就是函數 $f(x)$ 在 $x=0$ 的泰勒級數。

(ii) 求收斂區間
幾何級數 $\sum_{n=0}^{\infty} r^n$ 收斂的條件是 $|r| < 1$。
在我們的例子中，$r = -\frac{8}{7}x$。
所以，收斂的條件是 $\left|-\frac{8}{7}x\right| < 1$。
$\frac{8}{7}|x| < 1$
$|x| < \frac{7}{8}$

這表示收斂半徑 $R = \frac{7}{8}$。
收斂區間為 $-\frac{7}{8} < x < \frac{7}{8}$。